生活中初 高中数学知识的案例-人教版a高中数学必修一电子课本
基本不等式的应用
一、忽视基本不等式探求最值成立条件“正”而致错 <
br>例1已知
y?a
x
?
a?0,a?1
?
是增函数,且
a
2
?a?6
?
a?Z
?
,求函数
f?
x
?
?x?
域.
错解易得
a?2
,
f
?
x
?
?x?
f
?
x
?
?x
?
2
,
x
a
的值
x
2
2
?22
,当且仅当
x?
,即
x?2
时等号成立.
x
x
a
的值域是
?
?
22,??
. x
所以函数
f
?
x
?
?x?
?
剖析本
题忽视了自变量
x
的范围,想当然地误认为
x?
?
0,??
?
,也忽视了应用基本不等
式求最值的前提条件.
实际上,当
x?0
时,
?x?0
,此时
?
?x
?
?
2
?2
2
,
?
?x
?
所以
f
?
x
?<
br>?x?
?
22
?
2
??
?
?
?x<
br>?
?
当且仅当
?x?
,即
x??2
时等号成立. <
br>?
??22
,
x?x
?x
??
??
???
故正确答案为
??,?22
?
?
?
?
22,
??
.
??
变式1实数
a,b
满足
ab?1
,则
a?b
的取值范围是.
答案
?
??,?2
?
?<
br>?
2,??
?
.
二、忽视基本不等式探求最值成立条件“定”而致错
例2已知
f
?
x
?
?x?
错解当
x?2<
br>时,
f
?
x
?
?x?
3
?
x?2<
br>?
,求
f
?
x
?
的最小值.
x?2
3
?0
,则
x?2
3
33
,当且
仅当
x?
,即
x?3
时等号成立,此时
f
?
x?
?6
.
?2x?
x?2x?2
x?2
所以
f
?
x
?
的最小值是6.
剖析应用基本不等式求最值时必须满足“
和为定值”或“积为定值”,本题解法中,
f
?
x
?
?x?
3
33
的右边不是定值,这样由
x?
得到的
x
对应的值一般
不是
?2x?
x?2x?2
x?2
最小值.
实际上,
f<
br>?
x
?
?x?
33
?
?
x?2
?<
br>??2?23?2
,
x?2x?2
当且仅当
x?2?
3
,即
x?2?3
时等号成立.
x?2
所以
f<
br>?
x
?
的最小值是
23?2
.
变式2实数
a?3
,则代数式
答案
?1
.
例3设
0?x?
3
,则
f
?
x
?
?4x
?
3?2x
?
的最大值是.
2
3
,则
4x?0,3?2x?0
,
2
4
?a
的最大值是.
a?3
错解由于
0?x?
所以
4x?
?
3?2x
?
2
?4x
?3?2x
?
,
2
2
?
4x?
?
3?
2x
?
?
?
2x?3
?
1
因此
f
?
x
?
?4x
?
3?2x
?
?
??
?
??
,当且仅当
4x?3?2x
,即
x?
时
2
2
??
?
2
?
?
2x?3
?
等号
成立,此时
f
?
x
?
?4x
?
3?2x
?
?
??
?4
.
?
2
?
2
所以<
br>f
?
x
?
?4x
?
3?2x
?
的最
大值是4.
?
2x?3
?
剖析本题解法中,
f
?
x
?
?4x
?
3?2x
?
?
??
的右边不
是定值,这样由
4x?3?2x
得
?
2
?
2
到的<
br>x
对应的值一般不是最大值.
?
2x?
?
3?2x
?
?
9
实际上,
f
?
x
?
?4x
?
3?2x
?
?2?2x
?
3?2x
?
?2???
?
,
2
??
2
当且仅当
2x?3?2x
,即
x?
3
时等号成立
4
9
.
22
所以
f
?
x
?
?4x
?
3?2x<
br>?
的最大值是
2
y
2
变式3设
x?0,y?0,x?
?1
,则
x1?y
2
的最大值是.
2
答案
32
.
4
三、忽视基本不等式探求最值成立条件“等”而致错
例4求函数
f
?
x
?
?
x
2
?a?1
x?a
2
?
x?0
?
的最小值.
1
x?a
2
错解
f
?
x
?
?
x
2
?a?1
x?a
2
?x
2
?a??2
,
当且仅当
x
2
?1?a
时,等号成立.
所以
f
?
x
?
的最小值是2.
剖析应用基本不等
式求最值时,
f
?
x
?
?2
的内涵是
f
?
x
?
?2
或者
f
?
x
?
?2,
但是,2是不是最小值取决于
f
?
x
?
?2
是否成立,如果只有
f
?
x
?
?2
,
f
?
x
?
?2
是正确的,
那么2就不是最小值.
实际上,(1
)当
a?1
时,当且仅当
x?1?a
时,等号成立,所以
f
min
?2
.
(2)当
a?1
时,令
t?x
2<
br>?a?a?1
,则:
1
a,??
单调递增.
?t?
在
t?
?
?
2
t
x?a
1
f
?
x
?
?
x
2
?a?1
x
2
?a<
br>?x
2
?a?
?
∴当
t?a
,即
x?0时,
f
min
?a?
1a?1
.
?
aa故函数
f
?
x
?
?
x?a?1
x?a
2
2
?
x?0
?
的最小值为
f
min
?<
br>2
?
a?1
?
?
?
?
a?1
.
a?1
??
?
a
?
变式4函数
f
?<
br>x
?
?
x
2
?5
x?4
2
?
x?0
?
的最小值是.
答案
5
.
2
四、忽视基本不等式探求最值成立条件“正-定-等”的顺序而致错
8
例
5当
x?0
时,求函数
f
?
x
?
?x
2<
br>?
的最小值.
x
8
错解因为
x?0
,
x<
br>2
?0,?0
,则
x
f
?
x
?
?
x
2
?
8
?28x?42x
,
x
当且仅当
x
2
?
8
,即
x?2
时,等号成立,此时
f?
x
?
?8
x
8
?
x?0
?
的最小值为
8
.
x
故函数
f
?
x
?
?x
2
?
剖
析应用基本不等式求最值时,必须遵循“一正二定三相等”的顺序解决问题.此类
8
44
问题首先将“平均拆分”为
?
,“凑”出和或积的定值,然后再考查等号,而不是“正
x
xx
-等-定”.
实际上,当
x?0
时,f
?
x
?
?x
2
?
当且仅当
x
2
?
844
?x
2
???3
3
16?6
3
2
,
xxx
44
?
,即
x?
3
4
时,等号成立,
xx
8
?
x?0
?
的最小值
为
6
3
2
.
x
故函数
f
?
x<
br>?
?x
2
?
变式5函数
f
?
x
?<
br>?4x?
答案
3
3
36
.
9
x?0
?
的最小值.
2
?
x
五、忽视基本不等式探求最值成立条件“一致”而致错
例6
(2014重庆文)若
log
4
?
3a?4b
?
?log<
br>2
ab
,则
a?b
的最小值是( )
A.
6?23
B.
7?23
C.
6?43
D.
7?43
错解因为
log
4
?
3a?4b
?
?log
2
ab
,则<
br>a?0,b?0
,
3a?4b?ab
,
所以
ab?3a?4b?212ab
,即
ab?43
,
又
a?b?2ab
,所以
a?b?2ab?83
因此
a?b
的最小值为
83
.
剖析多次应用基本不等式求
最值时,要注意等号是否同时成立,即等号成立的条件是否
一致.本题中
ab?43
时
3a?4b
,而
a?b?2ab
须满足
a?b
,显然
a?b?0
与已知信
息矛盾.
34
实际上,
3a?4b?ab
,即
??1
,
b
a
3a4b
3a4b
?
34
?
?7?212?7?4
,
3
当且仅当所以
a?b?
?
a?b
?
?
?
?
?7??
,即
?
ba
ba
?
ba<
br>?
a?4?23b,?3?2
时等号成立.
3
?
3
4
?
或
a?b?
?
a?b
?
?
?
?
?
?
ba
?
2
?
a?b
22
?
2
?
4
2
3
?
??
?
?
ab
?
??
?
43
?
?
?
a?
b
?
??
?2?3
ab
??
??
2
?7?
43
,
a
2
b
2
ab
当且仅当
?
,即
?
,亦即
a?4?23,b?3?23
时等号成立.
43<
br>43
ab
故
a?b
的最小值为
7?43
.正确答案为D.
变式6 (2015福建)若直线
答案
3?22
.
例7已知
x?0,y?0
,且
x?y?1
,
a,b
为正常数,求
错解因为
x?0,y?0
,
a,b
为正常数,
abab
所以
x?y?2xy,??2
,
xyxy
ab
?
的最小值.
xy
xy
??1
?
a?0,b?0
?
过点
?
1,2
?
,则
a?b
的最小值等于.
ab
所以
?
ab
?<
br>abab
??
?
x?y
?
?
?
?
?
2xy?2?4ab
,
xyxy
?
xy
?
ab
?
的最小值为
4ab
.
xy
因此
剖析多次应用基本不等式求
最值时,要注意等号是否同时成立,即等号成立的条件是
否一致.本题中
x?y?2xy
时
x?y
,而
ab
?
不可能同时成立.
xy
a
b
abab
??2
须满足
?
,显然
a?b
时,x?y
xy
xyxy
与
实际上,
a
a?b
?<
br>ab
?
aybx
abaybx
?
??
?
x?
y
?
?
?
?
?a?b???a?b?2ab
,当且仅当,<
br>xy
xyxyxy
??
即
x?,y?
b
a?b
时等号成立.
?
ab
?
ab
或
??
?
x?y
?
?
?
?
?
xy
?
xy
?
2
?
x?y
22
?
2
?
a
2b
?
??
?
?
xy
?
??
?
ab
?
?
?
x?y?a?b?2ab
,
???
xy
??
a
x
?
当且仅当
x
b<
br>y
y
,即
abab
?,y?
,亦即
x?
时等
号成立.
xy
a?ba?b
故
ab
?
的最小值为
a?b?2ab
.
xy
14
?
1
?
变式7已知两
点
A
?
1,0
?
,B
?
0,
?
,
且点
P
?
m,n
?
在线段
AB
上(不与端点重合)
,则
?
mn
?
2
?
的最小值是()
A.8
B.9 C.
82
D.16
答案 B. 例8已知正数
a,b
满足
a?b?1?ab
,则
3a?2b的最小值是.
错解因为
a,b
是正数,所以
ab?a?b?1?2ab
?1
,即
ab?2ab?1?0
,
解之得
ab?2?1
,
又
3a?2b?26ab?26
2
?
2?1?43?26
.
?
故
3a?2b
的最小值为
43?26
.
剖析本
题中两次应用基本不等式,但等号成立的条件不具备,是策略性错误,等号成
立的条件分别是
a
?b
和
3a?2b
,当且仅当
a?b?0
才能同时满足条件,这与已
知信息矛盾,
是不可能的.
实际上,由
a?b?1?ab
,得
b?
a?12
,因为
a,b
是正数,所以
a?1
,
?
1?
a?1a?1
2
?
4
?
3a?2b?3a?2
?
1??3a?1??5?43?5
,
??
?
a?1
?<
br>a?1
?
当且仅当
3
?
a?1
?
?
23
4
,b?1?3
时等号成立. ,即
a?1?
3
a?1
故
3a?2b
的最小值为
43?5
.
变式8已知
x?0,y?0,x?2y?2xy?8
,则
x?2y
的最小值是.
答案
4.
六、忽视基本不等式探求最值“放缩”而致错
例9已知正数
a,b
满
足
1214
??2
,则
2
?
2
的最小值是.
abab
错解因为
a,b
是正数,所以
2?
121222
11
??2??
,即
ab?2
,亦即
ab?2
,所
以
?
abab
ab2
ab
又
14144
144
?
2
?2
2
?
2
?
,所以
2
?
2
??2
,
2
ababab
abab
当且仅当
故
12
?
,即
a?1,b?2
时等号成立.
ab
14
的最小值为2.
?
a
2
b
2<
br>14111
与
??4??
不是同向不等式,不
a
2
b
2
abab2
剖析本题中两次应用基本不等式,但,
能传递放缩,是策略性错
误.
实际上,
2?
1222
114
12
,b?2
??
,可得所以
???2
,当且仅当
?
,即
a?1
?
,
ab
ab2ab
ab
ab
时等号成立.
14
?
12
?
44
?4??4?2?2
,当且仅当
a?1,b?2
时等号成立. 因此
2
?
2
?
?<
br>?
?
?
ab
?
ab
?
abab
2<
br>故
14
的最小值为2.
?
22
ab
变式9 已知
正数
a,b
满足
a
2
?9b
2
?4
,则<
br>a?3b
的最大值是.
答案
22
.
七、忽视基本不等式引申式的活用而致错
1
??
1
??
例
10已知正数
a,b
满足
a?b?1
,则
T?
?
a
?
?
?
?
b?
?
的最小值是.
b
??<
br>a
??
22
1
?
4b
1
?
4a1a
??
错解因为
a??2
,可得
?
a?
?<
br>?
,同理
?
b?
?
?
,
bb
a<
br>?
a
b
?
b
?
?
1
??
1
?
4a4b4a4b
?
所以
T?
?
a?
?
?
?
b?
?
???2??8
.
b
??<
br>a
?
baba
?
22
22
故
T
的最
小值是
8
.
剖析基本不等式加以引申,可得到如下结论:
a
2<
br>?b
2
a?b1
当
a?b?0
时,
a???ab??
b
,当且仅当
a?b
时等号成立.
11
22
?
a
b
该结论中从左至右依次称为平方平均数、算术平均数、几何平均数、调和平均数,分
1122
a?b
ab
a?b
别包含了两个正数的平方之和、两者之和,两者之
积、两者的倒数之和
..........
a
?
b
,
只要已
知这四个代数式之一为定值,总可以求解另外三式的最值,应用十分广泛,应加以重
视.
1<
br>??
1
?
1
???
1
?
ab
?实际上,
T?
?
a?
?
?
?
b?
?<
br>?
?
a
2
?b
2
?
?
?
2
?
2
?
?2
?
?
?
,
b
??
a
?
b
???
a
?
ba
?
22
a
2
?b
2
a?b1
1
??
,即a
2
?b
2
?
,当且仅当
a?b
时等号成立.
因为
a?b?1
,所以
222
2
又
1a?b2
1
1
??
,可得
??4
,当且仅当
a?b
时等号成立. 11
22
ab
?
ab
1111
??
22
abab
,当且仅当
a?b
时等号成立. 且
?
22
11
11
??
22
abab
?2
,即
1
?
1<
br>?8
,当且仅当
a?b
时等号成立. 所以
?
22
a
2
b
2
又
ab
??2
,当且仅当<
br>a?b
时等号成立;
ba
故
T
的最小值是
25
.
2
变式10
(1)(2015重庆)设
a,b>0,a+b=5
,则
a+1+b+3
的最
大值为.
(2)函数
f
?
x
?
?2x?1?5?2x的最大值是.
答案(1)
32
.
a?1?b?1?2
?
a?1+
2
??
2
b+3
?
2
(2)
22
.
?32
.