高中数学必修二立体几何知识网络结构图-2018年江西教师招聘高中数学真题
标准实用
高中文科数学平面向量知识点整理
1、概念
向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度. 单位向量:长度等于
1
个单位的向量.
平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
相反向量:
a
=-
b?
b
=-
a
?
a+b
=
0
向量表示
:几何表示法
AB
;字母
a
表示;坐标表示:
a
=
xi
+
yj
=(
x
,
y
).
向量的模:设
OA?a
,则有向线段
OA
的长度叫做向量
a
的长度或模,
记作:
|a|
.
(
|a|?x?y,a?|a|
2
?x
2
?y
2
。)
零向量:长度为
0
的向量。
a
=O
?
|
a
|=O.
【例题】1.下列命题:(1)若
a?b
,
则
a?b
。(2)两个向量相等的充要条
件是它们的起点相同,终点相同。(3)若<
br>AB?DC
,则
ABCD
是平行四边形。(4)
,c
,若ABCD
是平行四边形,则
AB?DC
。(5)若
a?bb,c?
,则
a?c
。(6)若
abb
则
ac
。其中正确的是__
_____
(答:(4)(5))
2.已知
a,b
均为单位向量,它们的
夹角为
60
,那么
|a?3b|
=_____
(答:
13
);
22
2
2、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.
C
a
?
b
?
⑶三角形不等式:
a?b?a?b?a?b
.
a?b??C?????C
⑷运算性质:①交换律:
a?b?b?a<
br>;②结合律:
a?b?c?a?b?c
;
③
a?0?0?a?a
.
⑸坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
.
文案大全
????
标准实用
3、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
⑵坐标运算:设
a?<
br>?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
.
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y1
?
,
?
x
2
,y
2
?
,则
???
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
.
【例题】
(1)①
AB?BC?CD
?
___;②
AB?AD?DC?
____;
③
(AB?CD)?(AC?BD)?
_____
(答:①
AD
;②
CB
;③
0
);
(
2)若正方形
ABCD
的边长为1,
AB?a,BC?b,AC?c
,则|a?b?c|
=_____
(答:
22
);
(
3)已知作用在点
A(1,1)
的三个力
F
1
?(3,4),F2
?(2,?5),F
3
?(3,1)
,则合力
F?F
1
?F
2
?F
3
的终点坐标是
(答:(9,1))
4、向量数乘运算:
⑴实数
?
与
向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作
?
a
.
①
?
a?
?
a
;
②当
?
?0<
br>时,
?
a
的方向与
a
的方向相同;
当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相反;当
?
?0
时,
?
a?0
.
⑵运算律:①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
;②<
br>?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a
;③
?
a?b?
?
a?
?
b
.
⑶坐标运算:设
a?
?
x,y
?
,则
?
a??
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?
.
1
???
【例题】(1)若M(-3,-2),
N(6,-1),且
MP??MN
,则点P的坐标为_______
3
7
(答:
(?6,?)
);
3
???
??
5、向量共线定理:向量
aa?0
与
b
共线,当且仅当有唯一一
个实数
?
,使
??
b?
?
a
.设
a??
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,(
b?0
)
?(a?b)<
br>2
?(|a||b|)
2
。
【例题】 (1)若向量
a?(x,1),b?(4,x)
,当
x
=_____时
a
与
b
共线且方向相同
(答:2);
(2)已知
a?(1,1),
b?(4,x)
,
u?a?2b
,
v?2a?b
,且
uv<
br>,则
x=______
(答:4);
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6、向量垂直:
a?b?a?b?0?|a?b|?|a?
b|
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
【例题】(1)已知
OA?(?1,2),OB?(3,m)
,若
OA?OB
,则
m?
3
);
2
(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,
?B?9
0?
,
则点B的坐标是________
(答:(1,3)或(3,-1));
(3)已知
n?(a,b),
向量
n?m
,且
n?m<
br>,则
m
的坐标是________
(答:
(答:
(b,?a)或(?b,a)
)
7、平面向量的数量积:
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0
,0?
?
?180
.零向量与任一向量的数量积为
0
.
⑵
性质:设
a
和
b
都是非零向量,则①
a?b?a?b?0
.
②当
a
与
b
同向时,
a?b?ab
;当
a
与
b
反向时,
a?b??ab
;
a?a?a
2
?a
或
a?a?a
.③
a?b?ab
.
2
??
⑶运算律:①
a?b?b?a
;②
?
?
a
?
?b
?
?
a?b?a?
?
b
;③
a?b?c?a?c?b?c<
br>.
⑷坐标运算:设两个非零向量
a?
?
x
1
,y<
br>1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
.
若
a?
?
x,y
?
,则
a?x<
br>2
?y
2
,或
a?x
2
?y
2
.
设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a
⊥
b
?
a
·
b
=0
?
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=0.
则
a
∥
b
?
a
=
λb
(
b≠0<
br>)
?
x
1
y
2
=
x
2
y
1
.
2
????
??
设
a
、
b
都是非零向量,
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,
?
是
a
与
b
的夹角,则<
br>cos
?
?
a?b
ab
?
x
1
x<
br>2
?y
1
y
2
x?y
2
1
2
1
x?y
???
2
2
2
2
;(注
|a?
b|?|a||b|
)
【例题】
(1)△ABC中,
|AB|?3
,
|AC|?4
,
|BC|?5
,则
AB?BC?
___
______
(答:-9);
?
11
(2)已知
a?(1,),
b?(0,?),c?a?kb,d?a?b
,
c
与
d
的夹角为,则
k
等
22
??????
4
于____
(答:1);
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标准实用
(3)已知
a?2,b?5,ab??3
,则
a?b
等于____
(答:
23
);
(4)已知
a,b
是两个非零向量,且
a
?b?a?b
,则
a与a?b
的夹角为____
(答:
30
)
(5)已知
a?(
?
,2
?
)
,
b?(3
?
,2)
,如果
a
与b
的夹角为锐角,则
?
的取值
41
范围是______
(答:
?
??
或
?
?0
且
?
?
)
;
3
3
(6)已知向量
a
=(sinx,cosx),
b
=(sinx,sinx),
c
=(-1,0)。
?
(
1)若x=,求向量
a
、
c
的夹角;
(答:150°);
3
8、
b
在
a
上的投影:即
|b|cos
?
,它是一个实数,但不一定大于0。
【例题】已知
|a|?3
,
|b|?5
,且
a?b?12
,则向量
a
在向量
b
上的投影为
12
______
(答:)
5
??
??
??
??
??
平面向量高考经典试题
一、选择题
1.已知向量
a
?(?5,6)
,
b?(6,5)
,则
a
与
b
A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向
2、已知向量
a?(1,n),b?(?1,n)
,若
2a?b<
br>与
b
垂直,则
a?
( )
A.
1
3、若向量
a,b
满足
|a|?|b|
?1
,
a,b
的夹角为60°,则
a?a?a?b
=______;
B.
2
C.
2
D.4
CD
?
4、在
△ABC
中,已知
D
是
AB
边上一点,若
AD?2DB,
A.
文案大全
1
CA?
?
CB
,则
?
?
( )
3
2
3
B.
1
3
C.
?
1
3
D.
?
2
3
标准实用
5、若O、E、F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 ( )
A.
EF?OF?OE
B.
EF?OF?OE
C.
EF??OF?OE
D.
EF??OF?OE
,,b?(1,?1)
,则向量6、已知平面向
量
a?(11)
?1)
A.
(?2,
,0)
C.
(?1
二、填空题
13
a?b?
( )
22
,
B.
(?21)
,2)
D.
(?1
4?b=
?11,?
.若向量
b?(a+
?
b)
,则实数
?
的值是 1、已知向量
a=?2,,
2、若向量
a,b
的夹角为
60
,
a?b?1
,则
aa?b?
.
?
.
??
0)
,
B(11),
,则3、在平面
直角坐标系中,正方形
OABC
的对角线
OB
的两端点分别为
O(0
,
ABAC?
三、解答题:
.
1、已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(
c
,0).
(1)若
ABAC?0
,求
c
的值;
(2)若
c?5
,求sin∠A的值
2、在
△ABC
中,角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c,tanC?37
.
(1)求
cosC
;
(2)若
CBCA?
,c
分别是三个内角
A,B,C
的对边.若
a?2,3、在
△ABC
中,
a,b
5
,且
a?b?9
,求
c
.
2
C?
π
,
4
文案大全
标准实用
cos
B25
,求
△ABC
的面积
S
.
?
25
4、设锐角三角形
ABC
的内角
A,B,C
的对边分别为
a
,b,c
,
a?2bsinA
.
(Ⅰ)求
B
的大小;
(Ⅱ)若
a?33
,
c?5
,求
b
.
5、在
△ABC
中,
tanA?
(Ⅰ)求角<
br>C
的大小;
(Ⅱ)若
△ABC
最大边的边长为
17
,求最小边的边长.
13
,
tanB?
.
45
答案
选择题
1、A. 已知向量
a?(?5,6
)
,
b?(6,5)
,
a?b??30?30?0
,则
a<
br>与
b
垂直。
2、C
2a?b=(3,n)
,由
2a?b
与
b
垂直可得:
(3,n)?(?1,n)??3?n
2
?0?n??3
,
a?2
。
313
3、
解析:
a?a?a?b?1?1?1??
,
222
4、A 在?ABC
中,已知D是AB边上一点,若
AD
=2
DB
,
CD
=CA??CB
,则
1
3
CD?CA?AD?CA?
22
AB?CA?(CB?CA)
33
12
CA?CB
33
=
2
。
3
5、B 由向量的减法知
EF?OF?OE
6、
D
文案大全
13
a?b?
(?1,2).
22
标准实用
填空题
1、解析:已知向量
a=?
2,,4?b=?11,?
.量
a?
?
b?(2?
?
,4?
?
)
,
b?(a+
?
b)
,则2+
λ+4
+λ=0,实数
?
=
-
3.
2、
2
1
2
11
【解析】
a
?
a?b
?
?a?a?
b?a?a?bcos60??1??
。
22
2
3、解析:
ABA
C?(0,1)?(?1,1)?0?(?1)?1?1?1.
解答题
1、解: (1)
AB?(?3,?4)
AC?(c?3,?4)
由
ABAC??3(c?3)?16?25?3c?0
得
c?
(2)
AB?(?3,?4)
AC?(2,?4)
cos?A?
2、解:(1)
又
25
3
ABAC
ABAC
?
?6?16125
2
sin?A?1?cos?A?
?
5
5205
tanC?37,?
sinC
?37
cosC
1
sin
2
C?cos
2
C?1
解得
cosC??
.
8
1
tanC?0
,
?C
是锐角.
?cosC?
.
8
55
(2)
CBCA?
,
?abcosC?
,
?ab?20
.
22
又
a?b?9
?a
2
?2ab?b
2
?81
.
?a
2
?b
2
?41
.
?c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC?36
.
?c?6
.
4
3
3、解:
由题意,得
cosB?,B
为锐角,
sinB?
,
5
5
sinA?sin(π?B?C)?sin
?
由正弦定理得
c?
?
3π
?
72
,
?B
?
?
?
4
?
10
10
111048
,
?
S?acsinB??2???
.
22757
7
文案大全
标准实用
4、解:(Ⅰ)
由
a?2bsinA
,根据正弦定理得
sinA?2sinBsinA
,所以
sinB?
由
△ABC
为锐角三角形得
B?
1
,
2
π
.
6
222
(Ⅱ)根据余弦定理,得
b?a
?c?2accosB
?27?25?45
?7
.
所以,
b?
7
.
5、本小题主要考查两角和差公式,用
同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理
和运算能力,满分12分.
13
?
解:(Ⅰ)
C?π?(A?B)
,
?tanC??tan(A?B)??<
br>45
??1
.
13
1??
45
3
又
0?C?π
,
?C?
π
.
4
3
(Ⅱ)
C??
,
?AB
边最大,即
AB?17
.
4又
?
?
?
tanA?tanB,A,B?
?
0,
?
,
?
角
A
最小,
BC
边为最小边.
?
?
?
sinA1
?
?,
?
tanA?
?
π
?
由
?
cosA4
且
A?
?
0
,
?
,
?
2
?
?
sin
2
A?
cos
2
A?1,
?
得
sinA?
ABBCsinA
17
??2
. .由得:
BC?AB
sinCsinAsinC
1
7
所以,最小边
BC?2
.
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