高中数学圆锥曲线椭圆及其性质(题型全归纳)

第十章 圆锥曲线
本章知识结构图

曲线与方程
轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法
定义及标准方程
性质
离心率
范围、对称性、顶点、焦点、长轴（实轴）、
短轴（虚轴）、渐近线（双曲线 ）、准线（只
要求抛物线）



圆锥曲线
椭圆
双曲线
抛物线



对称性问题
关于点(a，b)对称
点(2a－x
1
，2b－y
1
) 点(x
1
，y
1
)
───────→
中心对称
关于点(a，b)对称
曲线f (2a－x，2b－y) 曲线f (x，y)
───────→

轴对称
点(x
1
，y
1)与点(x
2
，y
2
)关于
直线Ax＋By＋C＝0对称

特殊对称轴
x±y＋C＝0



x
1< br>＋x
2
y
1
＋y
2
?
?
A·
2
＋B·
2
＋C＝0
?
y
2
－y
1A
?
x
2
－x
1
·(－
B
)＝－1< br>?


直接代入法
第一节 椭圆及其性质
考纲解读
1. 了解圆锥曲线的实际背景及其在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2. 掌握椭圆的定义，标准方程，几何图形及其简单性质
3. 了解椭圆的简单应用
4. 理解数形结合的思想
命题趋势研究
椭圆是圆锥曲线的重要内容，高考主要考查椭圆的基本性 质，椭圆方程的求法，椭圆定
义的运用和椭圆中各个量的计算，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点 问题，在各种题
型中均有题型
预测2019年高考对本节考查内容为：
（1） 利用标准方程研究几何性质，尤其是离心率的求值及取值范围问题.
（2） 利用已知条件求出椭圆的 方程，特别是与向量结合求方程更是重点.椭圆的定义，标
准方程和几何性质及直线相交问题的考查以中 档题目为主，每年高考分值大多保持
在5分.
知识点精讲

一、椭圆的定义
平面内与两个定点
F
1
,F
2
的距离之和等于常数
2a
（
2a?|F
1
F
2
|
）的点的轨迹叫做椭圆，
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距 ，记作
2c
，定义用集合语言表
示为：
?
P||PF
1|?|PF
2
|?2a(2a?|F
1
F
2
|?2c? 0)
?

注明：当
2a?2c
时，点的轨迹是线段；
当
2a?2c
时，点的轨迹不存在.
二、椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质所示.（如下表10-1）
焦点的位
置
焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形


标准方程
x
2
y
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
y
2
x
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
统一方程
mx
2
?ny
2
?1(m?0,n?0,m?n)

?
x?acos
?

,
?
为参数（
??[0,2
?
]）
参数方程
?
?
y?bsin
?
?
x?acos
?
,
?
为参数（
?
? [0,2
?
]）
?
?
y?bsin
?

F
2
的距离之和等于常数2
a
，即
|MF
1
|?|M F
2
|?2a
（
2a?|F
1
F
2
|）
第一定义
到两定点
F
1
、
范围
?a?x?a
且
?b?y?b

?
1
?
? a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

?b?x?b
且
?a?y?a

?
1
?
0 ,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

?
1
?
?b,0
?
、
?
2
?
b,0
?

顶点
?
1
?
0,?b
?
、
?
2
?
0,b
?

轴长
对称性
焦点
长轴长
?2a
短轴长
?2b
长轴长
?2a
短轴长
?2b

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
F
1< br>?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?< br>
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

焦距
F
1
F2
?2c(c
2
?a
2
?b
2
)
< br>cc
2
a
2
?b
2
b
2
e???? 1?
2
aa
2
a
2
a
a
2
（不考 ）
x??
c
2
0
2
2
0
2
离心率
(0?e?1)

准线方程
?< br>外
?
?1
xy
??
?
?
?1?点(x
0
,y
0
)在椭圆
?
上
点和椭圆
ab
??
内
的关系
?
?1
?

?
外
?
?1
yx
??
?
?
?1?点(x< br>0
,y
0
)在椭圆
?
上

ab
??
?
?1
?
内
2
0
2
2
0
2
x
0
xy
0
y
?
2
?1((x
0
,y
0
)为切点）

2
ab
切线方程
y
0
yx
0
x
?
2
?1((x
0
,y
0
)为切点）

2
ab
2
2
对于过椭 圆上一点
(x
0
,y
0
)
的切线方程，只需将椭圆方程中< br>x
换为
x
0
x
，
y
换为
y
0
y
便得
切点弦所
在
的直线方
程
x
0
xy
0
y
?
2
?1(点(x
0
,y0
)在椭圆外）

2
ab
y
0
yx
0
x
?
2
?1(点(x
0
,y
0
)在椭圆外 ）

2
ab
2b
2
①
cos
?
? ?1,
?
max
??F
1
BF
2
,(B
为 短轴的端点）
r
1
r
2
②
S
?PF
1< br>F
2
?
?
c|y
0
|,焦点在x轴上
1?
?
r
1
r
2
sin
?
?b
2
tan?
?
(
?
??F
1
PF
2
)

22
?
?
c|x
0
|,焦点在y轴上
焦点三角
形面积
?
min=b
2
?
当P点在长轴端点时 ,（r
1
r
2
）
③
?
2
当P点在短轴端点 时,（rr）max=a
?
?
12
焦点三角形中一般要用到的关系是

a2a?2c）
?
|MF
1
|?|MF
2
|?2（
?
1
?
S?|PF
1
||PF
2
|sin?F
1
PF
2
)

?
?PF
1
F
2
2
?
222
?
?
|F
1F
2
|?|PF
1
|?|PF
2
|?2|PF
1
||PF
2
|cos?F
1
PF
2

左焦半径：
MF
1
?a?ex
0

焦半径
又焦半径：
MF
1
?a?ex
0

上焦半径：
MF
1
?a?ey
0

下焦半径：
MF
1
?a?ey
0

焦半径最大值
a?c
，最小值
a?c

通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=
2
b
（最短的过焦点的弦） a
设直线与椭圆的两个交点为
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
,
k
AB
?k
,
则弦长
AB?1?k
2
x
1
?x
2
?1?k
2
(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2

弦长公式
2
?1?
?
1
2
2
(y?y)?4yy

?1?k
1212
k
2
|a|
2
（其中
a
是消
y
后关于
x
的一元二次方程的
x
的系数，?
是判别式）

题型归纳及思路提示
题型136 椭圆的定义与标准方程
思路提示
（1）定义法：根据椭圆定义，确定
a,b
的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.
（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在
x轴还是
y
轴上，设出相应形式的标准方程，然
后根据条件列出
a,b,c
的方程组，解出
a,b
，从而求得标准方程.
注意：①如果椭圆的焦点位置 不能确定，可设方程为
22
22
Ax
2
?By
2
? 1(A?0,B?0,A?B)
.
x
2
y
2
x
2
y
2
??1
共焦点的椭圆可设为
??1(k??m,k??n,m? n)
. ②与椭圆
mnm?kn?k
x
2
y
2
x< br>2
y
2
③与椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
有相同离心率的椭圆，可设为
2
?
2
?k
1
（k
1
?0
，
abab
x
2
y
2
焦点在
x
轴上）或
2
?
2
?k
2
（k
2
?0
，焦点在
y
轴上）.
ab
一．椭圆的定义与标准方程的求解
例10.1 动点
P
到两定 点
F
1
(?4,0),F
2
(4,0)
的距离之和为10， 则动点
P
的轨迹方程是

（ ）
x
2
y< br>2
x
2
y
2
x
2
y
2
x< br>2
y
2
??1
B.
??1
C.
??1
D.
??1
A.
0036
解析 依题意，动点
P
的轨迹是椭圆，且焦点在
x
轴上，设方程为
x
2
y
2
22
??1(a?b?0)，由，得
c?4,2a?10,a?5
b?a?c?3
，则椭圆方程为
2 2
ab
x
2
y
2
??1
，故选B.
259
变式1 求焦点的坐标分别为
F
1
(?4,0),F
2
(4,0)
，且过点
P(
16
,3)
的椭圆的方程.
5
45
和
3
变式2 已知点
P
在以坐标轴为对称 轴的椭圆上，点
P
到两焦点的距离分别为
25
，过点
P
作长 轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.
3
例10.2 在△
ABC，已知
A(?2,0),B(2,0)
，动点
C
使得△
ABC< br>的周长为10，则动
点
C
的轨迹方程为_________.
解析 由题意
|CA|?|CB|?10?|AB|?10?4?6?|AB|
，故动点< br>C
的轨迹是以
222
，即
a?3,c?2
，则
b?a ?c?5
，
A,B
为焦点，长轴长为6的椭圆（除去左右顶点）
x
2
y
2
??1(y?0)
则轨迹方程为
95
变式1 已知 动圆
P
过定点
A(?3,0)
，且与圆
B:(x?3)?y?64< br>相切，求动圆圆心
22
P
的轨迹方程.


2222
变式2 已知一动圆与圆
O
1
:(x?3)?y?1< br>外切，与圆
O
2
:(x?3)?y?81
内切，
试求动圆圆心 的轨迹方程.

2222
变式3 已知圆
O< br>1
:(x?2)?y?16
，圆圆
O
2
:(x?2)?y?4
，动圆
P
与圆
O
1
内
切，与圆
O
2
外切，求动圆圆心
P
的轨迹方程.


例10.3 已知椭圆的长轴长是8，离心率是
3
，则此椭圆的标准方程是（ ）
4
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
??1
B.
??1
或
??1
A.
169167716
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
??1
D.
??1
或
??1
C.
6
解析 因为椭圆的长轴长是 8，即
2a?8
，所以
a?4
，离心率为
3c3
，则
?,c?3
，
4
a4
x
2
y
2
x
2
y
2
??1
或
??1
.故选B 所以
b?a?c?7
，所以椭圆的标准方程是
167716
222

变式1 在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
C
的中心为原点，焦点
F
1
,F
2
在
x
轴上，离心
率为
2
.过
F
1
的直线
l
交
C
于
A, B
两点，且△
ABF
2
的周长为16，那么
C
的方程为2
__________.
变式2 已知椭圆的中心在原点，焦点在
x
轴上，离心率为
圆的方程为_________.
变式3 经过
A(1,
5
，且过
P(?5,4)
，则椭< br>5
210315
),B(,)
两点的椭圆的标准方程是___________ _____.
322
二．椭圆方程的充要条件
x
2
y
2
??1
表示椭圆，则
k
的取值范围是__________. 例10.3 若方程
5?kk?3
?
5?k?0
?
解析 由题意可知
?
k?3?0
，解得
3?k?4
或
4?k?5

?< br>5?k?k?3
?

故
k
的取值范围为
(3,4 )?(4,5)

评注 易错点：忽略
5?k?k?3
.
x2
y
2
??1
表示椭圆的充要条件为：
m?0,n?0,m?n
；
mn
x
2
y
2
??1
表示双曲线方程 的充要条件为：
mn?0
：
mn
x
2
y
2
??1
表示圆方程的充要条件为：
m?n?0
：
mn
变式1 如 果
x?ky?2
表示焦点在
y
轴上的椭圆，则
k
的取值范围 是___________.
变式2 “
m?n?0
”是“方程
mx?n y?1
表示焦点在
y
轴上的椭圆”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
变式3 若方程
(5?m)x?(m?2)y?8
表示焦点在
x
轴上的椭圆，则实数
m
的取值
范围是____________.
22
22
22
题型137 离心率的值及取值范围
思路提示 < br>求离心率的本质就是探究
a,c
之间的数量关系，知道
a,b,c
中任 意两者间的等式关系或
不等关系便可求解出
e
的值或其范围.具体方法为方程法、不等 式法和定义法.
x
2
y
2
例10.4 已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)

ab
(1)若长轴长，短轴长，焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为__________.
(2)若长轴长，短轴长，焦距成等比数列，则该椭圆的离心率为__________.
解析 （1）由题设可知
2b?a?c
，且
a?b?c
，故
b?a?c?(
222
222
a?c
2
)
，
2
a?c
，即
3a?5c
，
4
c3
所以
e??
.
a5
即
a?c?< br>（2）由题设可知
b?ac
，且
a?b?c
，故
a?c?ac
，
222222

即
c?ac?a?0
，所以
e?
22
c
可得，
a
e
2
?e?1?0
，解得
e?
5?1
.
2
5?1?1?5
或
e?
（舍去）
22
所以
e?
x
2
y
2
变式1 椭圆< br>2
?
2
?1(a?b?0)
的左右顶点分别是
A,B
，左右焦点分别是
F
1
,F
2
.
ab
若
| AF
1
|,|F
1
F
2
|,|BF
1
|< br>成等差数列，则此椭圆的离心率为____________.
x
2
y
2
变式2 已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的左顶点为
A
，左焦点为
F
，上顶点为
B
，
ab
若
?BAO??BFO?90
，则该椭圆的离心率是__ _________.
0
x
2
y
2
F
2
为右焦例10.6 过 椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的左焦点
F
1作
x
轴的垂线交椭圆于点
P
，
ab
点，若
?F
1
PF
2
=60
，则椭圆的离心率为( )
0
A.
3
2
11
B. C. D.
3
2
23
0
解析 解法一：（定义法）令
|PF
1
|=1
，则在
RtVPF
1
F
2
中，由
?F
1
PF
2
=60
，
2a?|PF
1
|?|PF
2
|?3
，
2c?3
， 可知
|PF< br>2
|=2,|F
1
F
2
|=3
，由椭圆定义得
所以
e?
2c3
?
.故选B.
2a3
b
2
00
解法二 因为
P(?c,?)
， 再由
?F
1
PF
2
=60
，所以
?PF
2
F
1
=30
，得
|PF
2
|=2|PF
1
|
，
a
3b
2
b
2
2
b
2
3
22
3|PF
1
?2a,
?2a,2a?3b
，故
2
?
所以
e?1?
2
?
.故选B .
a3
a
a3
|FF|
b
2
0
解法三 同 解法二，因为
P(?c,?)
，在
RtVPF
1
F
2
中，得
12
=tan60?3
，即
|PF
1
|
a

2c2ac
?
2
?3
，故有
b
2< br>b
a
2ac?3b
2
?3(a
2
?c
2)
,
3c
2
?2ac?3a
2
?0
,
3e
2
?2e?3?0

所以
e?
3
或
e??3
.故选B .
3
评注 求离心率的过程就是探求基本量
a,b,c
的齐次式间的等量关系 ，常见的离心率公
c
b
2
b
2
式应熟悉：①
e?< br>；②
e?1?
2
（椭圆）③
e?1?
2
（双曲线）， 另外，在求解离
a
aa
心率过程中要有以下意识：①利用定义的意识（定义中有
2a
，且
F
②获得了
a,b,c
1
F
2
?2c
）
中的任意的两个参数间的数量关系都可以求解离心率
e
.
变式1 已知正方形
ABCD
，以
A,B
为焦点，且过
C, D
两点的椭圆的离心率为______.
x
2
y
2
变式2 已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的左右焦点分别为
F< br>1
，
F
2
，且
F
1
F
2
? 2c
，
ab
uuuruuuur
2
xe
AF
点A
在椭圆上，且
1
垂直于轴，
AF
1
?AF
2
?c
，则椭圆的离心率等于（ ）
A.
3
B.
3
3?1
C.
2
5?1
2
D.
2
2
x
2
y
2
变式3 已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的左右焦点分别为
F
1
，
F
2
，焦距
F
1
F
2
?2c
，
ab
若直线
y?3(x?c)
与椭圆的一个交点
M
满足< br>?MF
1
F
2
?2?MF
2
F
1
， 则椭圆的离心率
e
等于_________.
x
2
y
2
变式4 设
F
1
，
F
2
是椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的两焦点，以
F
2
为圆心，且过椭圆中
ab
心的圆与椭圆的一个交点为
M
，若直线
F
1
M
与圆
F
2
相切，则椭圆的 离心率为（ ）
A.
3?1
B.
2?3
C.
3
2
D.
2
2
x
2
y
2
例10.7椭圆
G:
2
?
2
?1(a?b?0 )
的左右焦点分别为
F
1
(?c,0)
，
F
2(c,0)
，椭圆
ab

uuuuruuuur
上存在点< br>M
使
FM?F
2
M?0
，则椭圆的离心率
e
的取值范围为_________.
1
解析 解法一：由知识点精讲中结论知，当
P
为椭圆的短轴端点时，
?F
1
PF
2
取得最大
u uuuruuuur
0
?FMF?90
值，而由题意可知，若在椭圆上存在点
M
使得
FM
，即，只需
?FM?0
12
12
要焦点 三角形的顶角最大值
?90
即可，故只需保证当点
M
落在椭圆短轴端点处情形 时
0
?F
1
MF
2
?90
0
的即可，所以
?FMF
c2
?sin
12
?sin45
0
?，又因为
e?1
，故所求的椭
a22
?
2
?
圆 离心率的取值范围是
?
,1
?
?

2
??
0
解法二：由椭圆的定义知
|MF
1
|?|MF
2
|?2 a
，在
VF
1
MF
2
中，
?F
1
MF
2
?90
，由勾
222222
股定理得，
|F
1
M|?|F
2
M|?|F
1
F
2
|?4c，将上式化简得
|F
1
M|?|F
2
M|?2(a?c)
，
22
222
根据韦达定理，可知
|F
1
M|?|F2
M|?2(a?c)
是方程
x?2ax?2(a?c)?0
的两个根，
2
则
??4a?8(a?c)?0
()?
222
c
a
2
1
，即
e?
，又因为
e?1
，故所求的椭圆离 心率的
2
2
取值范围是
?
?
2
?
,1?
?

2
??
uuuuruuuur
x
2y
2
变式1 已知
F
1
，
F
2
是椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的两焦点，满足
FM?F
2
M?0
的点
1
ab
M
总在椭圆内部，则椭圆的离心（ ）
?
1
?
A.
(0,1)
B.
?
0,
?
C.
?
2
?
??
2
?
2
?
?
?
0,
2
?
?
D.
?
2
,1
?
?

????
x
2
y
2
例10.8 椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的两个焦点
F
1
，
F
2
，若
P
为其上一点，且
ab
|PF
1
|?2| PF
2
|
，
F
2
，则此椭圆离心率的取值范围为_____ _______
分析 根据椭圆的定义
|PF
1
|?|PF
2
|?2a
求解..
解析 解法一，由
|PF
1
|?|PF
2
|?2a
，
|PF
1
|?2|PF
2
|
得
|PF
1
|?
4a2a2a
，
|PF
2
|?
，又
|PF
1
|?|PF
2
|?2c
，即
2c?
，
3
33

得
1
?
1
?
?e? 1
，故离心率的取值范围为
?
,1
?
.
3
?3
?
?
?
?1
?
|,1
?

?
?1
??
评注 若椭圆上存在点
P
，使得
|PF
1
|?
?
|PF
2
|(
?
?0,
?
?1)
，则
e?
?
|
x
2
y
2
变式1椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的两个焦点
F
1
，
F
2
，椭圆上存在
P
使得
ab|PF
1
|?3|PF
2
|
椭圆方程可以是（ ） x
2
y
2
x
2
y
2
??1
B.
??1
A.
36351615
x
2
y
2
x
2
y
2
??1
D.
??1
C.
252443
x
2
y
2
变式2 已知椭圆
2?
2
?1(a?b?0)
的左右焦点分别为
F
1
(?c ,0)
，
F
2
(c,0)
，若椭
ab
圆上存在一点
P
使
sin?PF
1
F
2
c
?
， 则椭圆的离心率
e
的取值范围为_________.
sin?PF
2
F
1
a
题型138 焦点三角形
思路提示
焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦 点
将距离问题常用定义，即
|PF
1
|?|PF
2
|?2a
.
x
2
y
2
例10.9已知
F
1
，
F
2
是椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b ?0)
的两个焦点，
P
为椭圆
C
上一
ab
uuu ruuuur
?PF
1
F
2
的面积为9，则
b?
_ ________. 点，且
PF
1
?PF
2
，若
uuur uuuur
1
S?|PF
1
||PF
2
|
， 解析 焦点三角形
PF
1
F
2
中，
PF
，故
?P F
?PF
1
F
2
12
2
222
又
|PF
1
|?|PF
2
|?|F
1
F
2
|
，
|PF
1
|?|PF
2
|?2a

则< br>PF
1
?PF
2
??
2
2
?2PF
1
?PF
2
?F
1
F
2
，
4a
2
?2PF
1
?PF
2
?4c
，
2
所以< br>PF
1
?PF
2
?2b
，则
S
?PF
1
F
2
?b?9
，故
b?3
.
22

评注 若
?PF
1
F
2
为一般三角形，则
S
?PF
1
F
2
?
由余弦定理得
1
PF
1
?PF
2
sin
?
（用
?
表示
?F
1
PF
2
）.
2
PF
1
?PF
2
?2PF
1
?PF
2
cos
?
?F
1
F
2
，又
PF
1
?PF
2
?2a
所以
PF
1
?PF
2
222
，< br>F
1
F
2
?2c
，
??
2
?2P F
1
?PF
2
?
?
1?cos
?
?
?4c
2
，
2
2b
2
所以
2PF
，
1?cos
?
?
?4b
，
PF
1
?PF< br>2
?
1
?PF
2
?
?
1?cos
?
所以
S
?PF
1
F
2
?
1bsin
?
PF
1
?PF
2
sin
?
??
21? cos
?
2
2
2b
2
sin
?
22
?b
2
tan
?
.
?
2
2cos
2< br>2
cos
?
本题
?F
1
PF
2
?9 0?
，则
S
?PF
1
F
2
?b?9
，易得
b?3
，故熟记椭圆焦点三角形
PF
1
F
2
的面积公式
S
?PF
1
F
2
?
b
2tan
?
2
，对于求解选、填空题有着很大的优势.
x
2y
2
??1
的两个焦点，
P
为该椭圆上一点，且变式1 已知
F
1
,F
2
是椭圆
169
cos?F
1< br>PF
2
?

5
，求
?F
1
PF
2
的面积.
13x
2
?y
2
?1
的左、右焦点，
P
为椭圆E
上一点，且变式2 已知
F
1
,F
2
是椭圆
E:
4
?F
1
PF
2
?60?
，则点
P
到
x
轴的距离为____________.
x
2
y2
??1
的左、右焦点分别为
F
1
,F
2
，< br>P
是椭圆上的一动点. 例10.10 已知椭圆
43
（1）求的
P F
1
?PF
2
取值范围；
（2）求的
PF
1
?PF
2
取值范围；
解析：（ 1）
PF
1
?PF
2
?PF
1
?2a?PF
1
??PF
1
?a
故 当
PF
1
?a?c或a? c
时，
PF
1
?PF
2
当
PF
1
?a
时，
PF
1
?PF
2
所以
PF
1< br>?PF
2
?b,a
????
2
?a
2
，又< br>PF
1
?
?
a?c,a?c
?

??
222
.
??c?a?b
max
??
max
?a
2
.
PF
1
?PF
2
?
?
3,4
?
.
?
22
?

即

（2）解法一：
2PF
1
?PF
2
?PF
1
?PF
2
?P F
1
?PF
2
22
??
?PF
2
2
2
1
?PF
2
?F
1
F
2

2
??
2
?PF
1
?2a?PF
1
即 < br>PF
1
?PF
2
?2PF
1
?a
2
?
?
?4c?2
?
PF?a
?
?2a
2
2
2
1
?4b
2

?
?
?a
2
2
?2b
2

又
PF
1
?
?
a?c,a?c
?

?2b
2
?a
2
. 故 当
PF
1
?a< br>时，
PF
1
?PF
2
??
max
当
PF
1
?a?c或a?c
时，
PF
1
?PF
2222
所以
PF
1
?PF
2
?2b?a,b
??
max
?c
2
?a
2
?2b
2
?b< br>2
.
2
??

即
PF?PF?
?
2,3
?
.
1
2
解法二 ：设
P(x
0
,y
0
),x
0
?
?
?a,a
?
，则
22
PF
1
?PF
2
?
?
?c?x
0
,?y
0
?
?
?
c?x
0
,?y
0
?
?x
0
?y
0
?c
2
?OP?c
2
.
b
2
2
c
2
2222
又
OP?x?y? x?b?
2
x
0
?
2
x
0
?b?b,a< br>.
aa
2
2
0
2
0
2
0
2
??
故
PF
1
?PF
2
?OP?c?2b?a, b

评注：（1）若本题的第（1）问只求
PF
1
?PF
2
的最大值，则使用椭圆的定义求取更为简洁；
由椭圆定义知
PF
1
? PF
2
?2PF
1
?PF
2
，故有
1
?P F
2
?2a
，又因为
2a?PF
2
2
?
2 22
?
PF
1
?PF
2
?a
2
，故
PF
1
?PF
2
的最大值为4.
x
2
y
2
（2）通过本题的求解，可得到椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
有以下重要结论：
ab
①
PF
1
?a?c,a?c

②
PF
1
?PF
2
?b,a
；
③
PF
1
?PF
2
?OP?c
2
?2b
2
?a
2
,b
2
；
2
??
?
22
?
??
2b
2
2b
2
④
cos?F
1PF
2
?
即
P
为椭圆的短
?1?
2
? 1
（当且仅当
PF
1
?PF
2
?a
，
PF
1
?PF
2
a
轴端点时，
cos?F
1
P F
2
取得最小值，且此时点
P
对两个焦点的张角
?F
1PF
2
最大）.
以上结论在求解椭圆的焦点三角形问题时有重要的应用，值得同学们熟记.

x
2
y
2
变式1 椭圆
M:
2< br>?
2
?1(a?b?0)
的左、右焦点分别为
F
1
, F
2
，
P
为椭圆上任一点，
ab
且
PF
1
?PF
2
的最大值的取值范围是
c,3c
取值范围（ ）
A.
?
,
?

?
42
?
?< br>22
?
，其中
c?
则椭圆
M
的离心率
e的
a
2
?b
2
，
?
11
?
B .
?
,
?
1
?
2
2
?
?

2
?
C.
?
?
2
?
?
?
2
,1
?

??
D.
?
,1
?

?
1
?
?
2
?

x
2
y
2
??1
上一动点，
F
1
,F
2
分别是 左、右两个焦点，则
cos?F
1
PF
2
变式2 设
P
是椭圆
94
的最小值是（ ）
A.
1

2
B.
1

9
C.
?
1

9
D.
?
5

9

x
2
y
2
变式3 设椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的焦点为
F
1
和F
2< br>，
P
是椭圆上任一点，若
?F
1
PF
2
ab
的最大值为
2
?
，则此椭圆的离心率为____________.
3


最有效训练题42（限时45分钟）
x
2
?y
2
?1
与直线
y?kx?3(k?0)
交于
A,B，1. 已知点
M(3,0)
，椭圆则
?ABM
4
??
的周长（ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
x
2
y2
2
??1
上的一点，
M,N
分别为圆
?
x? 3
?
?y
2
?1
和圆2.已知
P
为椭圆
2 516
?
x?3
?
2
?y
2
A.
?4
上的点，则
PM?PN
的最小值为（ ）
1

2
B.
1

9
C.
?
1

9
D.
?
5

9

x
2y
2
??1
的焦点为
F
1
,F
2
，椭 圆上的点
P
满足
?F
1
PF
2
?60?
， 则
?F
1
PF
2
的面3. 椭圆
10064
积是（ ）

A.
643

3
B.
913

3
C.
163

3
D.
64

3

4. 如图10-4所示，椭圆中心在原点，直线AC
与
BF
交于
D
，且
?BDC?90?
，< br>F
是左焦点，
则椭圆的离心率为（ ）
y
C
A.
3?1

2
B.
5?1

2
C.
5?1

2
D.
3

2

D
O
x
10
x
2
y
2
?? 1
的离心率
e?
5. 若椭圆，则
m
的值为（ ）
5
5m
A.
3
B.
A
F
15或
515

3
C.
15
D.
3或
25

3

B
图10-4
x< br>2
y
2
??1
的中心和左焦点，点
P
为椭圆上的任意 一点，则6. 若点
O
和点
F
分别为椭圆
43
OP?FP< br>的最大值为（ ）
A.2 B.3 C. 6 D. 8
7. 已知
F
是椭圆
C
的一个焦点，
B
是短轴的一个端点，若线段BF
的延长线交
C
于点
D
，
且
BF?2FD< br>，则
C
的离心率为__________.
x
2
y
2
8. 椭圆
2
?
2
?1 (a?b?0)
的左，右顶点分别是
A,B
，左、右焦点分别是
F
1
,F
2
，若
ab
AF
1
,F
1
F
2
,F
1
B
成等比数列，则此椭圆的离心率为__________ __.
x
2
y
2
??1
上的一点
P
到两 焦点的距离的乘积为
m
，则
m
当取最大值时，点
P
的9.椭 圆
925
坐标是___________.
x
2
y
2
13
10. 已知椭圆
2
?2
?1(a?b?0)
的离心率为，经过点
P(1,)
，
22
ab
（1）求椭圆
C
的方程；
（2）设F
是椭圆
C
的左焦点，判断以
PF
为直径的圆与以椭圆长轴为直 径的圆的位置关
系，并说明理由.




x
2
y
2
11. 已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的长、短轴端点分别为
A,B
，从此椭圆上一点
M，
ab

（在
x
轴上方）向
x
轴作垂线， 恰好通过椭圆的左焦点
F
1
，
ABOM
.
（1）求椭圆的离心率
e
；
（2）设
Q
是椭圆上任意一点，< br>F
1
,F
2
分别是左、右焦点，求
?F
1
Q F
2
的取值范围.















12. 已知椭圆
C
的中心在原点，一个焦点
F(?2,0)
，且长 轴长与短轴长的比是
2:3
，
（1）求椭圆
C
的方程；
（2）设点
M(m,0)
在椭圆
C
的长轴上，点
P是椭圆上任意一点，当
MP
最小时，点
P
恰
好落在椭圆的右顶点 ，求实数
m
的取值范围.


【例10．1变式1】
2 2
?
16
??
16
?
?0
?
?
?
3?3
?
?
?
?0
?
?
?
3?3
?
?10
，从而解析 由椭圆的定义知
2a?
?
?
5
??
5
?
22
y
2
x
2
a? 5,c?3,b?a?c?16
，又焦点在
y
轴上，故椭圆的方程为
??1< br>.
2516
222
?
c
2
?a
2
?b
2
?9
?
2
y
2
x
2
?16
??
评注 也可用待定系数法，设椭圆方程为
2
?
2?1
?
a?b?0
?
，由
?
，
??
2
ab
?
3
?
5
?
??1
22
?< br>b
?
a
求出
a?25,b?16
.
【例10.1变式2】
22

y
2
x
2
解析 解法一： 若焦点在
x
轴上，设椭圆的标准方程是
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
，左右焦点
ab
y
2
x
2
分别为
F
则
2a?|PF
所以
a?5
，在方程
2< br>?
2
?1
1
?
?c,0
?
,F
2< br>?
c,0
?
，
1
|?|PF
2
|?25，
ab
b
2
25
10
2
?
中，令x??c
，得
|y|?
，又
a?5
，所以
b?
，即椭圆的方程为
a3
3
x
2
3y
2
y
2
3x
2
??1
，同理可得焦点在
y
轴上的标准方程
??1
.
510510
解法二： 设椭圆的两个焦点分别为
F
1< br>,F
2
，则
|PF
1
|?
4525
,|PF
2
|?
，由椭圆定义知
33
a?5
，由
|PF1
|?|PF
2
|
知，
|PF
2
|
垂 直于长轴.
2a?|PF
1
|?|PF
2
|?25
，即< br>故在
Rt?PF
1
F
2
中，
?
2c
?
?|PF
1
|?|PF
2
|?
22
2
2 0
5
10
2222
，所以
c?
，于是
b?a?c?
，
3
3
3
x
2
3y
2
??1或又所求的椭圆的焦点可以在
x
轴上，也可以在
y
轴上，故所求的椭圆方 程为
510
y
2
3x
2
??1
.
510
评注 (1)用待定系数法求椭圆方程时，当题目的条件不能确定椭圆的焦点位置时， 应注意
y
2
x
2
??1
?
m?0,n?0,m?n
?
. 分两种情况来设方程，分别计算；有时也可以直接设成
mn
2b
2
(2)过椭圆焦点与长轴垂直的直线截椭圆的弦叫作通径，其长度为.
a
【例10.2变式1】
解析 如图10-49所示，由题设知动圆P与圆B内切 ，设动圆P和定圆B内争于点M，动
点P到定点
A
?
?3,0
?和圆心
B
?
3,0
?
的距离之和等于圆B
的半径，即
y
M
所以点P的轨迹是以A，B为两焦点，长半轴长为4，
P
短半轴长为
b?4
2
?3
2
?7
的椭圆，故其标准方程
A
O
B x
|PA|?|PB|?|PM|?|PB|?|BM|?8?6?|AB|
.
图10-49

x
2
y
2
??1
. 为
167
【例10.2变式2】
解析 依题意，两定圆的圆心和半径分别为
O
1
?
?3,0
?
,r,O
2
?
3,0
?
,r
2
?9
，设动圆圆心
1
?1
M?
x,y
?
，半径为R，则由题意可得
|MO
1
|?1 ?R,|MO
2
|?9?R
，故
|MO
1
|?|MO
2
|?10?|O
1
O
2
|

由椭圆的定义知， M在以
O
1
,O
2
为焦点的椭圆上，且
a?5,c?3，所以
x
2
y
2
?1
.
b?a?c?25 ?9?16
，故动圆圆心的轨迹方程为
?
2516
222
【例10. 2变式3】
解析 如图10-50所示，设动圆P的半径为
r
，圆
O1
的半径为
r
1
，圆
O
2
的半径为
r
2
，则
|PO
1
|?r
1
?r,|PO
2
|?r
2
?r,|PO
1
|?|PO
2
|?r1
?r
2
?4?2?6
，
即
a?3,b?a
2
?c
2
?5
，
y
A
-2
设点A，B分别为圆
O
1
与圆
O
2
的交点，又圆P在圆
O
1
内，
且在圆
O
2外，P点向右可无限靠近圆
O
1
与圆
O
2
的交点
2
2
?
x?2?y?16
??
33
?
A，B，由
?
，解得
x?
，故
x
P
?
，
2< br>22
x?2?y
2
?4
??
?
?
x
2
y
2
??1
， 从而轨迹方程为
95
-6
O
1

2
O
2

4
x
B
图10-50
x
2
y
2
?
??1< br>?
?3?x?
所以点P的轨迹方程为
95
?
【例10.3变式 1】
3
?
?
.
2
?
x
2
y
2
解析 设椭圆方程为
2< br>?
2
?1
?
a?b?0
?
，如图10-51所示，
ab
因为
?ABF
2
的周长为
|AB|?|BF
2
|?|AF
2
|?|AF
1
|?|AF
2
|?|B F
1
|?|BF
2
|
，
即
4a?16
，
y
B
F
1
A
O
x
F
2
图10-51

2
c2
a
2
2
?8
， 故
a?16
，由
e?
知，
?
，即
c?
2
a2
2
2
故
b?a?c?16?8?8
，
222
x
2
y
2
??1
. 所以椭圆C的方程为
168
【例10.3变式2】
5
c
2
1
c5
22
解析 解法一：由
e ?
，可得
?
，则
2
?
，可得
a?5c
，
5
a5
a5
x
2
y
2
b?a?c?4c< br>，设椭圆方程为
2
?
2
?1
，将
P
?
?5,4
?
代入，可得
c
2
?9

5c4c
2222
x
2
y
2
??1
． 故 椭圆的方程为
4536
5
b
2
a
2
?c
2
4
2
?1?e?
解法二：由题意
e?
，故有
2?
，故设椭圆方程为
2
5
aa5
x
2
y
2
??
?
?
?
?0
?
，又因椭圆过点
P
?
?5,4
?
，代入椭圆方程，可得
?
?9
． < br>54
x
2
y
2
x
2
y
2
? ?9
，即
??1
． 故椭圆的方程为
544536
cb
评注 应牢牢掌握与离心率e有关的几个数量关系. 在椭圆中，
e??1?
2
，
a a
b
2
b
2
cb
2
?1?e
；在双曲线中 ，
e??1?
2
，
2
?e
2
?1
．
2
a
a
aa
【例10．3变式3】
2
2
x
2
y
2
??1
?
m?0,n?0,m?n
?， 解析 设椭圆的标准方程为
mn
?
140
??1
?
?
m?9
?
m9n
由题设得
?
，解得
?
，
n?5
915
?
?
??1
?
?
4m 4n
x
2
y
2
??1
． 故所求的方程为
95

评注 将椭圆的标准方程设为
Ax?By?1(A ?0,B?0
，且
A?B)
，解方程组更方便．
【例10．4变式1】 < br>22
x
2
y
2
2
??1
表示焦点在
y
轴上的椭圆，则
?2
，解得
k?
?
0,1
?． 解析 由
2
2
k
k
【例10．4变式2】
x< br>2
y
2
11
??1
表示焦点在
y
轴上的椭圆
?
??0
，即 解析 把椭圆方程化为
11
nm
mn
m?n?0
，故选C．
【例10．4变式3】
x
2
y
2
??1
解析 原方程标准化为
88
5?mm?2
因为焦点在
x
上，所以
【 例10．5变式1】
解析 由题设可知
|AF
1
|?a?c,|F
1
F
2
|?2c,|BF
1
|?a?c
，
故
4c?a?c?a?c
，即
2c?a
，
所以
e ?
88
?
7
?
??0
，解得
m?
?
,5
?
．
5?mm?2
?
2
?
c1
?
．
a2
0
【例10．5变式2】
解析 因为
?BAO??BFO? 90
，所以
tan?BAOg
即
?BFO?1
，
又
a?b?c
，故
a?ac?c
，即
c?ac?a?0
，由
e ?
2222222
bb
2
得
b?ac
，
??1，
ac
c
2
可得
e?e?1?0
，解得
a< br>e?
5?1?5?15?1
或
e?
（舍去），所以
e?
．
222
y
D C
【例10．6变式1】
解析 如图10-52所示，不妨设正方形ABCD的边长为1，
根据椭圆定义知
2a?|AC|?|BC|?2?1,|AB|?2c?1
，
所以
e?
2c1
??2?1
，
2a
2?1
A
O B
x

故椭圆的离心率为
2?1
．
【例10．6变式2】
uuuruuuuruuur
22
uuuruuuur
解析 因为AF
1
垂直于x轴，所以
AFAF
2
?|AF
1
g
1
|?c
，故
|AF
1
|?c
，又
|F
1< br>F
2
|?2c
，所
uuur
F
1
F
2
2c2c25?1
以
|AF
2
|?5c
，
e?< br>，故选C．
????
2aAF
1
?AF
2
2
5c?c5?1
uuur
b
2
?c
直接去解
e
． 评注 也可由
|AF
1
|?
a
【例10．6变式3】
分析 利用椭圆定义寻求
a,b,c
之间的关系，进一步求解离心率．
3
，所以倾斜角
F
解析 已知
F
1
?
?c ,0
?
,F
2
?
c,0
?
，直线
y?3< br>?
x?c
?
过点
1
，且斜率为
?MF
1F
2
?60
0
．
如图10-53所示，因为
?MF< br>2
F
1
?
0
所以
?F
1
MF
2
?90
，
1
?MF
1
F
2
?30
0
，
2
M
y
所以
MF
1
?c,MF
2
?3c
，
由椭圆定义知
MF
1
?MF
2
?c?3c?2a
，
60
0

F
1
O

F
2
x
c2
?3?1
． 所以离心率
e??
a
1?3
【例10．6变式4】
图10-53

解析 由直线
F
1
M
与圆F
2
相切得
MF
1
?MF
2
，又
MF
2< br>?c
，
F
1
F
2
?2c
，
故
MF
1
?3c
，所以
e?
【例10．7变式1】
F
1
F
2
2c2c
???3?1
，故选A． 2aMF
1
?MF
2
3c?c
uuuuruuuur
解 析 解法一：因为满足
MFMF
2
?0
的点M总在椭圆内部，故以坐标原点为 圆心，c为半
1
g
径的圆总在椭圆内部，即
c?b,c?a?c,e?
2222
2
1
，得
0?e?
．
2
2
u uuuruuuur
解法二：因为满足
MFMF
2
?0
的点M总在椭 圆内部，所以对于椭圆上任意一点P都有
1
g

90
0
22
?F
1
PF
2
?90
，
?
故最大顶角 小于
90
，从而
0?e?sin
，即
0?e?
，故选C．
222
0
0
评注：若椭圆上存在点P使得
?F
1
P F
2
?
?
（F
1
，F
2
为焦点，，则e?
?
sin
?
?
?
0,
?
?
）
?
?
?
?
,1
?
，
2
?反之，
e?
?
0,sin
?
?
?
?
?
．
2
?
【例10．8变式1】
uuuruuuuruuuruuuuruuuur
解析 当
PF
1
?3PF
2
时，
PF
1
?PF
2
?4PF
2
?2a
，
uuuur
a
uuur
3a
uuur uuuuruuuur
?
1
?
故
PF
2
?,PF< br>1
?,PF
1
?PF
2
?F
1
F
2
，即
a?2c
，故
e?
?
,1
?
，经验证 只有选项
22
?
2
?
D符合，故选D．
【例10．8变式2】
解析 解法一：在
?PF
1
F
2< br>中，由正弦定理得
PF
1
sin?PF
2
F
1
?
PF
2
sin?PF
1
F
2
，
所以
PF
1
1
sin?PF
1
F
2
PF
2
c
???e
，则
??1
，
sin?PF
2
F
1
PF
1
aPF
2
e
1
?1< br>e
由结论知
?e?1
得
2?1?e?1
，则该椭圆的离心率的 取值范围是
1
?1
e
解法二：依题意，所以
?
2?1,1< br>．
?
sin?PF
1
F
2
PF
2
c
???e
，故
PF
2
?ePF
1
，
sin?PF
2
F
1
PF
1
a
?
?
?
PF
1
?PF
2
?2a
?
PF
1?ePF
1
?2a
1?e2c
???e?e
2
?2c? 1?0
，又因为，即
?
?
1?e2a
?
?
?
PF
1
?PF
2
?2c
?
PF
1
?eP F
1
?2c
e?
?
0,1
?
，所以
2?1 ?e?1
，该椭圆的离心率的取值范围是
【例10．9变式1】
解析 解法一：由< br>cos?F
1
PF
2
?
222
?
2?1,1
．
?
PF
1
?PF
2
?F
1
F
2
2PF
1
PF
2
2

?
PF< br>?
1
?PF
2
?
2
?2PF
1
PF
2
?F
1
F
2
2PF
1
PF
2< br>
4b
2
?2PF
1
PF
2
13b
2
2b
2
5
?13
．
???1?
得
PF
1
PF
2
?
9
2PF
1
PF
2< br>2PF
1
PF
2
13

1112
PF< br>1
PF
2
sin?F
1
PF
2
??13?? 6
．
2213
5
?
解法二：设
?F
1
P F
2
?
?
，由
?cos
?
?2cos
2< br>?1

132
?
2
?
9
?
113< br>得
cos
2
?,1?tan
2
??
，
tan ?
，
23
2132
cos
2
?
9
2S
?PF
1
F
2
?
S
?PF
1
F
2
?b
2
tan
?
2
?6
．
【例10．9变式2】
解析 如图10-54所示，设
PF
1
? m,PF
2
?n
，则有
m?n?4
，
在
?PF1
F
2
中，由余弦定理可得
12?m?n?2mncos60
，
即
?
m?n
?
?2mn?mn?12
，解得
mn?
2
220
y
P

4
，
3
F
1
O

F
2
x
又S
?PF
1
F
2
?
133
mnsin600
?mn?
，
243
图10-54
所以
113?F
1
F
2
y
p
??23y
p
?．
223
所以
y
p
?
1
1
，即点P 到x轴的距离为．
3
3
0
评注：求点P到x轴的距离等价于求P点的纵坐标 的绝对值，又
?F
1
PF
2
?60
，所以
S
?PF
1
F
2
?b
2
tan
?
2
?tan30
0
?
3113
1
，即
?F
1
F
2
?y
p
??23y
p
?
，即
yp
?
．
3223
3
x
2
y
2
?
2
在椭圆
2
?
2
?1
?
a?b?0< br>?
中，焦点三角形的面积
S
?PF
1
F
2
? btan
，其中
?
??F
1
PF
2
，
ab
2
请同学们记住这个结论．
【例10．10变式1】
uuuruuuur
解析 设
P
?
x,y
?
,P F
1
?
?
?c?x,?y
?
,PF
2
?< br>?
c?x,?y
?
，
uuuruuuur
c
22222
PF
1
gPF
2
?x?y?c?
2
x ?b
2
?c
2
?b
2

a
uuuruuu ur
因此
PF
1
gPF
2
??
max
?b
2
，则
c
2
?b
2
?3c
2
，得
2c
2
?a
2
?4c
2
，
11
? e
2
?
，
42
即
12
?e?
，故选B．
22

【例10．10变式2】
解析 由例10.10评注内容中的 结论可知，当P为椭圆的短轴端点时，
cos?F
1
PF
2
取得最< br>2a
2
?4c
2
9?41
2
?1?2e?1?2?? ?
小值，
cos?F
1
PF
2
?
，故选C．
2a
2
99
【例10．10变式3】
解析 由例10.10评注内容中的结论可知，
?F
1
PF
2
?
得最大值，故
e?


最有效训练42
1．B 解析 如图10-55所示，直线
y?kx?3
过椭圆
A
2
?
， 当点P为椭圆的短轴端点时取
3
c
?
3
?sin?
．
a32
??
y
x
2
?y
2
?1
的左焦点
?3,0,M
4
???
3,0
为椭圆的右焦点，因
B
?
O
M x
此
?ABM
的周长为
4a?8
，故选B．
2．B 解析 两圆心C，D恰为椭圆的焦点，所以
PC?PD

图10-55
?10，无论P位于椭圆上的何处，均有
PM?PN
的最小值为
10-1-2=7，故选 B．
3．A 解析
S
?F
1
PF
2
?b tan
2
?F
1
PF
2
643
?64tan30< br>0
?
，故选A．
23
4．B 解析 依题意，
kAC
?
bb
,k
BD
??
，由
?BDC?90
0
，得
k
AC
gk
BD
??1
，即
ac
c5?1
b
?
b
?
g
?
?
?
??1
，得
b
2
?ac?a
2
?c
2< br>，得
e??
，故选B．
a2
a
?
c
?x
2
y
2
5?m10
??1
的焦点在x轴上，则
e?
5．D 解析 若椭圆，解得
m?3
；若
?
5m
5
5
x
2
y
2
25
5?m10
??1的焦点在y轴上，则
e?
椭圆，解得
m?
，所以m的值为3
?< br>5m
3
5
m
或
uuuruuur
6．C 解析 由椭圆方程，得
F
?
?1,0
?
，设
P
?
x
0
,y
0
?
，则
OPgFP?
?
x0
,y
0
?
g
?
x
0
?1,y
0
?

25
，故选D．
3

22
uuuruuur
x
0
y
0
?x?y?x
0
，因为 P为椭圆上一点，所以
??1
，所以
OPgFP?

43
2
0
2
0
2
uuuruuur
?
x
0
?
1
2
x?3
?
1?
?
?x
0
?
?
x
0
?2
?
?2,x
0
?
?
?2,2
?
，所以
OPgFP
的最大值在
x
0?2
时取
4
?
4
?
2
0
得，且最大值 为6，故选C．
7．
3
解析 设椭圆C的焦点在x轴上，如图10-56所示，
3
y
B
F
O
D
1
x
D
B
?
0,b
?
, F
?
c,0
?
,D
?
x
D
,y
D
?
，则
uuuruuur
uuuruuur
BF?
?
c,?b
?
,FD?
?
x
D
?c,y
D
?
，因为
BF?2FD
，
3c
?
3c
??
b
?
?
x?
???
?
?
D
?
? c?2x?c
??
?
?
D
2
，得
?
2?
?
?
2
?
?1
，所以
?
，得
?
22
ab
b
?
?
?b?2y
D
?y??
D
?
?2
即
e?
2
22
图10 -56
3
1
，所以
e?
．
3
3
8．
5
解析 由椭圆的性质可知：
AF
1
?a?c,F
1
F
2
?2c,F
1
B?a?c< br>，又已知
5
2
AF
1
,F
1
F
2< br>,F
1
B
成等比数列，故
?
a?c
??
a? c
?
?
?
2c
?
，即
a
2
?c< br>2
?4c
2
，则
a
2
?5c
2
，< br>故
e?
5
．
5
9．
?
3,0
?< br>和
?
?3,0
?
解析 依题意，
PF
1
?PF
2
?2a?10
，
?PF ?PF
2
?
PF
1
gPF
2
?
?
1
），此时
PF
?
?25
（当且仅当
PF
1
?PF
2
时取“=”
1
gPF
2
取
2
? ?
最大值为25，点P的坐标为
?
3,0
?
和
?
? 3,0
?
．
2
x
2
y
2
1
?< br>3
?
10． 解析 (1)因为椭圆
2
?
2
?1< br>?
a?b?0
?
的离心率为，且经过点
P
?
1,?
，所以
ab
2
?
2
?
?
3
?
22
??
?
x
2
y
2
?
a?4 c
1
?
2
?
??1
．
,
2
??1
“=”），解得
c?1
，所以椭圆C的方程为
?
2
2
2
43
3c
?
?
b?3c
4c
2

(2)由(1)知椭圆C的左焦点F的坐标为
?
?1,0
?
，以椭圆C的长轴为直径的圆的方程为
3
?
25
?
x
2
?y
2
?4
，圆心坐标
?
0,0
?
，半径为2，以PF为直径的圆的方程为
x
2
?
?
y?
?
?
，
416
??
圆心坐标是
?
0 ,
?
，半径为
2
2
?
?
3
?
4< br>?
5
，因为两圆心之间的距离为
4
335
?
?0?? 2?
，
?
0?0
?
?
?
??
444??
2
故以PF为直径的圆与以椭圆C的长轴为直径的圆内切．
b
2
b
2
11． 解析 (1)因为
F
，所以< br>k
OM
??
，因为
1
?
?c,0
?
，则
x
M
??c,y
M
?
aac
k
AB< br>ruuuur
c2
b
2
b
b
uuu
． ??,ABOM
，所以
???
，所以
b?c,a?2c
，故e??
a2
aca
a
(2)设
FQ?r
1
,F
2
Q?r
2
,?FQF
112
?
?
，所以
r
1
?r
2
?2a,F
1
F
2
? 2c
，
r?r?4c
?

cos
?
?
2 r
1
r
2
2
1
2
2
2
?
r
1
?r
2
?
2
?2r
1
r
2< br>4c
2
2r
1
r
2
2b
2
a
2
a
2
??1
??1??1?0
，
2
r
1
r
2
r
1
r
2
?
r
1
?r
2
?
??
?
2
?
当且仅当
r
1
?r
2
时，
cos
?
?0
，所以
?
?
?
0,
?
?
?
．
?
2
??
x
2
y
2
12． 解析 (1 )设椭圆C的方程为
2
?
2
?1
?
a?b?0
?< br>，则
ab
?
a
2
?b
2
?c
2?
x
2
y
2
?
22
?1
．
?
a:b?2:3?a?16,b?12
，所以椭圆C的方程为
?
1612< br>?
c?2
?
?
uuur
x
2
y
2< br>??1
，因为
MP?
?
x?m,y
?
， (2)设< br>P
?
x,y
?
为椭圆上的动点，由于椭圆方程为
1612 所以
1
2
1
2
x?2mx?m
2
?12=
?
x?4m
?
?12?3m
2
，
x?
?< br>?4,4
?

44
uuur
2
uuur
因为 当
MP
最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当
x?4
时，
MP
取最小值，
又
x?
?
?4,4
?
， 所以
4m?4
，解得
m?1
，又点M在椭圆的长轴上，

故实数m的取值范围是
?
1,4
?
．