高中数学周期横向变换-高中数学竞赛平面几何试题一题多解
第二章直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
1平面含义:平面是无限延展的
2平面的画法及表示
D
α
A
C
B
(1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成45
0
,且横边画
成邻边的2倍长(如图)
(2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面
A
的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面
·
AC、平面ABCD
α
等。
3三个公理:
(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
公理1作用:判断直线是否在平面内
A B
(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
C
·
·
α
·
符号表示为:A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α,
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用:确定一个平面的依据。
推论1:一条直线与它外一点确定一个平面。
推论2:两条平行直线确定一个平面。
推论3:两条相交直线确定一个平面。
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公
β
共直线。
P
α
·
L
符号表示为:P∈α∩β=>α∩β=L,且P∈L
公理3作用:判定两个平面是否相交的依据
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
1空间的两条直线有如下三种关系:
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;
共面直
平行直线:同一平面内,没有公共点;
异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。
2公理4:平行于同一条直线的两条直
ab
?
线互相平行。
?
?ac
符号表示为:设a、b、c是三条直线
cb
?
强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。
3等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
4异面直线:
①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为了简便,
?<
br>2
点O一般取在两直线中的一条上;
②两条异面直线所成的角θ∈(0,];
③当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b;
④两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内——有无数个公共点
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行——没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用aα来表aαa∩α=Aa∥
α】<
br>2.2.1直线与平面平行的判定
1、线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条
直线平行,则该直线与此平
面平行。
简记为:线线平行,则线面平行。
a?
?
?
符号表示:
线线平行 线面平行
?
b
?
?
?
?b
?
ab
?
?
2
.2.2平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面
平行,则这两个平
面平行。
a?
?
,b?
?
?
?
符号表示:
a?b?P
?
?
?
?
a
?
,b
?
?
?
线面平行 面面平行
2
、判断定理的推论:一个平面内的两条相交直线与另个平面内的两条相交直线互相平
行,那么这两个平面
平行。
?
?
符号表示:
a?b?A,c?d?B
?
??
?
?
ac,bd
?
a,b?
?<
br>.c,d?
?
3、判断两平面平行的方法有三种:
(1)用定义;(2)判定定理;(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3直线与平面平行的性质
1、线面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过
这条直线的任一平面与此平面
的交线与该直线平行。
简记为:线面平行则线线平行。
?
?
符号表示:
a?
?
?
?ab
?
?
?
?b
?
?
a
?
作用:利用该定理
可解决直线间的平行问题。
2.2.4平面与平面平行的性质
2、性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
?
?
?
?
符号表示:
?
?
?
?a
?
?ab
?
?
?
?b
?
?
作用:
可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
1、定义:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,
我们就说直线l与平面α互相
垂直,记作l⊥α,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面。
如图,直线与
平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
符号表示:
l?
?
?l?m,?m?
?
2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
符号表
注意
a?b,a?c
?
?
a?c?P
?<
br>?a?
?
?
b,c?
?
?
一相交,两垂直
示
:
点:定理中的“两条相交直线”这一条件
不可忽视;
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
2、二面角的记法:二面角或
?
?AB?
?
棱l
?
B
3、面面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
符号表
2.3.3直线
?
a?
?
?
?
?
?
?
?
a?
?
?
示:
与平面垂直的性质
1、性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。符号表示:
a?
?
,b?
?
?ab
2、性质定理:一条直线与一个平行垂直,那么过这条直线的平面也与此平面垂直
符号表示:
a?
?
,a?
?
?
?
?
?
2.3.4平面与平面垂直的性质
1、性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
?
?
?
?
?
符号表示:
a?
?
,a?l
?
?a?
?
?
?
?
?l
?
?a?
?
,
?
?
?
?
?
?a
?
2、性质定理:垂直于同一平面的直线和平面平行。符
a?
?
?
号表
示:
一、异面直线所成的角
1.已知两条异面直线
a,b
,经过空间任意
一点O作直线
我们把
a
?
与
b
?
所成的锐角(或直
角)叫异面直线
a,b
所
2.角的取值范围:
0?
?
?90
?
;
当
?
?90
0
时,异面直线a,b垂直
二、直线与平面所成的角
1.定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫这条斜线和这个平面所成
的角
2.角的取值范围:
0
?
?
?
?90
?
。
三、两个半平面所成的角即二面角:
1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面
角。这条直线叫做二面角的棱,
这两个半平面叫做二面角的面。
2、二面角的取值范围:0
?
?
?
?180
?
a
?
a,b
?
b
,
成的角。
两个平面垂直:直二面角。
3.作二面角的平面角的常用方法有六种:
1.定义法:在棱上取一点O,然后在两个平面内分别作过棱上O点的垂线。
2.三垂线定理
法:先找到一个平面的垂线,再过垂足作棱的垂线,连结两个垂足即得二
面角的平面角。
3.
向量法:分别作出两个半平面的法向量,由向量夹角公式求得。二面角就是该夹角或
其补角。
二面角一般都是在两个平面的相交线上,取恰当的点,经常是端点和中点。
第二章点、直线、平面之间的位置关系
1、如图,在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,点E、F分别是AB、BD的中点.
求证:(1)直线EF∥面ACD.
(2)平面EFC⊥平面BCD.
2.在直三
棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中,
AC?3
,BC?4,AB?5,AA
1
?4
,点
D
为
AB
的中点求异面直线
AC
1
与
B
1
C
所成角的余弦值
3.在四面体
ABCD
中,△
ABC
与△
DBC
都是边长为4的正三角形.
(1)求证:
BC
⊥
AD
;
(2)若点
D
到平面
ABC
的距离等于3,求二面角
A-
BC
-
D
的正弦值;
_
C
_
A
_ 1
_
B
_ 1
_
1
_
C
_
B
_
A
(3)设二面角
A
-
BC
-
D
的大小为
?
,猜想
?
为何值时,四面体
A
-
BCD
的体积最
大.(不要求证明)
4、如图,在底面是直角梯形的四棱锥
S
-
ABCD
中,
AD
∥
BC
,∠
ABC
=90°,
SA
⊥面
ABCD
,
SA
=
AB
=
BC
=1,
AD
=.
(1)求四棱锥
S
—
ABCD
的体积;
(2)求面
SCD
与面
SBA
所成的二面角的正切值.
(
提示:延长
BA
,
CD
相交于点
E
,则直线
SE<
br>是所求二面角的棱.)
5.斜三棱柱的一个侧面的面积为10,这个侧面与它所对棱的距离等于
6,求
柱的体积.(提示:在
AA
1
上取一点
P
,过
P
作棱柱的截面,使
AA
1
垂直于这个
(第3题)
1
2
(第4
这个棱
截面.)
第二章点、直线平面之间的位置关系参考答案
三、解答题
(第5
(第3题)
17.证明:(1)取
BC中点
O
,连结
AO
,
DO
.
∵△
ABC
,△
BCD
都是边长为4的正三角形,
∴AO
⊥
BC
,
DO
⊥
BC
,且
AO<
br>∩
DO
=
O,
∴
BC
⊥平面
AOD
.又
AD
?
平面
AOD
,∴
BC
⊥
AD
.
解:(2)由(1)知∠
AOD
为二面角
A
-
BC
-
D
的平面角,设∠
AOD
=?,则过点
D
作
DE
⊥
AD
,垂足为
E
.
∵
BC
⊥平面
ADO
,且
BC
?
平面
ABC
,
∴平面
ADO
⊥平面
ABC
.又平面
ADO
∩平面
ABC
=
AO
,
∴
DE
⊥平面
ABC
.∴线段
DE
的长为点
D
到平面
ABC
的距离,即
DE
=3.
又
DO
=
3
2
BD
=23
,在Rt△
DEO
中,sin?=
DE
=
DO
3
2
3
2
,
故二面角
A
-
BC
-
D
的正弦值为.(3)当?=90°时,四面体
ABCD
的体积最大.
1+
1
2
?
1=
3
24
19*.解:(1
)直角梯形
ABCD
的面积是
M
底面
=
1
(BC+
AD)?AB
=
2
,
11
31
∴四棱锥
S—AB
CD
的体积是
V
=·
SA
·
M
底面
=×1
×=.
44
33
(2)如图,延长
BA
,
CD
相
交于点
E
,连结
SE
,则
SE
是所求二面角的棱.
∵
AD
∥
BC
,
BC
=2
AD
,
∴
EA=AB=SA
,∴
SE
⊥
SB
∵
SA
⊥面
ABCD
,得面
SEB
⊥面
EBC
,
EB
是交线.
又
BC
⊥
EB
,∴
B
C
⊥面
SEB
,故
SB
是
SC
在面
SEB
上的射影,
∴
CS
⊥
SE
,∠
BSC
是所求二面角的平面角.
∵
SB
=
SA
2
+AB
2
=
2<
br>,
BC
=1,
BC
⊥
SB
,
∴tan∠
BSC
=
BC2
,
=
SB2
即所求二面角的正切值为
2
.
2<
br>20*.解:如图,设斜三棱柱
ABC
—
A
1
B
1<
br>C
1
的侧面
BB
1
C
1
C
的面积为
10,
A
1
A
和面
BB
1
C
1
C
的距离为6,在
AA
1
上取一点
P
作截面
PQR<
br>,使
AA
1
⊥截面
PQR
,
AA
1
∥CC
1
,∴截面
PQR
⊥侧面
BB
1
C
1
C
,过
P
作
PO
⊥
QR
于
O<
br>,则
PO
⊥侧面
BB
1
C
1
C
,且
PO
=6.
∴
V
斜
=
S
△
PQ
R
·
AA
1
=
=
=
1
·
QR·
PO
·
AA
1
2
1
·
PO
·
QR
·
BB
1
2
1
×10×6
2
=30.