雅礼高中数学特级教师-高中数学卷子高三刷题文科
专题10.1圆的方程(精讲精析篇)
提纲挈领
点点突破
热门考点01 圆的方程
1.圆的定义:在平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.
2.圆的标准方程
(1) 若圆的圆心为C(a,b),半径为r,则该圆的标准方程为:
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
(2) 方程
(x?a
)
2
?(y?b)
2
?r
2
表示圆心为C(a,b),半径
为r的圆.
3.圆的一般方程
(1)任意一个圆的方程都可化为:
x
2<
br>?y
2
?Dx?Ey?F?0
.这个方程就叫做圆的一般方程.
(2)
对方程:
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
.
①
若
D
2
?E
2
?4F?0
,则方程表示以
(?D
2
,
?
E
2
)
为圆心,
1
2
D
2
?E
2
?4F
为半径的圆;
②若
D
2
?E
2
?4F?0
,则方程只表示一个点
(?
D
2
,
?
E
2
)
;
③若
D2
?E
2
?4F?0
,则方程不表示任何图形.
4.点
A(x
0
,y
0
)
与⊙C的位置关系 (1)|AC|
222
0
-a)+(y
0
-b)?r
;
(2)|AC|=r?点A在圆上?
(x
222<
br>0
-a)+(y
0
-b)?r
;
1
222
(3)|AC|>r?点A在圆外?
(x
0
-a)+(y
0
-b)?r
.
【典例1】(2018·天津高考真题(文))在平面直角 坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的
方程为__________. 【典例
2
】(2013·江西高考真题(文))若圆
C
经过坐标原点和点 (4,0),且与直线
y
=1相切,则圆
C
的方
程是_______ __.
【典例3】(2019·云南高三月考(文))古希腊数学家阿波罗尼奧斯(约公元前262~ 公元前190年)的著
作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,他证明过这样一个命题:平面内与 两定点距离的比为常数
k
(
k
>0,
k
≠1)的点的轨迹是 圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中,设
A
(﹣3,0),
B< br>(3,0),动点
M
满足
A.(
x
﹣5)
2
+
y
2
=16
C.(
x
+5)
2
+
y
2
=16
【总结提升】
|MA|
=2,则动点
M
的轨迹方程为( )
|MB|
B.
x
2
+(
y
﹣5)
2
=9
D.
x
2
+(
y
+5)
2
=9
1.求圆的方程,主要有两种方法:
(1)几何法:具体过程中要用到初中有关圆的一些常用 性质和定理.如:①圆心在过切点且与切线垂直的直
线上;②圆心在任意弦的中垂线上;③两圆相切时, 切点与两圆心三点共线.
(2)待定系数法:根据条件设出圆的方程,再由题目给出的条件,列出等式 ,求出相关量.一般地,与圆心
和半径有关,选择标准式,否则,选择一般式.不论是哪种形式,都要确 定三个独立参数,所以应该有三
个独立等式.
2.求轨迹方程的常见方法有:①直接法,设 出动点的坐标
?
x,y
?
,根据题意列出关于
x,y
的等式 即可;②定
义法,根据题意动点符合已知曲线的定义,直接求出方程;③参数法,把
x,y分别用第三个变量表示,消
去参数即可;④逆代法,将
{
x
0
? g
?
x
?
y
0
?h
?
x
?
代入
f
?
x
0
,y
0
?
?0
. 本题就是利用方法④求
M
的轨迹方程的.
热门考点02 圆的方程综合应用
1. 圆的标准方程为:
(x?a)?(y?b)?r
22
2.圆 的一般方程.:
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D?E?4F?0
). 22
222
3.点
P
0
(x
0
,y
0
)
到直线
l:Ax?By?C?0
的距离:
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
.
2
【典例4】(2016高考天津文)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点
M(
0,5)
在圆C上,且圆心到直线
2x?y?0
的距离为
45
,则圆
C的方程为__________.
5
【典例
5
】(2019·天津南开中
学高考模拟)已知直线
ax?by?6?0
?
a?0,b?0
?
被圆
x
2
?y
2
?2x?4y?0
截得的弦长为
25<
br>,则
ab
的最大值为________.
【典例6】设圆满足:①截y轴所得
弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长之比为3:1;③圆心到直线
l:x?2y?0
的距
离为
【总结提升】
5
,求该圆的方程.
5
注意应用圆的几何性质:
① 心在过切点且与切线垂直的直线上;
②圆心在任一弦的垂直平分线上.
热门考点03 直线与圆相切
1.
直线与圆相切:直线与圆有且只有一个公共点;
2.圆的切线方程的两种求法
(1)代数法:设切线方程为
y
-
y
0
=
k
(
x
-
x
0
),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次
方程,然后
令判别式
Δ
=0进而求得
k
.
(2)几何法:
设切线方程为
y
-
y
0
=
k
(
x
-
x
0
),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离
d
,然
后令
d
=
r
,进而求出
k
.
【典例
7<
br>】(2019·浙江高考真题)已知圆
C
的圆心坐标是
(0,m)
,半
径长是
r
.若直线
2x?y?3?0
与圆
相切于点
A(?2
,?1)
,则
m?
_____,
r?
______.
【典
例8】(2015·江苏高考真题)在平面直角坐标系中,以点为圆心且与直线
相切的所有圆中,半径最
大的圆的标准方程为
【总结提升】
判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法:几何法:圆心到直线的距离等于半径,即
d?r
;
(2)
代数法:联立方程组,消元得一元二次方程之后利用Δ判断.
??0
,方程组有一组不同的解.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.
提醒:上述方法中最常用的是几何法.
3
热门考点04
直线与圆相交及弦长
1.直线与圆相交:直线与圆有两个公共点;
2.几何法:圆心到直线的距离小于半径,即
d?r
;
3.代数法:
??0
,方程组有两组不同的解.
B
两点,则【典例
9
】(2018·全国高考真题(文))直线
y?x?1
与圆
x?y
?2y?3?0
交于
A,
22
AB?
________.
【典例10】(2016·全国高考真题(理))已知直线:
点,过,分别作的垂线与轴交于,两点,若
,则
与圆
__________.
交于,两
【典例11】(2019·江苏
高三)已知圆O:
x
2
+
y
2
=4和圆O外一点P(
x
0
,
y
0
),过点P作圆O的两条切线,
切点分别为A
,B,且∠AOB=120°.若点C(8,0)和点P满足PO=
?
PC,则
?的范围是_______.
【总结提升】
1.弦长的两种求法
(1)代数方
法:将直线和圆的方程联立方程组,消元后得到一个一元二次方程.在判别式
Δ
>0的前提下,
利用根与系数的关系,根据弦长公式求弦长.
(2)几何方法:若弦心距为
d
,圆的半径长为
r
,则弦长
l
=2
r
-
d
.
2.已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时,可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系
的判断条
件建立不等式进行解决.
22
热门考点
05
圆与圆的位置关系
设两圆的圆心分别为
C
1
、
C
2
,圆心距为
d?C
1
C
2
,半径分别为
R
、
r
(
R?r
).
(1)两圆相离:无公共点;
d?R?r
,方程组无解.
(2)两圆外切:有一个公共点;
d?R?r
,方程组有一组不同的解.
(3)两圆相交:有两个公共点;
R?r?d?R?r
,方程组有两组不同的解.
(4)两圆内切:有一公共点;
d?R?r
,方程组有一组不同的解.
(5
)两圆内含:无公共点;
0?d?R?r
,方程组无解.特别地,
d?0
时,
为两个同心圆.
【典例12】(江苏高考真题)在平面直角坐标系
xOy
中,圆C
的方程为
x
2
?y
2
?8x?15?0
,若
直线
y?kx?2
上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆
C
有公共点,则
k
的最大值为__________.
【典例13】(2019·天津
耀华中学高三月考)已知圆
x?y?12
与圆
x
2
?y
2<
br>?x?3y?6?0
交于A,B
22
4
两
点,过A,B分别作直线AB的垂线,与
x
轴分别交于C,D两点,则
CD?
__________.
【总结提升】
1.
判断两圆位置关系的方法
常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系,一般不用代数法.
2
.两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长,先求出公共弦所在直线的方程,转化为直线与圆相交的弦长问题.
3.
比较两圆半径的和、差与两圆圆心距的大小可得两圆的位置关系;
4.
两圆方程相减即得公共弦方程;
5.
公共弦长要通过解直角三角形获得.
热门考点06
直线、圆的位置关系的综合应用
【典例14】(2018·全国高考真题(文))直线
x?y
?2?0
分别与
x
轴,
y
轴交于
A
,
B<
br>两点,点
P
在圆
?
x?2
?
2
?y
2
?2
上,则
△ABP
面积的取值范围是( )
8
?
B.
?
4,
32
?
C.
?
?
2,
?
32
?
D.
?
?
22,
?
A.
?
2,6
?
【典例15】(2019·江苏高三开学考试(文
))在平面直角坐标系
xOy
中,己知圆
C:x
2
?y
2<
br>?2x?4y?F?0
,且圆
C
被直线
x?y?3?2?0
截
得的弦长为2.
(1)求圆
C
的标准方程;
(2)若圆
C
的切线
l
在
x
轴和
y
轴上的截距相等,求切线
l
的方程;
(3)若圆
D:(x?a)?(y?1)?2
上存在点
P
,由点
P
向圆
C
引一条切线,切点为
M
,且满足<
br>22
PM?2PO
,求实数
a
的取值范围.
【总结提升】
直线与圆的位置关系常用处理方法:
(1)直线与圆相切处
理时要利用圆心与切点连线垂直,构建直角三角形,进而利用勾股定理可以建立等量
关系;
(2)直线与圆相交,利用垂径定理也可以构建直角三角形;
(3)直线与圆相离时,当过圆心作直线垂线时长度最小.
巩固提升
1.(重庆高
考真题(文))圆心在
y
轴上,半径为
1
,且过点
(1,2)
的圆的方程为( )
5
A.
x?(y?2)?1
C.
(x?1)?(y?3)?1
22
22
B.
x?(y?2)?1
D.
x?(y?3)?1
22
22
22
2.(2
013·安徽高考真题(文))直线
x?2y?5?5?0
被圆
x?y?2x?4y?
0
截得的弦长为( )
A.1 B.2 C.4 D.
46
22
3.(2015·广东高考真题(理))(5分)(2015?广东)平行于直线2x+y+1=0
且与圆x+y=5相切的直线的方
程是( )
A.2x+y+5=0或2x+y﹣5=0
B.2x+y+
C.2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0
D.2x﹣y+
=0或2x+y﹣
=0或2x﹣y﹣
=0
=0
2
2
4.(2015·重庆高考真题(理))已知直线
l
:
x?ay?1?0(
a?R)
是圆
C:x?y?4x?2y?1?0
的对
称轴.过点
A(
?4,a)
作圆
C
的一条切线,切点为
B
,则
|AB|?<
br>( )
A.2 B.
42
C.6 D.
210
<
br>22
5.(2015·山东高考真题(理))一条光线从点
?
?2,?3
?
射出,经
y
轴反射后与圆
?
x?3
?
?
?
y?2
?
?1
相
切,则反射光线所在直线的斜率为(
)
A.
?
55
或
?
33
B.
-
3
3
或
?
2
5
C.
?
2
22
或
?
33
2
D.
?
55
或
?
44<
br>2
6.(2019·重庆高二月考)点
M
?
x,y
?
为圆
x?y?4
上任意一点,则
x
2
?
?
y?3<
br>?
的最小值为( )
A.4 B.2 C.
5
D.1 7.(2019·云南师大附中高三月考(文))若直线
x?y?a?0
平分圆
x
2
?y
2
?2x?4y?1?0
,则
a
的值为( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
8.(2019·江西洪都中学高
二月考(文))已知直线
y??x?m
与曲线
y??x
2
?2x有两个不同交点,
则( ).
A.
0?m?2?1
2?1
B.
0?m?
D.
0?m?
2
2?1
2?1
C.
?2?1?m?
9.(2019·上海市高境第一中学高二期中
)若圆
C
1
:x
?y
2
?2x?4y?0
与圆
C
2
关于直线
y?x
对称,则
6
圆
C
2
的方程是( )
A.
(x?2)?(y?1)?5
C.
(x?2)?(y?1)?5
22
22
B.
(x?2)
2
?(y?1)
2
?5
D.
(x?2)
2
?(y?1)
2
?5
10.(2019·上海高三)若对于任意角
?
,都有
xcos
?
?
(y?2)sin
?
?1
,则直线
l:xcos
?
?(y?
2)sin
?
?1
围成的正多边形的最小面积是( )
A.
23
B.4 C.
33
D.不确定
11.(广东
高考真题(文))以点(2,-1)为圆心且与直线
x
+
y
=6相切的圆的方
程是________________.
12.(2015·重庆高考真题(文))若点
P
(1,2)
在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点
P
处的切线方程为
___
_______.
22
13.(2019·江西洪都中学高二月考(文))圆
C1
:x?y?4x?3?0
与圆
C
2
:
?
x?
1
?
?
?
y?4
?
?a
恰有
22
三条公切线,则实数
a
的值是______.
14.(2019·上海复旦附中高二
期中)直线
l
与圆
(x?5)
2
?y
2
?4
相切,且
l
在两坐标轴上截距的绝对值相
等,这样的直线
l
共有_
_______条.
15.(2015·湖北高考真题(文))如图,已知圆与轴相切于点
(B在A的上方),且.
,与轴正半轴交于两点A,B
(Ⅰ)圆的标准方程为_________;
(Ⅱ)圆在点处的切线在轴上的截距为_________.
16.(2019·全国高三(
理))唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍
交河
.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先
到河边饮马再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系
xOy
中,设军营
所在平面区域为
{(x,y)|x
2
+y
2
≤
9
3
1
},河岸线所在直线方程为x+2y-4=0
.
假定将军从点
P<
br>(,)处出发,只要到达军营所在区
4
2
2
7
域即回到军营,当将军选择最短路程时,饮马点
A
的纵坐标为______.最短 总路程为______
专题10.1圆的方程(精讲精析篇)
提纲挈领
点点突破
热门考点01 圆的方程
1.圆的定义:在平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.
2.圆的标准方程
(1) 若圆的圆心为C(a,b),半径为r,则该圆的标准方程为:
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
(2) 方程
(x?a )
2
?(y?b)
2
?r
2
表示圆心为C(a,b),半径 为r的圆.
3.圆的一般方程
(1)任意一个圆的方程都可化为:
x
2< br>?y
2
?Dx?Ey?F?0
.这个方程就叫做圆的一般方程.
(2) 对方程:
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
.
① 若
D
2
?E
2
?4F?0
,则方程表示以
(?DE
1
2
,
?
2
)
为圆心,
2
D
2
?E
2
?4F
为半径的圆;
②若
D
2
?E
2
?4F?0
,则方程只表示一个点
(?
D
2
,
?
E
2
)
;
8
③若
D?E?4F?0
,则方程不表示任何图形.
4.点
A(x
0
,y
0
)
与⊙C的位置关系 222
(1)|AC|
0
-a)+(y
0
-b)?r
;
222
(2)|AC|=r?点A在圆上?
(x<
br>0
-a)+(y
0
-b)?r
;
222
(3)|A
C|>r?点A在圆外?
(x
0
-a)+(y
0
-b)?r
.
22
【典例1】(2018·天津高考真题(文))在平面直角坐标系中,经过三点(0,
0),(1,1),(2,0)的圆的
方程为__________.
【答案】
x?y?2x?0
【解析】
设圆的方程为
x?
y?Dx?Ey?F?0
,圆经过三点(0,0),(1,1),(2,0),则:
2222
F?0
??
D??2
??
22
1?1?D?E?F
?0
,解得:
??
E?0
,则圆的方程为
x?y?2x?0
.
?
4?0?2D?F?0
?
F?0
??
【典例
2
】(2013·江西高考真题(文))若圆
C
经过坐标原点和点(4,0),且与直
线
y
=1相切,则圆
C
的方
程是_________.
【答案】(
x
-2)+(
y
+)=
【解析】
设
圆的圆心坐标,半径为,因为圆经过坐标原点和点,且与直线相切,所以
22
,解得,所求圆的
方程为,故答案为
.
【典例3】(2019·云南高三月考(文))古希腊数学家阿波罗尼奧
斯(约公元前262~公元前190年)的著
作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,他证明过这
样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数
k
(
k
>0,
k
≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中,设
A
(﹣3
,0),
B
(3,0),动点
M
满足
|MA|
=2,则动点
M
的轨迹方程为( )
|MB|
9
A.(
x
﹣5)
2
+
y
2
=16
C.(
x
+5)+
y
=16
【答案】A
【解析】
设
M
?
x,y
?
,由
22B.
x
2
+(
y
﹣5)
2
=9
D.
x
+(
y
+5)=9
22
MA
MB
x?3
?
?y
2
?
?2
,得
2
?
x?3
?
?y
2
2
?4
,
可得:(x
+3)
2
+
y
2
=4(
x
﹣3)<
br>2
+4
y
2
,
即
x
2
﹣10
x
+
y
2
+9=0
整理得
?
x?5
?
?y
2
?16
,故动点
M
的轨迹方程为
?
x?5
?
?y
2
?16
.选
A
.
【总结提升】
1.求圆的方程,主要有两种方法: <
br>(1)几何法:具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.如:①圆心在过切点且与切线垂直的
直
线上;②圆心在任意弦的中垂线上;③两圆相切时,切点与两圆心三点共线.
(2)待定系
数法:根据条件设出圆的方程,再由题目给出的条件,列出等式,求出相关量.一般地,与圆心
和半径有
关,选择标准式,否则,选择一般式.不论是哪种形式,都要确定三个独立参数,所以应该有三
个独立等
式.
2.求轨迹方程的常见方法有:①直接法,设出动点的坐标
?
x,y
?
,根据题意列出关于
x,y
的等式即可;②定
义法,根据题意动点符合已知
曲线的定义,直接求出方程;③参数法,把
x,y
分别用第三个变量表示,消
去参数即
可;④逆代法,将
{
22
x
0
?g
?
x
?
y
0
?h
?
x
?
代入
f
?
x
0
,y
0
?
?0
.本题就是利用方法④求
M<
br>的轨迹方程的.
热门考点02 圆的方程综合应用
1.
圆的标准方程为:
(x?a)?(y?b)?r
22
2.圆的一般方程.:
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D?E?4F?0
).
22
222
3.点
P
0
(x
0
,y
0
)到直线
l:Ax?By?C?0
的距离:
d?
Ax
0
?
By
0
?C
A?B
22
.
【典例4】(2016高考天津
文)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点
M(0,5)
在圆C上,且圆心到直线
2x
?y?0
的距离为
45
,则圆C的方程为__________.
5
10
【答案】
(x?2)
2
?y
2
?9.
【解析】设
C(a,0),(a?0)
,则
|2a|45
??a?2,r?2
2
?5?3
,故圆C的方程为(x?2)
2
?y
2
?9.
5
5
【
典例
5
】(2019·天津南开中学高考模拟)已知直线
ax?by?6?0
?
a?0,b?0
?
被圆
x
2
?y
2
?2
x?4y?0
截得的弦长为
25
,则
ab
的最大值为_______
_.
【答案】
9
2
【解析】
圆
x?y?2x?4y?0
可化为
(x?1)?(y?2)?5
,
则圆心为
?
1,2
?
,半径为
r?
2222
5
,
又因为直线
ax+by?6=0
?
a?0,b?0
?
被圆
x?y?2x?4y?0
截得的弦长为
25?2r
,
所以直线
ax+by?6=0
?
a?0,b?0
?
过圆心,即
a?2b?6?0
,
化为
a?2b?6,a?0,b?0
,
22
?6?a?2b?22ab
,当且仅当
a?2b
时取等号,
9
99
?ab?,?ab
的最大值为,故答案为.
2
22
【典例6】设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长之比为3:1;③圆心到
直线
l:x?2y?0
的距离为
2
5
,求该圆的方程.
5
222
【答案】
(x?1)?(y?1)?2
或
(x?1)?(y?
1)?2
22
【解析】设圆心为
(a,b)
,半径为r,由条件①
:
r?a?1
.
2222
由条件②:
r?2b
,从而有:
2b?a?1
.
由条件③:
|a?2b|5
??|a?2b|?1
.
5
5
?
2b
2
?a
2
?1
?
a?1
?
a??1
22
解方程组
?
可得:
?
或
?<
br>,所以
r?2b?2
.
?
b?1
?
b??1
?
|a?2b|?1
11
故所求圆的方程是
(x?1)?(y?1)?2
或(x?1)?(y?1)?2
.
【总结提升】
注意应用圆的几何性质:
② 心在过切点且与切线垂直的直线上;
②圆心在任一弦的垂直平分线上.
2222
热门考点03 直线与圆相切
1.
直线与圆相切:直线与圆有且只有一个公共点;
2.圆的切线方程的两种求法
(1)代数法:设切线方程为
y
-
y
0
=
k
(
x
-
x
0
),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次
方程,然后
令判别式
Δ
=0进而求得
k
.
(2)几何法:
设切线方程为
y
-
y
0
=
k
(
x
-
x
0
),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离
d
,然
后令
d
=
r
,进而求出
k
.
【典例
7<
br>】(2019·浙江高考真题)已知圆
C
的圆心坐标是
(0,m)
,半
径长是
r
.若直线
2x?y?3?0
与圆
相切于点
A(?2
,?1)
,则
m?
_____,
r?
______.
【答案】
m??2
r?
【解析】
可知
k
AC
??
5
11
?AC
:y?1??(x?2)
,把
(0,m)
代入得
m??2
,此时r?|AC|?4?1?5
.
22
中,以点为圆心且与直线【典例8】(201
5·江苏高考真题)在平面直角坐标系
相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为
【答案】
【解析】
由题意得:半径等于
最大为,所求圆为
,当且仅当时取等号,所以半径
【总结提升】
判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法:几何法:圆心到直线的距离等于半径,即
d?r
;
(2)
代数法:联立方程组,消元得一元二次方程之后利用Δ判断.
??0
,方程组有一组不同的解.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.
12
提醒:上述方法中最常用的是几何法.
热门考点04
直线与圆相交及弦长
1.直线与圆相交:直线与圆有两个公共点;
2.几何法:圆心到直线的距离小于半径,即
d?r
;
3.代数法:
??0
,方程组有两组不同的解.
B
两点,则【典例
9
】(2018·全国高考真题(文))直线
y?x?1
与圆
x2
?y
2
?2y?3?0
交于
A,
AB?
__
______.
【答案】
22
【解析】
根据题意,圆的方程可化为
x?(y?1)?4
,
所以圆的圆心为
(0,?1)
,且半径是
2
,
根据点到直
线的距离公式可以求得
d?
22
0?1?1
1?(?1)
22
?2
,
结合圆中的特殊三角形,可知
AB?24?2?22
,故答案为<
br>22
.
【典例10】(2016·全国高考真题(理))已知直线:
点,过,
分别作的垂线与轴交于,两点,若
【答案】4
【解析】
因为,且圆的半径为,所以
圆心到直线的距离为
,则
与圆
__________.
交于,两
,
则由,解得,代入直线的方程,得,所以直线的倾
斜角为,由平面几何知识知在梯形中,.
故答案为4
【典例11】(2019·江苏高三)已知圆O:
x
2
+
y
2
=4和圆O外一点P(
x
0
,
y
0
),过点P作圆O的两条切线,
切点分别为A,B,且∠AOB=120°.若点C(8,0)
和点P满足PO=
?
PC,则
?
的范围是_______.
13
【答案】
?
,1
?
.
【解析】
?
1
?
?
3
?
Q
?A
OB?120
,
OA?OB?2
?PO?
o
AO
22
x?y?16
?4
,即
00
o
cos60
又
PC?
?
x
0<
br>?8
?
?
2
2
2
2
?
2
?
?
?
x?8?y
0
?16
且
?
?0
??
且
PO?
?
PC
?y
0
??
2
0
解得:
x
0
?
5
?
2<
br>?1
?5?
1
?
2
22
Qx
0
?y
0
?16
??4?x
0
?4
??4?5?
?
1
?
?
?,1
?
?4
,解得:
?
3
?
2
??
1
本题正确
结果:
?
,1
?
【总结提升】
1.弦长的两种求法 <
br>(1)代数方法:将直线和圆的方程联立方程组,消元后得到一个一元二次方程.在判别式
Δ>0的前提下,
利用根与系数的关系,根据弦长公式求弦长.
(2)几何方法:若弦心距
为
d
,圆的半径长为
r
,则弦长
l
=2
r
-
d
.
2.已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时,可根据数形结合思想利用
直线与圆的位置关系的判断条
件建立不等式进行解决.
22
?
1
?
?
3
?
热门考点
05
圆与圆的位置关系
设两圆的圆心分别为
C
1
、
C
2
,圆心距为
d?C
1
C
2
,半径分别为
R
、
r
(
R?r
).
(1)两圆相离:无公共点;
d?R?r
,方程组无解.
(2)两圆外切:有一个公共点;
d?R?r
,方程组有一组不同的解.
(3)两圆相交:有两个公共点;
R?r?d?R?r
,方程组有两组不同的解.
(4)两圆内切:有一公共点;
d?R?r
,方程组有一组不同的解.
(5
)两圆内含:无公共点;
0?d?R?r
,方程组无解.特别地,
d?0
时,
为两个同心圆.
【典例12】(江苏高考真题)在平面直角坐标系
xOy
中,圆C
的方程为
x
2
?y
2
?8x?15?0
,若
直线
y?kx?2
上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆
C
有公共点,则
k
的最大值为__________.
【答案】
4
3
14
【解析】
∵圆C的方程为x+y-8x
+15=0,整理得:(x-4)+y=1,即圆C是以(4,0)为圆心,1为半径的圆;又直
线y=
kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,∴只需圆C:(x-4)+y=4
与直线y=kx-2有公共点即可.设圆心C(4,0)到直线y=kx-2的距离为d,
d?
′22
2222
4k?2
1?k
2
?2
即3k2
≤4k,
∴0≤k≤
44
,故可知参数k的最大值为.
33
【典例13】(2019·天津耀华中学高三月考)已知圆
x
2
?y
2
?12
与圆
x
2
?y
2
?x?3y?6?0交于A,B
两点,过A,B分别作直线AB的垂线,与
x
轴分别交于C,D两点,
则
CD?
__________.
【答案】4
【解析】
??
?
?
x
2
??3
?
x
2
?
y
2
?x?3y?6?0
?
x
1
?0
联立方程组<
br>?
,解得
?
或
?
,
22
y?3
y
?23
x?y?12
?
?
?
?
?
2
?1
即
A0,23,B?3,3
,
k
AB
?
??
?
?
?
3
3
可得过
A0,23
且垂直于
l
的直线方程为:
y??3x?23
,所以
y?0
,解得<
br>x?2
,
过
B?3,3
且垂直于
l
的直线方程为:
y??3x?23
,所以
y?0
,解得
x??2
,
所以
CD?2?2?4
.
故答案为4.
【总结提升】
1.
判断两圆位置关系的方法
常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系,一般不用代数法.
2
.两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长,先求出公共弦所在直线的方程,转化为直线与圆相交的弦长问题.
3.
比较两圆半径的和、差与两圆圆心距的大小可得两圆的位置关系;
4.
两圆方程相减即得公共弦方程;
5.
公共弦长要通过解直角三角形获得.
??
?
热门考点06 直线、圆的位置关系的综合应用
15
【典例14】(2018·全国高考真题(文))直线
x?y?2?0
分别与
x
轴,
y
轴交于
A
,
B
两点,点<
br>P
在圆
?
x?2
?
2
?y
2
?2<
br>上,则
△ABP
面积的取值范围是
8
?
B.
?<
br>4,
32
?
C.
?
?
2,
?
32
?
D.
?
?
22,
?
A.
?
2,6
?
【答案】A
【解析】
Q<
br>直线
x?y?2?0
分别与
x
轴,
y
轴交于
A
,
B
两点
?A
?
?2,0
?
,B?
0,?2
?
,则
AB?22
2
Q
点P在圆
(x?2)?y
2
?2
上
?
圆心为(2,0),则圆心到直线距离
d
1
?
2?0?2
2
?22
?
故点P到直线
x?y?2?0
的距离
d
2
的范围为
?
?
2,32
?
则
S
V
ABP
?
1
ABd
2
?2d
2?
?
2,6
?
2
故答案选A.
【典例15
】(2019·江苏高三开学考试(文))在平面直角坐标系
xOy
中,己知圆
C:x
2
?y
2
?2x?4y?F?0
,且圆
C
被直线<
br>x?y?3?2?0
截得的弦长为2.
(1)求圆
C
的标准方程;
(2)若圆
C
的切线
l
在
x
轴和
y
轴上的截距相等,求切线
l
的方程;
(3)若圆
D:(x?a)?(y?
1)?2
上存在点
P
,由点
P
向圆
C
引一条切线,
切点为
M
,且满足
22
PM?2PO
,求实数
a
的
取值范围.
22
【答案】(1)
(x?1)?(y?2)?2
;(2)y=2+6x
或
y=2-
(
)
(
6x
或
x?y?3?0
或
x?y?1?0
;
)
(3)
?2?a?
4
【解析】
(1)圆
C
方程可整理为:
?
x?
1
?
?
?
y?2
?
?5?F
?F?5
22
?
圆
C
的圆心坐标为
C<
br>?
?1,2
?
,半径
r?5?F
16
?
圆心
C
到直线
x?y?3?2?0
的距离
:
d?
?1?2?3?2
2
?1
?
截得的弦长为
:
2r
2
?d
2
?25?F?1?2
,解得:
F?
3
?
圆
C
的标准方程为:
?
x?1
?<
br>?
?
y?2
?
?2
(2)①若直线
l过原点,可假设直线
l
方程为:
y?kx
,即
kx-y=0
22
Q
直线
l
与圆相切
?
圆心到直
线距离
d?
?k?2
k?1
2
?r?2
,解得:
k
?2?6
?
切线
l
方程为:
y?2?6x
②若直线
l
不过原点,可假设直线
l
方程为:
??
xy
??1
,即
x?y?a?0
aa
?
圆心到直线距
离
d?
?1?2?a
2
?r?2
,解得:
a??1
或
3
?
切线
l
方程为
x?y?1?0
或
x?y?3?0
综上所述,切线
l
方程为
y?2?6x<
br>或
x?y?1?0
或
x?y?3?0
(3)假设
P
?
x,y
?
??
QPM?
2PO
,即
PM
2
?2PO
2
又直线
PM
与圆
C
相切,切点为
M
?PM
2
?PC
2
?r
2
?PC
2
?2
?2PO
2
即:
2x?y
?
22
?
?<
br>?
x?1
?
?
?
y?2
?
2
22<
br>2
?2
,整理得:
?
x?1
?
?
?
y?2
?
?8
22
QP
又在圆
?
x?a
?
?
?
y?1
?
?2
上
?
两圆有公共点
?2?
?
1?a
?
?
?
?2?1
?
22
?32
,解得:
?2?a?4
即
a
的取值范围为:
?
?2,4
?
【总结提升】
直线与圆的位置关系常用处理方法:
(1)直线与圆相切处
理时要利用圆心与切点连线垂直,构建直角三角形,进而利用勾股定理可以建立等量
关系;
(2)直线与圆相交,利用垂径定理也可以构建直角三角形;
17
(3)直线与圆相离时,当过圆心作直线垂线时长度最小.
巩固提升
1.(重庆高考真题(文))圆心在
y
轴上,半径为
1
,且过点
(
1,2)
的圆的方程为( )
A.
x
2
?(y?2)
2
?1
C.
(x?1)
2
?(y?3)
2
?1
【答案】B
【解析】
∵圆心在
y
轴上,
C
项圆
心为
(1,3)
不合要求,排除选项
C
,又∵圆过点
(1,2),可排除选项
A
,
D
,只有
B.
x
2
?(y?2)
2
?1
D.
x
2
?(y?3)
2
?1
B
项符合题意,故选
B
.
2.(2013·安徽高考真题(文))
直线
x?2y?5?5?0
被圆
x?y?2x?4y?0
截得的弦长为(
)
A.1
【答案】C
【解析】
22
因为
x?y?2
x?4y?0
化为
?
x?1
?
?
?
y?2
?
?5
,可知圆的圆心为
1,2
,半径为
5
,圆心到直线<
br>22
B.2 C.4 D.
46
22
(
)
x?2y?5?5?0
的距离为
d?
1?2?2?5?5
5
?1,由勾股定理可得直线
x?2y?5?5?0
被圆
x
2
?y2
?2x?4y?0
截得的弦长为
25?1?4
,故选
D
.
3.(2015·广东高考真题(理))(5分)(2015?广东)平行于直线2x+y+1=
0且与圆x+y=5相切的直线的方
程是( )
A.2x+y+5=0或2x+y﹣5=0
B.2x+y+
C.2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D.2x﹣y+
【答案】A
【解析】
设所求直线方程为2x+y+b=0,则,
所以=,所以b=±5,
=0或2x+y﹣
=0或2x﹣y﹣
=0
=0
22
所以所求直线方程为:2x+y+5=0或2x+y﹣5=0
18
故选:A.
4.(2015·重庆高考真题(理))已知直线
l:
x?ay?1?0(a?R)
是圆
C:x?y?4x?2y?1?0
的
对
称轴.过点
A(?4,a)
作圆
C
的一条切线,切点为
B
,则
|AB|?
( )
A.2
【答案】C
【解析】
直线l过圆心,所以
a??1
,所以切线长
AB?(?4
)
2
?1?4?(?4)?2?1?6
,选C.
22
22
B.
42
C.6 D.
210
5.(2015·山东高考真题(理))一条光线从点
?
?2,?3
?
射出
,经
y
轴反射后与圆
?
x?3
?
?
?
y?
2
?
?1
相
切,则反射光线所在直线的斜率为( )
A.
?
55
或
?
33
B.
-
3
3
或
?
2
5
C.
?
22
或
?
33
D.
?
55
或
?
44
【答案】D
【解析】
由光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过
点
?
2,?3
?
,设反射光线所在直线的斜率为
k
,则反身
光线
所在直线方程为:
y?3?k
?
x?2
?
,即:
kx?y?2k?3?0
.
又因为光线与圆相切,
?
x?3
?<
br>?
?
y?2
?
?1
所以,
整理:
12k2
?25k?12?0
,解得:
k??
22
?3k?2?2k?
3
k?1
2
?1
,
43
,或
k??
,故选D.
34
22
2
6.(2019·重庆高二月考)点
M
?
x,y
?
为圆
x?
y?4
上任意一点,则
x
2
?
?
y?3
?
的最小值为( )
A.4
【答案】D
【解析】
B.2
C.
5
D.1
x
2
?
?
y?3
?看成是点
?
x,y
?
和点
?
0,3
?
之间的距离的平方,
2
而点
M
?
x,y
?
为圆<
br>x?y?4
上任意一点,
22
所以圆心
?
0,0
?
到点
?
0,3
?
的距离为
3
,圆的半径
r
=2
,
19
故圆上的点
M
?
x,y
?
到
?
0,3
?
的距离最小值为
3?2?1
,
所以其最小距离的平方也为
1
.
故选:D.
7.(
2019·云南师大附中高三月考(文))若直线
x?y?a?0
平分圆
x
2
?y
2
?2x?4y?1?0
,则
a
的值为
(
)
A.1
【答案】A
【解析】
因为直线
x?y?a?0平分圆
x
2
?y
2
?2x?4y?1?0
,
又圆的标准方程为
(x?1)?(y?2)?4
,
所以直线经过圆心
(1,?2)
,
22
B.-1 C.2
D.-2
1?2?a?0
所以
a?1
,
故选:A.
8.(2019·江西洪都中学高二月考(文))已知直线
y??x?m
与曲线
y??x
2
?2x
有两个不同交点,
则( ).
A.
0?m?2?1
2?1
B.
0?m?
D.
0?m?
2?1
2?1
C.
?2?1?m?
【答案】A
【解析】
曲线方程
y??x
2
?2x
可化为:
x
2
?2x?y
2
?0
?
?2?x?0
?
即
?
x?1
?
?y
2
?1
?
?2?x?0
?
.
2
故曲线
C
为如图所示的半圆:
20
当直线
y??x?m
与半圆相切时,圆心
?
?1,0
?
到该直线的距离
d?
?1?0?m
2
?1,
所以
m??1?2
或
m??1?2
(舍).
当直
线
y??x?m
过原点时,
m?0
,因为直线与半圆有两个不同的交点,
故
0?m?
故选:A.
9.(2019·上海市高境第一中学高二期中)若
圆
C
1
:x
圆
C
2
的方程是( )
A.
(x?2)?(y?1)?5
C.
(x?2)?(y?1)?5
【答案】A
【解析】
将
C
1
:x
2
22
22
2?1
.
2
?y
2
?2x?4y?0
与圆
C
2
关于
直线
y?x
对称,则
B.
(x?2)
2
?(y?1)
2
?5
D.
(x?2)
2
?(y?1)
2
?5
?y
2
?2x?4y?0
的方程化为标准式的
(x?1)
2
?(y?2)
2
?5
,
22
则圆
C
1
的
圆心坐标为
?
1,2
?
,半径为
5
,又圆
C
1
:
(x?1)?(y?2)?5
与圆
C
2
关于直线y?x
对称,
则圆
C
2
的圆心坐标为
?
2,1
?
,半径为
5
,即圆
C
2
的方程是
(x?
2)?(y?1)?5
,
22
故选:A.
10.(2019·上海高三)
若对于任意角
?
,都有
xcos
?
?(y?2)sin
?<
br>?1
,则直线
l:xcos
?
?(y?2)sin
?
?1
围成的正多边形的最小面积是( )
A.
23
B.4
C.
33
D.不确定
21
【答案】D
【解析】
由对于任意角
?
,都有
xcos
?
?(
y?2)sin
?
?1
,
2
?
到直线
xcos<
br>?
?(y?2)sin
?
?1
的距离为则点
P
?0,
1
cos
?
?sin
?
22
?1
,
2
?
为圆心,
1
为半径的圆的切线, 即此直线为以
?
0,
当三条切线如图所示时,则正三角形
ABC
的面积
S?
1233
,
??1?
233
3
,即选项A,B,C错误,
3
即存在直
线
l:xcos
?
?(y?2)sin
?
?1
围成的正多边
形的面积为
故选D.
11.(广东高考真题(文))以点(2,-1)为圆心且
与直线
x
+
y
=6相切的圆的方程是________________.
【答案】
x?y?4x?2y?
【解析】
圆心到直线的距离
D?r?
22
15
?0
22?1?6
2
?
5
25
22
,所以圆的方程为(x-2
)+(y+1)=
2
2
12.(2015·重庆高考真题(文))若点
P(
1,2)
在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点
P
处的切线方程为
____
______.
【答案】
x?2y?5?0
【解析】
22
1?11
1
???
2?0
由题意可得
??
和切线垂直,故切线的斜率为
k
??
2
,故切线的方程
为
y?2??
?
x?1
?
,
2
1?0
?<
br>即
x?2y?5?0
,故答案为:
x?2y?5?0
.
22
13.(2019·江西洪都中学高二月考(文))圆
C
1
:x?y?4x?
3?0
与圆
C
2
:
?
x?1
?
?
?
y?4
?
?a
恰有
22
三条公切线,则实数
a<
br>的值是______.
【答案】16
【解析】
因为两圆有三条公切线,故
eC
1
与
eC
2
相外切,
又
C
1
:
?
x?2
?
?y
2
?1
,故
C
1
?
2,0
?
,
R
1
?1
,而
C
2
?
?1,4
?
,
R
2
?a<
br>,
2
故
C
1
C
2
?3
2
?4
2
?5?1?a
,故
a?16
.
故答案为:
16
.
14.(2019·上海复旦附中高二期中)直线
l
与圆
(x?5)
2
?y
2
?4
相切,且
l
在两坐标轴上截距的绝对值相
等,这样的直线
l
共有________条
.
【答案】6
【解析】
因为圆
(x?5)
2
?y2
?4
的圆心坐标为
?
5,0
?
,半径
r=2
由
l
在两坐标轴上截距的绝对值相等,
(1)若截距相等(不为
0),可设
l:x?y?a
,因为直线
l
与圆
(x?5)
2
?y
2
?4
相切,
则有
5+0-a
1+1
22
=r=2
,解得
a=5?22
,此时直线有两条;
(2)若截距互为相反数,可设
l:x?y?a
,
则有
5-0-a
1+1
22
=r=2
,解得
a=5?22
,此时直线有两条
;
(3)若直线过原点,可设:
l:kx-y=0
,
则有
5k-
0
=r=2
,解得
k=?
221
,此时直线有两条;
21
k
2
+1
2
综上,满足条件的直线共有6条.
23
故答案为:6
15.(2015·湖北高考真题(文))如图,已知圆与轴相切于点
(B在A的上方),且.
,与轴正半轴交于两点A,B
(Ⅰ)圆的标准方程为_________;
(Ⅱ)圆在点处的切线在轴上的截距为_________.
【答案】(Ⅰ)
【解析】
设点的坐标为
径.又因为
,则由圆与轴相切于点
,所以
,
令得:.设圆在点处的切线方程为
,解之得.即圆在点处的切线方程为
,故应填
,则圆
心到其距离为:
,于是令
和
可得
.
,即
知,点的横坐标为,即
,所以圆的标准方程为
,半
;(Ⅱ).
,即圆在点处的切线在轴上的截距为
16.(2019·全国高三(理))唐代诗人李颀的诗《
古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍
交河
.
”诗中隐含着一个有趣
的数学问题——“将军饮马”,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先
到河边饮马再回到军营,怎
样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系
xOy
中,设军营所在平面区域为
{
(x,y)|x
2
+y
2
≤
9
3
1
},河
岸线所在直线方程为x+2y-4=0
.
假定将军从点
P
(,)处出发,只要
到达军营所在区
4
2
2
域即回到军营,当将军选择最短路程时,饮马点
A
的纵坐标为______.最短总路程为______
24
【答案】
68
55
730-15
10
【解析】
设
P
(<
br>3
2
,
1
2
)关于直线x+2y
-
4=0的
对称点为
P'
(
m
,
n
),
?
?
n?
1
?
2
?(?
1
)??1,
?
则<
br>?
?
m?
3
2
?
2
?
m?
21
,
解得
?
?
10
?
?
17
?
m?
3
2
n?
1
?
n?.
?<
br>2
?2?
2
2
?4?0,
?
10
因为从点<
br>P
到军营总路程最短,所以
A
为线段
OP'
与直线x+2y<
br>?
4
=
0的交点,
?
联立
?
17
?
y?
?
21
x,
得
y=
17
(4
?
2
y
),解得
y=
68
.
?
x?2
y?4?0,
21
55
所以“将军饮马”的最短总路程为
(
212
17
2
?
3
68
10
)?(
10<
br>)
2
=
730?15
10
,故答案为
55
,
730?15
10
.
25