高中数学必修5：简单的线性规划问题 知识点及经典例题(含答案)

简单的线性规划问题

【知识概述】

线性 规划是不等式应用的一个典型，也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的
考试中，通常考查二元 一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最
小值，或求函数的最优解等问题.通 过这节课的学习，希望同学们能够掌握线性规划的方法，
解决考试中出现的各种问题.
解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点
1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题；
2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节
（1）作出平面区域；（直线定”界”，特“点”定侧）；
（2）求目标函数的最值.
（3）求目标函数z=ax+by最值的两种类型：
①
b?0
时，截距最大（小），z的值最大（小）；
②
b?0
时，截距最大（小），z的值最小（大）；


【学前诊断】

1. [难度] 易
?
?
2x?y?3,
满足线性约束条件
?
?x?2y?3,
的目标函数
z?x?y
的最大值是（
?
x?0,

?
?
y?0
A.1 B.
3
2
C.2 D.3




2. [难度] 易
?
x?0,
设变 量
x,y
满足约束条件
?
?
x?y?0,
则
z?3 x?2y
的最大值为( )
?
?
2x?y?2?0,
A.0 B.2 C.4 D.6

1
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）

3. [难度] 中
?
y?x
?
设
m?1
，在约束条件
?
y?mx
下，目标函数
z?x?my
的最大值小于2，则
m
的取
?
x?y?1
?< br>值范围为（ ）
A．
(1,1?2)
B．
(1?2,??)
C．
(1,3)
D．
(3,??)



【经典例题】

例1.
?
y?1,
?
设变量
x,y
满足约 束条件
?
x?y?0,
则
z?2x?y
的最大值为( )
?
x?y?2?0,
?
A.5 B.4 C.1 D.8


例2.
?
y?1,
?
若变量
x,y
满足约束条件
?
x?y?0,
则
z?x?2y
的最大值为( )
?
x?y?2?0,
?
A.4 B.3 C.2 D.1


?
2x?y?2?0
?
例3. 设
x,y
满足约束条件?
8x?y?4?0
，若目标函数
z?abx?y(a?0,b?0)
的 最小
?
x?0,y?0
?
值为8，则
a?b
的最小值为__ __________.




?
x?0,
?
y?0,
?
例4. 在约束条件下
?
当
3?s?5
时，目标函数
z?3x?2y
的最大值的变化范
x?y?s,
?
?
?
2x?y?4,
围是( )

2
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A.
6,15
B.
7,15
C.
?
6,8
?
D.
?
7,8
?

????


例5.
?
x?1
?
设不等式组
?
x?2y?3? 0
，所表示平面区域是
?
1
,
平面区域
?
2
与
?
1
关于直线
?
y?x
?
3x?4y?9?0
对称，对于
?
1
中任意一点
A
与
?
2中的任意一点
B
，
AB
的最小
值等于（ ）

A.
2812
B.4 C. D.2
5
5


例6．对于实数
x,y
，若x?1?1,y?2?1,
则
x?2y?1
的最大值为_________.


例7．在约束条件
x?y?2x?4y?0
下，函数
z ?3x?2y
的最大值是___________.


例8. 已知函 数
f(x)?x
2
?ax?2b(a,b?R)
，且函数
y?f(x )
在区间
?
0,1
?
与
?
1,2
?
内各
有一个零点，则
z?(a?3)
2
?b
2
的取值范围 是（ ）.
22
?
2
?
?
1
?
,2
A.
?
B.
?
,4
?
C.
?
1,2
?
D.
?
1,4
?

?
?
2
?
?
2
?
??
例9. 奇函数
f(x)
在R上是减函数，若
s,t
满足不等式
f(s
2
?2s)??f(2t?t
2
)
，则当
t
1?s?4< br>时，的取值范围是（ ）.
s
?
1
??
1
??
1
??
1
?
A.
?
?,1
?
B.
?
?,1
?
C.
?
?,1
?
D.
?
?,1
?

?
4
??
4
??
2
??
2
?







例10. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B 产品.车间加工一箱
原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克 A产品获利40元.乙车间
加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获 利50元.
甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和
不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为
（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
3
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（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱



【本课总结】

线性规划是不等式和直线与方程的综合应用，是数形结合的和谐载体 ，也是高考中的重
要考点，近几年的高考题中考查的频率较高，一般以考查基本知识和方法为主，属于基 础类
题，难度一般不高.
1. 解决线性规划问题有一定的程序性：
第一步：确定由二元一次不等式表示的平面区域；
第二步：令z=0画直线
l
0
:ax?by?0
；
az< br>第三步：平移直线
l
0
寻找使直线
y??x?
截距取最值（最 大或最小）的位置（最优
bb
解）.
第四步：将最优解坐标代入线性目标函数
z?ax?by
求出最值

2. 解决线性规划问题要特别关注线性目标函数
z?ax?by
中b的符号，若b＞0
，则使函
az
数
y??x?
的截距取最大（小）值的点， 可使目标函数
z?ax?by
取最大（小）值，
bb
az
若
b?0
，则使函数
y??x?
的截距取最大（小）值的点，可使目标函数
z? ax?by
bb
取最小（大）值，
b?0
的情况是很多同学容易出现的盲点.
3. 线性规划问题要重视数形结合思想 的运用，善于将代数问题和几何问题相互转化，由线
性规划问题引申的其它数形结合题目也要灵活掌握， 如：将平面区域条件引申为：
x
2
?y
2
?2x?4y?0
表示圆面等，将目标函数引申为：
z?x
2
?y
2
?2x?4y表示动
点到定点的距离的最值问题；
z?
y?2
表示动点与定点连线的斜 率的最值问题等.
x?1
4. 线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线 围成的区域）则一般在区域
顶点处取得最大或最小值


5. 线性规划中易错点提示
（1）忽视平面区域是否包括边界.一般最优解都处于平面区域的边界顶点处， 若平面区域
不包含边界，则可能不存在最值.
（2）忽视对线性目标函数
z?ax?by
中b的符号的区分.
4
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（3）代数问题向其几何意义的转化困难.


【活学活用】

1. [难度] 中
?
x?y?0
?
2x?y?2
?
若不等式组
?
表示的平面区域是一个三角 形，则a的取值范围是（ ）
?
y?0
?
?
x?y?a

A.
?
,??
?
B.
?
0,1
?

C.
?
1,
?
D.
?
0,1
?
33

2. [难度] 中
?
4
?
?
?
?
4
?
??
?
4
?
,??
?

?
3
??
?
x? y
≥
?1，
?
设变量
x，y
满足约束条件
?
x?y
≥
1，
则目标函数
z?4x?y
的最大值为（ ）
?
3x?y?3．
?
A．4

3. [难度] 中
B．11 C．12 D．14
?
x?y?2?0,
y
?
则
的取值范围是（ ） 已知变量x、y满足约束条件
?
x?1,
x
?
x?y?7?0 ,
?
A．
?
,6
?
B．
?
??,
?
∪
?
6,??
?
C．
?
??,3
?
∪
?
6,??
?
D．[3，6]
55
?
9
?
?
?
?
?< br>9
?
?



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