人教版高中数学必修一-第三章-函数的应用知识点总结

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高中数学必修一第三章函数的应用知识点总结（详细）
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数y=f(x),使f(x)=0 的实数x叫做函数的零点。（实质上是函数y=f(x)与x轴
交点的横坐标）
2、函数零点的意义：方程f(x)=0 有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点
3、零点定理：函数y= f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间
（a,b）至少有一个零点c，使得f( c)=0,此时c也是方程 f(x)=0 的根。
4、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点：
（1） （代数法）求方程f(x)=0 的实数根；
（2） （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系 起来，并利用函数的性
质找出零点．
5、二次函数的零点：二次函数f(x)=ax
2
+bx+c(a≠0)．
1）△＞0，方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点． 2）△＝0，方程f(x)=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一 个二
重零点或二阶零点．
3）△＜0，方程f(x)=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．
二、二分法
1、概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y= f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区
间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进 而得到零点近似值的方法叫做二分法。
2、用二分法求方程近似解的步骤:
⑴确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε；
⑵求区间(a,b)的中点c;

.

.
⑶计算f(c),
①若f(c)=0,则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)<0,则令b=c（此时零点x
0
∈(a,c)）
③若f(c)f(b)<0,则令a=c（此时零点x
0
∈(c,b)）
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a-b|<ε,则得到零点近似值为a(或b);否则重复⑵~⑷
三、函数的应用：
（1）评价模型： 给定模型利用学过的知识解模型验证是否符合实际情况。
（2）几个增长函数模型：一次函数：y=ax+b(a>0)
指数函数：y=a
x
(a>1) 指数型函数： y=ka
x
(k>0,a>1)
幂函数： y=x
n
（ n?N*) 对数函数：y=log
a
x(a>1)
二次函数：y=ax
2
+bx+c(a>0)
增长快慢：V(ax
)>V(x
n
)>V(log
a
x)
解不等式 (1) log
2
x< 2
x
< x
2
(2) log
2
x< x
2
< 2
x

（3）分段函数的应用：注意端点不能重复取，求函数值先判断自变量所在的区间。
（4）二次函数模型： y=ax
2
+bx+c(a≠0) 先求函数的定义域，在求 函数的对称轴，看它在不在定义域内，
在的话代进求出最值，不在的话，将定义域内离对称轴最近的点代 进求最值。
（5）数学建模：
(6)一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
两个根都在（m,n )内 两个有且仅有一个在（m,n)内 x
1
∈(m,n) x
2
∈(p,q)
.

.
y
m



m


n





n


x

m
n p q

?
??0
?< br>b
?
?n
?
m??
2a
?
?
f(m )?0
?
?
?
f(n)?0
f(m)f(n)<0
?f(m)?0
?
f(n)?0
?
?
?
f(p)?0?
?
f(q)?0

两个根都小于K 两个根都大于K 一个根小于K，一个根大于K
y
k
k

x

k



?
??0
?
b
???k
?
?
2a
?
?
f(k)?0
?
??0
?
b
?
??k
?
?
2a
?
?
f(k)?0
f(k)<0



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