高中数学试题高三语文考试答案-高中数学删除映射
解圆锥曲线问题的常用方法大全
1、定义法
(1)椭圆有
两种定义。第一定义中,r
1
+r
2
=2a。第二定义中,r
1=ed
1
r
2
=ed
2
。
(2)双曲线有两种定义。第一定义中,
r
1
?r
2
?2a
,当r
1
>r
2
时,注意r
2
的最小
值为c-a:
第二定义中,r
1
=ed
1
,r
2
=ed
2
,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径
与“点到准线距离”互相转化。
(3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线
问题用定义解决更直接简
明。
2、韦达定理法
因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是
二次的,故直线与圆锥曲线的问题
常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定
理及判别式
是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定
理
直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中,常设一些量而
并不解解出这些量,利用这些量过渡使问
题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直
线与圆锥曲线相交而
产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),弦AB中
点为M(
x
0
,y
0
),将点A、B坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦
斜率的
关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有:
x
2
y
2
(1)
2
?2
?1(a?b?0)
与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(x
0
,
y
0
),则有
ab
x
0
y
0
?
2
k?0
。
2
ab
x
2
y
2
(2)
2
?
2
?1(a?0,b?0)
与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M(x
0
,y
0
)则有
ab
x
0
y
0
?k?0
a
2
b
2
(3)y
2
=2px
(p>0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x
0
,y
0
),则有2
y
0
k=2p,
即y
0
k=p.
【典型例题】
例1、(1)抛物线C:y
2
=4x上一点P到点A
(3,4
2
)与到准线的距离和最小,则点
P
的坐标为______________
(2)抛物线C:
y
2
=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐
标为
。
A
Q
H
P
F
B
分析:(1)A在抛物
线外,如图,连PF,则
PH?PF
,
易发现,当A、P、F三点共线时,距离和最小
。
因而
(2)B在抛物线内,如图,作QR⊥l交于R,则当B、Q、R三点共线时
,距离和
最小。
解:(1)(2,
2
)
连PF,当A、P、F三点共线时,
AP?PH?AP?PF
最小,此时AF的方程为
y?
42?0
2
(x?1)
即 y=2
2
(x-
1),代入y=4x得P(2,2
2
),(注:另一交点为
3?1
(
,?2
),它为直线AF与抛物线的另一交点,舍去)
1
2
(2)(
,1
)
1
4
过Q
作QR⊥l交于R,当B、Q、R三点共线时,
BQ?QF
的纵坐标为1,代入y
2<
br>=4x得x=,∴Q(
,1
)
1
4
1
4<
br>?BQ?QR
最小,此时Q点
点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转
化的一个典型例题,
请仔细体会。
x
2
y
2
例2
、F是椭圆
??1
的右焦点,A(1,1)为椭圆内一
43
定
yA
F
0
′
F
P
H
x
点,P为椭圆上一
动点。
(1)
PA?PF
的最小值为
(2)
PA?2PF
的最小值为
分析:PF为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径
PF
?
或准线
作出来考虑问题。
解:(1)4-
5
设另一焦点为
F
?
,则
F
?
(-1,0)连A
F<
br>?
,P
F
?
PA?PF?PA?2a?P
F
?
?2a?(PF
?
?PA)?2a?AF
?
?4?5<
br>
当P是
F
?
A的延长线与椭圆的交点时,
PA?PF
取得最小值为4-
5
。
(2)3
作出右准线l,作PH⊥l交于H,因a
2
=4,b
2
=
3,c
2
=1, a=2,c=1,e=,
1
2
∴
PF?
1
PH,即2PF?PH
2
∴
PA?2PF?PA?PH
a
2
当A、P、
H三点共线时,其和最小,最小值为
?x
A
?4?1?3
c
例3、动圆M与圆C
1
:(x+1)
2
+y<
br>2
=36内切,与圆C
2
:(x-1)
2
+y
2=4外切,求圆心M的轨
迹方程。
y
M
D
C
5
分析:作图时,要注意相切时的“图形特征”:两个
与切点这三点共线(如图中的A、M、C
共线,B、D、M
线)。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”(如图
。
MC?MD
)
圆心
共
x
中的
A
0
B解:如图,
MC?MD
,
∴
AC?MA?MB?DB即6?MA?MB?2
∴
MA?MB?8
(*)
x
2
y
2
∴点M的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b=15轨迹方程为
??1
<
br>1615
2
点评:得到方程(*)后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离
公
式列式求解,即列出
(x?1)
2
?y
2
?(x?1)<
br>2
?y
2
?4
,再移项,平方,…相当于将椭圆
标准方程推导
了一遍,较繁琐!
例4、△ABC中,B(-5,0),C(5,0),且sinC-
sinB=sinA,求点A的轨迹方程。
3
5
分析:由于sinA、si
nB、sinC的关系为一次齐次式,两边乘以2R(R为外接圆
半径),可转化为边长的关系。
解:sinC-sinB=sinA 2RsinC-2RsinB=·2RsinA
3
5
3
5
∴
AB?AC?BC
3
5
即
AB?AC?6
(*)
∴点A的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点)
∵2a=6,2c=10
∴a=3, c=5, b=4
x
2
y
2
所求轨迹方程为
??1
(x>3)
916
点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明
了轨迹(双曲
线右支)
例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x
2<
br>上移动,AB中点为M,求点M到x
轴的最短距离。
分析:(1)可直接利用
抛物线设点,如设A(x
1
,x
1
2
),B(x
2
,X
2
2
),又设AB中点为
M(x
0
y
0
)用弦长公式及中点公式得出y
0
关于x
0
的函数表达式,再用函数思想求
出最短
距离。
(2)M到x轴的距离是一种“点线距离”,可先考虑M到准线的距离
,想到用定
义法。
解法一:设A(x
1
,x
1
2
),B(x
2
,x
2
2
),AB中点M(x
0,y
0
)
22
?
(x
1
?x
2
)
2
?(x
1
2
?x
2
)?9
则
?
①
?
x
1
?x
2?2x
0
?
22
?
x
1
?x
2
?2y
0
由①得(x
1
-x
2
)
2
[1
+(x
1
+x
2
)
2
]=9
即[(x<
br>1
+x
2
)
2
-4x
1
x
2
]·[1+(x
1
+x
2
)
2
]=9 ④
<
/p>
由②、③得2x
1
x
2
=(2x
0
)
2
-2y
0
=4x
0
2
-2y
0
代入④得 [(2x
0
)
2
-(8x
0
2
-4y
0
)]·[1+(2x
0
)
2
]=9
∴
4y
0
?4x
0
2
?
9
,
2
1?4x
0
2
4y
0
?4x
0
?
99
2
?(4x?1)??1
0
22
4x
0
4x
0
?1
≥
29?1?5,
y
0
?
5
4
当4x
0
2
+1=3 即
x
0
??
225
5
时,
(y
0
)
min
?
此时
M(?,)
224
4
法二:如图,
2MM
2
?AA
2
?BB
2
?AF?BF?AB?3
∴
MM
2
?
,
即
MM
1
??
,
A
3
2
14
3
2
y
M
B
5
∴
MM
1<
br>?
, 当AB经过焦点F时取得最小值。
4
A
1
A
2
0
M
1
M
2
B
1
B
2
x
∴M到x轴的最短距离为
5
4
点评:解法一是列出方程
组,利用整体消元思想消x
1
,x
2
,从而形成y
0
关于x
0
的
函数,这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义,巧妙地
将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离,再利用梯形的中位线,转化为A、B
到准线的距离和,结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时,
两边之和等于第
三边)的属性,简捷地求解出结果的,但此解法中有缺点,即没有
验证AB是否能经过焦点F,而且点M
的坐标也不能直接得出。
x
2
y
2
?1(2?m?5)<
br>过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线例6、已知椭圆
?
mm?1
从左到右
依次变于A、B、C、D、设f(m)=
AB?CD
,(1)求f(m),(2)求f(m)的
最
值。
分析:此题初看很复杂,对f(m)的结构不知如何运算,因A、B来源于“
不同系
统”,A在准线上,B在椭圆上,同样C在椭圆上,D在准线上,可见直接求解较繁,
将
这些线段“投影”到x轴上,立即可得防
f(m)?(x
B
?x
A
)2?(x
D
?x
C
)2?2(x
B
?x
A
)?(x
D
?X
C
)
?
?
2(x
B
?x
C
)?(
x
A
?x
D
)
y
C
D
2(x
B
?X
C
)
A
B
F
1
0
F
2
x
此时问题已明朗化
,只需用韦达定理即可。
x
2
y
2
222
?1<
br>中,a=m,b=m-1,c=1,左焦点F
1
(-1,0)
解:(
1)椭圆
?
mm?1
则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x
2<
br>+my
2
-m(m-1)=0
得(m-1)x
2
+
m(x+1)
2
-m
2
+m=0
∴(2m-1)x
2
+2mx+2m-m
2
=0
设B(x
1
,y
1
),C(x
2
,y
2
),则x
1
+x
2
=-
2m
(2?m?5)<
br>
2m?1
f(m)?AB?CD?2(x
B
?x
A
)?(x
D
?x
C
)
2m
?2(x
1<
br>?x
2
)?(x
A
?x
C
)?2x
1
?x
2
?2?
2m?1
(2)
f(m)?2
2m?1?1
1
?2(1?)
2m?12m?1
∴当m=5时,
f(m)
min
?
102
9
当m=2时,
f(m)
max
?
42
3
点评:此
题因最终需求
x
B
?x
C
,而BC斜率已知为1,故可也用“点差法
”设BC
中点为M(x
0
,y
0
),通过将B、C坐标代入作差,得
得
x
0
y
?
0
?k?0
,将y
0
=x
0
+1,k=1代入
mm?1
x
0
x
0
?1
m
2m
??0
,∴
x
0
??
,可见
x
B
?x
C
??
mm?1
2m
?1
2m?1
当然,解本题的关键在于对
f(m)?AB?CD
的认识,通过
线段在x轴的“投影”
发现
f(m)?x
B
?x
C
是解此题
的要点。
【同步练习】
x
2
y
2<
br>1、已知:F
1
,F
2
是双曲线
2
?
2?1
的左、右焦点,过F
1
作直线交双曲线左支于
ab
<
br>点A、B,若
AB?m
,△ABF
2
的周长为( )
A、4a B、4a+m C、4a+2m
D、4a-m
2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则P点的轨迹方程
是
( )
A、y
2
=-16x
B、y
2
=-32x C、y
2
=16x
D、y
2
=32x
3、已知△ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等
差数列,且
AB?AC
,点B、C的
坐标分别为(-1,0),(1,0),则顶点A
的轨迹方程是( )
x
2
y
2
x
2y
2
A、
??1
B、
??1(x?0)
4343
x
2
y
2
x
2
y
2
C、
??1(x?0)
D、
??1(x?0且y?0)
4343
4、过原点的椭圆的一个焦点为F
(1,0),其长轴长为4,则椭圆中心的轨迹方程
是
( )
A、
(x?)
2
?y2
?(x??1)
B、
(x?)
2
?y
2
?(x??1)
1
2
9
4
1
2
9
4
C、
x
2?(y?)
2
?(x??1)
D、
x
2
?(y?)
2
?(x??1)
1
2
9
4
1
2
9
4
x
2
y
2
5、已知双曲线
??1
上一点M的横坐标为4,则点M到左焦点的距离是
916
6、抛物线y=2x
2
截一组斜率为2的平行直线,所得弦
中点的轨迹方程是
7、已知抛物线y
2
=2x的弦A
B所在直线过定点p(-2,0),则弦AB中点的轨迹方
程是
8、过双曲线x
2
-y
2
=4的焦点且平行于虚轴的弦长为
9、直线y=kx+1与双曲线x
2
-y
2
=1的交点个
数只有一个,则k=
x
2
y
2
10、设点P是椭圆
??1
上的动点,F
1
,F
2是椭圆的两个焦点,求sin∠F
1
PF
2
259
的最大值。<
br>
11、已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,左
焦点到坐标原点、右焦点、右准
线的距离依次成等差数列,若直线l与此椭圆相交于A、B两点,且AB
中点M为(-2,
1),
AB?43
,求直线l的方程和椭圆方程。
x
2
y
2
12、已知直线l和双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
及其渐
近线的交点从左到右依次为
ab
A、B、C、D。求证:
AB?CD
。
【参考答案】
1、C
AF
2
?AF<
br>1
?2a,BF
2
?BF
1
?2a
,
∴
AF
2
?BF
2
?AB?4a,AF
2
?B
F
2
?AB?4a?2m,
选C
2、C
点P到F与到x+4=0等距离,P点轨迹为抛物线
p=8开口向右,则方程为y
2
=16x,
选C
3、D
∵
AB?AC?2?2
,且
AB?AC
∵
点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又A、B、C三点不共线,即y≠0,故选
D。
4、A
设中心为(x,y),则另一焦点为(2x-1,2y),则原点到两焦点距
离和为4得
19
1?(2x?1)
2
?(2y)
2
?4,∴
(x?)
2
?y
2
?
24
①又c(x?1)
2
?y
2
?2
∴(x-1)
2
+y
2
<4
②,由①,②得x≠-1,选A
5、
29
3
左准线为x
=-,M到左准线距离为
d?4?(?)?
ed?
52929
??
353
9
5
9
5
29
则M到左焦点的距离为
5
6、
x?(y?)
1
2
1
2
设弦为AB,A(x
1
,y
1
),B(x
2<
br>,y
2
)AB中点为(x,y),则y
1
=2x
1
2
,y
2
=2x
2
2
,y
1
-y
2
=2(x
1
2
-x
2
2
)
∴
y
1
?y
2
1
?2(x
1
?
x
2
)
∴2=2·2x,
x?
x
1
?x
2
2
将
x?
代入y=2x
2
得
y?<
br>,轨迹方程是
x?
(y>)
1
2
1
21
2
1
2
7、y
2
=x+2(x>2)
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),AB中点M(x,y),则
22
y
1
2
?2x1
,y
2
?2x
2
,y
1
2
?y2
?2(x
1
?x
2
),
y
1
?y<
br>2
?(y
1
?y
2
)?2
x
1<
br>?x
2
∵
k
AB
?k
MP
?
y?0
y
2
,∴
?2y?2
,即y=x+2
x?2x?2
又弦中点在已知抛物线内P,即y
2
<2x,即x+2<2x,∴x>2
8、4
a
2
?b
2
?4,c
2
?8,c?22
,令
x?22
代入方程得8-y=4
2
∴y
2
=4,y=±2,弦长为4
9、
?2或?1
y=kx+1代入x
2
-y
2<
br>=1得x
2
-(kx+1)
2
-1=0
∴(1-k
2
)x
2
-2kx-2=0
<
br>?
1?k
2
?0
①
?
得4k
2
+8
(1-k
2
)=0,k=
?2
?
??0
②1-k
2
=0得k=±1
y
P
F
1
F
2
x
10、解:a=25,b=9,c=16
222
设F
1
、F
2
为左、右焦点,则F
1
(-4,0)F
2
(4,0)
①
设
P
F
1
?r
1
,PF
2
?r
2
,?F
1
PF
2
?
?
r
1
?r
2<
br>?2
?
则
?
?
22
?
r
1
?r
2
?2r
1
r
2
cos
?
?(2c)
2
①
2
-②得2r
1
r
2(1+cosθ)=4b
2
4b
2
2b
2
∴1+cosθ=
∵r
1
+r
2
?2r
1
r
2
,
∴r
1
r
2
的最大值为a
2
?
2r1
r
2
r
1
r
2
2b
2
18
∴1+cosθ的最小值为
2
,即1+cosθ
?
a
25
cosθ
??
77
?
,
0??
?
?
?arccos
则当
?
?
时,sinθ
取值得最大值1,
25252
即sin∠F
1
PF
2
的最大值为1。
x
2
y
2
11、设椭圆方程为
2
?
2?1(a?b?0)
ab
由题意:C、2C、
a
2
c
?c
成等差数列,
∴
4c?c?
a
2
c
?c即a
2
?2c
2
,
∴a2
=2(a
2
-b
2
),∴a
2
=2b
2
椭圆方程为
x
2
y
2
2b
2
?
b
2
?1
,设A(x
1
,y
1
),B
(x
2
,y
2
)
则
x
2
y222
11
x
2
y
2
2b
2
?
b
2
?1
①
2b
2
?
b
2
?1
②
①-②得
x
2222
1
?x
2
2b
2
?
y
1
?y
2
b
2
?0
∴
x
m
2b
2
?
y
m
b
2
?k?0
即
?2
2
?k?0
∴k=1
直线AB方程为y-1=x+2即y=x+3, 代入椭圆方程即x
2
+2y
2
-2b
2
=0
x
2
+2(x+3)
2
-
2b
2
=0
∴3x
2
+12x+18-2b
2
=0,
AB?x1
?x
2
1?1?
1
3
12
2
?12
(18?2b
2
)2?43
解得b
2
=12, ∴椭圆
方程为
x
2
y
2
24
?
12
?1
,直线l方程为x-y+3=0
得
12、证明:设A(x
1
,y
1
),D(x
2
,y
2
),AD中点为M(x
0
,y
0
)直线l的斜率为k,则
?
?
x
22
1
?
a
2
?
y
1
b
2
?1
①
①-②得
2x
0<
br>?
2
?
2y
0
b
2
?k?0
③
?
x
22
a
?
2
?
a
2
?
y
2
b
2
?1
设
B(x
1
?
,y
1
?
),C(x
?
2
,y
2
?
),BC中点为M
?
(x
0
?
,y
0
?
)
,
则
?
?
x
1
2
y
1
2
1
?
2
?
1
2
?
0
④
?
ab
?
1
2
?
xy
1
2
2
?
a
2
?2
b
2
?0
④-⑤得
2x
1
?
2y<
br>1
0
a
2
?
b
2
?k?0
⑥
由③、⑥知M、
M
?
均在直线
l
?
:
2x
a
2
?
2y
b
2
?k?0
上
,而M、
若l过原点,则B、C重合于原点,命题成立
若l与x轴垂直,则由对称性知命题成立
若l不过原点且与x轴不垂直,则M与
M
?
重合
∴
AB?CD
M
?
又在直线l上 ,
椭圆与双曲线的对偶性质总结
椭 圆
点P处的切线PT平分△PF
1
F
2
在点P处的外角.
1.
2.
PT平分△PF
1
F
2
在点P处的外角,则焦
点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴
为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3.
以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4.
以焦点半径PF
1
为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
x
2
y
2
xxyy
5.
若
P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2<
br>?1
上,则过
P
0
的椭圆的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab
x
2
y
2
6.
若
P<
br>0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?2
?1
外 ,则过Po作椭圆的两条切线切点为P
1
、P
2,则切点
ab
xxyy
弦P
1
P
2
的直线方程
是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
x
2
y
2
7.
椭圆
2
?
2
?1
(a>b>0)的左右焦点分别为F
1
,F
2
,点P为椭圆上任意一点ab
?F
1
PF
2
?
?
,则椭圆的焦点角形的
面积为
S
?F
1
PF
2
?b
2
tan?
2
.
x
2
y
2
8.
椭圆
2
?
2
?1
(a>b>0)的焦半径公式:
ab
|MF
1
|?a?ex
0
,
|MF
2
|?a?ex
0
(
F
1
(?c,0)
,
F
2
(c,0)
M(x
0
,y
0
)
).
9.
设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交
P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结
AP
和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF⊥NF.
10.
过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A
1
、A
2
为椭
圆长轴上的顶点,A
1
P
和A
2
Q交于点M,A
2
P和A
1
Q交于点N,则MF⊥NF.
x
2
y
2
b
2
11.
AB是椭圆
2
?
2
?1
的不平行于对称轴的弦,M
(x
0
,
y
0
)
为AB的中点,则
k
OM
?k
AB
??
2
,
aba
即
K
AB
b
2
x
0
??
2
。
ay
0
x
2
y
2
12.
若
P<
br>0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?2
?1
内,则被Po所平分的中点弦的方程是
ab
x0
xy
0
yx
0
2
y
0
2
?
2
?
2
?
2
.
a
2
b
ab
x
2
y
2
x
2
y
2
x
0
xy
0
y
13.
若
P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1
内,则过Po的弦中点的轨迹方程是
2
?
2
?
2
?
2
.
ababab
双曲线
点P处的切线PT平分△PF
1
F
2
在点P处的内角.
1.
2.
PT平分△PF
1
F
2
在点P处的内角,则焦
点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长
轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3.
以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4.
以焦点半径PF
1
为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P在右支;外
切:P在左支)
x
2
y
2
5.
若
P
0
(x0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1(a>0,b>0)上,则过
P
0
的双曲线的切线方程
ab
xx
yy
是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
x
2
y
2
6.
若
P
0(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2?1
(a>0,b>0)外 ,则过Po作双曲线的两条切
ab
xxyy
线切点为P
1
、P
2
,则切点弦P
1
P
2
的直线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
x
2
y
2
7.
双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>o)的左右焦点分别为F
1
,F
2
,点P为双曲线上任
ab
意一点
?F
1
PF
2?
?
,则双曲线的焦点角形的面积为
S
?FPF
?b
2
cot
.
12
?
2
x
2
y
2
8.
双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>o)的焦半径公式:(<
br>F
1
(?c,0)
,
F
2
(c,0)
ab
当
M(x
0
,y
0
)
在右支上时,<
br>|MF
1
|?ex
0
?a
,
|MF
2
|?ex
0
?a
.
当
M(x
0
,y<
br>0
)
在左支上时,
|MF
1
|??ex
0
?
a
,
|MF
2
|??ex
0
?a
9.
设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶
点,连结AP
和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MF⊥
NF.
10.
过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A
1
、A
2
为双曲线实轴上的
顶点,A
1
P和A
2
Q交于点M,A
2<
br>P和A
1
Q交于点N,则MF⊥NF.
x
2
y
2
11.
AB是双曲线
2
?2
?1
(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M
(x
0
,
y
0
)
为AB的
ab
b
2
x
0
b
2
x
0
中点,则
K
OM
?K
AB
?
2
,即
K
AB
?
2
。
ay
0
ay
0
x
2
y
2
12.
若
P
0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0)内,则被Po所平分的中点弦的方<
br>ab
x
0
xy
0
yx
0
2
y
0
2
程是
2
?
2
?
2
?
2.
abab
x
2
y
2
13.
若<
br>P
0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2<
br>?
2
?1
(a>0,b>0)内,则过Po的弦中点的轨迹方程
ab<
br>x
2
y
2
x
0
xy
0
y
是
2
?
2
?
2
?
2
.
abab
椭圆与双曲线的经典结论
椭 圆
x
2
y
2
1.
椭圆
2
?
2?1
(a>b>o)的两个顶点为
A
1
(?a,0)
,
A
2
(a,0)
,与y轴平行的直线
ab
x
2
y<
br>2
交椭圆于P
1、
P
2
时A
1
P
1
与A
2
P
2
交点的轨迹方程是
2
?
2?1
.
ab
x
2
y
2
2.
过椭圆
2
?
2
?1
(a>0, b>0)上任一点
A(x
0
,y
0
)
任意作两条倾斜角互补的直
ab
b
2
x
0
线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且
k
BC
?
2
(常数).
ay
0
x
2
y
2
3.
若P为椭圆
2
?
2
?1
(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F
1
, F
2
是焦点,
ab
?PF
1
F
2
?
?
,
?P
F
2
F
1
?
?
,则
a?c
??
?
tancot
.
a?c22
x
2
y
2
4.
设椭圆
2?
2
?1
(a>b>0)的两个焦点为F
1
、F
2,P(异于长轴端点)为椭圆
ab
上任意一点,在△PF
1
F
2
中,记
?F
1
PF
2
?
?
,
?
PF
1
F
2
?
?
,
?F
1
F2
P?
?
,则有
sin
?
c
??e
.
sin
?
?sin
?
a
x
2
y
2
5.
若椭圆
2
?
2
?1
(a>b>0
)的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,左准线为L,则当0
ab
<e≤
2?1
时,可在椭圆上求一点P,使得PF
1
是P到对应准线距离d
与PF
2
的比例中项.
x
2
y
2
6.
P为椭圆
2
?
2
?1
(a>b>0)上任一点,F
1
,F
2
为二焦点,A为椭圆内一定点,
ab
则2a?|AF
2
|?|PA|?|PF
1
|?2a?|AF
1<
br>|
,当且仅当
A,F
2
,P
三点共线时,等号成立.
(x?x
0
)
2
(y?y
0
)
2
??1
与直线
Ax?By?C?0
有公共点的充要条件是
7.
椭圆
22
ab
A
2
a
2
?B
2
b2
?(Ax
0
?By
0
?C)
2
.
x
2
y
2
1
a>b>0)
8.
已知椭圆
2
?
2
?
(,O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且
O
P?OQ
.
ab
4a
2
b
2
1111
22
???
;(2)|OP|+|OQ|的最大值为
2
(1);(3)
S
?OPQ
的
a?b
2
|OP|
2
|OQ|
2
a
2
b
2
a
2
b
2
最小值是<
br>22
.
a?b
x
2
y
2
9. <
br>过椭圆
2
?
2
?1
(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆
右支于M,N两点,弦
ab
|PF|e
?
.
MN的垂直平
分线交x轴于P,则
|MN|2
x
2
y
2
10.
已知椭圆
2
?
2
?1
( a>b>0) ,A、B、是椭圆
上的两点,线段AB的垂直
ab
a
2
?b
2
a
2<
br>?b
2
?x
0
?
平分线与x轴相交于点
P(x
0
,0)
, 则
?
.
aa
x
2
y
2
11.
设P点是椭圆
2
?
2
?1
( a>b>0)上异于长轴端点
的任一点,F
1
、F
2
为其焦
ab
2b
2
?
点记
?F
1
PF
2
?
?
,则(1)|PF
1
||PF
2
|?
.(2)
S
?PF
1
F
2
?b
2
tan
.
1?cos
?
2
x
2
y
2
1
a>b>0)
12.
设A、B是椭圆
2
?
2
?
(
的长轴两端点,P是椭圆上的一点,
?PAB?
?
,
ab
?PBA
?
?
,
?BPA?
?
,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有2ab
2
|cos
?
|
2a
2
b
2<
br>2
(1)
|PA|?
222
.(2)
tan
?
tan
?
?1?e
.(3)
S
?PAB
?
22
cot
?
.
a?ccos
?
b?a
x
2
y
2
13.
已知椭圆
2
?
2
?1
( a>b>0)的右准线
l
与x轴相交于点
E
,过椭圆右焦点
F
ab
的
直线与椭圆相交于A、B两点,点
C
在右准线
l
上,且
BC?x轴,则直线AC经
过线段EF 的中点.
14.
过椭圆焦半径的端点
作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点
与相应焦点的连线必与切线垂直.
15.
过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线
必
与焦半径互相垂直.
16.
椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常
数e(离心率).
(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、
外点
.)
17.
椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18.
椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
双曲线
x
2
y
2
1.
双曲线<
br>2
?
2
?1
(a>0,b>0)的两个顶点为
A
1<
br>(?a,0)
,
A
2
(a,0)
,与y轴平行
ab<
br>x
2
y
2
的直线交双曲线于P
1、
P
2时A
1
P
1
与A
2
P
2
交点的轨迹方
程是
2
?
2
?1
.
ab
x
2
y
2
2.
过双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>o)上任一点
A(x
0
,y
0
)
任意作两条倾斜角互补
ab
b
2
x
0
的直线交双曲线于B,C两点,则直线BC有定向且
k
BC
??
2
(常数).
ay
0
x
2
y
2
3. 若P为双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0)右(或左)支上除
顶点外的任一点,F
1
,
ab
F
2
是焦点,
?PF
1
F
2
?
?
,
?PF
2
F
1
?
?
,则
c?a
??
(或
?
tancot
c?a22
c?a
??
?tancot
).
c?a22
x
2
y
2
4.
设双曲线
2<
br>?
2
?1
(a>0,b>0)的两个焦点为F
1
、F
2
,P(异于长轴端点)
ab
为双曲线上任意一点,在△PF
1
F<
br>2
中,记
?F
1
PF
2
?
?
, <
br>?PF
1
F
2
?
?
,
?F
1
F
2
P?
?
,
则有
sin
?
c
??e
.
?(sin
?
?sin
?
)a
x
2
y
2
5.
若双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,左准线为
L,
ab
则当1<e≤
2?1
时,可在双曲线上求一点P,使得PF
1
是P到对应准线距
离d与PF
2
的比例中项.
x
2
y
2
6.
P为双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0)上任一点,F
1
,F
2
为二焦点
,A为双曲线
ab
内一定点,则
|AF
2
|?2a?|PA|?|P
F
1
|
,当且仅当
A,F
2
,P
三点共线且
P
和
A,F
2
在
y轴同侧时,等号成立.
x
2
y
2
7.
双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0)与直线
Ax?By?C?0
有公共点的
充要条件是
ab
A
2
a
2
?B
2
b
2
?C
2
.
x
2
y
2
8.
已知双曲线
2
?
2
?1
(b>a >0),O为坐标原点,
P、Q为双曲线上两动
ab
点,且
OP?OQ
.
4a2
b
2
1111
22
??
2
?
2;(2)|OP|+|OQ|的最小值为
2
(1);(3)
S
?OPQ<
br>的
2
22
b?a
|OP||OQ|ab
a
2
b
2
最小值是
22
.
b?a
x
2
y
2
9.
过双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于
ab<
br>|PF|e
?
.
M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则<
br>|MN|2
x
2
y
2
10.
已知双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点,线段AB的
ab
a
2
?b
2
a
2
?b
2
垂
直平分线与x轴相交于点
P(x
0
,0)
,
则
x
0
?
或
x
0
??
.
aa
x
2
y
2
11.
设P点是双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F
1
、F
2
ab
2b
2
?
为其焦点记
?F
1
PF
2
?
?
,则(1)
|PF
1
||PF
2
|?
.(2)
S
?PF
1
F
2
?b
2
cot
.
1?cos
?
2
x
2
y
2
12.
设A、B是双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0)的长轴两端点,
P是双曲线上的
ab
一点,c、e分别是双曲线的半焦距离心率,
?PAB?
?
,
?PBA?
?
,
?BPA?
?
,
2
ab
2
|cos
?
|
则有(1)
|PA|?
222
.
|a?ccos
?
|
(2)
tan
?
tan
?
?1?e
.(3)
S
?PAB
2
2a
2
b
2
?
2
cot
?
.
2
b?a
x
2
y
2
13.
已知双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0)的右准线
l<
br>与x轴相交于点
E
,过双曲
ab
线右焦点
F
的直线与
双曲线相交于A、B两点,点
C
在右准线
l
上,且
BC?x
轴,则直线AC经过线段EF 的中点.
14.
过双曲线焦半径的端点作双曲线的
切线,与以长轴为直径的圆相交,则相
应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15.
过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点
的连
线必与焦半径互相垂直.
16.
双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦
点为端点的焦半径之比
为常数e(离心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点
的内、外角平分线与长轴交点分别称为
内、外点).
17.
双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比
e.
18.
双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.