高中数学太简单-高中数学教与学2019年第1期
第2章 2.1
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．若抛物线
y
＝2
px
的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p
的值等于( )
62
A．－2
C．－4
B．2
D．4
2
x
2
y
2
解析：
椭圆右焦点为(2,0)，所以＝2，
p
＝4.
2
答案： D
2
．抛物线
y
＝
ax
的准线方程是
y
＝2，则
a的值为( )
1
A.
8
C．8
1
B．－
8
D．－8
2
p
111
22
解析： 由
y
＝
ax，得
x
＝
y
，＝－2，
a
＝－.
a
4
a
8
答案： B
3．若抛物线
y
＝
2
px
上横坐标为4的点到焦点的距离为5，则焦点到准线的距离为( )
1
A.
2
C．2
2
2
B．1
D．4
解析： 利用抛物线的定义，由
y
＝2
px
可知准
线方程
x
＝－，横坐标为4的点到准线
2
的距离为4＋，所以4＋＝5，得<
br>p
＝2.
22
答案： C
4．若动圆与圆(
x
－
2)＋
y
＝1外切，又与直线
x
＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．
y
＝8
x
C．
y
＝4
x
2
2
22
p
pp
B．
y
＝－8
x
D．
y
＝－4
x
2
2
解析： 设动圆的
半径为
r
，圆心
O
′(
x
，
y
)，且O
′到点(2,0)的距离为
r
＋1，
O
′到直
线x
＝－1的距离为
r
，所以
O
′到(2,0)的距离与到直线<
br>x
＝－2的距离相等，由抛物线的定
义知
y
＝8
x
.
故选A.
2
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分) <
br>5．抛物线
y
＝2
px
，过点
M
(2,2)，则点<
br>M
到抛物线准线的距离为________．
2
p
5
2
解析：
y
＝2
px
过
点
M
(2,2)，于是
p
＝1，所以点
M
到抛物线准线的距
离为2＋＝.
22
5
答案：
2
6．抛物线的顶点在原点，对称轴是
x
轴，抛物线上一点(
－5,25)到焦点的距离是6，
则抛物线的方程是________．
解析： 因为点(－
5,25)在第二象限，且以原点为顶点，
x
轴为对称轴，故抛物线开口
向左，设其方
程为
y
＝－2
px
，
把(－5,25)代入得
p
＝2，故所求方程为
y
＝－4
x
.
答案：
y
＝－4
x
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)焦点在直线
x
＋3
y
＋15＝0上；
5
(2)以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为.
2
解析： (1)令<
br>x
＝0得
y
＝－5；令
y
＝0得
x
＝－15
.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．
∴所求抛物线的标准方程为
y
＝－60
x
或
x
＝－20
y
.
55
(2)由焦点到准线的距离为，可知
p
＝.
22
∴所求抛物线方程为
22
2
2
2
y
2
＝5
x
或
y
2
＝－5
x
或
x<
br>2
＝5
y
或
x
2
＝－5
y
.
8．由条件解下列各题的标准方程及准线方程．
(1)求焦点在直线2
x
－
y
＋5＝0的抛物线的标准方程及其准线方程．
(2)已知抛物线方程为2
x
＋5
y
＝0，求其焦点和准线方程．
(3)已知抛物线方程为
y
＝
mx
(
m
≠0)，求
其焦点坐标及准线方程．
2
2
?
5
?
解析： (1)直线
2
x
－
y
＋5＝0与坐标轴的交点为
?
－，0
?<
br>，(0,5)以此两点为焦点的抛物
?
2
?
线方程分别为
y<
br>＝－10
x
，
x
＝20
y
.
5
其对应准线方程分别是
x
＝，
y
＝－5.
2
5
2
(2)抛物线方程即为
x
＝－
y
，
2
22
5
?
5
?
焦点为
?
0，－
?
，准线方程：
y
＝.
8
?
8<
br>?
1
2
(3)抛物线方程即为
x
＝
y
(m
≠0)
m
1
?
1
?
焦点为
?0，
?
，准线方程
y
＝－.
4
m
?
4
m
?
尖子生题库☆☆☆
22<
br>9．(10分)动圆
P
与定圆
A
：(
x
＋2)＋y
＝1外切，且与直线
l
：
x
＝1相切，求动圆圆心
P
的轨迹．
解析：
如图所示，设动圆圆心
P
(
x
，
y
)，
过点P
作
PD
⊥
l
于点
D
，作直线
l′：
x
＝2，
过点
P
作
PD
′⊥
l
′于点
D
′，连结
PA
.
设圆
A
的半
径为
r
，动圆
P
的半径为
R
.
∵圆
P
与圆
A
外切
∴|
PA
|＝
r
＋
R
＝1＋
R
∵圆
P
与直线
l
相切，则|
PD
|＝
R<
br>. ∴|
PD
′|＝1＋
R
，
∴|
PA
|＝|
PD
′|，即点
P
到点
A
的距离与到直线
l
′的距离相等．
∴点
P
的轨迹是以点
A
为焦点，以直线
l
′为准线的抛物线，
其方程为
y
＝－8
x
.
2