高中数学圆锥曲线压轴题集锦1-高考数学圆锥曲线压轴题

2020年9月22日发(作者：闵传华)

圆锥曲线60道题



一．解答题（共60小题）

1．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y
2
=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点 分别是F
1
，F
2
，
直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交 于A，B两点．

（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF
1
F
2
是直角三角形，求a的值；

（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；

（3）若a=2，且k
OA
?k
OB
=﹣，求证：△OAB的面积为定值．

2．已知椭圆
AF
1
F
2
中，
（1）求 椭圆Γ的方程；

（2）设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点，若直线AB与AC 的斜率之和为﹣1，
求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；

（3）记第（2） 问所求的定点为E，点P为椭圆Γ上的一个动点，试根据△AEP面积S的不同
取值范围，讨论△AEP 存在的个数，并说明理由．

（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F
1
、F< br>2
，设点A（0，b），在△
，周长为．


3．已知椭圆C
1
：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F
1
、F
2
， 其中F
2
也是抛物线C
2
：
y
2
=4x的焦点，M 是C
1
与C
2
在第一象限的交点，且|MF
2
|=．

（Ⅰ）求椭圆C
1
的方程；

（Ⅱ）已知菱形ABCD的顶点A 、C在椭圆C
1
上，顶点B，D在直线7x﹣7y+1=0上，求直线
AC的方程．< br>
4．已知F
1
（﹣2，0），F
2
（2，0），点P满足| PF
1
|﹣|PF
2
|=2，记点P的轨迹为E．

（1）求轨迹E的方程；

）

（2）若直线l过点F
2
且与轨迹E交于P、Q两点．

（i）无论 直线l绕点F
2
怎样转动，在x轴上总存在定点M（m，0），使MP⊥MQ恒成立，求
实数m的值．

（ii）在（i）的条件下，求△MPQ面积的最小值．

5．在平面直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为B（0，﹣1），C（0，1），平面内两点P、Q
同时满足：

①++=；②||=||=||；③∥．

（1）求顶点A的轨迹E的方程；

（2）过点F（，0）作两条互相垂直的直线l< br>1
，l
2
，直线l
1
，l
2
与点A的轨迹E 的相交弦分
别为A
1
B
1
，A
2
B
2，设弦A
1
B
1
，A
2
B
2
的中点分 别为M，N．

（ⅰ）求四边形A
1
A
2
B
1B
2
的面积S的最小值；

（ⅱ）试问：直线MN是否恒过一个定点？若 过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明
理由．

6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：
（Ⅰ）求椭圆E的方程．

（Ⅱ） 如图，动直线l：y=k
1
x﹣
斜率为k
2
，且k
1
k
2
=
交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的
=1（a ＞b＞0）的离心率为，焦距为2．

，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|= 2：3，⊙M的半径为
|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大 值，并求取得最大值
时直线l的斜率．


7．已知椭圆的中心在原点，焦点 在x轴上，F
1
、F
2
分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与两
焦点 构成等边三角形，且|
）

|=2．

（1）求椭圆方程；

（2）对于x轴上的某一点T，过T作不与坐标轴平行的直线L 交椭圆于P、Q两点，若存在x
轴上的点S，使得对符合条件的L恒有∠PST=∠QST成立，我们称 S为T的一个配对点，当T
为左焦点时，求T 的配对点的坐标；

（3）在（2）条件下讨论当T在何处时，存在有配对点？

8．在平面直角坐标系x Oy中，抛物线E：x
2
=4y的焦点F是椭圆（a＞b＞0）的
一个顶点．过点F且 斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于另一点D，交抛物线E于A、B两
点，线段DF的中点为M，直 线OM交椭圆C于P、Q两点，记直线OM的斜率为k'，满足
．

（1）求椭圆C的方程；

（2）记△PDF的面积为S
1
，△QA B的面积为S
2
，设
最大值时直线l的方程．

，求实数λ的最大值及取得

9．给定椭圆C：=1（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆m
．

的“伴随圆”． 若椭圆C的一个焦点为F
2
（
（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
，0），其短轴上的一个端点到F
2
距离为
（Ⅱ）若过点P（0，m）（m＜0） 的直线l与椭圆C只有一个公共点，且l截椭圆C的“伴随
圆”所得的弦长为2，求m的值；

（Ⅲ）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线l
1
，l
2
，使得l< br>1
，l
2
与椭圆C都只有一个公共点，
试判断直线l
1
，l
2
的斜率之积是否为定值，并说明理由．

10．平面直角坐标系中， O为坐标原点，已知两点M（1，﹣3）、N（5，1），若点C满足
（1﹣t）（t∈R），点C的轨 迹与抛物线：y
2
=4x交于A、B两点．

⊥；

=t+
（Ⅰ）求证：
）

（Ⅱ）在x轴 上是否存在一点P（m，0）（m∈R），使得过P点的直线交抛物线于D、E两点，
并以该弦DE为直 径的圆都过原点．若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，
请说明理由．

11．若给定椭圆C：ax
2
+by
2
=1（a＞0，b＞0，a≠b）和 点N（x
0
，y
0
），则称直线l：ax
0
x+by
0
y=1
为椭圆C的“伴随直线”．

（1）若N（x
0
，y
0
）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆
的交 点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；

（2） 命题：“若点N（x
0
，y
0
）在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交． ”写出这个命题的
逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；

（3）若N（x
0
，y
0
）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M
点（异于A、B），设，，问λ
1
+λ
2
是否为定值？说明理由．< br>
12．已知动点P与定点F（﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣4的距离的比是1：2，记 动点
P的轨迹为曲线E．

（Ⅰ）求曲线E的方程；

（Ⅱ）设A是 曲线E上的一个点，直线AF交曲线E于另一点B，以AB为边作一个平行四边
形，顶点A，B，C，D 都在轨迹E上，判断平行四边形ABCD能否为菱形，并说明理由；

（Ⅲ）当平行四边形ABCD的面积取到最大值时，判断它的形状，并求出其最大值．

13．已知O为坐标原点，直线l的方程为y=x+2，点P是抛物线y
2
=4x上到直线l 距离最小的
点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与
抛物线y
2
=4x交于点B．

（1）求点P的坐标；

（2）求证：直线AB恒过定点M；

（3）在（2）的条件下过M向x轴做垂线，垂 足为N，求S
四边形
OANB
的最小值．

14．已知圆B：（x+
线与BP交于点Q．

（I）求点Q的轨迹C的方程；

（II）直线l过点A且与x轴不重合，直线l交曲 线C于M、N两点，过B且与l垂直的直线
与圆B交于D，E两点，求四边形MDNE面积的取值范围．

15．已知圆E：（x+）
2
+y
2
=16，点F（，0 ），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分
）
2
+y
2
=16， 定点A（，0），P是圆周上任一点，线段AP的垂直平分
线和半径PE相交于点Q．

）

（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；

（2）过点C（﹣2，0）作两条互相垂直的直线l
1
，l
2
，若l
1
，l
2
分别与轨迹Γ相交于点A，B，
直线AB与x轴交于点M，过点M 作直线l交轨迹Γ于G，H两点，求△OGH面积的最大值．

16．一青蛙从点A
0
（x
0
，y
0
）开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次 是A
i
（x
i
，
y
i
）（i∈N
*
），（如图所示，A
0
（x
0
，y
0
）坐标以已知条件为 准），S
n
表示青蛙从点A
0
到点A
n
所
经过的路 程．

（1）若点A
0
（x
0
，y
0
）为 抛物线y
2
=2px（p＞0）准线上一点，点A
1
，A
2
均在该抛物线上，并
且直线A
1
A
2
经过该抛物线的焦点，证明S< br>2
=3p．

（2）若点A
n
（x
n
，y< br>n
）要么落在y=x所表示的曲线上，要么落在y=x
2
所表示的曲线上，并且
，试写出（不需证明）；

所表示的曲线上，要么落在所表示的（3）若点A
n
（x
n
，y
n
）要么落在
曲线上，并且A
0（0，4），求S
n
的表达式．


17．已知为抛物线y2
=2px（p＞0）的焦点，点N（x
0
，y
0
）（y
0
＞0）为其上一点，点
．

M与点N关于x轴对称，直线l与抛物线交于 异于M，N的A，B两点，且
（I）求抛物线方程和N点坐标；

（II）判断直线l 中，是否存在使得△MAB面积最小的直线l′，若存在，求出直线l′的方程和
△MAB面积的最小值 ；若不存在，说明理由．

18．⊙F
1
：（x+1）
2
+ y
2
=9．⊙F
2
：（x﹣1）
2
+y
2
=1．动圆M与⊙F
1
内切，与⊙F
2
外切．

（1）求M点的轨迹C的方程；

（2）设动直线l：y=kx+m与曲线C交于A， B两点，（O为原点）满足|
满足条件的动直线l中取两条直线l
1
，l
2< br>，其交点是N，当|
19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为
|=
+|=|﹣|．对
时，求l
1
，l
2
的夹角．

，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为
）

半径的圆与直线x﹣y+=0相切．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（ Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足
（O为坐标原点 ），当|﹣|＜时，求实数t取值范围．

+=t
20．已知可行域的外接圆C与x轴 交于点A
1
、A
2
，椭圆C
1
以线段A
1
A
2
为长
轴，离心率．

（1）求圆C及椭圆C
1
的方程；

（2）设椭圆C
1的右焦点为F，点P为圆C上异于A
1
、A
2
的动点，过原点O作直线P F的垂线
交直线于点Q，判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明．

的一个焦点和一个顶点．

21．已知直线x﹣y+1=0经过椭圆S：
（1）求椭圆S的方程；

（2 ）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在
第一象限，过P 作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率
为k．

①若直线PA平分线段MN，求k的值；

②对任意k＞0，求证：PA⊥PB．


22．已知动点P到直线x=2的 距离等于P到圆x
2
﹣7x+y
2
+4=0的切线长，设点P的轨迹为曲线< br>E；

（1）求曲线E的方程；

（2）是否存在一点Q（m，n），过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点，点 （，
）

）都在以原点为圆心，定值r为半径的圆上？若存在，求出m、n 、r的值；若不存在，
说明理由．

23．已知椭圆C的中心在坐标原点，它的一条准线为
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆于A、B两点，交y轴于M点，若
，求λ
1+λ
2
的值．

24．设点A，B分别是x，y轴上的两个动点，AB= 1．若
（Ⅰ）求点C的轨迹Г；

（Ⅱ）过点D作轨迹Г的两条切线，切点分别为P， Q，过点D作直线m交轨迹Г于不同的
两点E，F，交PQ于点K，问是否存在实数t，使得
2 5．已知椭圆
+=恒成立，并说明理由．

=λ（λ＞0）．

，离心率为．

的左、右焦点分别为F
1
、F
2
， 短轴两个端点为A、B，且四
边形F
1
AF
2
B是边长为2的正方形 ．

（1）求椭圆的方程；

（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动 点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证
明：为定值．

（3）在（2）的 条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过
直线DP、MQ的交点，若存 在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


26．已知椭圆E：=1（a＞b ＞0）的左、右焦点分别为F
1
、F
2
，离心率e=，P为椭
圆E上 的任意一点（不含长轴端点），且△PF
1
F
2
面积的最大值为2．

）

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ） 设直线l：x=my+1（m∈R）交椭圆E于A、B两点，试探究：点M（3，0）与以线段
AB为直 径的圆的位置关系，并证明你的结论．


27．已知椭圆（m＞n＞0）的离心率e 的值为，右准线方程为x=4．如图所示，
椭圆C左右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线交椭圆C于 M，N，直线AM，MB交于点P．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若 点P（4，），直线AN，BM的斜率分别为k
1
，k
2
，求．

（3）求证点P在一条定直线上．


28．若曲线C
1
： +=1（a＞b＞0），（y≤0）的离心率e=且过点P（2，﹣1），曲线
C
2
： x
2
=4y，自曲线C
1
上一点A作C
2
的两条切线切点分 别为B，C．

（Ⅰ）求曲线C
1
的方程；

（Ⅱ）求S
△
ABC
的最大值．

）

29．已知椭圆x
2
+2y
2
=1，过原点的两条直线l
1
和l
2
分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△ AOC
的面积为S．

（1）设A（x
1
，y
1
） ，C（x
2
，y
2
），用A、C的坐标表示点C到直线l
1
的距离，并证明S=
（2）设l
1
：y=kx，，S=，求k的值；

|；

（3）设l
1
与l
2
的斜率之积为m，求m 的值，使得无论l
1
和l
2
如何变动，面积S保持不变．

30．已知椭圆
圆C
1
的短半轴长为半径的圆相切．

（1）求椭圆C
1
的方程；

（2）设椭圆C
1
的 左焦点为F
1
，右焦点为F
2
，直线l
1
过点F
1
且垂直于椭圆的长轴，动直线l
2
垂直于直线l
1
，垂足为点P，线 段PF
2
的垂直平分线交l
2
于点M，求点M的轨迹C
2
的 方程；

（3）设C
2
与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C
2< br>上，且满足
围．

31．已知椭圆
的圆与直线
（a＞b＞0） 的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径
相切．

，求的取值范
的离 心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭
（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设 P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C
于另一点E，证 明直线AE与x轴相交于定点Q；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M， N两点，求
32．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为
）

的取值范围．

，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m

交椭圆于不同的两点A，B．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求m的取值范围；

（Ⅲ）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．

33 ．已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于
A，B 的动点，且△APB面积的最大值为
（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；

（Ⅱ）直线A P与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为
直径的圆与直线PF的位 置关系，并加以证明．

34．已知抛物线C
1
：y
2
=2 px（p＞0）的焦点F以及椭圆C
2
：
顶点均在圆O：x
2
+y< br>2
=1上．

（Ⅰ）求抛物线C
1
和椭圆C
2
的标准方程；

（ Ⅱ）过点F的直线交抛物线C
1
于A、B两不同点，交y轴于点N，已知
，求证：λ< br>1
+λ
2
为定值．

（Ⅲ）直线l交椭圆C
2
于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P′、Q′，
，若点S满足：，证明：点S在椭圆C< br>2
上．

+=1（a＞b＞0）有一
的上、下焦点及左、右
．

35．已知点 P（4，4），圆C：（x﹣m）
2
+y
2
=5（m＜3）与椭圆E：
个公共点A（3，1），F
1
、F
2
分别是椭圆的左、右焦点，直线PF< br>1
与圆C相切．

（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；

（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求?的取值范围．


）

36．设函数f（x）=a
2
x
2
（a＞ 0），g（x）=blnx．

（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x﹣y﹣3=0距离的最小值为，求a的值；
< br>（2）关于x的不等式（x﹣1）
2
＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取 值范围；

（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使 得f（x）≥kx+m
和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x） 的“分界线”．设，
b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线” 的方程；若不存在，
请说明理由．

37．已知双曲线C：
（1）求双曲线C的方程；

（2）设经过焦点F2
的直线l的一个法向量为（m，1），当直线l与双曲线C的右支相交于A，
B不同的两 点时，求实数m的取值范围；并证明AB中点M在曲线3（x﹣1）
2
﹣y
2
=3上．

（3）设（2）中直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，问是否存在实数m， 使得∠AOB
为锐角？若存在，请求出m的范围；若不存在，请说明理由．

38．已知椭圆
（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠ 0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过
定点，求k的取值范围．
+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为
过点，且离心率e=．

的一个焦点是F
2
（2，0），且．

39．已知椭圆C：
半径的圆与直线x﹣y+
（1）求椭圆C的方程；

=0相切．过点（m，0）作圆的切线l交椭圆C于A，B两点．

（2）将△OAB的面积表示为m的函数，并求出面积的最大值．

40．已知直线y =﹣x+1与椭圆
（1）若椭圆的离心率为
=1（a＞b＞0）相交于A、B两点．

，焦距为2，求椭圆的标准方程；

时，求椭圆的长轴长的（2）若OA⊥OB（其中 O为坐标原点），当椭圆的离率e∈
最大值．

）

41．已知抛物线C
1
：y
2
=2px（ p＞0）与直线x﹣y+1=0相切，椭圆C
2
：
的一个焦点与抛物线C
1< br>的焦点F重合，且离心率为
（1）求抛物线C
1
与椭圆C
2
的 方程；

（2）若在椭圆C
2
上存在两点A，B使得
42．已知椭圆 +
=λ（λ∈[﹣2，﹣1]），求|
+=1（a＞b＞0）
，点M（a
2< br>，0）．

+|的最小值．

=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦 点F且垂直于x轴的直线被椭圆
截得的弦长为1，过点（m，0）（0＜m＜a）的直线与椭圆交于A， B两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点 P（，0）作垂直于x 轴的直线l，在直线l上是否存在点Q，使得△ABQ为等边
三角形？若存在，试求出点Q的坐标；若不 存在，请说明理由．

43．如果一条抛物线y=ax
2
+bx+c（a≠0 ）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两
个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三 角形”．

（Ⅰ）“抛物线三角形”一定是 三角形（提示：在答题卡上作答）；

（Ⅱ）若抛物线m：y=a（x﹣2）
2
+b（a＞0，b＜0）的“抛物线三角形”是直角三角形，求a，
b满足的关系式；
（Ⅲ）如图，△OAB是抛物线n：y=﹣x
2
+tx（t＞0）的“抛物线三角形”，是

否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达 式；
若不存在，说明理由．


44．如图，P是抛物线y
2
=2x上的动点，点B，C在y轴上，圆（x﹣1）
2
+y
2
=1内切于△ PBC，
求△PBC面积的最小值．

）

45．设抛物线过定点A（﹣1，0），且以直线x=1为准线．

（Ⅰ）求抛物线顶点的轨迹C的方程；

（Ⅱ）若直线l与轨迹C交于不同的两点M， N，且线段MN恰被直线x=﹣平分，设弦MN
的垂直平分线的方程为y=kx+m，试求m的取值范围 ．

46．已知双曲线C
1
：
x
2
﹣y
2
=m（m＞0）与椭圆
它们的一个公共点．

（1）求C
1
，C
2
的方程；

（2）过点F2
且互相垂直的直线l
1
，l
2
与圆M：x
2
+（y+1）
2
=4分别相交于点A，B和C，D，
求|AB|+|CD|的最大值， 并求此时直线l
1
的方程．

47．如图，P是圆x
2
+y
2
=4上的动点，P点在x轴上的投影是D，点M满足
（1）求动点M的轨迹C的方程 ，并说明轨迹是什么图形；

（2）过点N（3，0）的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两 点A，B，求以OA，OB为邻
边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．

（3 ）若存在点Q（a，0），使得四边形QAFB为菱形（A，B意义同（2）），求实数a的取值范
围．

．

有公共焦点F
1
F
2
，点是

）

48．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1），

（Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）与圆x
2
+（y+1）
2
=1相切的直线l：y=kx+t交抛物线于不同的两点M，N，若抛物线上
一点C满足（ λ＞0），求λ的取值范围．


49．已知椭圆C：
（Ⅰ）求椭圆C的方程；

的离心率为，点Q（）在椭圆C上．

（Ⅱ）设P为椭圆C上异于其顶点的动点，O为 坐标原点，过椭圆右焦点F
2
作OP平行线交
椭圆C于A、B两点．

（i）试探究|OP|
2
和|AB|的比值是否为一个常数？若是，求出这个常数，若不是， 请说明理
由．

（ii）记△PF
2
A的面积为S
1
，△OF
2
B的面积为S
2
，令S=S
1
+S
2
，求证：S
50．已知椭圆C：
径的圆与直线x﹣y+
+
．

=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴为半
=0相切．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆的右焦点F的直线l
1
与椭 圆交于A、B，过F与直线l
1
垂直的直线l
2
与椭圆交于C、
D， 与直线l
3
：x=4交于P；

①求证：直线PA、PF、PB的斜率kPA
，k
PF
，k
PB
成等差数列；

②是否 存在常数λ使得|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|成立，若存在，求出λ的值，若不存在，请说
明理由．

）

51．已知抛物线 C：y=ax
2
（a＞0）上的点P（b，1）到焦点的距离为，

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）如图，已知动线段AB（B在A右边）在直线l：y=x﹣ 2上，且，现过A作C
的切线，取左边的切点M，过B作C的切线，取右边的切点为N，当MN∥AB， 求A点的横
坐标t的值．


52．椭圆
﹣1）
2
+y
2
=1．

=1 （a＞b＞0）的离心率为，左焦点F到右准线l的距离为10，圆G：（x
（1）求椭圆的方程；
（2）若P是椭圆上任意一点，过点P作圆G的切线，切点为Q，过点P作右准线l的垂线，垂足为H，求的取值范围；

（3）是否存在以椭圆上的点M为圆心的圆M，使得过圆M上 任意一点N作圆G的切线（切
点为T）都满足？若存在，请求出圆M的方程；若不存在，请说明理
）

由．
53．如图，椭圆

的左、 右焦点为F
1
，F
2
，上、下顶点分别为B
1
，B
2
，离
心率为e，其右准线l：x=4，且过点P（1，3e）．

（1）求椭圆的方程：

（2）连接B
1
F
2
并延 长交椭圆于点M，连接B
2
M并延长交右准线l于点N，求点N的坐标：

（ 3）是否存在非零常数λ，μ，使得对椭圆上任一点Q，总有且AB=μ（其中点A在
x轴上，点B在y 轴上），若存在，求出常数λ，μ的值；若不存在，请说明理由．


54．已知椭圆 E：+=1（a＞b＞0），椭圆E的右焦点到直线l：x﹣y+1=0的距离为
．

．椭
圆E的右顶点到右焦点与直线x=2的距离之比为
（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线l与椭圆E交于M，N两点，l与x轴，y轴分别交于C，D两点，记MN的中点
为G，且C，D两点到直线OG的距离相等，当△OMN的面积最大时，求△OCD的面积．

55．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l
1
：y=2x，l2
：y=﹣2x．

（1）求双曲线E的离心率；

）

（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l
1
，l
2
于A，B两点（A，B分别在第一、
第四象限），且△OAB的面积恒 为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双
曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若 不存在，说明理由．


56．如图，已知椭圆C
1
：+=1（a＞ b＞0）的左右两焦点分别为F
1
，F
2
，P是椭圆上一点，
且在x 轴上方，PF
1
⊥F
1
F
2
，PF
2
=3 PF
1
，过P，F
1
，F
2
三点的圆C
2
截y轴的线段长为6，过点F
2
做直线PF
2
的垂线交直线l：x=4
（Ⅰ）求椭圆C
1
的方程；

（Ⅱ）证明：直线PQ与椭圆C
1
只有一个交点；

（Ⅲ）若过直线 l：x=4上任意一点A引圆C
2
的两条切线，切点分别为M，N，试探究直线
于点Q

MN是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．

57．已知点A，B的坐标分别是（0，﹣1），（0，1），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积﹣．

（1）求点M轨迹C的方程；

（2）若过点D（2，0） 的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在D、F之间），
试求△ODE与△ODF面积 之比的取值范围（O为坐标原点）．

58．已知圆C
1
的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线l
1
：
）

相切．

（1）求圆的标准方程；

（2）设点A为圆上一动点，A N⊥x轴于N，若动点Q满足：
非零常数），试求动点Q的轨迹方程C
2
；

（3）在（2）的结论下，当
点，求△OBD面积的最大值．

59．如图， O为坐标原点，点F为抛物线C
1
：x
2
=2py（p＞0）的焦点，且抛物 线C
1
上点P处
的切线与圆C
2
：x
2
+y
2
=1相切于点Q．

（Ⅰ）当直线PQ的方程为x﹣y﹣=0时，求抛物线C
1
的方程；

的最小值．

时，得到曲线C，与l
1
垂直的直线l与曲线C交于B 、D两
，（其中m为
（Ⅱ）当正数p变化时，记S
1
，S
2
分别为△FPQ，△FOQ的面积，求

60．已知中心在原点O，左右焦点分别为F
1
，F
2
的椭圆的离心率为
是椭圆上两点．

，焦距为2， A，B
（1）若直线AB与以原点为圆心的圆相切，且OA⊥OB，求此圆的方程；

（2）动点P满足：


=+3，直线OA与OB的斜率的乘积为﹣，求动点P的轨迹方程．

）

圆锥曲线60道题

参考答案与试题解析



一．解答题（共60小题）

1．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y
2
=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点 分别是F
1
，F
2
，
直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交 于A，B两点．

（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF
1
F
2
是直角三角形，求a的值；

（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；

（3）若a=2，且k
OA
?k
OB
=﹣，求证：△OAB的面积为定值．

【分析】（1）根据△MF
1
F
2
是直角三角形，即可O F
1
=OM，分类讨论即可即可求得a的值方程；

（2）将直线方程，代入 椭圆方程，根据韦达定理，以及向量的数量积即可求出m
2
（a
2
+1）=2a
2
；

（3）将直线方程，代入椭圆方程，根据韦达定理及直线的 斜率公式，求得2m
2
﹣4k
2
=1．由
弦长公式及点到直线的距离 公式，求得丨AB丨及d，根据三角形的面积公式，化简即可求得
△AOB的面积为定值
【解答】解：（1）∵M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF
1
F
2
是直 角三角形，

∴△MF
1
F
2
为等腰直角三角形，

∴OF
1
=OM，

当a＞1时，
当0＜a＜1时，
=1，解得a=，

，
< br>=a，解得a=
（2）当k=1时，y=x+m，设A（x
1
，y
1< br>），（x
2
，y
2
），

由，即（1+a
2
）x
2
+2a
2
mx+a
2
m
2
﹣a
2
=0，

∴x
1
+x
2
=﹣，x< br>1
x
2
=，

）

∴y
1
y
2
=（x
1
+m）（x
2
+ m）=x
1
x
2
+m（x
1
+x
2
）+m
2
=
∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，

∴?=0，

，

∴x
1
x
2
+ y
1
y
2
=0，

∴+=0，

∴a2
m
2
﹣a
2
+m
2
﹣a
2
=0

∴m
2
（a
2
+1）=2a
2
，

（3）证明：当a=2时，x
2
+4y
2
=4，

设A（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
），

∵k
OA
?k
OB
=﹣，

∴?=﹣，

∴x
1
x
2
=﹣4y
1y
2
，

由，整理得，（1+4k
2
）x
2< br>+8kmx+4m
2
﹣4=0．

∴x
1
+x
2
=，x
1
x
2
=，

∴y
1
y
2
=（kx
1
+m）（kx
2
+m）=k
2x
1
x
2
+km（x
1
+x
2
）+m
2

=++m
2
=，

∴=﹣4×，

∴2m
2
﹣4k
2
=1，

∴|AB|=?=?

=2?=

）

∵O到直线y=kx+m的距离d==，

∴S
△
OAB
=|AB|d==?==1

【点评】本题考 查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，
根据方程的根与系数的关系解 题，这是处理这类问题的最为常用的方法，考查了弦长公式及
点到直线的距离公式，考查向量加法，考查 计算能力，是高考试卷中的压轴题，属于难题．



2．已知椭圆
AF
1
F
2
中，
（1）求椭圆Γ的方程；

（2） 设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为﹣1，
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标；

（3）记第（2）问所求的定点为E，点P为椭圆Γ上的一个 动点，试根据△AEP面积S的不同
取值范围，讨论△AEP存在的个数，并说明理由．
（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F
1
、F
2
，设点A（0，b），在 △
，周长为．


【分析】（1）由已知可得
可求；
，且，联立可得a，b的值，则椭圆方程
（2）设直线l方程：y=kx+m，交点B（x
1
，y
1
），C（x
2
，y
2
），联立直线方程与 椭圆方程，化
为关于x的一元二次方程，由斜率公式、根与系数的关系及k
AB
+k< br>AC
=﹣1，可得m=﹣2k﹣1，
得到直线方程y=kx+m=kx﹣2k﹣1，由直 线系方程可得直线l过定点，并求出该定点的坐标；

（3）直线l
AE
：x +y﹣1=0，求得|AE|，设直线l：y=﹣x+t与椭圆相切，联立后由判
别式等于0求得t值， 求出两切线到l
AE
：x+y﹣1=0的距离，再求出△AEP面积S的不同取值
范围 ，然后对面积分类分析△AEP的个数．

【解答】（1）解：由
）

，得，∴…①

又△AF
1
F
2
周长为
联立①②，解得
∴椭圆方程为
，∴
．

；

…②

（2）证明：设直线l方程：y=kx+m，交点B（x
1
，y
1
），C（x
2
，y
2
）

由，得（1+4k
2
）x
2
+8kmx+4（m
2
﹣1）=0．

，

，

依题：k
AB
+ k
AC
=﹣1，即：
∵y
1
=kx
1
+m，y2
=kx
2
+m，

∴，得
，

，则m=﹣2k﹣1．

∴y=kx+m=kx﹣2k﹣1过定点（2，﹣1）；

（3）解：l
AE
：x+y﹣1=0，
设直线l：y=﹣x+t与椭圆相切，

．

由，得．

由△=4t
2
﹣5（t
2
﹣1）=0，得t=．

，

．

得两切线到l
AE
：x+y﹣1=0的距 离分别为
∴
当
当
当
，
时，△AEP个数为0个；

时，△AEP个数为1个；

时，△AEP个数为2个；

）

当
当
时，△AEP个数为3个；

时，△AEP个数为4个．

【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置 关系的应用，体现了分类讨论的数
学思想方法，考查运算能力，属难题．



3．已知椭圆C
1
：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F
1
、 F
2
，其中F
2
也是抛物线C
2
：
y
2< br>=4x的焦点，M是C
1
与C
2
在第一象限的交点，且|MF
2
|=．

（Ⅰ）求椭圆C
1
的方程；

（Ⅱ）已 知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C
1
上，顶点B，D在直线7x﹣7y+1=0上，求直线
AC的方程．

【分析】（I）设点M为（x
1
，y
1），由F
2
是抛物线y
2
=4x的焦点，知F
2
（1， 0）；|MF
2
|=，由
抛物线定义知x
1
+1=，即x
1
=；由M是C
1
与C
2
的交点，y
1
2
= 4x
1
，由此能求出椭圆C
1
的方
程．

（II） 直线BD的方程为：7x﹣7y+1=0，在菱形ABCD中，AC⊥BD，设直线AC的方程为x+y=m，< br>2
，得7x
2
﹣8mx+4m
2
﹣12=0．由点A、C在椭 圆C
1
上，知（﹣8m）﹣4×7×（4m
2
由
﹣12）＞0，由此 能导出直线AC的方程．

【解答】解：（I）设点M为（x
1
，y
1
），

∵F
2
是抛物线y
2
=4x的焦点，

∴F
2
（1，0）；

又|MF
2
|=，由抛物线定义知

x
1
+1=，即x
1
=；

由M是C
1
与C
2
的交点，

∴y
12
=4x
1
，即y
1
=±
又点M（，
，这里取 y
1
=；

）在C
1
上，

）

∴+=1，且b
2
=a
2
﹣1，

（舍去），

∴9a
4
﹣37a
2
+4=0，∴< br>∴a
2
=4，b
2
=3；

∴椭圆C
1
的方程为：

（II）∵直线BD的方程为：7x﹣7y+1=0，在菱形ABCD中，AC⊥BD，

不妨设直线AC的方程为x+y=m，

则

∴消去y，得7x
2
﹣8mx+4m
2
﹣12=0；

∵点A、C在椭圆C
1
上，

∴（﹣8m）
2
﹣4 ×7×（4m
2
﹣12）＞0，即m
2
＜7，∴﹣
设A（x
1
，y
1
），C（x
2
，y
2
），
则x
1
+x
2
=，y
1
+y
2
=（﹣ x
1
+m）+（﹣x
2
+m）=﹣（x
1
+x
2< br>）+2m=﹣
，

也在直线BD：7x﹣7y+1=0上，

知：

+2m=，

＜m＜；

∴AC的中点坐标 为
由菱形ABCD知，点
即7×﹣7×+1=0，∴m=﹣1，由m=﹣1∈
直线AC 的方程为：x+y=﹣1，即x+y+1=0．

【点评】本题考查椭圆方程和求法和直线方程 的求法，解题时要认真审题，注意抛物线的性
质的灵活运用，注意合理地进行等介转化．



4．已知F
1
（﹣2，0），F
2
（2，0） ，点P满足|PF
1
|﹣|PF
2
|=2，记点P的轨迹为E．

（1）求轨迹E的方程；

（2）若直线l过点F
2
且与轨迹E交于P、Q两点．

（i）无论 直线l绕点F
2
怎样转动，在x轴上总存在定点M（m，0），使MP⊥MQ恒成立，求
实数m的值．

（ii）在（i）的条件下，求△MPQ面积的最小值．

）

【分析】（1）利用双曲线的定义及其标准方程即可得出；

（2）当直线l的斜率存 在时，设直线方程为y=k（x﹣2），P（x
1
，y
1
），Q（x
2
，y
2
），与双曲线
方程联立消y得（k
2
﹣3）x2
﹣4k
2
x+4k
2
+3=0，利用根与系数的关系、判别式 解出即可得出．

（i）利用向量垂直与数量积的关系、根与系数的关系即可得出；

（ii）利用点到直线的距离公式、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即
可得出．

【解答】解：（1）由|PF
1
|﹣|PF
2
| =2＜|F
1
F
2
|知，点P的轨迹E是以F
1
、F
2
为焦点的双曲线右
支，

由c=2，2a=2，∴b
2
=3，

故轨迹E的方程为．﹣﹣（3分）

（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y= k（x﹣2），P（x
1
，y
1
），Q（x
2
，y
2
），

与双曲线方程联立消y得（k
2
﹣3）x
2
﹣4k
2
x+4k
2
+3=0，∴，解得k
2
＞3﹣﹣（5分）

（i）∵

∵MP⊥MQ，∴，

故得3 （1﹣m
2
）+k
2
（m
2
﹣4m﹣5）=0对任意的k< br>2
＞3恒成立，

∴．∴当m=﹣1时，MP⊥MQ．

当直线l的斜率不存在时，由P（2，3），Q（2，﹣3）及M（﹣1，0）知结论也成立，

综上，当m=﹣1时，MP⊥MQ．﹣﹣（8分）

）

（ii）由（i）知，M（﹣1，0），当直线l的斜率存在时，，M
点到直线PQ的距离为d，则

∴﹣﹣（10分）

令k
2
﹣3=t（t＞0），则，因为

所以
当直线l的斜率不存在时，
﹣﹣（12分）

﹣﹣（13分）

综上可知S
△
MPQ
≥9，故S
△
MPQ
的最小值为9．﹣﹣（14分）


【点评】本题考查了双 曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题、向量垂直与数量
积的关系、一元二次方程的根与系数 的关系、点到直线的距离公式、弦长公式、点到直线的
距离公式、三角形的面积计算公式、向量垂直与数 量积的关系，考查了推理能力与计算能力，
属于难题．



5．在 平面直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为B（0，﹣1），C（0，1），平面内两点P、Q
同时满 足：

①++=；②||=||=||；③∥．

（1）求顶点A的轨迹E的方程；

）

（2）过点F（，0）作两条互相垂直的直线l
1
，l
2
，直线l
1
，l
2
与点A的轨迹E的相交弦分
别为A
1
B
1
，A
2
B
2
，设弦A
1
B
1
，A
2
B
2
的中点分别为M，N．

（ⅰ）求四边形A
1
A
2
B
1
B
2
的面积S的最小值；
< br>（ⅱ）试问：直线MN是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明
理由．

【分析】（1）由
|
|
|=|
|=|
|=|++=可得P为△ABC的重心，设A（x，y），则P（
∥，可得Q（
），再由
），结合|，知Q是△ABC的外心，Q在x轴上，再由
|求得顶点A的轨迹E的方程；
，0）恰为的右焦点．当直线l
1
，l
2
的斜率存在且不为0时，设直线 l
1
的（2）F（
方程为my=x﹣．联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元 二次方程，利用根与系数的
关系求得A、B的纵坐标得到和与积．

（ⅰ）根据焦半径 公式得|A
1
B
1
|、|A
2
B
2
|，代 入四边形面积公式再由基本不等式求得四边形
A
1
A
2
B
1
B
2
的面积S的最小值；

（ⅱ）根据中点坐标公式得M、N的坐标 ，得到直线MN的方程，化简整理令y=0解得x值，
可得直线MN恒过定点；当直线l
1，l
2
有一条直线的斜率不存在时，另一条直线的斜率为0，
直线MN即为x轴， 过点（
【解答】解：（1）由
设A（x，y），则P（
由∥，可得Q（
++< br>）．

=，得
|=|
|=|
|=|
|，得
， ∴P为△ABC的重心，

|，知Q是△ABC的外心，∴Q在x轴上，

．

），由|
），由|
（x≠0）；

化简整理得：
（2）F（，0）恰为的右焦点．

．

①当 直线l
1
，l
2
的斜率存在且不为0时，设直线l
1
的方程为my=x﹣
联立，得．

设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），则．

）

（ⅰ）根据焦半径公式得：
又=
，

．

∴=，同理|A
2
B
2
|==．

则≥6．

当m
2
+3=3m
2
+1，即m=±1时取等号．

（ⅱ）根据中点坐标公式得：M（），同理可得N（）．

则直线MN的斜率为k
MN
==．

∴直线MN的方程为
化 简整理得：
令y=0，解得x=，∴直线MN恒过定点（
，

．

）．

②当直线l
1
，l
2
有一条直线的斜率不存 在时，另一条直线的斜率为0，

直线MN即为x轴，过点（）．

）．

综上，S的最小值为，直线MN过定点（
【点评】本题考查轨迹方程的 求法，考查椭圆的简单性质，训练了直线与椭圆位置关系的应
用，考查计算能力，是压轴题．



6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：
（Ⅰ）求椭圆E的方程．

）

=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．

（Ⅱ）如图，动直线l：y=k
1
x﹣
斜率为k
2
，且k
1
k
2
=
交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的
， M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为
|MC|，OS，OT是⊙ M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值
时直线l的斜率．


【分析】（Ⅰ）由题意得关于a，b，c的方程组，求解方程组得a，b的值，则椭圆方程可 求；

（Ⅱ）设A（x
1
，y
1
），B（x
2，y
2
），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，
B的横坐标的 和与积，由弦长公式求得|AB|，由题意可知圆M的半径r，则
r=．由题意设知．得到直线OC的方 程，与椭圆方程联
=．转化为关于k
1
立，求得C点坐标，可得|OC|，由题意可知 ，sin
的函数，换元后利用配方法求得∠SOT的最大值为
．

，取得最大值时直线l的斜率为
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，解得a=，b=1．

∴椭圆E的方程为；

（Ⅱ）设A（x
1
，y
1
） ，B（x
2
，y
2
），

联立，得．

）

由题意得△=
，
＞0．

．

∴|AB|=
由题意可知圆M的半径r为

r=．

．

由题意设知，，∴．

因此直线OC的方程为．

联立，得．

因此，|OC|=
由题意可知，sin=
．

．

而=．

令t=
因此，
，则t＞1，∈（0，1），

=≥1．

当且仅当
∴
，即t=2时等式成立，此时
，因此．

．

）

∴∠SOT的最大值为．

，取得最大值时直线l的斜率为．

综上所述：∠SOT的最大值为

【点评】本题考查直线与圆、圆与椭圆位置关系的应 用，训练了利用配方法求函数的最值，
考查计算能力，是压轴题．


7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，F
1
、F
2
分别为左、右焦 点，椭圆的一个顶点与两
焦点构成等边三角形，且|
（1）求椭圆方程；

（ 2）对于x轴上的某一点T，过T作不与坐标轴平行的直线L交椭圆于P、Q两点，若存在x
轴上的点S ，使得对符合条件的L恒有∠PST=∠QST成立，我们称S为T的一个配对点，当T
为左焦点时，求 T 的配对点的坐标；

（3）在（2）条件下讨论当T在何处时，存在有配对点？

【分析】（1）设椭圆的顶点为P，由|
得2a，结合b
2
=a
2< br>﹣c
2
可求
椭圆的方程

（2）可设过T的直线方程为y=k （x+1），（k≠0），联立椭圆方程整理可得（3+4k
2
）x
2
+8k
2
x+4
（k
2
﹣3）=0，设P（x
1
，y1
），Q（x
2
，y
2
），S （a，0），由∠PST=∠QST 可得k
PS
=﹣K
QS
即
，结 合方程的根与系数的关系代入可求a

（3）设T（x
0
，0），直线PQ的方程y=k（x﹣x
0
），S （a，0），使得对符合条件的L恒有∠PST=
∠QST成立，则T必须在P，Q 之间即﹣2＜x
0
＜2

同（2）的整理方法，联立直线与椭圆方程由∠PS T=∠QST可得，2x
1
x
2
﹣（a+x
0
）（x
1
+x
2
）+2ax
0
=0，
同（2）的方法一样代入可 求

）

|=2．

|=2=2c可得c=1，由PF< br>1
=PF
2
=2结合椭圆的定义可

【解答】 解：（1）设椭圆的顶点为P，由|
PF
1
=PF
2
=2可得2a= 4

∴a=2，b
2
=a
2
﹣c
2
=3

椭圆的方程为：
（2）∵T（﹣1，0），


|=2=2c可得c=1

则过可设过T的直线方程为y=k（x+1），（k≠0），

联立椭圆方程整理可得 （3+4k
2
）x
2
+8k
2
x+4（k
2
﹣3）=0

设P（x
1
，y
1
），Q（x
2< br>，y
2
），S （a，0），则
∵∠PST=∠QST∴k
PS
=﹣K
QS

∴

，

∴

整理可得2x
1
x
2
+（1﹣a）（x
1
+x
2
）﹣2a=0

即
∴a=﹣4

（3）设T（x
0
，0），直线PQ的方程y=k（x﹣x
0
），S （a，0）

使得对符合条件的L恒有∠PST=∠QST成立，则T必须在P，Q 之间即﹣2＜x
0
＜2

同（2）的整理方法，联立直线与椭圆方程可得，< br>由∠PST=∠QST可得，2x
1
x
2
﹣（a+x
0
）（x
1
+x
2
）+2ax
0
=0

同（2）的方法一样代入可求a=


，

【点评】本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆的方程，及直线与椭圆的相交关系的 应用，
解题的关键是具备一定的逻辑推理与运算的能力．



8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：x
2
=4y的焦点F是椭圆
）

（a＞b＞0）的

一个顶点．过点F且斜率为k（k≠0 ）的直线l交椭圆C于另一点D，交抛物线E于A、B两
点，线段DF的中点为M，直线OM交椭圆C于 P、Q两点，记直线OM的斜率为k'，满足
．

（1）求椭圆C的方程；

（2）记△PDF的面积为S
1
，△QAB的面积为S
2
，设
最大值时直线l的方程．

，求实数λ的最大值及取得

【分析】（1）由 题意设出直线l的方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，求出D的坐标，利用中
点坐标公式求得M的坐 标，得到OM的斜率结合已知求得a值，则椭圆方程可求；

（2）由（1），知点D的坐标为 （），又F（0，1），可得|DF|．由，
利用弦长公式求得|AB|．求出直线OM的方程为y=﹣ ．由，求得P、Q的坐
标，由点到直线的距离公式求得点P到直线kx﹣y+1=0的距离，点Q
到直线kx﹣y+1=0的距．代入三角形面积公式，整理后利用基本不等式
求得实数λ的最大值及取 得最大值时直线l的方程．

【解答】解：（1）由题意可设直线l的方程为y=kx+1，

，得（1+a
2
k
2
）x
2
+2a
2
kx=0．

联立
解得：，．

∴M（
）

，），则k′=，

由
∴a
2
=4．

，得．

则椭圆C的方程为；

），又F（0，1），

（2）由（1），知点D的坐标为（
∴|DF|=．

由，得x
2
﹣4kx﹣4=0．

△=16k
2
+16＞0恒成立．

设A（x
1
， y
1
），B（x
2
，y
2
），则x
1
+x
2
=4k，x
1
x
2
=﹣4．

因此
由题意，直线OM的方程为y=﹣．

=．

由，得（ 1+4k
2
）x
2
﹣16k
2
=0．

显 然，△=﹣4（1+4k
2
）（﹣16k
2
）＞0恒成立，且x=．

不妨设，则．

∴点P的坐标为（），而点Q的坐标为（）．

点P到直线kx﹣y+1=0的距离，

点Q到直线kx﹣y+1=0的距离．

∴=．

）

==．

∴S
1
S
2
=
∵
∴
，

=
时，等号成立．

=．

=．

当且仅 当3k
2
=k
2
+1，即k=
∴实数λ的最大值为，λ取最大值时的 直线方程为．


【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆、抛物线位置 关系的应用，考查逻辑
推理能力与运算能力，属压轴题．



9．给定椭圆C：=1（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆m
．

的“伴随圆”． 若椭圆C的一个焦点为F
2
（
（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
，0），其短轴上的一个端点到F
2
距离为
（Ⅱ）若过点P（0，m）（m＜0） 的直线l与椭圆C只有一个公共点，且l截椭圆C的“伴随
圆”所得的弦长为2，求m的值；

（Ⅲ）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线l
1
，l
2
，使得l< br>1
，l
2
与椭圆C都只有一个公共点，
试判断直线l
1
，l
2
的斜率之积是否为定值，并说明理由．

【分析】（Ⅰ）直接根据条件求出
“伴随圆”的方程；

（Ⅱ）先设出直线方 程，与椭圆方程联立，根据直线l与椭圆C只有一个公共点得到k，m之
间的关系；再结合l截椭圆C的 “伴随圆”所得的弦长为
）

，半焦距，得到椭圆方程，进而根据定义求出其
，即可求m的值；

（Ⅲ）设出过点Q（x
0
，y
0
），与椭 圆只有一个公共点的直线方程，联立直线方程与椭圆方程
根据交点只有一个，得到关于k与点Q坐标之间 的等式，最后再结合Q在伴椭圆上即可的出
结论．

【解答】解：（Ⅰ）由题意得：
则b=1椭圆C方程为

，半焦距

“伴随圆”方程为x
2
+y
2
=4…（4分）

（Ⅱ）则设过点P且与椭圆有一个交点的直线l为：y=kx+m，

整理得（1+3 k
2
）x
2
+6kmx+（3m
2
﹣3）=0
< br>则
所以△=（6km）
2
﹣4（1+3k
2
）（3m
2
﹣3）=0，解3k
2
+1=m
2
①…（6分）

又因为直线l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为
则有
，

化简得m
2
=2（k
2
+1）②…（8分）

联立①②解得，k
2
=1，m
2
=4，

所以k=±1，m=﹣2（∵m＜0），则P（0，﹣2）…（10分）

（Ⅲ）当l
1
，l
2
都有斜率时，设点Q（x
0
，y
0
），其中x
0
2
+y
0
2
=4，

设经 过点Q（x
0
，y
0
），与椭圆只有一个公共点的直线为y=k（x﹣x0
）+y
0
，

由，消去y得到x
2
+3[k x+（y
0
﹣kx
0
）]
2
﹣3=0…（12分）

即（1+3k
2
）x
2
+6k（y
0
﹣kx
0
）x+3（y
0
﹣kx
0
）
2
﹣3=0，
△=[6k（y
0
﹣kx
0
）]
2
﹣4?（ 1+3k
2
）[3（y
0
﹣kx
0
）
2
﹣ 3]=0，

经过化简得到：（3﹣x
0
2
）k
2
+2x
0
y
0
k+1﹣y
0
2
=0，…（14分）

因为x
0
2
+y
0
2
=4，所以有（3 ﹣x
0
2
）k
2
+2x
0
y
0
k +（x
0
2
﹣3）=0，

设l
1
，l
2
的斜率分别为k
1
，k
2
，

因为l
1
，l
2
与椭圆都只有一个公共点，

所以 k
1
，k
2
满足方程（3﹣x
0
2
）k
2
+2x
0
y
0
k+（x
0
2
﹣3）=0，

因而k
1
?k
2
=﹣1，即直线l
1
， l
2
的斜率之积是为定值﹣1…（16分）

【点评】本题主要考查在新定义下圆与圆锥曲线的综合问题．解决新定义的题目，一定要理
）

解定义，避免出错．



1 0．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1，﹣3）、N（5，1），若点C满足
（1﹣t ）（t∈R），点C的轨迹与抛物线：y
2
=4x交于A、B两点．

⊥；

=t+
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）在x轴上是否存在一点P（m，0 ）（m∈R），使得过P点的直线交抛物线于D、E两点，
并以该弦DE为直径的圆都过原点．若存在， 请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，
请说明理由．

【分析】（1）欲证两向 量垂直，通过向量的坐标运算，就是证明它们的数量积为0，将直线
与抛物线的方程组成方程组，利用设 而不求的

方法求解；

（2）对于存在性问题，可设假设存在，本题中将垂 直关系合理转化，找出m的一个相等关
系，从而解出了m的值，即说明存在．

【解答】解：（Ⅰ）解：由
线，

故点C的轨迹方程是：即y=x﹣4．

由得x
2
﹣12x+16=0．

∴x
1
x
2
=16，x
1
+x
2
=12

∴y
1
y
2
=（x
1
﹣4）（x
2
﹣4）=x
1
x
2
﹣4（x
1
+x
2
）+16=﹣16

∴x
1
x
2
+y
1
y
2
=0 故⊥．

=t+（1﹣t）（t∈R），知点C的轨迹是M、N两点所在的直
（Ⅱ）解 ：由题意知：弦所在的直线的斜率不为零．故设弦所在的直线方程为：x=ky+m，

代入 y
2
=4x 得 y
2
﹣4ky﹣4m=0，∴y
1
+y< br>2
=4k，y
1
y
2
=﹣4m．

若以弦D E为直径的圆都过原点，则OD⊥OE，∴x
1
x
2
+y
1
y
2
=0．

即=m
2
﹣4m，解得m=0 （不合题意，舍去）或 m=4．

∴存在点P（4，0），使得过P点任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点．

设弦AB的中点为M（x，y） 则x=，y=，

）

x
1
+x
2
=ky
1
+ 4+ky
2
+4=k（y
1
+y
2
）+8=4k
2
+8，

∴弦AB的中点M的轨迹方程为：

消去k得：y
2
=2x﹣8．

∴圆心的轨迹方程为y
2
=2x﹣8．

【点评】对于存在判断型问 题，解题的策略一般为先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求
解判断，若不出现矛盾，则肯定存在； 若出现矛盾，则否定存在．这是一种最常用也是最基
本的方法．本题根据抛物线的定义，结合焦点三角形 ，引出矛盾，从而问题得解．解圆锥曲
线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助 于一元二次方程的根的判
别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解．



11．若给定椭圆C：ax
2
+by
2
=1（a＞0，b ＞0，a≠b）和点N（x
0
，y
0
），则称直线l：ax
0
x+by
0
y=1
为椭圆C的“伴随直线”．

（1）若N（x< br>0
，y
0
）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与 椭圆
的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；

（2）命题：“若点N（x
0
，y
0
）在椭圆C的外部，则直线l与 椭圆C必相交．”写出这个命题的
逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；

（3） 若N（x
0
，y
0
）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A 、B，交l于M
点（异于A、B），设
【分析】（1）
l与椭圆C相切．
< br>（2）逆命题：若直线l：ax
0
x+by
0
y=1与椭圆C相交，则 点N（x
0
，y
0
）在椭圆C的外部．是
真命题．联立方程得（ab y
0
2
+a
2
x
0
2
）x
2﹣2ax
0
x+1﹣by
0
2
=0．由△=4a
2x
0
2
﹣4a（by
0
2
+ax
0
2
）（1﹣
by
0
2
）＞0，能求出N（x
0
，y< br>0
）在椭圆C的外部．

，，问λ
1
+λ
2
是否为定值？说明理由．

，由 根的差别式能得到
（3）此时l与椭圆相离，设M（x
1
，y
1
）， A（x，y）则代入椭圆C：ax
2
+by
2
=1，
利用M在l上， 得（ax
0
2
+by
0
2
﹣1）λ
1
2< br>+ax
1
2
+by
1
2
﹣1=0．由此能求出λ1
+λ
2
=0．

）

< br>【解答】解：（1）
即ax
2
﹣2ax
0
x+ax
0
2
=0

∴△=4a
2
x
0
2
﹣ 4a
2
x
0
2
=0

∴l与椭圆C相切．


（2）逆命题：若直线l：ax
0
x+by
0
y=1与椭 圆C相交，则点N（x
0
，y
0
）在椭圆C的外部．

是真 命题．联立方程得（aby
0
2
+a
2
x
0
2）x
2
﹣2ax
0
x+1﹣by
0
2
=0
则△=4a
2
x
0
2
﹣4a（by
0
2
+ax
0
2
）（1﹣by
0
2
）＞0

∴ax
0
2
﹣by
0
2
+b
2
y
0
4
﹣ax
0
2
+abx
0
2
y
0
2
＞0

∴by
0
2
+ax
0
2
＞1

∴N（x
0
，y
0
）在椭圆C的外部．

（3）同 理可得此时l与椭圆相离，设M（x
1
，y
1
），A（x，y）

则代入椭圆C：ax
2
+by
2
=1，利用M在l上，
< br>即ax
0
x
1
+by
0
y
1
=1， 整理得（ax
0
2
+by
0
2
﹣1）λ
1
2
+ax
1
2
+by
1
2
﹣1=0

同理得关于λ
2
的方程，类似．

即λ
1
、λ2
是（ax
0
2
+by
0
2
﹣1）λ
2
+ax
1
2
+by
1
2
﹣1=0的两根

∴λ
1
+λ
2
=0．

【点评】本题考查直线和椭 圆的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意
挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价 转化．



12．已知动点P与定点F（﹣1，0）的距离和它到定直线x =﹣4的距离的比是1：2，记动点
P的轨迹为曲线E．

（Ⅰ）求曲线E的方程；

（Ⅱ）设A是曲线E上的一个点，直线AF交曲线E于另一 点B，以AB为边作一个平行四边
形，顶点A，B，C，D都在轨迹E上，判断平行四边形ABCD能否 为菱形，并说明理由；

（Ⅲ）当平行四边形ABCD的面积取到最大值时，判断它的形状，并求出其最大值．

【分析】（Ⅰ）设动点P（x，y），由题意，得
）

=，化简整理即可得到．

（Ⅱ） 设直线方程，代入椭圆 方程，若四边形ABCD能否为菱形，则OA⊥OB，由向量数量
积的坐标运算，整理可知=0，方程无 实数解，故四边形ABCD不能是菱形；

（Ⅲ）由三角形的面积公式S
ABCD=2丨OF
1
丨丨y
1
﹣y
2
丨，利用韦达定理，及向 量数量积的坐
标运算，函数的单调性即可求得ABCD的面积取到最大值及m的值．

【解答】解：（Ⅰ）设动点P（x，y），

∵动点P到定点F（﹣1，0）的距离和它到直线l：x=﹣4的距离之比是1：2常数，

∴由题意，得=，

化简整理得C的方程为3x
2
+4y
2
=12．

∴曲线E的方程为+=1．

（Ⅱ）如图，直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为x=my﹣1，点A（x
1
，y
1
），B
（x
2< br>，y
2
），

联立方程，，

得（3m
2
+4）y
2
﹣6my﹣9=0，

∴y
1
+y
2
=﹣，y
1
y
2
=﹣．

若四边形ABCD能否为菱形，则OA⊥OB，

即?=0，

∴x
1
x
2
+y
1
y
2
=0，
又x
1
x
2
=（my
1
﹣1）（my
2
﹣1）=m
2
y
1
y
2
﹣m（y
1
+y
2
）+1，

∴（m
2
+1）y
1
y2
﹣m（y
1
+y
2
）+1=0，得到
故四边形ABC D不能是菱形．

（Ⅲ）由题S
ABCD
=4S
△
AOB< br>，而S
△
AOB
=丨OF
1
丨?丨y
1
﹣y
2
丨，又丨OF
1
丨=1，

即S
ABCD
=2丨OF
1
丨丨y
1
﹣y
2
丨=2
由（2）知 y
1
+y
2
=﹣，y
1
y
2
=﹣．

=，

=0，显然这个方程没有实数解，

）

∴S
ABCD
=2=24=24，

∵函 数f（t）=9t+，t∈[1，+∞），在t=1时，f（t）
min
=10，
< br>∴S
ABCD
的最大值为6，此时m
2
+1=1，即m=0时，

此时直线AB⊥x轴，即ABCD是矩形．


【点评】本题考查直线与 椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量数量积的坐标运算，考查计
算能力，属于难题．



13．已知O为坐标原点，直线l的方程为y=x+2，点P是抛物线y
2
=4x上到直线l距离最小的
点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q ，过点Q与x轴平行的直线与
抛物线y
2
=4x交于点B．

（1）求点P的坐标；

（2）求证：直线AB恒过定点M；

（3 ）在（2）的条件下过M向x轴做垂线，垂足为N，求S
四边形
OANB
的最小值．< br>
【分析】（1）利用点到直线的距离公式，求出最小值，然后求点P的坐标；

（2）点A的坐标为（y
1
2
，y
1
），显然y
1
≠2．通过当y
1
=﹣2时，求出直线AP的方程为x=1；
当y
1
≠﹣2时，求出直线AP的方程，然后求出Q的坐标，求出B点的坐标，解出直线AB的
斜率，推出A B的方程，判断直线AB恒过定点推出结果．

（3）不妨令y
1
＞2，可得S
即可求出面积的最小值．

【解答】解：（1）设点P的坐标为（x
0
，y
0
），则y
0
2
=4x
0
，

四边形
OANB
=|ON|?| y
B
﹣y
A
|=（y
1
﹣2）+，再根据基本不等式
）

所以，点P到直线l的距离d===≥．

当且仅当y
0
=2时等号成立，此时P点坐标为（1，2）．

证明 ：（2）设点A的坐标为（y
1
2
，y
1
），显然y
1≠2．

当y
1
=﹣2时，A点坐标为（1，﹣2），直线AP的方程为 x=1；可得B（，3），直线AB：y=4x
﹣6；

当y
1
≠﹣ 2时，直线AP的方程为y﹣2=
化简得4x﹣（y
1
+2）y+2y
1=0；

综上，直线AP的方程为4x﹣（y
1
+2）y+2y
1
=0．

与直线l的方程y=x+2联立，可得点Q的纵坐标为y
Q
=．

（x﹣1），

因为，BQ∥x轴，所以B点的纵坐标为y
B
=．

因此，B点的坐标为（

，）．

当≠1，即y
1
2
≠8时，直线AB的斜率k==．

所以 直线AB的方程为y﹣y
1
=（x﹣y
1
2
），

整理得（y﹣2）y
1
2
﹣4（x﹣2）y
1
+8（x﹣y）=0．

当x=2，y=2时，上式对任意y
1
恒成立，

此时，直线AB恒过定点M（2，2），也在y=4x﹣6上，

当时，直线AB的方程为x=2，仍过定点M（2，2），

故符合题意的直线AB恒过定点M（2，2）；

）

（3）由（2）可知M（2，2），A（y
1
2
， y
1
），B点的坐标为（
所以N（2，0），即ON=2，

不妨令y
1
＞2

∴S
四边形
OANB
= |ON|?|y
B
﹣y
A
|=|﹣y
1
|=|2﹣y
1
﹣|=

，），

（y
1
﹣2）+≥2=4，当且仅当y
1
=4时取等号

故S
四边形
OANB
的最小值为4


【点评】本 题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系
等基础知识，考查推理论 证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般，
分类与整合等数学思想，属于难题< br>


14．已知圆B：（x+
线与BP交于点Q．

（I）求点Q的轨迹C的方程；

（II）直线l过点A且与x轴不重合，直线l交曲 线C于M、N两点，过B且与l垂直的直线
与圆B交于D，E两点，求四边形MDNE面积的取值范围．

【分析】（Ⅰ）结合已知条件根据椭圆的定义，点Q的轨迹是中心在原点，以B、A为焦点，
长轴长等于4的椭圆，由此能求出点Q的轨迹方程．

（Ⅱ）设直线l：设l的方程为x=ky+
）

）
2
+y
2
=16，定点A（，0），P是圆周上任一点，线段AP的垂直平分
，代入椭圆方程 ，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，

由DE⊥l，设DE：x=﹣y ﹣，求得A到DE的距离，再由圆的弦长公式可得|DE|，再由四
边形的面积公式，化简整理，运用不 等式的性质，即可得到所求范围．

【解答】解：（Ⅰ）圆B的圆心为B（﹣
连结QA，由已知得|QA|=|QP|，

∵|QB|+|QA|=|QB|+|QP|=BP=r=4＞|BA|．

根据椭圆的定义，点Q的轨迹是中心在原点，以B、A为焦点，长轴长等于4的椭圆，

即a=2，c=，b
2
=a
2
﹣c
2
=4﹣2=2，
+=1．

，（k≠0），M（x
1
，y
1
），N（x
2
，y
2
），

，0），半径r=4，|BA|=2．

∴点Q的轨迹方程为
（Ⅱ）当l与x 轴不垂直时，设l的方程为x=ky+
由直线与椭圆方程，联立得（k
2
+2）y2
+2
则y
1
+y
2
=，y
1
y2
=，

ky﹣2=0，

∴|MN|=?=?=

过点B（﹣，0）且与l垂直的直线m：x=﹣y﹣，点A到m的距离为d=，

所以|DE|=2=4，

故四边形MDNE的面积S=|MN|?|DE|=××4

=8
∵0＜
∴≤1﹣
=8
≤，

＜1，

，


可得8≤S＜8
当l与x轴垂直时，其方程为x=，|MN| =2，|DE|=8，四边形MDNE的面积为8．

）．

综上，四边形M DNE面积的取值范围为[8，8
【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直 线和椭圆方程联立，
）

运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于难题．



15．已知圆E：（x+）
2
+y
2
=16， 点F（，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分
线和半径PE相交于点Q．

（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；

（2）过点C（﹣2，0）作两条互相垂直的直线 l
1
，l
2
，若l
1
，l
2
分别与轨迹Γ 相交于点A，B，
直线AB与x轴交于点M，过点M作直线l交轨迹Γ于G，H两点，求△OGH面积的 最大值．

【分析】（1）由垂直平分线的性质可得|QP|=|QF|，根据图象和半径列出 |QE|+|QP|=|EP|=4，
由椭圆的定义判断出动点Q的轨迹Γ是椭圆，求出基本量即可求出 动点Q的轨迹Γ方程；

（2）根据直线AB的斜率进行分类讨论，分别设出直线AB的方程与 椭圆方程联立，利用韦
达定理求出两根之积、之和，根据CA⊥CB得=0，由向量的数量积运算化简后 代入求出
直线AB的方程，再求出直线AB与x轴交点M的坐标，利用M的坐标设直线l的方程，与椭< br>圆方程联立利用韦达定理求出两根之积、之和，代入三角形面积公式表示出△OGH面积，化
简后 利用换元法、基本不等式求出△OGH面积的最大值．

【解答】解：（1）由垂直平分线的性 质可得|QP|=|QF|，如图：则
|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|EP|=4=|E F|，

∴动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．

可知a=2，c=，故b==1，

；

∴点Q的轨迹Γ的方程为< br>（2）当直线AB的斜率不存在时，设AB直线方程是x=t，

求出A（t，），B（t，），

∵CA⊥CB，∴
化简解得t=
=0，则
，则点M（，0），

，

当直线AB的斜率存在时，设AB直线方程是y=kx+m，A（x
1< br>，y
1
），B（x
2
，y
2
），

联立得，（1+4k
2
）x
2
+8kmx+4m
2
﹣4=0 ，

）

∴x
1
+x
2
=
∵CA⊥CB，∴
，x
1
x
2
=，

=0，则（x
1
+2）（x
2
+2）+y
1
y2
=0，

∴（x
1
+2）（x
2
+2）+（ kx
1
+m）（kx
2
+m）=0

=0

=0

化简得，5m
2
﹣16km+12k
2
=0 ，即（5m﹣6k）（m﹣2k）=0，

得m=或=2k，代入y=kx+m得，y=k（x+）或y=k（x+2），

或x=﹣2（舍去），

，0），

令y=0得x=
∴直线 AB与x轴交于点M，M的坐标是（
设过点M作直线l的方程是x=ny，G（x
3
， y
3
），H（x
4
，y
4
），

联立得，（4+n
2
）y
2
﹣y=0，

∴y3
+y
4
=
∴△OGH面积S=
=
设h=
f（ h）=?
，y
3
y
4
=
=
=
，则n
2
=
=
，


?

，代入S得，

=12?

≤12?=12×=，

当且仅当时取等号，经验证成立，即S≤
．

，

∴△OGH面积的最大值的最大值是
）

【点评】本题考查定义法求轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，基本不等式等的灵活应用，
以及设而 不求的思想，换元法法，考查化简，变形能力，注意直线的斜率存在问题，属于难
题．



16．一青蛙从点A
0
（x
0
，y
0
）开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是A
i
（x
i
，
y
i
）（i∈N
*
），（如图所示，A
0
（x< br>0
，y
0
）坐标以已知条件为准），S
n
表示青蛙从点A0
到点A
n
所
经过的路程．

（1）若点A
0
（x
0
，y
0
）为抛物线y
2
=2px（p＞0） 准线上一点，点A
1
，A
2
均在该抛物线上，并
且直线A
1
A
2
经过该抛物线的焦点，证明S
2
=3p．

（ 2）若点A
n
（x
n
，y
n
）要么落在y=x所表示的曲线 上，要么落在y=x
2
所表示的曲线上，并且
，试写出（不需证明）；
所表示的曲线上，要么落在所表示的（3）若点A
n
（x
n
，y
n
）要么落在
曲线上，并且A
0
（0，4），求S
n
的表达 式．


【分析】（1）由于点A
0
（x
0
，y< br>0
）为抛物线y
2
=2px（p＞0）准线上一点，可知A
0
（﹣
由于青蛙依次向右向上跳动，直线A
1
A
2
经过该抛物线的焦点 ，所以A（
1
由抛物线定义可证；

（2）根据题意可得x
2n+
1
=
），A（
2
），
），
），由于青蛙从点 A
0
（x
0
，y
0
）开始依次水平向右和竖直向上跳动，所 以可知随着n的增大，点A
n
无限接近点（1，
）

1），进而可得横向路程之和无限接近1﹣
解；

，纵向路程之和无限接近1﹣，故问题得
（3）由题意知A
1
（1，2
2），A
2
（1，2
4
），A
3
（3，2
4），A
4
（3，2
6
），A
5
（6，2
6），A
6
（6，2
8
），…

其中A
1
（1，2
2
），A
3
（3，2
4
），A
5
（6，2
6
），A
7
（10，2
8
），…A
2< br>（1，2
4
），A
4
（3，2
6
），A
6< br>（6，
2
8
），A
8
（10，2
10
）…观 察规律可知：下标为奇数的点的纵坐标为首项为2
2
，公比为4的等比
数列．相邻横坐 标之差为首项为2，公差为1的等差数列．下标为偶数的点也有此规律．再
分类求和即可．
< br>【解答】解：（1）设A
0
（﹣
所以A
1
（
（2）依
），A
2
（
题意，
），由于青蛙依次向右向上跳动，

），由抛物线定义知：S
2
=3p…4分

x
2n
+
1
=）
|+…=（x
1
﹣x
0
）+（y
2
﹣y
1
）+（x
3
﹣x
2
）+（y
4< br>﹣y
3
）+（x
5
﹣x
4
）+…+（x
2n
﹣
1
﹣x
2n
）+（y
2n
﹣y
2n﹣
1
）+…=2（x
1
﹣x
0
）+2
（x3
﹣x
2
）+2（x
5
﹣x
4
）+…+2（x
2n
﹣
1
﹣x
2n
）+…

随着n的增大，点A
n
无限接近点（1，1）…6分

横向路程之和无限接近1﹣
所以 ==1…10分

，纵向路程之和无限接近1﹣…8分

（3）由题意知A
1
（1，2
2
），A
2
（1，2
4
），A
3
（3，2
4
），A
4
（3，2
6
），A
5
（6，2
6
），A
6
（6，2
8
），…

其中A< br>1
（1，2
2
），A
3
（3，2
4
），A< br>5
（6，2
6
），A
7
（10，2
8
），… A
2
（1，2
4
），A
4
（3，2
6
）， A
6
（6，
2
8
），A
8
（10，2
10
）…

观察规律可知：下标为奇数的点的纵坐标为首项为2
2
，公比 为4的等比数列．相邻横坐标之
差为首项为2，公差为1的等差数列．下标为偶数的点也有此规律．12 分

所以，当n为偶数时，x
n
=
当n为奇数时，x
n=


当n为偶数时，S
n
=（x
n
+yn
）﹣（x
0
+y
0
）=（
当n为奇数时，S
n
=（x
n
+y
n
）﹣（x
0
+y
0）=（
）﹣4

）﹣4…16分

）

所以，S
n
=…18分．

【点评】本题 的考点是圆锥曲线的综合，主要考查数列与圆锥曲线的结合，考查分类讨论思
想，难度较大．关键是搞清 运动过程中坐标之间的关系，挖掘问题的本题，从而使问题得解．



17 ．已知为抛物线y
2
=2px（p＞0）的焦点，点N（x
0
，y
0
）（y
0
＞0）为其上一点，点
．

M与点N关于x轴对称 ，直线l与抛物线交于异于M，N的A，B两点，且
（I）求抛物线方程和N点坐标；

（II）判断直线l中，是否存在使得△MAB面积最小的直线l′，若存在，求出直线l′的方程和
△MAB面积的最小值；若不存在，说明理由．

【分析】（Ⅰ）由题意知：p=1，x
0
=2，y
0
2
=4，y
0
＞0，得y
0
=2，由此能求出抛物线方程和N点
坐标．

（Ⅱ）由题意知直线的斜率不为0，设 直线l的方程为x=ty+b（t∈R），联立方程得
y
2
﹣2ty﹣2b=0，设两 个交点，由
，得b=2t+3，由此能求出当t=﹣2时S有最小值
为，此时直线l'的方程为 x+2y+1=0．

，

【解答】解：（Ⅰ）由题意
∴p=1，

所以抛物线方程为y
2
=2x．

，

x
0
=2，y
0
2
=4，

∵y
0
＞0，

∴y
0
=2，

∴N（2，2）．（4分）

）

（Ⅱ）由题意知直线的斜率不为0，

设直线l的方程为x=ty+b（t∈R）

联立方程得y
2
﹣2ty﹣2b=0，

设两个交点（y
1
≠±2，y
2
≠±2）

∴，…（6分）

，

整理得b=2t+3…（8分）

此时△=4（t
2
+4t+6）＞0恒成立，

由此直线l的方程可化为x﹣3=t（y+2），

从而直线l过定点E（3，﹣2）…（9分）

因为M（2，﹣2），

所以M、E所在直线平行x轴

三角形MAB面积
所以当t=﹣2时S有最小值为，

=，…（11分）

此时直线l'的方程为x+2y+1=0…（12分）

【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点
是知 识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要
注意合理地进行等 价转化．



18．⊙F
1
：（x+1）
2+y
2
=9．⊙F
2
：（x﹣1）
2
+y
2< br>=1．动圆M与⊙F
1
内切，与⊙F
2
外切．

（1）求M点的轨迹C的方程；

（2）设动直线l：y=kx+m与曲线C交于A， B两点，（O为原点）满足|
满足条件的动直线l中取两条直线l
1
，l
2< br>，其交点是N，当||=
+|=|﹣|．对
时，求l
1
，l
2
的夹角．

【分析】（1）由题意，动圆M与⊙F
1
内切，与⊙F< br>2
外切．利用圆心距和半径的关系得到M到
）

< br>⊙F
1
和动圆M到⊙F
2
距离之和为定值，符合椭圆的定义，从而得到 M点的轨迹C的方程；

（2）由题意：y=kx+m与曲线C交于A，B两点，（O为原点） 满足|
OA⊥0B，斜率乘积=﹣1，找到k与m的关系．再根据交点是N，|
满足题意关系， 解出k，m，即可求出l
1
，l
2
的夹角．

【解答】解： （1）圆M：（x+1）
2
+y
2
=1，圆N：（x﹣1）
2
+y
2
=9，

设动圆P半径为R．

∵M在N内，∴动圆只能在N内与N内切，不能是N在动圆内，即：R＜3

动圆P与圆M外切，则PM=1+R，

动圆P与圆N内切，则PN=3﹣R，

∴PM+PN=4，即P到M和P到N的距离之和为定值．

∴P是以M、N为焦点的椭圆．

∵MN的中点为原点，故椭圆中心在原点，

∴2a=4，a=2，2c=MN=2，c=1，

∴b
2
=a
2
﹣c
2
=4﹣1=3，

∴C的方程为（x≠﹣2）．

|=
+|=|﹣|．说明
，设出直线 方程，
（2）y=kx+m与曲线C交于A，B两点，

联立：

得 （4k
2
+3）x
2
+8kmx+4m
2
﹣12=0．
设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），

x
1
x
2
=
x
1+
x
2
=
y
1
y
2
=



∵|+|=|﹣|．说明OA⊥OB，斜率乘积=﹣1，即：，

）

∴7m
2
=12k
2
+12，

令动直线l中取一 条直线l
1
的斜率k=0，则m=
交点是N，坐标设（x
N
，
∵||=

，则l
1
直线方程为：y=，

）

，

解得：x
N
=
∴N坐标（，）

动直 线l中另一条直线l
2
的斜率k
2
，则直线方程为：y=k
2
x+m
2

联立：

解得：

∵直线l
1
的斜率k=0，与x轴平行．

∴l
1
，l
2
的夹角等于直线l
2
的倾斜角

∴tanθ=?

故∴l
1
，l
2
的夹角等于．

【点评】本题考查 椭圆的标准方程定义，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了弦
长公式的应用，考查数学中设而 不求转化思想方法，训练了计算能力，动点问题的假设推理
和运用，属于难题．



19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为
=0相切．

，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为
半径的圆与直线x﹣y+
（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足
（O为坐标原点），当|
【分析】（Ⅰ）由题意知
﹣|＜时，求实数t取值范围．

．由此能求出椭圆C的方程．

+=t
，所以
）

（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在．设AB：y=k（x﹣2），A（x< br>1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），P（x， y），
由得（1+2k
2
）x
2
﹣8k
2
x+8k
2
﹣2=0再由根的判别式和嘏达定理进行求解．

【解答】解：（Ⅰ）由题 意知
即a
2
=2b
2
．（2分）

又因为，所以a
2
=2，

，所以．

故椭圆C的方程为．（4分）

（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在．设AB：y=k （x﹣2），A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），P（x，y），

由得（1+2k
2
）x
2
﹣ 8k
2
x+8k
2
﹣2=0．△=64k
4
﹣4（2k2
+1）（8k
2
﹣2）＞0，．（6
分）

，∵∴（ x
1
+x
2
，y
1
+y
2
）=t（x，y ），

∴，

∵点P在椭圆上，∴
∵
∴
＜，∴，∴
，∴16k
2
=t
2
（1+2k
2
）．（8分）< br>

，∴（4k
2
﹣1）（14k
2
+13）＞0， ∴．（10分）

∴
∴
，∵16k
2
=t
2
（1+2k
2
），∴
或，∴实数t取值范围为
，

．（12分）

【点评】本题考查椭圆方程的求法和求实数t取值范围．解题时要认真 审题，注意挖掘题设
中的隐含条件，合理地运用根的判别式和韦达定理进行解题．



）

20．已知可行域的外接圆C与x轴交于 点A
1
、A
2
，椭圆C
1
以线段A
1
A< br>2
为长
轴，离心率．

（1）求圆C及椭圆C
1
的方程；

（2）设椭圆C
1的右焦点为F，点P为圆C上异于A
1
、A
2
的动点，过原点O作直线P F的垂线
交直线于点Q，判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明．

【分析】（ 1）由C：x
2
+y
2
=4，A
1
（﹣2，0），A
2
（2，0），能求出椭圆方程．

（2）设p（x
0
，y
0
），（x
0
≠±2），当x
0
=
时，，
时，P （2，），，k
Op
?k
PQ
=﹣1，当
，由此能判断直线PQ与圆 C的位置关系．

【解答】解：（1）：解方程组，得：y=0，x=﹣2，

，得：y=0，x=2，

，得：y=，x=1，

），

∴可行域y的三个顶点分别为：（﹣2，0），（2，0），（1，
设圆的方程为：x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0，

得到方程组：
解得：D=0，E=0，F=﹣4，

∴圆C的方程为：x
2
+y
2
=4，

圆与X轴的交点A
1
（﹣2，0），A
2
（2，0），

设椭圆C
1
的方程的方程为：

，（a＞b＞0）

则有
∴椭圆方程为：
）

，

，

（2）设P（x
0
，y
0
）， （x
0
≠±2），

∴当x
0
=时，P（，），

，k
Op
?k
PQ
=﹣1，

当时，，，

∴，

∴，

k
OP
?k
PQ
=
∴k
OP
?k
PQ
=﹣1，故相切．

=﹣，又∵ P（x
0
，y
0
）在圆C上，则x
0
2
+y
0
2
=4，

【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合 性强，是高考的重点．本题具
体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进 行等价转化．



21．已知直线x﹣y+1=0经过椭圆S：
（1）求椭圆S的方程；

（2 ）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在
第一象限，过P 作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率
为k．

①若直线PA平分线段MN，求k的值；

②对任意k＞0，求证：PA⊥PB．

的一个焦点和一个顶点．


【分析】（1）在直线x﹣y+1=0中，令x=0得y=1；令y=0得x=﹣1，故c=b=1，a
2
=2，由此能
）

求出椭圆方程．

（2）①，N（0，﹣1），M、N的中点坐标为（
，解得
，
，记
），所以

②法一：将直线PA方程y=kx代入，则P（m ，
，代入椭mk），A（﹣m，﹣mk），于是C（m，0），故直线AB方程为
圆方程得（k
2
+2）x
2
﹣2k
2
mx+k
2
m2
﹣8=0，由此能够证明PA⊥PB．

法二：设P（x
0
， y
0
），A（﹣x
0
，﹣y
0
），B（x
1
，y
1
），则C（x
0
，0），由A、C、B三点共线，
知=，由 此能够证明PA⊥PB．

【解答】解：（1）在直线x﹣y+1=0中令x=0得y=1；令y=0得x=﹣1，

由题意得c=b=1，

∴a
2
=2，

则椭圆方程为
（2）①
．

，N（0，﹣1），

，），

M、N的中点坐标为（
所以．

②解法一：将直线PA方程y=kx代入
解得，

，

记，

则P（m，mk），A（﹣m，﹣mk），于是C（m，0），

故直线AB方程为，

代入椭圆方程得（k
2
+2）x
2< br>﹣2k
2
mx+k
2
m
2
﹣4=0，

由，

因此
）

，

∴，，

∴
∴，故PA⊥PB．

，

解 法二：由题意设P（x
0
，y
0
），A（﹣x
0
，﹣y0
），B（x
1
，y
1
），则C（x
0
，0） ，

∵A、C、B三点共线，

∴=，

又因为点P、B在椭圆上，

∴，，

两式相减得：，

∴
∴PA⊥PB．

=﹣=﹣1，

【点评】本题考查直线 和椭圆的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归
与转化思想．对数学思维的要求比较 高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重
点．解题时要认真审题，仔细解答．



22．已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x
2
﹣7x+ y
2
+4=0的切线长，设点P的轨迹为曲线
E；

（1）求曲线E的方程；

（2）是否存在一点Q（m，n），过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点，点 （，
） 都在以原点为圆心，定值r为半径的圆上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，
说明理由．

【分析】（1）设P（x，y），由题意可得，整理可得切线E的方程

）

（2）过点Q任作的直线方程可设为：为直线的倾斜角），代入曲 线E的方程
y
2
=3x，得（n+tsinα）
2
=3（m+tco sα），sin
2
αt
2
+（2nsinα﹣3cosα）t+n
2
﹣3m=0，由韦达定理得
，
定值r为半
，若使得点 （
径的圆< br>，
上
）在以原点为圆心，
，则有
=
为定值

【解答】解：（1）设P（x，y），圆方程x
2
﹣7x+y
2
+4=0化为 标准式：
则有


∴（x﹣2）
2
=x
2
﹣7x+y
2
+4，整理可得y
2
=3x

∴曲线E的方程为y
2
=3x．

（2）过点Q任作的直线方程可设为：为直线的倾斜角）

代入曲线E的方程y
2
=3x，得（n+tsinα）
2
=3（m+tcosα），sin
2< br>αt
2
+（2nsinα﹣3cosα）t+n
2
﹣3m=0

由韦达定理得，，
=
=
═
令﹣12n与2n
2
+6 m﹣9同时为0

得n=0，，此时为定值故存在．


【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式得应用，直线的参数方程的应用，直线与曲线
）

相交的位置关系及方程思想的应用，解题要求具备一定得推理与运算得能力



23．已知椭圆C的中心在坐标原点，它的一条准线为
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆于A、B两点，交y轴于M点，若
，求λ
1+λ
2
的值．

【分析】（1）由题意可知所求的椭圆的焦点在x轴上故 可设所求的椭圆方程为
然后利用它的一条准线为
求出a，b，c则问题即可求解．
< br>（2）根据题意可得直线L的斜率存在故可设直线L的方程为y=k（x﹣2）则M（0，﹣2k）再设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
）根据向量的坐标计算可得
，
B的坐标而A，B两点都在椭圆
然后再结合条件
，，
可求出点A，
，离心率为再结合a
2
=b
2
+c2
即可
，离心率为．

上则代入可得关于λ
1
，λ
2
的式子然后分析求解即可．


【解答】解：（1）由题意可设所求的椭圆方程为
∵它的一条准线为，离心率为

∴

∴a=，b=1，c=2


∴椭圆C的方程为
（2）经分析知过椭圆C的右焦点F的直线l的斜率存在设为k则直线L的方程为y=k（x﹣2）

设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2< br>）而F（2，0），M（0，﹣2k）

∴
又∵
）

，

，，

∴，，

∴，

∵A，B两点都在椭圆上

∴λ
1
2
+10λ
1
+5﹣20k
2
=0且λ
2
2
+10 λ
2
+5﹣20k
2
=0

∴λ
1
，λ< br>2
为方程x
2
+10x+5﹣20k
2
=0的两根

∴λ
1
+λ
2
=﹣10

【点评】本题主要考察了 直线与圆锥曲线的综合．解题的关键是第一问需利用待定系数法求
椭圆方程关键是a，b，c的求解而第 二问须在得出λ
1
2
+10λ
1
+5﹣20k
2
= 0且λ
2
2
+10λ
2
+5﹣20k
2
=0
后分析出λ
1
，λ
2
为方程x
2
+10x+5﹣20k< br>2
=0的两根然后利用根与系数的关系求解，则充分体现
了“设而不求”的解题技巧！< br>


24．设点A，B分别是x，y轴上的两个动点，AB=1．若
（Ⅰ）求点C的轨迹Г；

（Ⅱ）过点D作轨迹Г的两条切线，切点分别为P，Q，过点D作直 线m交轨迹Г于不同的
两点E，F，交PQ于点K，问是否存在实数t，使得+=恒成立，并说明理由．

=λ（λ＞0）．

【分析】（Ⅰ）由题意可知，C在线段BA的延长线上 ，设出A（m，0），B（0，n），可得m
2
+n
2
=1，
再设C （x，y），由向量等式把m，n用含有x，y的代数式表示，代入m
2
+n
2
=1可得点C的轨
迹Г；

（Ⅱ）分别设出E，F，K的横坐标分别为：x
E
，x
F
，x
K
，点D（s，t），可得直线PQ的方程为：
，再设直线m的方程：y=kx+b，得到t=ks+b，进一步求得x
K
，联立直线
方程与椭圆m的方程，利用根与系数的关系得到x
E
+x
F
，x
E
x
F
，求得
案．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，C在线段BA的延长线上，

设A（m，0），B（0，n），则m
2
+n
2
=1，

再设C（x，y），

）

为定值2得答

由=λ（λ＞0），得（x﹣m，y）=λ（m，﹣n），

∴，得，

代入m
2
+n
2
=1，得；

（Ⅱ）设E，F，K 的横坐标分别为：x
E
，x
F
，x
K
，

设点D（s，t），则直线PQ的方程为：
设直线m的方程：y=kx+b，

∴t=ks+b，

，

得，

将直线m代入椭圆方程得：，

∴=．

∴=?=2．

验经证当m的斜率不存在时成立，

故存在实数t=2，使得+=恒成立．

【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查计算能力，是
压轴 题．



25．已知椭圆的左、右焦点分别为F
1
、F< br>2
，短轴两个端点为A、B，且四
边形F
1
AF
2
B 是边长为2的正方形．

）

（1）求椭圆的方程；

（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD ⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证
明：为定值．

（3）在（2）的条件下，试问 x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过
直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．


【分析】（1）由题意知a=2，b=c，b< br>2
=2，由此可知椭圆方程为
（2）设M（2，y
0
），P（x
1
，y
1
），
，代入椭圆方程x
2
+2y
2=4，得
后利用根与系数的关系能够推导出为定值．

．

，直 线CM：
，然
（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP．，
再由，由此可知 存在Q（0，0）满足条件．

【解答】解：（1）a=2，b=c，a
2
= b
2
+c
2
，∴b
2
=2；

∴椭圆方程为（4分）

（2）C（﹣2，0），D（2，0），设M（2，y
0
），P（x
1
，y
1
），


直线CM：
）

，代入椭圆方程x
2
+2y
2
=4，

得（6分）

∵x
1
=﹣，∴，∴，∴（8分）

∴（定值）（10分）

（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP（11分）

（12分）

则由
∴存在Q（0，0）满足条件（14分）

，从而得m=0

【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．



26．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F
1
、F2
，离心率e=，P为椭
圆E上的任意一点（不含长轴端点），且△PF
1
F
2
面积的最大值为2．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（ Ⅱ）设直线l：x=my+1（m∈R）交椭圆E于A、B两点，试探究：点M（3，0）与以线段
AB 为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．


【分析】解法一：（Ⅰ）由已知有
联立解出即可得出．

，，又a
2
=b
2
+c
2
，
（Ⅱ）设点A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），AB的中点为H（x
0
，y
0
），把直线方程与椭圆方程联立
可得根与系数的关系，利用弦长公式可 得|AB|，比较
）

与|MH|
2
即可得出．

解法二：（II）利用数量积运算性质、向量夹角公式可得∠AMB为锐角， 即可得出位置关系．

【解答】解法一：（Ⅰ）由已知有
∵，又a
2
=b
2
+c
2
，∴，∴a=2，…（3分）

，…（1分）

∴椭圆E的方程为； …（4分）
< br>（Ⅱ）设点A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），AB的中点为H（x
0
，y
0
），

由
∴
∴
，，∴
，…（5分）

，…（6分）

，…（7分）

=
，…（9分）

∴
∴
=﹣4my
0
+4（1+m
2
）y
1
y
2
=
，

+4+=＞0，

因此，点M（3，0）在以线段AB为直径的圆外．…（12分）

解法二：（Ⅰ）同 解法一；（Ⅱ）设点A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y2
），

由
…（6分）

∵
∴
，，

++4=
，∴，，

=（x< br>1
﹣3，y
1
）?（x
2
﹣3，y
2
）=（ m
2
+1）y
1
y
2
﹣2m（y
1
+y< br>2
）+4=
＞0，（10分）

∴，又不共线，∴∠AMB为锐角，…（11分）

因此，点M（3，0）在以AB为直径的圆外． …（12分）

）

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关 系、弦长公式、
三角形面积计算公式、向量数量积运算性质、向量夹角公式、点与圆的位置关系，考查了 推
理能力与计算能力，属于难题．



27．已知椭圆（m＞n＞ 0）的离心率e的值为，右准线方程为x=4．如图所示，
椭圆C左右顶点分别为A，B，过右焦点F的 直线交椭圆C于M，N，直线AM，MB交于点P．

（1）求椭圆的标准方程；
< br>（2）若点P（4，），直线AN，BM的斜率分别为k
1
，k
2
，求 ．

（3）求证点P在一条定直线上．


【分析】（1）利用椭圆 C的离心率为，右准线的方程为x=4，建立方程，求出几何量，可得
椭圆C的方程；

（2）利用A，P点，求出直线AP，与椭圆方程求解M的坐标，直线MF与椭圆联立求出N
的坐标， 可得AN，BM的斜率分别为k
1
，k
2
，可求的值．

（ 3）设出MN的直线方程y=k（x﹣1），利用设而不求的思想，M（x
1
，y
1< br>），N（x
2
，y
2
），表
示出AN直线，BM直线的方程． AN直线与BM直线联立方程求解p的坐标，可得P在一条
定直线上．

【解答】解：（1）∵椭圆
为x=4，即

（a＞b＞0）的离心率e的值为，即，右准线方程
解得：a=2，c=1，

∵a
2
=b
2
+c
2

）

∴b=．

．

故得椭圆的标准方程为：
（2）点P（4，），A（﹣2，0），故得直线AP方程为y=
），

，与 椭圆方程
联立，求解M的坐标为（0，
那么可得MN直线方程为y=1﹣3x，与椭圆方程联立 ，求解N的坐标为（，），

那么AN的斜率为k
1
=，BM的斜率k
2
=，则=．
< br>（3）设斜率存在的MN的直线方程为y=k（x﹣1），利用设而不求的思想，M（x
1
，y
1
），N（x
2
，
y
2
），
与椭圆方程联立，可得：（4k
2
+3）x
2
﹣8k
2
x+4k
2
﹣12=0，

那么：…①，…②

由A，M的坐标可得直线AM的方程为，

由B，N的坐标可得直线BN的方程为，4

直线AM与直线BN联立，可得：，

∴
将①②代入③

解得：x=4．

故点P在直线x=4上．

…③，

当k不存在时，经验证，点P在直线x=4上满足题意．

【点评】本题考查了与椭圆 的标准方程的求法，椭圆与直线的关系的运用能力和计算能力，
考查了数学转化思想方法，综合能力强， 计算量大，属于难题，压轴题．

）

28．若曲线C
1
：+=1（a＞b＞0），（y≤0）的离心率e=且过 点P（2，﹣1），曲线
C
2
：x
2
=4y，自曲线C
1< br>上一点A作C
2
的两条切线切点分别为B，C．

（Ⅰ）求曲线C
1
的方程；

（Ⅱ）求S
△
ABC
的最大值．


【分析】（Ⅰ ）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可
求；

（Ⅱ）设BC所在直线方程为y=kx+b，联立直线方程和抛物线方程，化为关于x的一元二次方
程 ，利用根与系数的关系求得B，C的横坐标的和与积，再分别写出过B，C的抛物线的切线
方程，与抛物 线方程联立后利用判别式等于0把斜率用点的横坐标表示，得到切线方程，联
立两切线方程求出A的坐标 ，代入椭圆方程得到k，b的关系，再由弦长公式求出|BC|，由点
到直线的距离公式求出A到BC的 距离，代入面积公式，利用配方法求得S
△
ABC
的最大值．

【解 答】解：（Ⅰ）由题意，，解得a
2
=16，b
2
=4，

∴曲线C
1
的方程为（y≤0）；

（Ⅱ）设l
BC
：y=kx+b，联立
则x
1
+x
2
=4k，x
1
x
2
=﹣4b，

，得x
2
﹣4kx﹣4b=0．

）

AB：
△=
，代入x
2
=4y，得
，∴，

．

则AB：．

同理AC：
∴
，得A（
，即k
2
+b
2
=4（0≤b≤2），

，
，


）=（2k，﹣b），

点A到BC的距 离d=
|BC|=
∴S
△
ABC
=
，

=
当b=，k=时取等号．

=．

【点评】本题考查椭圆 的简单性质，考查了直线与抛物线的位置关系的应用，训练了学生灵
活处理问题和解决问题的能力，该题 灵活性强，运算量大，是高考试卷中的压轴题．



29．已知椭圆x2
+2y
2
=1，过原点的两条直线l
1
和l
2
分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC
的面积为S．

（1）设A（x1
，y
1
），C（x
2
，y
2
），用A、C的 坐标表示点C到直线l
1
的距离，并证明S=
（2）设l
1
：y=k x，，S=，求k的值；

|；

（3）设l
1
与l
2
的斜率之积为m，求m的值，使得无论l
1
和l
2
如何变动，面 积S保持不变．

【分析】（1）依题意，直线l
1
的方程为y=x，利用点 到直线间的距离公式可求得点C到直
线l
1
的距离d=，再利用|AB|=2|AO| =2，可证得S=|AB|d=|x
1
y
2
）

﹣x
2
y
1
|；

（2 ）由（1）得：S=|x
1
y
2
﹣x
2
y
1
|=×|x
1
﹣y
1
|=，进而得到答案；

，消去（3 ）方法一：设直线l
1
的斜率为k，则直线l
1
的方程为y=kx，联立方程 组
y解得x=±，可求得x
1
、x
2
、y
1
、y< br>2
，利用S=|x
1
y
2
﹣x
2
y
1
|=?，
设=c（常数），整理得：k
4
﹣2mk
2
+m
2
=c
2
[2k
4
+（1+4m
2
）k< br>2
+2m
2
]，由于
左右两边恒成立，可得，此时S=；
< br>方法二：设直线l
1
、l
2
的斜率分别为、，则=m，则mx
1
x
2
=﹣y
1
y
2
，变形整理，利
用A （x
1
，y
1
）、C（x
2
，y
2
）在椭 圆x
2
+2y
2
=1上，可求得面积S的值．

【解答】解 ：（1）依题意，直线l
1
的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C到直
线 l
1
的距离d==，

因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d =|x
1
y
2
﹣x
2
y
1
|；

（2）由（1）A（x
1
，y
1
），C（x
2
，y
2
），

S=|x
1
y
2
﹣x
2
y
1
|=×
所以|x
1
﹣y
1
|=
解得A（
或（﹣
由k=
，﹣
，
|x
1
﹣y
1
|=．

，由x
1
2
+2y
1
2
=1，

）或（，﹣
，），

）

）或（﹣
，得k=﹣1或﹣；

（3）方法一：设直线l
1
的斜率为k，则直线l
2
的斜率为，直线l
1
的方程为y=kx，

）

联立方程组，消去y解得x=±，

根据对称性，设x
1
=，则y
1
=，

同理可得x
2
=，y
2
=，

所以S=|x
1
y
2
﹣x
2
y
1
|=?
所以（m﹣k
2
）
2
=c
2
（1+2k
2
）（k
2
+2m
2
），

，设=c（常数），

整理得 ：k
4
﹣2mk
2
+m
2
=c
2
[2k< br>4
+（1+4m
2
）k
2
+2m
2
]，
由于左右两边恒成立，所以只能是，所以，此时S=，

综上所述，m=﹣，S=．

、，则=m，

方法二：设直线l1
、l
2
的斜率分别为
所以mx
1
x
2
=y
1
y
2
，

∴m
2
==mx
1
x
2
y
1
y
2
，

∵A（x
1
，y
1
）、C（x
2
，y
2
）在椭圆x
2
+2y
2
=1上，

∴（）（）=
+
+4
）=1，

+2（+）=1，

即（+4m）x
1
x
2
y
1
y
2
+2（
所以
=﹣（2m+
所以令2m+
+﹣2x
1
x
2
y
1
y
2
=（x
1
y
2
﹣x
2
y
1
）
2
=[1﹣（4m+）x
1
x< br>2
y
1
y
2
]﹣2x
1
x
2
y
1
y
2

+2）x
1
x
2
y
1
y
2
，是常数，所以|x
1
y
2
﹣x< br>2
y
1
|是常数，

+2=0即可，

．

．

所以，m=﹣，S=
综上所述，m=﹣，S=【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能
）

力，属于难题．



30．已知椭圆
圆C
1
的短半轴长为半径的圆相切．

（1）求椭圆C
1
的方程；

（2）设椭圆C
1
的 左焦点为F
1
，右焦点为F
2
，直线l
1
过点F
1
且垂直于椭圆的长轴，动直线l
2
垂直于直线l
1
，垂足为点P，线 段PF
2
的垂直平分线交l
2
于点M，求点M的轨迹C
2
的 方程；

（3）设C
2
与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C
2< br>上，且满足
围．

【分析】（1）先由离心率为，求出a，b，c的关系，再利 用直线l：y=x+2与以原点为圆心、
，求的取值范
的离心率为，直线l：y=x+2与以原 点为圆心、椭
椭圆C
1
的短半轴长为半径的圆相切，求出b即可求椭圆C
1< br>的方程；

（2）把题中条件转化为动点M的轨迹是以l
1
：x=﹣1 为准线，F
2
为焦点的抛物线，即可求点
M的轨迹C
2
的方程；
（3）先设出点R，S的坐标，利用
坐标表示出
求出点R，S的坐标之间的关系 ，再用点R，S的
的取值范围．

，利用函数求最值的方法即可求
【解答】解 ：（1）由
得，
得2a
2
=3b
2
，又由直线l：y=x+ 2与圆x
2
+y
2
=b
2
相切，

．（4分）

，∴椭圆C
1
的方程为：
（2）由MP=MF
2
得动点M的轨迹是以l
1
：x=﹣1为准线，

F
2
为焦点的抛物线，∴点M的轨迹C
2
的方程为y
2
=4x．（8 分）

（3）Q（0，0），设，

∴，

由
∴化简得
）

，得
，（10分）

，∵y
1
≠y
2

∴（当且仅当y
1
=±4时等号成立），

∵，

，

又∵y
2
2
≥64，∴当y
2
2=64，即y
2
=±8时
∴的取值范围是．（13分）

【点评 】本题是对圆与椭圆知识的综合考查．当直线与圆相切时，可以利用圆心到直线的距
离等于半径求解．， 也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为0求解．



31．已 知椭圆
的圆与直线
（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径
相 切．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上 关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C
于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求
【分析】（Ⅰ ）由题意知
程为．

，能够导出．再由
的取值范围．

可以 导出椭圆C的方
（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x﹣4）．由得（4 k
2
+3）
x
2
﹣32k
2
x+64k
2
﹣12=0，再由根与系数的关系证明直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）．

（ Ⅲ）分MN的斜率存在与不存在两种情况讨论，当过点Q直线MN的斜率存在时，设直线
MN的方程为y =m（x﹣1），且M（x
M
，y
M
），N（x
N
，yN
）在椭圆C上．由得（4m
2
+3）
x
2
﹣8m2
x+4m
2
﹣12=0．再由根据判别式和根与系数的关系求解的取值范围；当 过点Q
的取值范围，直线MN的斜率不存在时，其方程为x=1，易得M、N的坐标，进而可得
）

综合可得答案．

【解答】解：（Ⅰ）由题 意知
所以
即
又因为
所以a
2
=4，b
2
= 3．

故椭圆C的方程为．

．

，

．

，

（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x﹣4）．

得（ 4k
2
+3）x
2
﹣32k
2
x+64k
2
﹣12=0．①

由
设点B（x
1
，y
1
），E （x
2
，y
2
），则A（x
1
，﹣y
1
） ．

直线AE的方程为．

令y=0，得．

将y
1
=k（x
1
﹣4），y
2
=k（x
2
﹣4）代入 ，

整理，得．②

由①得
整理，得x=1．

，代入②

所以直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）．

（Ⅲ） 当过点Q直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=m（x﹣1），且M（x
M
，yM
），
N（x
N
，y
N
）在椭圆C上．
由得（4m
2
+3）x
2
﹣8m
2
x+4m
2
﹣12=0．

）

易知△＞0．

所以，，．

则
因为m
2
≥0，所以
所以
=
．

．

．

当过点Q直线MN的斜率不存在时，其方程为x=1．

解得
此时
所以
，N（1，）或M（1，）、N（1，﹣）．

．

的取值范围是．

【点评】本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线 与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，
注意公式的灵活运用．



32．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为
交椭圆于不同的两点A，B．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求m的取值范围；

（Ⅲ）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．

【分 析】（I）设出椭圆的标准方程，根据椭圆的离心率为，得出a
2
=4b
2
， 再根据M（4，1）
，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m
在椭圆上，解方程组得b< br>2
=5，a
2
=20，从而得出椭圆的方程；

（II）因为 直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B，可将直线方程与椭圆方程消去y得到关
于x的方程，有 两个不相等的实数根，从而△＞0，解得﹣5＜m＜5；

（III）设出A（x
1< br>，y
1
），B（x
2
，y
2
），对（II）的方程利 用根与系数的关系得：
．再计算出直线MA的斜率k
1
=，MB的斜率为k
2
=，
将式子K
1
+K
2
通分化简，最后可得其分子为0，从 而得出k
1
+k
2
=0，得直线MA，MB的倾斜角
互补，命题得证 ．

）

【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为< br>∵椭圆的离心率为
∴a
2
=4b
2
，

又∵M（4，1），

∴
，

，

，解得b
2
=5，a
2
=20，故椭圆方程为．…（4分）

（Ⅱ）将y=x+m代入
5x
2
+8mx+4m
2
﹣20= 0，

并整理得

∵直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B

∴△=（8m）
2
﹣20（4m
2
﹣20）＞0，解得﹣5＜m＜5 ．…（7分）

（Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k
1
和k
2< br>，只要证明k
1
+k
2
=0．

设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），

根据（Ⅱ）中的方程，利用根与系数的关系得：

．

上式的分子= （x
1
+m﹣1）（x
2
﹣4）+（x
2
+m﹣1）（x< br>1
﹣4）

=2x
1
x
2
+（m﹣5）（x
1
+x
2
）﹣8（m﹣1）

=

所以k
1
+k
2
=0，得直线MA，MB的倾斜角互补

∴直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．…（12分）

【点评】本题考查了直 线与圆锥曲线的位置关系等知识点，属于难题．解题时注意设而不求
和转化化归等常用思想的运用，本题 的综合性较强对运算的要求很高．



33．已知A（﹣2，0），B（2 ，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于
A，B的动点，且△APB面积的最大 值为
（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；

（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为
）

．

直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

【分析】（I）根据椭圆的特征可得 当点P在点（0，b）时，△APB面积的最大，结合题中的
条件可得a、b与c的关系进而得到答案．

（II）设点P的坐标为（x
0
，y
0
），由题意可设直 线AP的方程为y=k（x+2），可得点D与BD中
点E的坐标，联立直线与椭圆的方程得（3+4k
2
）x
2
+16k
2
x+16k
2
﹣12 =0，进而表示出点P的坐
标，结合点F坐标为（1，0），再写出直线PF的方程，根据点E到直线P F的距离等于直径
BD的一半，进而得到答案．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为，F（c，0）．

由题意知

解得，c=1．

，离心率为．

故椭圆C的方程为
（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．

证明如下：由题意可设直线AP的方程为y=k（x+2）（k≠0）．

则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）．

由得（3+4k< br>2
）x
2
+16k
2
x+16k
2
﹣12= 0．

设点P的坐标为（x
0
，y
0
），则．

所以，．

因为点F坐标为（1，0），

当时，点P的坐标为，点D的坐标为（2，±2）．

直线PF⊥x轴，此时以BD为 直径的圆（x﹣2）
2
+（y±1）
2
=1与直线PF相切．

当
）

时，则直线PF的斜率．

所以直线PF的方程为．

点E到直线PF的距离=．

又因为|BD|=4|k|，所以．

故以BD为直径的圆与直线PF相切．

综上得，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．


【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆中有关数值的关系，以及椭圆与直线的位置关
系、圆与直线 的位置关系．



34．已知抛物线C
1
：y
2
=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C
2
：
顶点均在圆O：x
2< br>+y
2
=1上．

（Ⅰ）求抛物线C
1
和椭圆C
2
的标准方程；

（ Ⅱ）过点F的直线交抛物线C
1
于A、B两不同点，交y轴于点N，已知
，求证：λ< br>1
+λ
2
为定值．

（Ⅲ）直线l交椭圆C
2
于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P′、Q′，
，若点S满足：，证明：点S在椭圆C< br>2
上．

的上、下焦点及左、右
【分析】（Ⅰ）由C
1
：y
2
=2px（p＞0）焦点F（，0）在圆O：x
2
+y
2< br>=1上，可求p的值；同
理由椭圆的上、下焦点（0，c），（0，﹣c）及左、右顶点（﹣a， 0），（a，0）均在圆O：x
2
+y
2
=1
上可解得椭圆C
2
的方程；

（Ⅱ）设直线AB的方程与抛物线联立，消元，利用韦达定理，结合< br>从而可求λ
1
、λ
2
的值，即可得证；

）

，

（Ⅲ）设P，Q的坐标，利用
P，Q在椭圆上，即可证得结论．

，确定S的 坐标，利用及
【解答】（Ⅰ）解：由C
1
：y
2
=2px（p＞0） 的焦点F（，0）在圆O：x
2
+y
2
=1上，

得：，解得p=2，

∴抛物线C
1
：y
2
=4x；

由椭圆C
2
：
在圆O：x
2
+y
2
=1上，

可得：a
2
=1，c
2
=1，

∴a=c=1，

则b=
∴椭圆C
2
：
=，

；

的上、下焦点（0，c），（0，﹣c）及左、右顶点（﹣a，0），（a，0）均
（Ⅱ）证明：设直线 AB的方程为y=k（x﹣1），A（x
1
，y
1
），B（x
2，y
2
），则N（0，﹣k），

直线与抛物线联立，消元可得k
2
x
2
﹣（2k
2
+4）x+k
2
=0，

∴x
1
+x
2
=
∵
，x
1
x
2
=1，

，

∴λ
1
（1﹣x
1
）=x
1
，λ
2
（1﹣x
2
）=x
2< br>，

∴，，

∴λ
1
+λ
2
==﹣1为定值；

（Ⅲ）证明：设 P（x
3
，y
3
），Q（x
4
，y
4
）， 则P′（x
3
，0），Q′（x
4
，0），

∵，

∴S（x
3
+x
4
，y
3
+y
4
），

∵
∴2x
3
x
4
+y
3
y
4
=﹣1 ①，

）

，

∵P，Q在椭圆上，

∴②，

③，

由①+②+③得（x
3
+x
4
）
2
+
∴点S在椭圆C
2
上．

=1．

【点 评】本题考查了抛物线与椭圆的方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知
识的运用，解题的 关键是设点的坐标，然后联立方程，利用向量知识求解，是压轴题．



3 5．已知点P（4，4），圆C：（x﹣m）
2
+y
2
=5（m＜3）与椭圆 E：+=1（a＞b＞0）有一
个公共点A（3，1），F
1
、F
2
分别是椭圆的左、右焦点，直线PF
1
与圆C相切．

（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；

（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求?的取值范围．


【分析】（1）先 利用点A在圆上求出m，再利用直线PF
1
与圆C相切求出直线PF
1
与的方 程以
及c，再利用点A在椭圆上求出2a，即可求出椭圆E的方程；

（2）先把即可求出
用点Q的坐标表示出来，再利用Q为椭圆E上的一个动点以及基本不等式
的取值范 围．

【解答】解：（1）点A代入圆C方程，得（3﹣m）
2
+1=5．

∵m＜3，

）

∴m=1．

设直线PF
1
的斜率为k，

则PF
1
：y=k（x﹣4）+4，即kx﹣y﹣4k+4=0．

∵直线PF
1
与圆C相切，圆C：（x﹣1）
2
+y
2
=5 ，

∴
解得
当k=
，

．

时，直线PF
1
与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．

当k=时，直线PF
1
与x轴的交点横坐标为﹣4，

∴c=4．

∴F
1
（﹣4，0），F
2
（4，0）．

故2a =AF
1
+AF
2
=
椭圆E的方程为：
（2）
，< br>．

，a
2
=18，b
2
=2．

，设Q（x，y），

，．

∵，即x
2
+（3y ）
2
=18，而x
2
+（3y）
2
≥2|x|?|3y|，

∴﹣18≤6xy≤18．

则（x+3y）
2
=x2
+（3y）
2
+6xy=18+6xy的取值范围是[0，36]．

∴x+3y的取值范围是[﹣6，6]

∴x+3y﹣6的范围只：[﹣12，0]．

即的取值范围是[﹣12，0]．

【点评】本题是对圆与椭圆知识的综合考查．当直 线与圆相切时，可以利用圆心到直线的距
离等于半径求解．，也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的 判别式为0求解．



36．设函数f（x）=a
2
x< br>2
（a＞0），g（x）=blnx．

（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x﹣y﹣3=0距离的最小值为
）

，求a的值；

（2）关于x的不等式（x﹣1）
2
＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；

（3）对于函数f（ x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m
和g（x）≤kx +m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设，
b=e，试探究f（ x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，
请说明理由．

【分析】（1）直接运用点到直线的距离公式，然后求解即可得到答案．

（2） 关于由不等式解集整数的个数，然后求未知量取值范围的题目，可利用恒等变换，把它
转化为求函数零点 的问题，即可求解．（3）属于新定义的题目，可以用函数求导数求最值的
方法解答．

【解答】解：（1）因为f（x）=a
2
x
2
，所以f′（x）=2a2
x，令f′（x）=2a
2
x=1

得：
则点
，此时，

到直线x﹣y﹣3=0的距离为，

即，解之得a=或；

（2）不等式（x﹣1）
2
＞f（x）的解集中的整数恰有3个，

等价于（1﹣a
2
）x
2
﹣2x+1＞0恰有三个整数解，故1﹣a
2
＜0，

令h（x）=（1﹣a
2
）x
2
﹣2x +1，由h（0）=1＞0且h（1）=﹣a
2
＜0（a＞0），

所以函数 h（x）=（1﹣a
2
）x
2
﹣2x+1的一个零点在区间（0，1），
则另一个零点一定在区间（﹣3，﹣2），这是因为此时不等式解集中有﹣2，﹣1，0恰好三个
整数解

故
（3）设
则
所以当
因此
时，F ′（x）＜0；当
时，F（x）取得最小值0，

处有公共点．

解之得．

，

．

时，F′（x）＞0．

则f（x）与g（x）的图象在
设f（x）与g（x）存在“分界线”，

）

方程为
由
则
所以
因此
下面证明
设
所以当
因此
．

，即
在x∈R恒成立，

，

在x∈R恒成立．

成立，

恒成立．

，则
时，G′（x）＞0；当
时G（x）取得最大值0，则
．

．

时，G′（x）＜0．

成立．

故所求“分 界线”方程为：
【点评】此题主要考查点到直线距离公式的应用及利用导函数求闭区间极值问题，题中涉 及
到新定义的问题，此类型的题目需要仔细分析再求解，综合性较强，有一定的技巧性，属于
难 题．



37．已知双曲线C：
（1）求双曲线C的方程；

（2）设经过焦点F2
的直线l的一个法向量为（m，1），当直线l与双曲线C的右支相交于A，
B不同的两 点时，求实数m的取值范围；并证明AB中点M在曲线3（x﹣1）
2
﹣y
2
=3上．

（3）设（2）中直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，问是否存在实数m， 使得∠AOB
为锐角？若存在，请求出m的范围；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据半焦距c和a与b的关系联立方程求得a和b，则双曲线方程可得．
（2）把直线l与双曲线方程联立消去y，根据判别式大于0判断出直线与双曲线定有交点，
进而根 据韦达定理求得焦点横坐标的和与积得表达式，根据双曲线的性质求得m的范围．设
A，B的坐标，则可 知其中点的坐标，代入曲线3（x﹣1）
2
﹣y
2
=3等式成立，可判断出A B的
中点在此曲线上．

（3）设存在实数m，使∠AOB为锐角，根据
）

的一个焦点是F
2
（2，0），且．

判断出x
1
x
2
+y
1
y
2
＞0，根据（2）中求

得x
1
x
2
的表达式，进而可去知y
1< br>y
2
的表达式，进而求得根据x
1
x
2
+y
1
y
2
＞0求得m的范围，结
果与m
2
＞3矛盾，假设不成 立，判断出这样的实数不存在．

【解答】解：（1）c=2c
2
=a
2
+b
2
< br>∴4=a
2
+3a
2
∴a
2
=1，b
2=3，∴双曲线为．

（2）l：m（x﹣2）+y=0由得（3﹣m
2
）x
2
+4m
2
x﹣4m
2
﹣3=0

由 △＞0得4m
4
+（3﹣m
2
）（4m
2
+3）＞012m
2
+9﹣3m
2
＞0即m
2
+1＞0恒成立



∴m
2
＞3∴
设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），则


∴

∵
∴M在曲线3（x﹣1）
2
﹣y
2
=3上．



（3）A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），设存在实数m，使∠AOB为锐角，
∴x
1
x< br>2
+y
1
y
2
＞0

因为y
1y
2
=（﹣mx
1
+2m）（﹣mx
2
+2m）=m< br>2
x
1
x
2
﹣2m
2
（x
1
+x
2
）+4m
2

∴（1+m
2
）x
1
x
2
﹣2m
2
（x
1
+x
2
） +4m
2
＞0

∴（1+m
2
）（4m
2
+3）﹣8m
4
+4m
2
（m
2
﹣3）＞0即7m
2
+3﹣12m
2
＞0

∴，与m
2
＞3矛盾


∴不存在

）

【点评】本题主要考查了双曲线的应用，考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．



38．已知椭圆
（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）若直线l ：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过
定点，求k的取值 范围．

，故椭圆方程为，又点在
过点，且离心率e=．

【分析】（Ⅰ）由题意知椭圆的离心率
椭圆上，由此能导出椭圆的方程．

（ Ⅱ）设M（x
1
，y
1
），N（x
2
，y
2
），由，消去y并整理得（3+4k
2
）x
2
+8kmx+4m
2
﹣12=0，由直线y=kx+m与椭圆有两个交点，知m
2
＜4k
2
+3．又
P的坐标为，由此能求出k的范围．

∴a=2c∴b
2
=a
2
﹣c
2
=3c
2

，知MN中点
【 解答】解：（Ⅰ）由题意椭圆的离心率∴
∴椭圆方程为又点在椭圆上∴∴c
2
=1
∴椭圆的方程为…（4分）

（Ⅱ）设M（x
1
，y
1
），N（x
2
，y
2
）由

消去y并整理得（3 +4k
2
）x
2
+8kmx+4m
2
﹣12=0…（6分）

∵直线y=kx+m与椭圆有 两个交点△=（8km）
2
﹣4（3+4k
2
）（4m
2
﹣12）＞0，即m
2
＜4k
2+3…
（8分）

又∴MN中点P的坐标为

…（9分）

设MN的垂直平分线l'方程：
）

∵p在l'上∴
∴
将上式代入得
∴
即

即4k
2
+8km+3=0

…（11分）


或，∴k的取值范围为

【点评】本题考查椭圆方程和k的取值范围，解题时要认真审 题，仔细解答，注意椭圆的灵
活运用，合理地进行等价转化．



39．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为
半径的圆与直 线x﹣y+
（1）求椭圆C的方程；

=0相切．过点（m，0）作圆的切线l交椭圆C于A，B两点．

（2）将△OAB的面积表示为m的函数，并求出面积的最大值．

【分析】（1）由 离心率及椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+
得到椭圆的方程；

（2）设出直 线方程，与椭圆方程联立，求出|AB|的距离，表示出△OAB的面积，利用基本不
等式求最值．
【解答】解：（1）由题意，e
2
=
则a
2
=2b< br>2
；

又∵b==1，

==，

=0相切 求出a，b，从而
∴b
2
=1，a
2
=2；

∴椭圆C的方程为；

（2）由题意，设直线l的方程为x=ky+m，（|m|≥1），

由消去x得，

）

（k
2< br>+2）y
2
+2kmy+m
2
﹣2=0．

设A、B 两点的坐标分别为（x
1
，y
1
）（x
2
，y
2< br>），

则y
1
+y
2
=﹣，y
1
y
2
=；

又由l与圆x
2
+y
2
=1相切 ，得
即m
2
=k
2
+1，

∴|AB|=
=
?|y
1
﹣y
2
|

=
=1，

．

又∵原点到直线l的距离d=1，

∴S
△
OAB
=|AB|?d=（m≥1）．

又∵=≤，

（当且仅当m=±1时，等号成立）．

∴m=±1时，△OAB的面积最大，最大值为．

【点评】本题考查了圆锥曲线方程 的求法及圆锥曲线内的面积问题，化简比较复杂，做题要
细心．属于难题．



40．已知直线y=﹣x+1与椭圆
（1）若椭圆的离心率为
=1（a＞b ＞0）相交于A、B两点．

，焦距为2，求椭圆的标准方程；

时，求椭圆 的长轴长的（2）若OA⊥OB（其中O为坐标原点），当椭圆的离率e∈
最大值．

【分析】（1）利用椭圆的离心率公式求出椭圆中的参数a，利用椭圆中三个参数的关系求出b，
代入椭 圆的方程求出椭圆的标准方程．

（2）将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理求出两 个交点的横、纵坐标之积；利用
向量垂直的充要条件将

）

OA⊥OB用交点的坐标表示，得到椭圆的三个参数的一个等式，再利用椭圆 的三个参数本身
的关系得到参数a与离心率的关系，利用离心率的范围求出a的范围，得到椭圆的长轴长 的
最大值．

【解答】解（1）∵e=
则b=
∴椭圆方程为：
（2）

．

+=1

．又2c=2，解得a=，

由

消去y得（a
2
+b
2
）?x
2﹣2a
2
x+a
2
?（1﹣b
2
）=0，
< br>由△=（﹣2a
2
）
2
﹣4a
2
（a
2+b
2
）（1﹣b
2
）＞0，整理得a
2
+b
2
＞1．

设A（x
1
，y
1
，），B（x
2
，y
2
），

则x
1
+x
2
=．

∴y
1
y< br>2
=（﹣x
1
+1）（﹣x
2
+1）=x
1
x
2
﹣（x
1
+x
2
）+1．

∵OA⊥OB（其中O为坐标原点），

∴x
1
x
2
+y
1
y
2
=0，即2x
1
x
2
﹣（x
1
+x
2
）+1=0．

∴+1=0．整理得a
2
+b
2
﹣2a
2
b
2
=0．

∵ b
2
=a
2
﹣c
2
=a
2
﹣a
2
e
2
，代入上式得

2a
2
=1+
∴a< br>2
=
∵e∈
∴
∴
∴
）

，

．

∴
，

≤2，∴≤3，

，

，适合条件a
2
+b
2
＞1，

由此得
∴，

．

故长轴长的最大值为

【点评】求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法；解决直线与 圆锥曲线的位置关系问题，
一般设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到 关于一个未知
数的二次方程，利用韦达定理，找突破口．注意设直线方程时，一定要讨论直线的斜率是否
存在．



41．已知抛物线C
1
：y
2
=2px（p＞0）与直线x﹣y+1=0相切，椭圆C
2
：
的一个焦点与 抛物线C
1
的焦点F重合，且离心率为
（1）求抛物线C
1
与椭圆C
2
的方程；

（2）若在椭圆C
2
上存在两点A，B使得= λ（λ∈[﹣2，﹣1]），求|+|的最小值．

+=1（a＞b＞0）
，点M（a
2
，0）．

【分析】（ 1）联立直线方程和抛物线方程，由判别式为0求得p，则抛物线方程可求．由题
意可得椭圆的c，结合 离心率为及隐含条件求出a，b，则椭圆方程可求；

（2）对直线l的斜率分类讨论：当直线 l的斜率不存在时，即λ=﹣1时，直接求出．当直线
l的斜率存在时，即λ∈[﹣2，﹣1）时，设直 线l的方程为y=k（x﹣1），与椭圆的方程联立可
得根与系数的关系，再利用向量相等=λ，可得= λ，且λ＜0，得到：λ++2=，
=由λ∈[﹣2，﹣1）可得到k
2
的取值范围． 由于
（x
1
+x
2
﹣4，y
1
+y
2），
换元，利用配方法即可得出|
【解答】解：（1）联立
=（x
1﹣2，y
1
），=（x
2
﹣2，y
2
），可得
，令t==（x
1
+x
2
﹣4）
2
+（y
1
+y
2
）
2
=4+
+|的最小值．

，得x
2
+（2﹣2p）x+1=0．

由△=（2﹣2p）
2
﹣4=0，解得：p=2．

∴抛物线C
1
：y
2
=4x；

又椭圆C
2
：
）

+=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线C
1
的焦点F重合，

∴c=1，且
∴
，

，则b
2
=a
2
﹣c
2
=1．

；

∴椭圆C
2
的方程为
（2）M（a
2
，0）=（2，0），

如图：当直线l的斜率不存在时，即λ=﹣1时，A（1，
又 M（2，0），∴||=|（﹣1，）+（﹣1，﹣
），B（1，﹣
）|=2；

），

当直线l的斜率存在时，即λ∈[﹣2，﹣1）时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），
< br>，得（1+2k
2
）x
2
﹣4k
2
x+2k
2
﹣2=0，

联立
设A（x
1
，y
1
） ，B（x
2
，y
2
），y
1
≠0，y
2
≠ 0，

则x
1
+x
2
=，x
1
?x
2
=，

①，

②．

∴y
1
+y
2
=k（x
1
+x
2
）﹣2k=
y
1
?y
2
=k
2
（x
1
x
2
﹣（x
1
+x
2
）+1）=
∵=λ，∴=λ，且λ＜0．

+2=，

+2∈[﹣，0）．

将①式平方除以②式得：λ+由λ∈[﹣2，﹣1），得λ+
∴﹣≤
∵
∴
∈[﹣，﹣2），即λ+＜0，解得k
2
≥．

=（x
2
﹣2，y
2
），

=（x
1﹣2，y
1
），
=（x
1
+x
2
﹣4，y1
+y
2
），

，

=（x
1
+x
2
﹣4）
2
+（y
1
+y
2
）2

又x
1
+x
2
﹣4=
∴
）

=
=4+
令t=
∴0＜
∴则
∴|+
+=
，


，∵k
2
≥，

，即t∈（0，]，

=2t2
+10t+4=2（t+）
2
﹣
∈（4，]．

．

|的最小值为2．


【点评】本题考查直线与圆锥曲 线的位置关系，考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质，
考查了换元法、分类讨论、向量相等及其向量 运算和向量的模等基础知识与基本技能方法，
考查了分析问题和解决问题的能力，考查了推理能力和计算 能力，属于难题．



42．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为， 过右焦点F且垂直于x轴的直线被椭圆
截得的弦长为1，过点（m，0）（0＜m＜a）的直线与椭圆交 于A，B两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点 P（，0）作垂 直于x轴的直线l，在直线l上是否存在点Q，使得△ABQ为等边
三角形？若存在，试求出点Q的坐标 ；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组可 得a，b，c的值，则椭圆方程
可求；

（2）设直线AB的方程为x=ty+m（t ∈R），A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2），其中x
1
≤x
2
，记AB的中
点为M，联立直线系方程和椭 圆方程，化为关于y的一元二次方程，分AB垂直于x轴和AB
）

不垂直x轴讨论，当AB垂直于x轴时，直接求得Q点的坐标；当AB不垂直x轴时，由△ABQ
为等边三角形，对m分类求解．

【解答】解：（1）由题意得，解得．

∴所求的椭圆方程为：；

（2）设直线AB的方程为x=ty+m（t∈R），

A（x
1
， y
1
），B（x
2
，y
2
），其中x
1
≤ x
2
，

记AB的中点为M．由，得（4+t
2
）y
2
+2tmy+m
2
﹣4=0，

则△=4t
2
m
2
﹣4（4+t
2
）（m
2
﹣4）=16（t
2
+4﹣m
2
）＞0．

，，

|y
1
﹣y
2
|==
，

=，

∴点M的横坐标，纵坐标．

假设在直线l上存在点Q，使得△ABQ为等边三角形，

记点Q的坐标为（），连接QM，则QM⊥AB．

），B（m，），
①当直线AB垂直于x轴时，A（m，
点Q的坐标只能是（
|AB|=，|QM|=
），

，

若△ABQ为等边三角形，则
即这时在直线l上存在点Q（
）

，解得，

，0），使得△ABQ为等边三角形；

②当直线AB不垂直于x轴时，，，

，即n=，

|QM|=，|AB|=，

若△ABQ为等边三角形，则
当0＜m＜
当
时，t不存在；

，得，n=．

＜m＜2时，t=时，n=﹣；

t=﹣时，n=．

时，直线l上不存在点Q，使得△ABQ为等边三角形；

，0）；

），使得△
综上，当0＜m＜
当m=
当
时，直线l上存在一个点Q，使得△ABQ为等边三角形，Q（
＜m＜2且t=时，在直线l上有且仅有 一个点Q（，﹣
ABQ为等边三角形；

当＜m＜2且t=﹣时，在直线l上有且仅有 一个点Q（，），使得△
ABQ为等边三角形．


【点评】本题考查椭圆方 程、直线与椭圆的位置关系，考查转化与化归思想、数形结合思想、
函数与方程思想及逻辑推理与运算能 力，解答（2）的关键是把图形转化为合适的位置关系、
数量关系，进而转化为方程组的问题，再通过代 数手段来解决，是压轴题．

）

43．如果一条抛物线y=ax
2
+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该 抛物线的顶点和这两
个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．

（Ⅰ）“抛物线三角形”一定是 等腰 三角形（提示：在答题卡上作答）；

（Ⅱ） 若抛物线m：y=a（x﹣2）
2
+b（a＞0，b＜0）的“抛物线三角形”是直角三角形， 求a，
b满足的关系式；

（Ⅲ）如图，△OAB是抛物线n：y=﹣x
2< br>+tx（t＞0）的“抛物线三角形”，是

否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD ？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；
若不存在，说明理由．


【分析】（Ⅰ）“根据抛物线的对称性进行判断；

（Ⅱ）由于抛物线三角形是等腰三 角形，则得到本题中的“物线三角形”是等腰直角三角形，
再确定抛物线的顶点坐标为（2，b），抛物 线与x轴两交点之间的线段长=2
腰直角三角形的性质得到|b|=×2，然后化简即可得到a与b的关 系；

，如何根据等
（Ⅲ）作分别作点A，B关于原点O的对称点C，D，所以四边形 ABCD是平行四边形，确定
A、B两点坐标，然后根据关于原点中心的性质可确定C点与D点坐标，最 后利用待定系数法
求抛物线的解析式．

【解答】解：（I））因为抛物线与x轴有两个交点关于抛物线的对称轴对称，

所以“抛物线三角形”是等腰三角形；

故答案为等腰； …（2分）

（II）设抛物线线与x轴的交点为A，B，当y=a（x﹣2）
2+b=0时，得
所以，，…（4分）


又因为抛物线顶点P（2，b） 由已知三角形PAB是等腰直角三角形，所以AB=2|y
p
|，

所以，整理得ab=﹣1…（6分）

（3）分别作点A，B关于原点O的对称点C，D，所以四边形ABCD是平行四边形，

）

所以当OA=OB时，四边形ABCD是矩形，三角 形OAB是等边三角形
所以A点坐标是
又点B坐标是（t，0），
所以
所以< br>设过O、C、D三点的抛物线为
因为过点C，所以
所以存在以原点O为对称中心的矩形A BCD

所求抛物线的表达式为． …（10分）

，


，

，

，…（8分）

，


【点评】本题考查了抛物线的综合题：熟练掌握二次函数的性质，并且根据二次函数的性质
确定 几何图形的性质和确定点的坐标；会运用等腰直角三角形、等边三角形和矩形的性质建
立等量关系，将函 数问题转化为方程问题．



44．如图，P是抛物线y
2
=2x上的动点，点B，C在y轴上，圆（x﹣1）
2
+y
2
=1内切于△ PBC，
求△PBC面积的最小值．


【分析】设P（x
0
，y
0
），B（0，b），C（0，c），设b＞c．直线PB：y﹣b=，化简，得
（y
0
﹣b）x﹣x
0
y+x
0
b=0，由圆心（1，0 ）到直线PB的距离是1，知，由此
导出（x
0
﹣2）b
2
+2y< br>0
b﹣x
0
=0，同理，（x
0
﹣2）c
2
+2y
0
c﹣x
0
=0，所以（b﹣c）
2
=
）

，

从而得到S
△
PBC
=，由此能求出△PBC面积的最小值．
【解答】解：设P（x
0
，y
0
），B（0，b），C（0，c），设b ＞c．

直线PB的方程：y﹣b=，

化简，得（y
0
﹣ b）x﹣x
0
y+x
0
b=0，

∵圆心（1，0）到直线PB的距离是1，

∴，

∴（y
0
﹣b）
2
+x
0
2
=（y
0
﹣b）2
+2x
0
b（y
0
﹣b）+x
0
2
b
2
，

∵x
0
＞2，上式化简后，得

（x
0
﹣2）b
2
+2y
0
b﹣x
0
=0 ，

同理，（x
0
﹣2）c
2
+2y
0
c ﹣x
0
=0，

∴b+c=，bc=，

∴（b﹣c）
2
=，

∵P（x
0
，y
0
）是抛物线上的一点，

∴，

，b﹣c=

∴（b﹣c）
2
=
∴ S
△
PBC
=
=

，

=（x
0
﹣2）+
≥2+4=8．

+4

当且仅当
此时x
0
=4，y
0
=
时，取等号．

．

∴△PBC面积的最小值为8．

）

【点评】本昰考查三角形面积的最小值的求法，具体涉及到抛物线的性质、抛 物线和直线的
位置关系、圆的简单性质、均值定理等基本知识，综合性强，难度大，对数学思想的要求较
高，解题时要注意等价转化思想的合理运用．



45．设抛物线过定点A（﹣1，0），且以直线x=1为准线．

（Ⅰ）求抛物线顶点的轨迹C的方程；

（Ⅱ）若直线l与轨迹C交于不同的两点M， N，且线段MN恰被直线x=﹣平分，设弦MN
的垂直平分线的方程为y=kx+m，试求m的取值范围 ．

【分析】（Ⅰ）设抛物线的顶点为G，则焦点坐标可得，进而根据抛物线的定义可知：|A F|=
点A到直线x=1的距离进而利用两点间的距离公式求得x和y的关系式求得抛物线顶点G的轨迹C的方程．

（Ⅱ）因为m是弦MN的垂直平分线与y轴交点的纵坐标，由MN所唯一 确定所以，要求m
的取值范围，还应该从直线l与轨C相交入手

设直线l的方程与轨 迹C的方程联立消去y，根据判别式大于0求得k的不等式方程，进而根
据线段MN恰被直线x=﹣平分 ，求得x
M
+x
N
的表达式，进而求得bk，带代入到判别式求得
k 的范围，下面只需找到m与k的关系，即可求出m的取值范围．求得MN中点P的坐标，
把x=﹣代入即 可求得y
0
的表达式，将P点坐标代入直线方程求得k和m的关系式，进而根
据m的范 围求得k的范围．

【解答】解：（Ⅰ）设抛物线的顶点为G（x，y），则其焦点为F（2x ﹣1，y）由抛物线的定义
可知：|AF|=点A到直线x=1的距离为2，

所以，=2

=1（x≠1）

所以，抛物线顶点G的轨迹C的方程 为x
2
+
（Ⅱ）显然，直线l与坐标轴不可能平行，所以，设直线l的方程为y=﹣x +b，

代入椭圆方程得：x
2
﹣+b
2
﹣4=0

由于l与轨迹C交于不同的两点M，N，所以，△=﹣4（）（b
2
﹣4）＞0，即4 k
2
）

﹣k
2
b
2
+1＞0（k≠0）（*）

又线段M N恰被直线x=﹣平分，所以，x
M
+x
N
=
所以bk=，代入（* ）可解得：﹣＜k＜
=2×（﹣）

（k≠0）

由于y=kx+m 为弦MN的垂直平分线，故可考虑弦MN的中点P（﹣，y
0
）

在y=﹣x+b，中，令x=﹣，可解得：y
0
=+b=﹣2k，

将点P（﹣﹣2k）代入y=kx+m，可得：m=﹣k，

所以﹣＜m＜，m≠0．


【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．



46．已知双曲线C
1
：
x
2
﹣y< br>2
=m（m＞0）与椭圆
它们的一个公共点．

（1）求C
1
，C
2
的方程；

（2）过点F2
且互相垂直的直线l
1
，l
2
与圆M：x
2
+（y+1）
2
=4分别相交于点A，B和C，D，
求|AB|+|CD|的最大值， 并求此时直线l
1
的方程．

【分析】（1）把点
点，把点
代入双曲线C
1
：x
2
﹣y
2
=m（m＞0），求得m的值 ，求得椭圆的焦
代入椭圆，解方程组即可求得C
1
，C
2
的方程；< br>
有公共焦点F
1
F
2
，点是
（2）根据直线l1
，l
2
与圆相交，由垂径定理可得四边形MEF
2
F是矩形（ 其中M是圆的圆心），
设圆M的圆心为M，l
1
、l
2
被圆M所截得 弦的中点分别为E，F，弦长分别为d
1
，d
2
，利用勾
股定理可得 ME
2
+MF
2
=F
2
M
2
=3，利用基 本不等式即可求得|AB|+|CD|的最大值，和此时直线l
1
的方程．

）

【解答】解：（1）点N（
1=1．

，1）是双曲线C
1
：x
2
﹣y
2
=m（m＞0）上的点，∴m=（）
2
﹣∴双曲线C
1
：x
2
﹣y
2
=1，从而F
1< br>（﹣
又点N（，1）在椭圆上，则
，0），F
2
（
②

，0），∴a
2
＞b
2
，且a
2
﹣b
2< br>=2．①

由①②得a
2
=4，b
2
=2，所以椭圆的方程为．
（2）设圆M的圆心为M，l
1
、l
2
被圆M所截得弦的中点分别为E， F，弦长分别为d
1
，d
2
，
因为四边形MEF
2
F是矩形，

所以ME
2
+MF
2
=F
2
M
2
=3，即[4﹣（
化简得d
1
2
+d
2
2
=20

从而d
1
+d
2
≤
d
1
=d
2
=
?，等号成立?d
1
=d
2
=
，

．

，

）
2
]+[4﹣（）
2
]=3，

时，∴（d1
+d
2
）
max
=2
即l
1
、l< br>2
被圆C所截得弦长之和的最大值为2
设直线l
1
的方程为y=k（x ﹣
圆心M到直线l
1
为
的距离
∴=，解得k=
±
）

，

±，

）．

∴直线l
1
的方程为y=（x﹣
【点评】此题是个难题．本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的 标准方程及简单
的几何性质、直线与圆的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决 问
题的能力．



47．如图，P是圆x
2
+y
2
=4上的动点，P点在x轴上的投影是D，点M满足
（1）求动点M的轨迹C的方程 ，并说明轨迹是什么图形；

（2）过点N（3，0）的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两 点A，B，求以OA，OB为邻
边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．

（3 ）若存在点Q（a，0），使得四边形QAFB为菱形（A，B意义同（2）），求实数a的取值范
围．

）

．

【分析 】（1）设点M（x，y），P（x
0
，y
0
），将其代入点M满足=12， 用点M的坐标表示
点P的坐标，代入圆x
2
+y
2
=4，化简即可求 得动点M的轨迹C的方程，根据方程可知曲线的
形状；

（2）设点E（x，y），A （x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），根 据题意设直线l的方程为y=k（x﹣3），联
立方程，利用韦达定理，，即可求得顶点E的轨迹方程；

（3）若存在点Q（a，0），使得四边形QAFB为菱形，可得QA=AB，代入，因式分 解，利用
韦达定理，用k表示a，转化为求函数的值域问题．

【解答】解：（1）设 点M（x，y），P（x
0
，y
0
），

∵点M满足
∴x
0
=x，y
0
=2y

∵点P是圆x
2
+y
2
=4上的动点，

∴x
2
+4y
2
=4

即动点M的轨迹C的方程：，其图形为椭圆．

．

（2）设点E（ x，y），A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2< br>），根据题意设直线l的方程为y=k（x﹣3），

由得（1+4k
2
）x
2
﹣24k
2
x+36k
2
﹣4=0

∵直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，

∴△=（﹣24k
2< br>）
2
﹣4（1+4k
2
）（+36k
2
﹣4）＞0， 解得
x
1
+x
2
=，y
1
+y
2
=k（x
1
+x
2
﹣6）=；

，

）

∵，即，

∴，y=，

，

，得4y
2
+x
2
﹣6x=0，

＜，

∴x+4xk
2
=24k
2
，k
2
=
则（）
2
=
∵k
2
＜，∴0≤
∵A，B ，O不可共线，∴x∈（0，），

∴顶点E的轨迹方程：．

（3）四边形 QAFB为菱形，则QA=AB，即（x
1
﹣a）
2
+y
1
2
=（x
2
﹣a）
2
+y
2
2
，

∴k=
∴a==
=﹣，

，0＜k
2
＜，解得0＜a＜1，

∴实数a的取值范围：（0，1）．

【点评】考查代入法求轨迹方程，以及直线与圆 锥曲线的综合问题，这里侧重与几何图形的
几何性质的考查，是把几何问题转化为代数问题的桥梁，综合 性较强，特别是（3）的设问，
把几何问题和函数的值域结合起来，增加了题目的难度，属难题．



48．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1），

（Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）与圆x
2
+（y+1）
2
=1相切的直线l：y=kx+t交抛物线于不同的两点M，N，若抛物线上
一点C满足（ λ＞0），求λ的取值范围．

）