高中数学 第二章 直线与平面的位置关系 知识点总结

第二章直线与平面的位置关系
1.平面含义：平面是无限延展的
2. 平面的画法及表示
0
（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成 45，且横边画成邻
边的2倍长（如图）
（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平 面α、平面β等，也可以用表示平面的
平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如 平面AC、平面ABCD等。
3 . 三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
符号表示为
D
A∈L
A
α
B∈L => L α

α
·

A
L
A∈α
B∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
A B
α
·

C
·

符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
·

使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们有且只有一条过该点的公共
直线。
β
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
P
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
α
·

L
4. 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
5.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b
=>a∥c
c∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
6.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
7.注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关 ，为简便，点O
一般取在两直线中的一条上；
?
(0， )； ② 两条异面直线所成的角θ∈
2
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
8. 直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
C
B

（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α
9. 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 则该直线与
此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
a α
b β => a∥α
a∥b
10.平面与平面平行的判定
(1) 两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面
平行。

符号表示：
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
(2) 判断两平面平行的方法有三种：
（i）用定义；
（ii）判定定理；
（iii）垂直于同一条直线的两个平面平行。
11. 定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平
行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：


a∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
12. 定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β

α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
13. 直线与平面垂直的定义
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂 直，记
作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
L

p
α

14.直线与平面垂直的判定定理：一条直线与 一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线
与此平面垂直。
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学
思想。
15. 二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α


16. 二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
17. 两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
18.定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
19. 性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。