高中数学圆锥曲线压轴题集锦5

2020年9月22日发(作者：叶选生)

高中数学圆锥曲线压轴题集锦5



一．解答题（共60小题）

1．已知椭圆C
1
的方程为，双曲线C
2
的左、右焦点分别是C
1
的左、右顶点，而C
2
的左、右 顶点分别是C
1
的左、右焦点．

（1）求双曲线C
2
的方程；

（2）若直线
原点），求k的范围．

（3）试根据轨迹C
2
和直线l，设计一个与x轴上某点有关的三角形形状问题，并予以解答（本
题将根据所设计的问题思维 层次评分）．

2．在平面直角坐标系中，若=（x，y+2），=（x，y﹣2），且
（1）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；

（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于 A、B两点，设，是否存在这样的直线l，
|=8．

与双曲线C
2
恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为
使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线l的方程，不 存在，说明理由．

3．如图，已知定圆C：x
2
+（y﹣3）
2< br>=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直
线l与直线相交于N，与圆C 相交于P，Q两点，M是PQ中点．

（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；

（Ⅱ）当
（Ⅲ）设t=
时，求直线l的方程；

，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．

4．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上（如图），且OC=1，
OA=a+1（a＞1），点D在边OA上，满足OD=a．分别以OD、OC为长、短半轴的椭圆在矩 形
第1页（共122页）

及其内部的部分为椭圆弧CD．直线l：y=﹣x+b与椭圆弧相切，与OA交于点E．

（1）求证：b
2
﹣a
2
=1；

（2）设直线l将矩形OABC分成面积相等的两部分，求直线l的方程；

（3）在 （2）的条件下，设圆M在矩形及其内部，且与l和线段EA都相切，求面积最大的圆
M的方程．


5．过点F（0，1）作直线l与抛物线x
2
=4y相交于两点A、B ，圆C：x
2
+（y+1）
2
=1

（1）若抛物线在点B处的切线恰好与圆C相切，求直线l的方程；

（2）过点A、 B分别作圆C的切线BD、AE，试求|AB|
2
﹣|AE|
2
﹣|BD|< br>2
的取值范围．


6．已知圆C：（x+4）
2
+y
2
=4，圆D的圆心D在y 轴上且与圆C外切，圆D与y 轴交于A、B
两点，定点P的坐标为（﹣3，0）．

（1）若点D（0，3），求∠APB的正切值；

（2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值；

（3）在x轴上是否存在定点 Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出Q
点坐标；如果不存在，说明理由．
7．设椭圆=1（a＞b＞0）过点，且左焦点为

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交于两不 同点A，B时，在线段AB上取点Q，
满足

?=?，证明：点Q总在某定直线上．

第2页（共122页）

8．设椭圆，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为F
1
， F
2
，离心率

，右准线为l，
M，N是l上的两个动点，
（Ⅰ）若，求a，b的值；

与共线．

（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，

9．已知曲线< br>半径为
所围成的封闭图形的面积为，曲线C
1
的内切圆
．记C
2
为以曲线C
1
与坐标轴的交点为顶点的椭圆．

（Ⅰ）求椭圆C
2
的标准方程；

（Ⅱ）设AB是过椭圆C
2
中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上异于椭圆中心
的点．

（1）若|MO|=λ|OA|（O为坐标原点），当点A在椭圆C
2
上运动时，求点M的轨 迹方程；

（2）若M是l与椭圆C
2
的交点，求△AMB的面积的最小值．

10．已知双曲线．

（1）求双曲线C的渐近线方程；

（2）已 知点M的坐标为（0，1）．设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点．记
．求λ的取值范围 ；

（3）已知点D，E，M的坐标分别为（﹣2，﹣1），（2，﹣1），（0，1），P为 双曲线C上在第
一象限内的点．记l为经过原点与点P的直线，s为△DEM截直线l所得线段的长．试 将s表
示为直线l的斜率k的函数．

11．已知椭圆C
1
的中心和 抛物线C
2
的顶点都在坐标原点O，C
1
和C
2
有公共焦点 F，点F在x
轴正半轴上，且C
1
的长轴长、短轴长及点F到C
1
右 准线的距离成等比数列．

（Ⅰ）当C
2
的准线与C
1
右准 线间的距离为15时，求C
1
及C
2
的方程；

（Ⅱ）设过 点F且斜率为1的直线l交C
1
于P，Q两点，交C
2
于M，N两点．当|M N|=8时，
第3页（共122页）

求|PQ|的值．

12．在直角坐标系xOy中，椭圆C
1
：=1 （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F
1
，F
2
．F
2
也是 抛物线C
2
：y
2
=4x的焦点，点M为C
1
与C
2
在第一象限的交点，且|MF
2
|=．

（Ⅰ）求C
1
的方程；

（Ⅱ）平面上的点N满足
求直线l的方程．

13．如图，椭圆C：
（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若AB为垂直于x轴 的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．

（ⅰ）求证：点M恒在椭圆C上；

（ⅱ）求△AMN面积的最大值．

（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（2，0）．

，直线l∥MN，且与C
1
交于A，B两点，若，

14．如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（Ⅱ ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，值有|OA|
2
+|OB |
2
＜|AB|
2
，求a的取值范围．


15． 设P为椭圆上的一个点，过点P作椭圆的切线与⊙O：x
2
+y
2
=12相交 于M，N
第4页（共122页）

两点，⊙O在M，N两 点处的切线相交于点Q．（1）若点P坐标为
程．（2）若P为椭圆上的一个动点，求点Q的轨迹方程．

，求直线MN的方
16．已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y
2< br>=2x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB
的内接圆（点C为圆心）

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）设圆M的方程为（x﹣4﹣7cosθ）
2< br>+（y﹣7sinθ）
2
=1，过圆M上任意一点P分别作圆C
的两条切线PE ，PF，切点为E，F，求的最大值和最小值．

17．如图，矩形ABCD的两条对角线相交 于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0
点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．

（Ⅰ）求AD边所在直线的方程；

（Ⅱ）求矩形ABCD外接圆的方程；

（Ⅲ）若动圆P过点N（﹣2，0），且与矩 形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方
程．


18．如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x=12．

（1）求椭圆的方程；

（2）在椭圆上任取三个不同点P
1
，P< br>2
，P
3
，使∠P
1
FP
2
=∠P
2
FP
3
=∠P
3
FP
1
，证明：
++为 定值，并求此定值．


19．已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C上的点 到焦点的最大值为3，最小值为1．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

第5页（共122页）

（Ⅱ）若直线l：y=kx+m （k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是左、右顶点），且
以MN为直径的圆经过椭圆的右 顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．

20．已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称 为“果圆”，其中
a
2
=b
2
+c
2
，a＞0，b ＞c＞0．如图，设点F
0
，F
1
，F
2
是相应椭圆的焦点 ，A
1
，A
2
和B
1
，B
2
是“果
圆”与x，y轴的交点，

（1）若三角形F
0
F
1
F< br>2
是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；

（2）若|A
1
A|＞|B
1
B|，求的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为
k的直 线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k
的值；若不存在，说 明理由．


21．在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线 x
2
=2py（p＞0）相交于A、
B两点．

（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；

（Ⅱ）是 否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，
求出l的方程；若 不存在，说明理由．

22．设动点P到点A（﹣1，0）和B（1，0）的距离分别为d1
和d
2
，∠APB=2θ，且存在常数
λ（0＜λ＜1），使得d1
d
2
sin
2
θ=λ．

（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；

（2）过点B作直线双曲线C的右支于M，N两点，试确定λ的范围，使
为坐标原点．

，其中点O
第6页（共122页）

23．已知椭圆C：
（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为
的最大值．

，求△AOB面积
24．已知点D在定线段MN上，且|MN|=3，|DN|=1，一个动圆 C过点D且与MN相切，分
别过M、N作圆C的另两条切线交于点P．

（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）过点M作直线l与所求轨 迹交于两个不同的点A、B，若（
且λ∈[2﹣，2+]，求直线l与直线MN夹角θ的取值范围．
+λ）?（﹣λ）=0，

25．在等差数列{a
n
}中，a
4
S
4
=﹣14，S
5
﹣a
5
=﹣14， 其中S
n
是数列{a
n
}的前n项之和，曲线C
n
的方程是 +=1，直线l的方程是y=x+3．

（1）求数列{a
n
}的通项公式；

（2）判断C
n
与l的位置关系；

（3）当直线l与曲 线C
n
相交于不同的两点A
n
，B
n
时，令M
n< br>=（|a
n
|+4）|A
n
B
n
|，求M
n
的最
小值．

（4）对于直线l和直线外的一点P，用“l上的点与点P距离 的最小值”定义点P到直线l的距
离与原有的点到直线距离的概念是等价的．若曲线C
n
与直线l不相交，试以类似的方式给出
一条曲线C
n
与直线l间“距离”的定义，并 依照给出的定义，在C
n
中自行选定一个椭圆，求出
第7页（共122页）

该椭圆与直线l的“距离”．

26．设椭圆的左、右焦点 分别为F
1
、F
2
，A是椭圆C上的一点，且
，坐标原点O到直线A F
1
的距离为
（I）求椭圆C的方程；

（II）设Q是椭圆C上的 一点，过Q的直线l交x轴于点P（﹣1，0），交y轴于点M，若
求直线l的方程．

27．在平面直角坐标系xoy中，已知三点A（﹣1，0），B（1，0），C（﹣1，），以A、B为焦点的椭圆经过点C．

（I）求椭圆的方程；

（II）设点D（0， 1），是否存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使
？若存在，求出直线l斜率的取值 范围；若不存在，请说明理由；

（III）若对于y轴上的点P（0，n）（n≠0），存在 不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同两点
M、N，使，试求n的取值范围．

，
．

28．如图，设抛物线y
2
=2px（p＞0）的焦 点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，且
A、B两点坐标为（x
1
，y1
），（x
2
，y
2
），y
1
＞0，y
2
＜0，P是此抛物线的准线上的一点，O是坐
标原点．

（Ⅰ）求证：y
1
y
2
=﹣p
2
；
（Ⅱ）直线PA、PF、PB的方向向量为（1，a）、（1，b）、（1，c），求证：实数a、b、c成 等
差数列；

（Ⅲ）若．


第8页（共122页）

29．已知抛物线y
2
=2px（p＞0）的焦 点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，
A到抛物线准线的距离等于5．

（1）求抛物线方程；

（2）过焦点F作倾斜角为45°的直线，交抛物线于A，B两点，求 A B的中点C到抛物线准
线的距离．

30．已知点A（x
1
，y1
），B（x
2
，y
2
）（x
1
x
2
≠0）是抛物线y
2
=2px（p＞0）上的两个动点，O是
坐标原点，向量
y=0．

（1）证明线段AB是圆C的直径；

（2）当圆C的圆 心到直线x﹣2y=0的距离的最小值为
31．双曲线C与椭圆
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P（0，4）的直线l，交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不
重合），当
32．已知椭圆C
1
：
椭圆C
1
的右焦 点．

（Ⅰ）当AB⊥x轴时，求m、p的值，并判断抛物线C
2
的焦点是否 在直线AB上；

（Ⅱ）是否存在m、p的值，使抛物线C
2
的焦点恰在直线 AB上？若存在，求出符合条件的
m、p的值；若不存在，请说明理由．

33．已知 椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F
1
，F
2
，点P在此椭圆上 ，且PF
1
⊥
．

，且时，求Q点的坐标．

有相同的焦点，直线
时，求p的值．

为C的一条渐近线．

，满足，设圆C的方程为x
2
+y
2
﹣（x
1
+x
2
）x﹣（y
1
+y
2
）
，抛物线C
2
：（y﹣m）
2
=2px（p＞0），且C
1
、C
2
的公共 弦AB过
F
1
F
2
，|PF
1
|=，|PF
2
|=
（1）求椭圆的方程；

（2）若直线l过圆x
2
+y
2
+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，
求 直线l的方程．

34．已知一列椭圆．n=1，2…．若椭圆C
n
上有一点 P
n
，使P
n
到右
第9页（共122页）

准线l
n
的距离d
n
是{p
n< br>F
n
}与{P
n
G
n
}的等差中项，其中F
n
、G
n
分别是C
n
的左、右焦点．

（I）试证：
（II）取
（n≥1）；

，并用S
n
表示△P
n
F
n
G
n
的面积，试证：S
1
＜S
2
且S
n
＞S
n
+
1
（n≥3）．


35．如图，以椭圆的中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和小圆．过椭圆右焦点F（c，0）（c＞b）作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A．连接OA交小
圆于点B．设直线BF是小圆的切线．

（1）求证c
2
=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；

（2）设直线BF交椭圆于P、Q两点，求证?=b
2
．


36．如图，椭圆Q：（a＞b＞0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F
转动，并且 交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点．

（1）求点P的轨迹H的方程．
（2）在Q的方程中，令a
2
=1+cosq+sinq，b
2
=sin q（0＜q≤），确定q的值，使原点距椭圆
的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕 点F转动到什么位置时，三角形
ABD的面积最大？

第10页（共122页）

37．如图，椭圆=1（a＞b＞0）与过点A（2， 0）B（0，1）的直线有且只有一个公共
．

点T，且椭圆的离心率e=
（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）设F
1、F
2
分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF
2
的中点，求证：∠AT M=∠AF
1
T．


38．已知在平面直角坐标系xOy中的一个 椭圆，它的中心在原点，左焦点为
顶点为D（2，0），设点
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；

（3）过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值．

．

，右

39．椭圆的中心是原点O，短轴长为
轴交于点A，且点F分
（Ⅰ）求椭圆的方程；

，左焦点为F（﹣c，0）（c＞0），相应的准线l与x
的 比为3，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．

第11页（共122页）

（Ⅱ）若PF⊥QF，求直线PQ的方程；

（Ⅲ）设（λ＞1），点Q关于x轴的对称点为Q′，求证：
﹣
．

40．若F
1
F
2
为双曲线=1的左右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支 上，M在右准
线上，且满足=，=

（1）求此双曲线的离心率；

（2）若此双曲线过点N（2，），求双曲线方程；

（3）设（2）中双曲线的虚轴 端点为B
1
，B
2
（B
1
在y轴正半轴上），求B
2
作直线AB与双曲线
交于A B两点，求⊥时，直线AB的方程．

41． 已知直线l
1
：ax﹣by+k=0；l
2
：kx﹣y﹣1=0，其中a是常 数，a≠0．

（1）求直线l
1
和l
2
交点的轨迹，说明 轨迹是什么曲线，若是二次曲线，试求出焦点坐标和离
心率．

（2）当a＞0，y≥ 1时，轨迹上的点P（x，y）到点A（0，b）距离的最小值是否存在？若存
在，求出这个最小值．< br>
42．P，Q，M，N四点都在椭圆
线，与共线，且
上，F为椭圆在y轴正半 轴上的焦点．已知与共
．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．

43．如图， 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F
1
，F
2
在x轴上，长轴A
1< br>A
2
的长为4，左准线
l与x轴的交点为M，|MA
1
|：| A
1
F
1
|=2：1．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若点P在直线l上运动，求∠F
1
PF
2
的最大值、


44．设A、B是椭圆3x
2
+y
2
=λ上的两点，点N （1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平
分线与椭圆相交于C、D两点．

第12页（共122页）

（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程；

（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由．
45．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F
1
（﹣c，0）、F
2
（c，0），Q是椭圆
|=2a．点P是线段F
1
Q与该椭圆的交点，点T 在线段F
2
Q上，并且满足
|≠0．

|=a+x；
外的动点，满足|
?=0，|
（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明|
（Ⅱ）求点T的 轨迹C的方程；

（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F
1
MF
2
的面积S=b
2
．若存在，求∠F
1
MF
2
的正切值；若不存在，请说明理由．


46．已知方向向量为v=（1，） 的直线l过点（0，﹣2）和椭圆C：+=1（a＞b＞0）
的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称 点在椭圆C的右准线上．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点E （﹣2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足?=．cot∠
MON≠0（O为原点）．若存在，求 直线m的方程；若不存在，请说明理由．


47．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0 ）的左、右焦点为F
1
、F
2
，离心率为e．直线l：y=ex+a
与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F
1
关于直线l的 对
称点，设

=λ．

第13页（共122页）

（Ⅰ）证明：λ=1﹣e
2
；

（Ⅱ）若 λ=，△MF
1
F
2
的周长为6；写出椭圆C的方程；

（Ⅲ）确定λ的值，使得△PF
1
F
2
是等腰三角形．
< br>48．如图，已知抛物线C：y
2
=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标 为4且位于x轴
上方的点． A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的 中点为
M（O为坐标原点）．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；

（Ⅲ）以M为圆心，4为半径 作圆M，点P（m，0）是x轴上的一个动点，试讨论直线AP
与圆M的位置关系．


49．已知双曲线C：
（1）求双曲线的方程；

=1（a＞0，b＞0）的离心率为，焦点到渐近线的距离为1．

（2）设直线y=kx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，求k的取值范围；

（ 3）若另一条直线l经过点P（﹣2，0）及线段AB的中点，求直线l在y轴上的截距b
0
的 取
值范围．

50．双曲线=1（a＞1，b＞0）的焦点距为2c，直线l过点（a ，0）和（0，b），且点
．求双曲线的离心率e（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l 的距离之和
的取值范围．

51．设直线?与椭圆相交于A、B两点，?又与双曲线x
2
﹣y
2
=1相交于C、D两点，
C、D三等分线段AB．求直线? 的方程．

52．如图，过抛物线x
2
=4y的对称轴上任一点P（0，m） （m＞0）作直线与抛物线交于A，B
第14页（共122页）

两点，点Q是点P关于原点的对称点．

（I）设点P分有向线段所成的比为λ，证明：

（Ⅱ）设直线AB的方程是x﹣2y +12=0，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，
求圆C的方程．


53．（理科）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，一条经过点（3，﹣
为的直线l交椭 圆C于A、B两点，交x轴于M点，又．

）且方向向量
（1）求直线l方程；

（2）求椭圆C长轴长取值的范围．

54．已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=﹣1相切，点C在l上．

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；

（Ⅱ）设过点P，且斜率为﹣的直线与曲线M相交于A，B两点．

（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；

（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围．


55．设曲线C的方程是y=x
3
﹣x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后 得曲线
C
1
．

（1）写出曲线C
1
的方程；

（2）证明曲线C与C
1
关于点A（，）对称；

第15页（共122页）

（3）如果曲线C与C
1
有且仅有一个公共点，证明s=
56．已知抛物线y
2
=2x．

﹣t且t≠0．

（1）在抛物线上任取二点P
1
（x
1< br>，y
1
），P
2
（x
2
，y
2
）， 经过线段P
1
P
2
的中点作直线平行于抛
物线的轴，和抛物线交于点 P
3
，证明△P
1
P
2
P
3
的面积为；< br>
（2）经过线段P
1
P
3
、P
2
P
3
的中点分别作直线平行于抛物线的轴，与抛物线依次交于Q
1
、Q
2，
试将△P
1
P
3
Q
1
与△P
2P
3
Q
2
的面积和用y
1
，y
2
表示 出来；

（3）仿照（2）又可做出四个更小的三角形，如此继续下去可以做一系列的三角形， 由此设
法求出线段P
1
P
2
与抛物线所围成的图形的面积．


57．如图，已知椭圆C：+=1，（a＞b＞0），点B是其下顶点，直线x+3y+6= 0与椭圆C
交于A，B两点（点A在x轴下方），且线段AB的中点E在直线y=x上．

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若点P为椭圆C上异于A，B的动点，且直线AP， BP分别交直线y=x于点M，N，证
明：?为定值．


58．如图，已知 直线OP交椭圆C：
（2，1），=
+=1于点Q，其中O为坐标原点，点P的坐标为
，若椭圆C不经过原点的弦AB被直线OP平分于点D，且直线AP，BP
与椭圆C的另一交点分别为M ，N．

第16页（共122页）

（1）求椭圆C的方程；

（2）试研究直线MN与AB的位置关系，并证明你的结论．


59．已知 抛物线C
1
：y
2
=2px（p＞0）与直线x﹣y+1=0相切，椭圆C< br>2
：
的一个焦点与抛物线C
1
的焦点F重合，且离心率为
（1 ）求抛物线C
1
与椭圆C
2
的方程；

（2）若在椭圆C< br>2
上存在两点A，B使得
60．已知椭圆+
=λ（λ∈[﹣2，﹣1]），求|
+=1（a＞b＞0）
，点M（a
2
，0）．

+|的最小值．

=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且垂直于x轴的直线被 椭圆
截得的弦长为1，过点（m，0）（0＜m＜a）的直线与椭圆交于A，B两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点 P（，0）作垂直于x轴的直线l，在直线 l上是否存在点Q，使得△ABQ为等边
三角形？若存在，试求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．



第17页（共122页）

高中数学组卷0060题5

参考答案与试题解析



一．解答题（共60小题）

1．已知椭圆C
1
的方程为 ，双曲线C
2
的左、右焦点分别是C
1
的左、右顶点，而C
2
的左、右顶点分别是C
1
的左、右焦点．

（1）求双曲线C
2
的方程；

（2）若直线
原点），求k的范围．

（3）试根据轨迹C
2
和直线l，设计一个与x轴上某点有关的三角形形状问题，并予以解答（本
题将根据所设计的问题思维 层次评分）．

【分析】（1）设双曲线C
2
的方程为
求出故C2
的方程．

（2）将
两点得：
代入得．由直线l与双曲线C< br>2
交于不同的
，由此能求出k的取值范围．

，则a
2
=4﹣1=3，再由a
2
+b
2
=c
2
得b
2< br>=1，由此能
与双曲线C
2
恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为
（3）若x轴上存在点P（m，0），使△APB是以AB为底边的等腰三角形，求m的取值范围．
< br>当k=0时，P点坐标为（0，0），即m=0；当k≠0时，设线段AB的中点M（x
0
，y
0
），线段
AB的中垂线方程为
的范围．

【解答】解：（1）设双曲线C
2
的方程为，



，令y=0，得，由此能求出m
则a
2
=4﹣1=3，再由a
2
+ b
2
=c
2
得b
2
=1，故C
2
的方程为
（2）将代入得
第18页（共122页）

由直 线l与双曲线C
2
交于不同的两点得：
且k
2
＜1…①A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），则
∴
∴
=

又∵，得x
1
x
2
+y
1
y
2
＞2，∴

即，解得：②，故k的取值范围为．
（3）若x轴上存在点P（m，0），使△APB是以AB为底边的等腰三角形，求m的取值范围．

解：显然，当k=0时，P点坐标为（0，0），即m=0；

当k≠0时，设线段AB的中点M（x
0
，y
0
），

由（2）知
于是，线段AB的中垂线方程为

，令y=0，得，由
①知，
∴，∴m∈R，且m≠0．


综上所述，m∈R．

【点评】本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与 双曲线的位置关系，双曲线
的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程 思想，化归与
转化思想．



2．在平面直角坐标系中，若=（x ，y+2），=（x，y﹣2），且
（1）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；

（ 2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设，是否存在这样的直线l，
|=8．

使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线l的方程，不存在，说明理由．

【分析】（1）因为

，且
第19页（共122页）
．所以动点M到两个定点F
1
（0，

﹣2），F< br>2
（0，2）的距离的和为8．由此能求出动点M（x，y）的轨迹C的方程．

（2）若直线l是y轴，则A、B是椭圆的顶点．，所以O与P重合，与四边形
OAPB是矩形矛盾． 所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+3，A（x
1
，y
1
） ，B（x
2
，
y
2
），由
成立．由韦达定理
边形． 由此能够导出存在直线
【解答】解：（1）因为
，由于△=（18k
2
）﹣4 （4+3k
2
）（﹣21）＞0恒
．因为，所以OAPB是平行四
，使得四边 形OAPB为矩形．

，且．

所以动点M到两个定点F
1
（0，﹣2），F
2
（0，2）的距离的和为8．

所以轨迹C以F
1
（0，﹣2），F
2
（0，2）为焦点的椭圆，

方程为．

（2）为直线l过点（0，3）．

若直线l是y轴，则A、B是椭圆的顶点．

，

所以O与P重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．

所以直线l的斜率存在，

设直线l的方程为y=kx+3，A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
）

由，

由于△=（18k
2
）﹣4（4+3k
2
）（﹣21）＞0恒成立．

由韦达定理
因为，

．

所以OAPB是平行四边形．

若存在直线l，使得四边形OAPB为矩形，

则OA⊥OB，即，

第20页（共122页）

因为
所以
，
，

，

所以（1+k
2
）x
1
x
2
+3k（x
1
+x
2）+9=0，

所以
机
故存在直线
，

，使得四边形OAPB为矩形．


【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的 综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线
与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化 ．易错点是计算量大，容易出错．



3．如图，已知定圆C：x
2
+（y﹣3）
2
=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直
线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．

（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；

（Ⅱ）当
（Ⅲ）设t=
时，求直线l的方程；

，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．

【分析】（Ⅰ）根据已知，容易写出直线l的方程为y=3（x+1）．将圆心C（0，3）代入方程
易知l过圆心C．

（Ⅱ）过A（﹣1，0）的一条动直线l．应当分为斜率存在和不存在两 种情况；当直线l与x
轴垂直时，进行验证．当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1 ），由于弦长
利用垂径定理，则圆心C到弦的距离|CM|=1．从而解得斜率K来得出直线l的方程为 ．

（Ⅲ）同样，当l与x轴垂直时，要对设t=，进行验证．当l的斜率存在时，设直线l< br>，
第21页（共122页）

的方程为y=k（x +1），代入圆的方程得到一个二次方程．充分利用“两根之和”和“两根之积”去
找．再用两根直线方 程联立，去找．从而确定t=的代数表达式，再讨论t是否为
定值．

【解答】解：（Ⅰ）由已知
所以直线l的方程为y=3（x+1）．

将圆心C（0，3）代入方程易知l过圆心C．（3分）

（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，易知x=﹣1符合题意；（4分）

当直线与x轴不垂 直时，设直线l的方程为y=k（x+1），由于
所以|CM|=1．由，解得．

，

，故k
l
=3，

故直线l的方程为x=﹣1或4x﹣3y+4=0．（8分）

（Ⅲ）当l与x轴垂直 时，易得M（﹣1，3），
又A（﹣1，0）则，，故
，

．即t=﹣5．（10分）

当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1） ，代入圆的方程得（1+k
2
）x
2
+（2k
2
﹣6k）x +k
2
﹣6k+5=0．

则，，

即
又由
则
故t=
得
，=
，

．

．

．

综上，t的值为定值，且t=﹣5．（14分）

另解一：连接CA，延长交m于点R，由（Ⅰ）知AR⊥m．又CM⊥l于M，

故△ANR∽△AMC．于是有|AM|?|AN|=|AC|?|AR|．

由
故

，得|AM|?|AN|=5．

．（14分）

第22页（共122页）

另解二 ：连接CA并延长交直线m于点B，连接CM，CN，由（Ⅰ）知AC⊥m，又CM⊥l，

所以四点M，C，N，B都在以CN为直径的圆上，

由相交弦定理得．（14分）

【点评】（1）用直线方程时，一定要注意分为斜率存 在和不存在两种情况．一般是验证特殊，
求解一般．

（2）解决直线与圆相交弦相关计算时一般采用垂径定理求解．

（3）涉及到直线和 圆、圆锥曲线问题时，常常将直线代入曲线方程得到一个一元二次方程，
再充分利用“两根之和”和“两 根之积”整体求解．这种方法通常叫做“设而不求”．



4．在平面直角 坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上（如图），且OC=1，
OA=a+ 1（a＞1），点D在边OA上，满足OD=a．分别以OD、OC为长、短半轴的椭圆在矩形
及其内部 的部分为椭圆弧CD．直线l：y=﹣x+b与椭圆弧相切，与OA交于点E．

（1）求证：b
2
﹣a
2
=1；

（2）设直线l将矩形OABC分成面积相等的两部分，求直线l的方程；

（3）在 （2）的条件下，设圆M在矩形及其内部，且与l和线段EA都相切，求面积最大的圆
M的方程．


【分析】（1）设椭圆的方程为．由得（1+a
2
）x
2﹣2a
2
bx+a
2
（b
2
﹣1）=0．由
于 直线l与椭圆相切，知△=（﹣2a
2
b）
2
﹣4a
2
（1 +a
2
） （b
2
﹣1）=0，由此能够证明b
2
﹣a2
=1．

（2）由题意知A（a+1，0），B（a+1，1），C（0，1） ，于是OB的中点为
l将矩形OABC分成面积相等的两部分，所以l过点
（3）由
2
．因为
，由此能求出直线l的方程．

．因为圆M与线段EA相切，所以可设 其方程为（x﹣x
0
）
+（y﹣r）
2
=r
2
（r ＞0）．再由圆M在矩形及其内部和圆M与 l相切，且圆M在l上方，能够
第23页（共122页）

求出面积最大的圆M的方程．

【解答】证明：（1）题设椭圆的方程为．…（1分）

由消去y得（1+a
2
）x
2
﹣2a
2
bx+a
2
（b
2﹣1）=0．…（2分）

由于直线l与椭圆相切，故△=（﹣2a
2
b ）
2
﹣4a
2
（1+a
2
） （b
2
﹣1）=0，

化简得b
2
﹣a
2
=1．①…（4分）

解：（2）由题意知A（a+1，0），B（a+1，1），C（0，1），

于是OB的中点为．…（5分）

，

因为l将矩形OABC分成面 积相等的两部分，所以l过点
即f（x），亦即2b﹣a=2．②…（6分）

由①②解得
解：（3）由（2）知
，故直线l的方程为
．

．…（8分）

因为圆M与线段EA相切，所以可设其方程为（x﹣x
0）
2
+（y﹣r）
2
=r
2
（r＞0）．…（9分）< br>
因为圆M在矩形及其内部，所以④…（10分）

圆M与 l相切，且圆M在l上方，所以
…（12分）

，即．

代入④得即．…（13分）

所以圆M面积最大时，
故圆M面积最大时的方程为
，这时，．

．…（15分）

第24页（共122页）

< br>【点评】本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性
质等基 础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．本
题综合性强，是 高考的重点，易错点是知识体系不牢固．



5．过点F（0，1）作直线 l与抛物线x
2
=4y相交于两点A、B，圆C：x
2
+（y+1）
2
=1

（1）若抛物线在点B处的切线恰好与圆C相切，求直线l的方程；

（2）过点A、B分别作圆C的切线BD、AE，试求|AB|
2
﹣|AE|
2
﹣|BD|
2
的取值范围．


【分析】（1）先求抛物 线过点B的切线方程，利用点B处的切线恰好与圆C相切及点B在抛
物线即可求得点B坐标，从而可求直 线方程；

（2）由已知，直线l的斜率存在，则设直线l的方程为：y=kx+1，与x2
=4y联立，再分别表示
出各线段长，即可求得|AB|
2
﹣|AE|
2
﹣|BD|
2
的取值范围．

【解答】解：（1）设A（ x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
）

由x
2
=4y，得，则过点B的切线方程为：

由已知：点B处 的切线恰好与圆C相切，
∴
∴直线l的方程为：
（Ⅱ）

，即点B坐标为


，

法一：由已知，直线l的斜率存在，则设直线l的方程为：y=kx+1，

联立x< br>2
=4y，得x
2
﹣4kx﹣4=0，∴x
1
+x
2
=4k，x
1
x
2
=﹣4

∴x
1
2
+x
2
2
=16k
2
+8

∴|AB |
2
﹣|AE|
2
﹣|BD|
2
=（﹣2﹣2k
2
）x
1
x
2
﹣4k（x
1
+x
2
）﹣6=﹣8k
2
+2≤2

第25页（共122页）

∴|AB|
2
﹣|AE|
2
﹣|BD|< br>2
的取值范围是（﹣∞，2]

法二：根据题意，连接AC、AB﹑EC﹑ED．设直线l的方程为：y=kx+1，

联立x
2
=4y可得x
2
﹣4kx﹣4=0，∴x
1
+x
2
=4k，x
1
x
2
=﹣4

|AE|< br>2
=|AC|
2
﹣|EC|
2
=x
1
2+（y
1
+1）
2
﹣1．

同理，|BD|
2
=x
2
2
+（y
2
+1）
2
﹣1．

又|AB|
2
=（y
1
+y
2
+2）
2

∴|AB|
2
﹣|AE|
2
﹣|BD|
2=2x
1
x
2
+4（x
1
+x
2
）﹣ （y
1
2
+y
2
2
）﹣2（y
1
+y2
）+4=﹣8k
2
+2≤2．

∴|AB|
2
﹣|AE|
2
﹣|BD|
2
的取值范围是（﹣∞，2]

【点评】本题主要考查抛物线的定义和直线与曲线的相切问题，解决此类问题的必须熟悉曲
线的定义和曲 线的图形特征，这也是高考常考的知识点



6．已知圆C：（x+4）
2
+y
2
=4，圆D的圆心D在y 轴上且与圆C外切，圆D与y 轴交于A、B
两点，定点P的坐标为（﹣3，0）．

（1）若点D（0，3），求∠APB的正切值；

（2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值；

（3）在x轴上是否存在定点 Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出Q
点坐标；如果不存在，说明理由．
【分析】（1）由已知中圆C：（x+4）
2
+y
2
=4，点 D（0，3），我们易求出CD的长，进而求出圆
D的半径，求出A，B两点坐标后，可由tan∠AP B=k
BP
得到结果．

（2）设D点坐标为（0，a），圆D半径为r，我 们可以求出对应的圆D的方程和A，B两点的
坐标，进而求出∠APB正切的表达式（含参数r），求出 其最值后，即可根据正切函数的单调
性，求出∠APB的最大值；

（3）假设存在点 Q（b，0），根据∠AQB是定值，我们构造关于b的方程，若方程有解，则
存在这样的点，若方程无 实根，则不存在这样的点．

【解答】解：（1）∵|CD|=5，

∴圆D的半径r=5﹣2=3，此时A、B坐标分别为A（0，0）、B（0，6）

∴tan∠APB=k
BP
=2（3分）

（2）设D点坐标为（0 ，a），圆D半径为r，则（r+2）
2
=16+a
2
，A、B的坐标分别为 （0，a
﹣r），（0，a+r）

∴

，

第26页（共122页）

∴
∵|r+2|
2
≥16，

∴r≥2，

∴8r﹣6≥10，

∴
∴

==

．（8分）

（3）假设存在点Q（b，0），由
∵a
2
= （r+2）
2
﹣16，

∴

，，得

欲 使∠AQB的大小与r无关，则当且仅当b
2
=12，即
此时有
故存在
，即得∠AQB=60°为定值，

或
，

，使∠AQB为定值60°．（13分）

【点评】本题考查的知识点是直线和圆的方 程的应用，其中根据已知中圆C：（x+4）
2
+y
2
=4，
圆D的 圆心D在y 轴上且与圆C外切，圆D与y 轴交于A、B两点，确定圆D的方程，进而
求出A，B的方程是解答本题的关键．



7．设椭圆=1（a＞b＞0）过点，且左焦点为

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交于两不 同点A，B时，在线段AB上取点Q，
满足?=?，证明：点Q总在某定直线上．

， 且有a
2
=b
2
+c
2
，又点M的坐标满足椭圆方程，则【 分析】（Ⅰ）通过椭圆焦点坐标知c=
列方程组解之即可；

（Ⅱ）欲证点Q总在某定 直线上，所以先设点Q的坐标为变量（x，y），点A、B的坐标分别
第27页（共122页）

为参数（x
1
，y
1
）、（x
2
，y
2
），然后根据已知条件可变形得
、
，设其比值为λ 则有
，此时利用定比分点定理可得A、B、P三点横坐标关系及纵坐标关系，
同时可得A、B、 Q三点横坐标关系及纵坐标关系，又因为点A、B的坐标满足椭圆方程，则
有x
1
2< br>+2y
1
2
=4，x
2
2
+2y
2
2
=4，再利用已得关系式构造x
1
2
+2y
1
2
与x
2
2
+2y
2
2
则可整体替换为4，同
时消去 参数λ，最后得到变量x、y的关系式，则问题得证．

【解答】解：（Ⅰ）由题意得，

解得a
2
=4，b
2
=2，

所以椭圆C的方程为

．

（Ⅱ）设点Q、A、B的坐标分别为（x ，y），（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
）．

由题设知，，，均不为零，记

，则λ＞0且λ≠1

又A，P，B，Q四点共线，从而
于是，，，

从而①，②，

又点A、B在椭圆C上，即x
1
2
+2y
1
2
=4 ③，x
2
2
+2y
2
2
=4 ④，

①+②×2并结合③、④得4x+2y=4，

即点Q（x，y）总在定直线2x+y﹣2=0上．

【点评】本题综合考查椭圆性质与定比分点定理，同时考查构造消元处理方程组的能力．



8．设椭圆，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为F
1
，F< br>2
，离心率

第28页（共122页）

，右准线为l，
M，N是l上的两个动点，

（Ⅰ）若，求a，b的值；

与共线．

（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，

【分析】（Ⅰ）设
由
b的值．

，得
，根据题意由
，
得，
，由此可以求出a，
2
（Ⅱ）|MN|
2
=（y1
﹣y
2
）=y
1
2
+y
2
2
﹣2y
1
y
2
≥﹣2y
1
y
2
﹣2y< br>1
y
2
=﹣4y
1
y
2
=6a
2< br>．当且仅当
或时，|MN|取最小值，由能够推导出
，得a
2
=2b< br>2
，
与共线．

，l的方程【解答】解：由a
2
﹣b
2
=c
2
与
为
设
则
由
（Ⅰ）由< br>得①

，得



②③

由①、② 、③三式，消去y
1
，y
2
，并求得a
2
=4

故

（Ⅱ）证明：|MN|
2
=（y
1
﹣y
2
）
2
=y
1
2
+y
2
2
﹣2 y
1
y
2
≥﹣2y
1
y
2
﹣2y
1
y
2
=﹣4y
1
y
2
=6a
2

当且仅当
此时，
故与共线．

第29页（共122页）

或时，|MN|取最小值

【点评】此题重点考 查椭圆中的基本量的关系，进而求椭圆待定常数，考查向量的综合应用；
熟悉椭圆各基本量间的关系，数 形结合，熟练地进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想
在圆锥曲线问题中的灵活应用．



9．已知曲线
半径为
所围成的封闭图形的面积为，曲线C
1
的内切圆
．记C
2
为以曲线C
1
与坐标轴的交点为顶点 的椭圆．

（Ⅰ）求椭圆C
2
的标准方程；

（Ⅱ）设AB 是过椭圆C
2
中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上异于椭圆中心
的点 ．

（1）若|MO|=λ|OA|（O为坐标原点），当点A在椭圆C
2
上 运动时，求点M的轨迹方程；

（2）若M是l与椭圆C
2
的交点，求△AMB的面积的最小值．

【分析】（Ⅰ）利用封闭图形的面积为
待定系数法写出椭圆的标准方程．

（ Ⅱ）（1）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx，代入椭圆的
方程， 用k表示|OA|的平方，

由|MO|
2
=λ
2
|OA|
2
，得到|MO|
2
．再用k表示直线l的方程，并解出k，把解出的k代入 |MO|
2

的式子，消去k得到

M的轨迹方程．当k=0或不存在时，轨迹方程仍成立．

（2）当k存在且k≠0时，由（1）得
方、纵坐标的平方，

计算出AB的 平方，计算出|MO|
2
，可求出三角形面积的平方，使用基本不等式求出面积的最
小 值，再求出当k不存在

及k=0时三角形的面积，比较可得面积的最小值．

，又a＞b＞0，解得 a
2
=5，b
2
=4．

，，同理求出点M的横坐标的平
，曲线C
1
的内切圆半径为，求出a、b的值，【解答】解：（Ⅰ）由题意得
因此所求椭圆的标准方程为 ．

第30页（共122页）

（Ⅱ）（1）假设AB所在的 直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx（k≠0），A（x
A
，
y< br>A
）．

解方程组得，，

所以．

设M（x，y），由题意知|MO|=λ|OA|（λ≠0），

所以|MO|
2
=λ
2
|OA|
2
，即，

因为l是AB的垂直平分线，所以直线l的方程为，即，

因此，

又x
2
+y
2
≠0，所以5x
2
+4y
2
=20λ
2
，故．

又当k=0或不存在时，上式仍然成立．

综上所述，M的轨迹方程为．

（2）当k存在且k≠0时，由（1）得，，

由

解得，，

所以，，．

由
第31页（共122页）

于

==
=，

当且仅当4+5k
2
=5+4k
2时等号成立，即k=±1时等号成立，

此时△AMB面积的最小值是
当k=0，
当k不存在时，
综上所述，△AMB的面积的最小值为．

．

．

．

【点评】本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，参数法 求轨迹方程，直线与圆锥曲线的
位置关系的应用．



10．已知双曲线．

（1）求双曲线C的渐近线方程；

（2）已 知点M的坐标为（0，1）．设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点．记
．求λ的取值范围 ；

（3）已知点D，E，M的坐标分别为（﹣2，﹣1），（2，﹣1），（0，1），P为 双曲线C上在第
一象限内的点．记l为经过原点与点P的直线，s为△DEM截直线l所得线段的长．试 将s表
示为直线l的斜率k的函数．

【分析】（1）在双曲线，把1换成0，就得到它的渐近线方程．

，然后运用向量（ 2）设P的坐标为（x
0
，y
0
），则Q的坐标为（﹣x
0
，﹣y
0
），先求出
数量积的坐标运算能够求出λ的取值范围．

（ 3）根据P为双曲线C上第一象限内的点，可知直线l的斜率
据k的不同取值范围试将s表示为直线l的 斜率k的函数．

【解答】解：（1）在双曲线
所求渐近线方程为

再由题设条件根
，把1换成0，


第32页（共122页）

（2）设P的坐标为（x
0
，y
0
），则 Q的坐标为（﹣x
0
，﹣y
0
），

=
∵


∴λ的取值范围是（﹣∞，﹣1]．

（3）若P为双曲线C上第一象限内的点，

则直线l的斜率
由计算可得，当
当


；

∴s表示为直线l的斜率k的函数是

【点评】本题是直线与圆锥曲线的综合问题，解题要熟练掌握双曲线的性质和解题技巧．



11．已知椭圆C
1
的中心和抛物线C
2
的顶 点都在坐标原点O，C
1
和C
2
有公共焦点F，点F在x
轴正半轴上 ，且C
1
的长轴长、短轴长及点F到C
1
右准线的距离成等比数列．

（Ⅰ）当C
2
的准线与C
1
右准线间的距离为15时，求C
1
及C
2
的方程；

（Ⅱ）设过点F且斜率为1的直线l交C
1
于P，Q两点，交C
2
于M，N两点．当|MN|=8时，
求|PQ|的 值．

【分析】（Ⅰ）设C
1
：（a＞b＞0），由题意知C
2：y
2
=4cx．由条件知a=2c．C
1
的右
准线方程为x= 4c．C
2
的准线方程为x=﹣c．

由条件知c=3，a=6，．由此可知 C
1
：，C
2
：y
2
=12x．

（Ⅱ） 由题设知l：y=x﹣c，设M（x
1
，y
1
），N（x
2
，y
2
），P（x
3
，y
3
），Q（x
4
，y
4
）．由，
得x
2
﹣6cx+c
2
=0，所以 x
1
+x
2
=6c．而|MN|=|MF|+|FN|=x
1
+x
2
+2c=8c，由条件|MN|=8，得c=1．由
此可知

．

第33页（共122页）

【解答】解：（Ⅰ）设C
1
：
由条件知
x=﹣c．

（a＞b＞0），其半焦距为c（c＞0）．则C
2
：y
2
=4cx．
，得a=2c．C
1
的右准线方程为，即x=4c．C
2
的准 线方程为
由条件知5c=15，所以c=3，故a=6，
从而C
1
：，C2
：y
2
=12x．

．

（Ⅱ）由题设知l ：y=x﹣c，设M（x
1
，y
1
），N（x
2
，y
2
），P（x
3
，y
3
），Q（x
4
，y
4
）．

由，得x
2
﹣6cx+c
2
=0，所以 x
1
+x
2
=6c．

而|MN|=|MF|+|FN|= x
1
+x
2
+2c=8c，由条件|MN|=8，得c=1．
由（Ⅰ）得a=2，．从而，C
1
：，即3x
2
+4y
2
=12．

由，得7x
2
﹣8x﹣8=0．所以，．

故．

【点评】本题考查了直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．



12．在直角坐标系xOy中，椭圆C
1
：=1（a＞b＞0）的左、右焦 点分别为F
1
，F
2
．F
2
也是抛物线C
2
：y
2
=4x的焦点，点M为C
1
与C
2
在第一象限的交 点，且|MF
2
|=．

（Ⅰ）求C
1
的方程；

（Ⅱ）平面上的点N满足
求直线l的方程．

【分析】（Ⅰ）先利用F
2
是抛物线C
2
：y
2
=4x的焦点求出F
2
的 坐标，再利用|MF
2
|=以及抛物
线的定义求出点M的坐标，可以得到关于椭圆方程 中参数的两个等式联立即可求C
1
的方程；

（Ⅱ）先利用，以及直线l∥M N得出直线l与OM的斜率相同，设出直线l的方
，直线l∥MN，且与C
1
交于A， B两点，若，
第34页（共122页）

程，把直线方程 与椭圆方程联立得到关于A，B两点坐标的等式，整理代入
出直线l的方程．

【解答 】解：（Ⅰ）由C
2
：y
2
=4x知F
2
（1，0）．
设M（x
1
，y
1
），M在C
2
上，因为< br>所以，得，
，

．M在C
1
上，且椭圆C
1
的半焦距c=1，

，即可求
于是

消去b
2
并整理得9a
4
﹣37a
2
+4=0，解得a=2（
故椭圆C
1
的方程为
（ Ⅱ）由
．

不合题意，舍去）．

知四边形MF
1
NF
2
是平行四边形，其中心为坐标原点O，

因为l∥MN，所以l与OM的斜率相同，

故l的斜率．设l的方程为．

由

消去y并化简得9x
2
﹣16mx+8m
2
﹣4=0．
< br>设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2），
因为
x
1
x
2
+y
1
y
2

=x
1
x
2
+6（x
1
﹣m）（x< br>2
﹣m）

=7x
1
x
2
﹣6m（x
1
+x
2
）+6m
2

=
所以
=．

，所以x
1
x
2
+ y
1
y
2
=0．

，．

．此时△=（16m）
2
﹣4×9（8m
2
﹣4）＞0，

，或．

故所求直线l的方程为
【点评】本题是对椭圆与抛物线以及直线与椭 圆位置关系的综合考查．直线与圆锥曲线的位
第35页（共122页）

置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要 求高，还涉及
到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结
合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重
点．



13．如图，椭圆C：
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
< br>（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．

（ⅰ）求证：点M恒在椭圆C上；

（ⅱ）求△AMN面积的最大值．

（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（2，0）．


【分析 】（Ⅰ）由题设a=2，c=1，从而b
2
=a
2
﹣c
2
= 3，即可得椭圆C前方程．

（Ⅱ）（i）由题意得F（1，0），N（4，0）．设A（m， n），则B（m，﹣n）（n≠0），=1．

由题意知AF与BN的方程分别为：n（x﹣1 ）﹣（m﹣1）y=0，n（x﹣4）﹣（m﹣4）y=0．由
此入手能够推出点M恒在椭圆G上．
（ⅱ）设AM的方程为x=ty+1，代入=1得（3t
2
+4）y
2
+6ty﹣9=0．设A（x
1
，y
1
），M（x
2
，
y
2
），利用根与系数的关系能够求出△AMN面积的最大值．

【解答】解：

（Ⅰ）由题设a=2，c=1，从而b
2
=a
2
﹣c
2
=3，

所以椭圆C前方程为．

（Ⅱ）（i）由题意得F（1，0），N（4，0）．

设A（m，n），则B（m，﹣n）（n≠0），=1．①

AF与BN的方程分别为：n（x﹣1）﹣（m﹣1）y=0，

第36页（共122页）

n（x﹣4）﹣（m﹣4）y=0．

设M（x
0
，y
0< br>），则有n（x
0
﹣1）﹣（m﹣1）y
0
=0，②

n（x
0
﹣4）+（m﹣4）y
0
=0，③

由②，③得

x
0
=


=

=

=
=1


所以点M恒在椭圆G上．

（ⅱ）设AM的方程为x=ty+1，

代入=1，得（3t
2
+4）y
2
+6ty﹣9=0．

．

，

设A（x
1
，y
1
）， M（x
2
，y
2
），则有
=
令3t
2
+4 =λ（λ≥4），则|y
1
﹣y
2
|=
∵λ≥4，
△AMN 的面积
，∴当
=，

，即λ=4，t=0时，|y
1
﹣y< br>2
|有最大值3，此时AM过点F，
有最大值．

第37页（共122页）

【点评 】本题主要考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识，考查运算能
力和综合解题能力．



14．如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（Ⅱ ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，值有|OA|
2
+|OB |
2
＜|AB|
2
，求a的取值范围．


【分析 】（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，所以
由此能够推导出椭圆方程．< br>
（Ⅱ）设A（x
1
，y
1
），B（x
2
， y
2
）．

（ⅰ）当直线AB与x轴重合时，由题意知恒有|OA|
2
+|OB|
2
＜|AB|
2
．

（ⅱ）当直线A B不与x轴重合时，设直线AB的方程为：x=my+1，代入
由题设条件能够推导出
导出a的 取值范围．

第38页（共122页）

，
，

=（x
1
，y
1
）?（x
2
，y
2
）=x
1
x
2
+y
1
y
2
＜0恒成立．由此入手 能够推

【解答】解：（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，

因为△MNF为正三角形，所以
即1=，解得
，

．
．a
2
=b
2
+1=4，因此，椭圆方程为
（Ⅱ）设A（x1
，y
1
），B（x
2
，y
2
）．

（ⅰ）当直线AB与x轴重合时，

|OA|
2
+|OB|
2
=2a
2
，|AB|
2
=4a
2
（a
2
＞1），

因此，恒有|OA|
2
+|OB|
2
＜ |AB|
2
．

（ⅱ）当直线AB不与x轴重合时，

设直 线AB的方程为：
整理得（a
2
+b
2
m
2
）y< br>2
+2b
2
my+b
2
﹣a
2
b
2
=0，

所以

，

因为恒有|OA|
2
+|OB|
2
＜|AB|
2
，所以∠AOB恒为钝角．

即恒成立．

x
1
x
2
+y
1
y
2
=（my
1
+1）（my
2
+1）+y
1
y
2
=（m
2
+1）y
1
y
2
+m（y
1
+y
2
）+1

=

=．
< br>又a
2
+b
2
m
2
＞0，所以﹣m
2
a
2
b
2
+b
2
﹣a
2
b
2< br>+a
2
＜0对m∈R恒成立，

即a
2
b
2
m
2
＞a
2
﹣a
2
b
2
+b2
对m∈R恒成立．

当m∈R时，a
2
b
2
m
2
最小值为0，所以a
2
﹣a
2
b
2
+ b
2
＜0．

a
2
＜a
2
b
2< br>﹣b
2
，a
2
＜（a
2
﹣1）b
2
=b
4
，

因为a＞0，b＞0，所以a＜b
2
，即a2
﹣a﹣1＞0，

解得a＞或a＜（舍去），即a＞
，+∞）．

，

综合（i）（ii），a的取值范围为（
第39页（共122页）

【点评】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，不等式的解法等基 本知识，考查运算能力和
综合解题能力．解题时要注意运算能力的培养．



15．设P为椭圆上的一个点，过点P作椭圆的切线与⊙O：x
2
+y
2=12相交于M，N
，求直线MN的方两点，⊙O在M，N两点处的切线相交于点Q．（1）若点P 坐标为
程．（2）若P为椭圆上的一个动点，求点Q的轨迹方程．

【分析】（1）因 为P为椭圆上的一点，所以把代入椭圆，可求P点坐标，进而分类讨论：
当P点为（1，）时，因为直线 MN是过P点，且与椭圆相切的，直线方程与椭圆
联立，判别式等于0，可求直线侧斜率；同理可求当P 点为（﹣1，）时，直线的方程；

（2）设点P（x
0
，y
0），Q（x
1
，y
1
），可得椭圆在P处的切线方程为，
又可知 切点弦MN所在直线的方程为x
1
x+y
1
y=12，由于表示相同直线，故 可得坐标关系，从
而可求点Q的轨迹方程．

【解答】解：（1）因为P为椭圆上的一 点，所以把
所以P点坐标（1，）或（﹣1，）

当P点为（1，）时，因为直线MN 是过P点，且与椭圆相切的，所以设y﹣1.5=k（x﹣1），
与椭圆联立，判别式等于0，即（4k
2
+3）x
2
+（﹣8k
2
+12k）x+（4k
2
﹣12k﹣3）=0，
代入椭圆，得横坐标为1或﹣1

则k=﹣0.5，所以直线MN为x+2y﹣4=0

当P点为（﹣1，）时，因为直 线MN是过P点，且与椭圆相切的，所以设y﹣1.5=k（x+1），
与椭圆联立，判别式等于0，即 （4k
2
+3）x
2
+（8k
2
+12k）x+（4k2
+12k﹣3）=0，则
第40页（共122页）

k=0.5，所以直线MN为x﹣2y+2=0

（2）设点P（x
0
，y
0
），Q（x
1
，y
1
）

∵P为椭圆上的一个点，∴

∵椭圆在P处的切线方程为

又QM， QN为过点Q所引的⊙O：x
2
+y
2
=12的两条切线，可知切点弦MN所 在直线的方程为
x
1
x+y
1
y=12

∴

故

∴

∴点Q的轨迹方程．
【点评】本题以圆与椭圆为载体，综合考查轨迹问题，考察学生分析解决问题的能力，难度
较大．< br>


16．已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y
2
=2x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB
的内接圆（点C为圆心）

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）设圆M的方程为（x﹣4﹣7cosθ）
2< br>+（y﹣7sinθ）
2
=1，过圆M上任意一点P分别作圆C
的两条切线PE ，PF，切点为E，F，求的最大值和最小值．

【分析】（Ⅰ）设出A、B的坐标（正三角形 OAB的三个顶点都在抛物线y
2
=2x上），根据△
ABO边长相等，求出A、B点 的坐标，再求圆心和半径，进而求可得圆C的方程；

（Ⅱ）设出∠ECF=2α，表示出数量 积，数量积中有cosα，
围，可求出数量积的最值．

，确定|PC|的范
第41页（共122页）

【解答】解：（Ⅰ）解法一：设A，B两点坐标分别为，，

由题设知
解得y
1
2
=y
2
2
=12，

所以，或
，

，．


设圆心C的坐标为（r，0 ），则
所以圆C的方程为（x﹣4）
2
+y
2
=16．
< br>解法二：设A，B两点坐标分别为（x
1
，y
1
），（x
2< br>，y
2
），由题设知x
1
2
+y
1
2
=x
2
2
+y
2
2

又因为y
1
2
=2x
1
，y
2
2
=2x
2
，可得x
1
2
+2x
1
=x
2
2
+2x
2
．即（x
1
﹣x
2
）（x
1
+x
2
+2）=0

由x
1
＞0，x
2
＞0，可知x
1
=x
2
，故A，B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上

设C点的坐标为（r，0），则A点坐标为
解得r=4，

所以圆C的方程为（x﹣4）
2
+y
2
=16．

（Ⅱ）解：设∠ECF=2α，则
在Rt△PCE中，
﹣1=7﹣1=6，

所以
则
，由此可得
的最大值为，最小值为﹣8．

．

．

，由圆的几何性质得|PC|≤|MC|+1=7+1=8 ，|PC|≥|MC|
，于是有，

【点评】本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的 方程及几何性质等基本知识，考查综合运
用解析几何知识解决问题的能力．



17．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x ﹣3y﹣6=0
点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．

（Ⅰ）求AD边所在直线的方程；

（Ⅱ）求矩形ABCD外接圆的方程；

（Ⅲ）若动圆P过点N（﹣2，0），且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方
第42页（共122页）

程．


【分析】（I）先由AD与AB垂直，求得AD的斜率，再由点斜式求得其直线方程；

（II）先求得其圆心和半径，再由圆的标准方程求解；

（III）由圆心距等于两半径之和，抽象出双曲线的定义从而求得轨迹方程．

【解 答】解：（I）因为AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，且AD与AB垂直，所以直线AD
的斜 率为﹣3

又因为点T（﹣1，1）在直线AD上，

所以AD边所在直线的方程为y﹣1=﹣3（x+1）．

3x+y+2=0．


（II）由解得点A的坐标为（0，﹣2），

因为矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0）．

所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．

又．

从而矩形ABCD外 接圆的方程为（x﹣2）
2
+y
2
=8．


（III）因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，

所以|PM|=|PN|+2
即|PM|﹣|PN|=2
，

．

的双曲线的左支．

故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为 2
因为实半轴长a=
所以虚半轴长b=
，半焦距c=2．

．

从而动圆P的圆心的轨迹方程为．

第43页（共122页）

【点评】本题主要考查直线方程的求法，平面图形外接圆的求法和轨迹方程的求法．



18．如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x=12．

（1）求椭圆的方程；

（2）在椭圆上任取三个不同点P
1
，P< br>2
，P
3
，使∠P
1
FP
2
=∠P
2
FP
3
=∠P
3
FP
1
，证明：
++为 定值，并求此定值．


【分析】（Ⅰ）设椭圆方程为，由题意知a=6，，故所求椭圆
方程为．

， 且，
，从而有
（Ⅱ）记椭圆的右顶点为A，并设∠AFP
i
=α（2，3）， 假设
i
i=1，
，又设点P
i
在l上的射影为Q
i
，因椭圆的离心率
|FP
i
|=|P
i
Q
i
|?e =
导出++
=
为定值，并能求出此定值．

（i=1，2，3）．由 此入手能够推
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆方程为
因焦点为F（3，0），故半焦距c=3

又右准线l的方程为
因此a=6，
故所求椭圆方程为


，从而由已知

，

（Ⅱ）记椭圆的右顶点为A，并设∠AFPi
=α
i
（i=1，2，3），不失一般性，

假设

，且，
第44页（共122页）

又设点Pi
在l上的射影为Q
i
，因椭圆的离心率
|FP
i
|= |P
i
Q
i
|?e=
解得
因此
而
=
++
=
（i=1，2，3）

=
（i=1，2，3）

，从而有
，

=
，

故++为定值．


【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意< br>挖掘题中的隐含条件．



19．已知椭圆C中心在原点、焦点在x 轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于 不同的两点M、N（M、N不是左、右顶点），且
以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．

【分析】（Ⅰ）由题设条件可知解得，由此能够推导出椭圆C的标准方程．

（Ⅱ）由 方程组消去y，得（3+4k
2
）x
2
+8kmx+4m
2
﹣12=0，然后结合题设条件利
用根的判别式和根与系数的关系求解．

【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a，半焦距为c，

则解得

第45页（共122页）

∴椭圆C的标准方程为．

（Ⅱ）由方程组消去y，

得（3+4k
2
）x
2
+8kmx+4m
2
﹣12=0

由题意：△=（8km）
2
﹣4（3+4k
2
）（4m
2
﹣12）＞0

整理得：3+4k
2
﹣m
2
＞0 ①

设M（x
1
，y
1
）、N（x
2
，y
2
），

则，

由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A（2，0）

∴（x
1
﹣ 2）（x
2
﹣2）+y
1
y
2
=0

即（ 1+k
2
）x
1
x
2
+（km﹣2）（x
1
+x
2
）+m
2
+4=0

也即
整理得：7m
2
+16mk+4k
2
=0

解得：m=﹣2k或，均满足①


当m=﹣2k时，直线l的方程为y=kx﹣2k，过定点（2，0），舍去

当时，直线l的方程为，过定点
．

，

故直线l过定点， 且定点的坐标为
【点评】本题综合考查椭圆的性质及应用和直线与椭圆的位置关系，具有较大的难度，解 题
时要注意的灵活运用．



20．已知半椭圆与半椭圆组成的曲 线称为“果圆”，其中
a
2
=b
2
+c
2
，a＞0 ，b＞c＞0．如图，设点F
0
，F
1
，F
2
是相应椭圆的 焦点，A
1
，A
2
和B
1
，B
2
是“果< br>圆”与x，y轴的交点，

（1）若三角形F
0
F
1
F
2
是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；

第46页（共122页）

（2）若|A
1
A|＞|B
1
B|，求的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为
k的直 线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k
的值；若不存在，说 明理由．


【分析】（1）因为
所以
由此可知“果圆”方程为（2）由题意，得
取值范围．

（3）设“果圆”C的方程为，
，
，

．

，

，所以a
2
﹣b
2
＞（2b﹣a）
2
，得．再由可知的
．记平行弦的斜率为k．当k=0
时，“果圆”平行弦的中点轨迹总 是落在某个椭圆上．当k＞0时，以k为斜率过B
1
的直线l与
半椭圆的交点是．由此 ，在直线l右侧，以k为斜
率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．

当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．

【解答】解：（1）∵
∴
于是，

，

，

第47页（共122页）

所求“果圆”方程为

，

（2）由题意，得a+c＞2b，即．

．

∵（2b）
2
＞b
2
+c
2
=a
2
，∴a
2
﹣b
2
＞（2b﹣a）
2
，得
又b
2< br>＞c
2
=a
2
﹣b
2
，

∴

．∴．

（3）设“果圆”C的方程为
记平行弦的斜率为k．

，．

当k=0时，直线y=t（﹣b≤t≤b）与半椭圆的交点是P，

与半椭圆的交点是Q．

∴P，Q的中点M（x，y）满足得．

∵a＜2b，∴．

综上所述，当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．

当k＞0时，以k为斜率过B
1
的直线l与半椭圆的交点是
．
由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点为，轨迹在直线
上，即不在某一椭圆上．

当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．

第48页（共122页）

【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．



21．在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x
2
=2py（p＞0）相交于A、
B两点．

（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；

（Ⅱ）是 否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，
求出l的方程；若 不存在，说明理由．

【分析】解法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0，﹣p），可设A （x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），< br>直线AB的方程为y=kx+p，与x
2
=2py联立得
定理结合三角形面积公 式进行求解．

（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，AC的中点为O'，l与 AC为直径的圆相交
于点P，Q，PQ的中点为H，

则O'H⊥PQ，Q'点的坐标 为（，y
1
+），由此入手能够求出抛物线的通径所在的直线．

消去y得x
2
﹣2pkx﹣2p
2
=0．然后由韦达
解法2：（Ⅰ）依题意，点 N的坐标为N（0，﹣p），可设A（x
1
，y
1
），B（x
2，y
2
），直线AB
的方程为y=kx+p，与x
2
=2py联 立得消去y得x
2
﹣2pkx﹣2p
2
=0．由弦长公式得
=
，又由点到直线的距离公式得．由此能求出△ANB面积的最小值．

（Ⅱ）假设满足条件的 直线l存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为（x﹣0）（x
﹣x
1
） ﹣（y﹣p）（y﹣y
1
）=0，

将直线方程y=a代入得x
2< br>﹣x
1
x+（a﹣p）（a﹣y
1
）=0，则
．由此入手能够 求出抛物线的通径所在的直线．

【解答】解：法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0，﹣p），

可设A（x1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），

直线AB的方程为y=kx+p，与x
2
=2py联立得
消去y得x
2
﹣2pkx﹣2p
2
=0．

第49页（共122页）

，

由韦达定理得x
1
+x
2< br>=2pk，x
1
x
2
=﹣2p
2
．

于是
=
=
∴当k=0时，
，

．



（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，

AC的中点为O'，l与AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，

则O'H⊥PQ，O'点的坐标为（）．

∵
∴|PH|
2
=|O'P|
2
﹣|O'H|
2
=
∴|PQ|
2
= （2|PH|）
2
=
令，得，此时|PQ|=p为定值，

，

．

，
=，

，

故满足条件的直线l存在，其方程为
即抛物线的通径所在的直线．

解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得
=
，

又由点到直线的距离公式得．

从而
．

，∴当k=0时，
（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为（x﹣0）（x﹣x
1
）+（y﹣p）（y﹣y
1
）=0，

第50页（共122页）

将直线方程y=a代入得x< br>2
﹣x
1
x+（a﹣p）（a﹣y
1
）=0，

则|x
1
﹣x
2
|
2
=．

设直 线l与以AC为直径的圆的交点为P（x
3
，y
3
），Q（x
4，y
4
），

则有
令，得
．

，此时|PQ|=p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，

即抛物线的通径所在的直线．



【点评】本小题主要考查直线、 圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学
知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．



22．设动点P到点A（﹣1，0）和B（1，0）的距离分别为d< br>1
和d
2
，∠APB=2θ，且存在常数
λ（0＜λ＜1），使得d< br>1
d
2
sin
2
θ=λ．

（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；

（2）过点B作直线双曲线C的右支于M，N两点，试确定λ的范围，使
为坐标原点．

，其中点O
第51页（共122页）

【分析】（1）首先利用余弦定理写出d
1
和d
2
的等量关系式，然后把它 变形为（d
1
﹣d
2
）
2
=*
的形式，即|d1
﹣d
2
|=*的形式，此时满足双曲线的定义，则问题得证，最后由双曲线的标 准
方程形式即可写出其方程．

（2）首先根据直线MN是否垂直于x轴进行讨论，若 直线MN垂直于x轴，则直线方程为x=1，
又=0可得M、N的坐标，代入双曲线方程即得λ的值；若 直线MN不垂直于x轴，则
设其点斜式方程，并与双曲线方程联立方程组，可消y得x的一元二次方程， 再由根与系数
的关系用k与λ的代数式表示出x
1
+x
2
和x
1
x
2
，进而由=0及x
1
+x
2
＞0，x1
x
2
＞0通过整理
消去k得到λ的不等式，此时解不等式即可，最后把 两种情况综合之．

2
【解答】（1）证明：在△PAB中，|AB|=2，即22
=d
1
2
+d
2
2
﹣2d
1
d
2
cos2θ，4=（d
1
﹣d
2
）+4d
1
d
2
sin
2
θ，

即（常数），

的双曲线．

．

所以点P的轨迹C是以A，B为焦点，实轴长又b
2
=1﹣（1﹣λ），所以C的方程为：

（2）解：设M（x1
，y
1
），N（x
2
，y
2
）

①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，M（1，1），N（1，﹣1）在双曲线上．

即，因为0＜λ＜1，所以．

②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k（x﹣1）．

得：[λ﹣（1﹣λ ）k
2
]x
2
+2（1﹣λ）k
2
x﹣（1﹣λ）（k2
+λ）=0，

由
由题意知：[λ﹣（1﹣λ）k
2
]≠0，

所以，．

第52页（共122页）

于是：
因为，且M，N
．

在双曲线右支上，所以
．

由①②知，λ的取值范围是：．

【点评】本题考查双曲线的定义、标准方程及直线与圆锥曲线的位置关系，综合性强，字母
运算量大， 且需分类讨论．



23．已知椭圆C：
（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为
的最大值．

【分析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程．
< br>（Ⅱ）设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
）．（1）当AB⊥x轴时，
时，设直线AB的方程为y=kx+m．

由 已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k
2
+1）x
2
+6k mx+3m
2
．（2）当AB与x轴不垂直
，求△AOB面积
（a＞b＞0） 的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．

﹣3=0，然后由根与系数的关系进行求解．

【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 c，依题意
（Ⅱ）设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
）．

（1）当AB⊥x轴时，．

∴b=1，∴所求椭圆方程为．

（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．

由已知，得．

把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k
2
+1 ）x
2
+6kmx+3m
2
﹣3=0，

第53页（共122页）

∴，．

∴ |AB|
2
=（1+k
2
）（x
2
﹣x
1
）
2

=

=

=

=
=

．

当且仅当，即时等号成立．当k=0时，，

．

综上所述|AB|
max
=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值
【点评】本题考查圆锥曲线 的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，认真审题，仔细
解答．



24．已知点D在定线段MN上，且|MN|=3，|DN|=1，一个动圆C过点D且与MN相切，分
别过M、N作圆C的另两条切线交于点P．

（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）过点M作直线l与所求轨 迹交于两个不同的点A、B，若（
且λ∈[2﹣，2+]，求直线l与直线MN夹角θ的取值范围．
+λ）?（﹣λ）=0，

第54页（共122页）

【分析】（Ⅰ）以直线MN为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标 系xOy．由题意
知点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线（不包含顶点），其轨迹方程为
（y≠0）．

（Ⅱ）由题设条件知=±λ，设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），则=（x
1
+2，y
1
），=（x
2
+2，
y
2
）设AB：my=x+ 2，代入得，（3m
2
﹣1）y
2
﹣12my+9=0．所以．由
此 入手能够求出直线l与直线MN夹角θ的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）以直线MN为x轴，MN的中点为坐标原点O，

建立直角坐标系xOy． （1分）

∵PM﹣PN=（PE+EM）﹣（PF+FN）=MD﹣ND=2

或PM﹣PN=（PE+EM）﹣（PF+FN）=MD﹣ND=﹣2 （3分）

∴点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线（不包含顶点），

其轨迹方程为
（Ⅱ）∵（
∴=±λ
+λ
（y≠0） （5分）

）?（﹣λ）=0，且λ∈[2﹣，2+]，

，（6分）

=（x
1
+2，y
1
），=（x2
+2，y
2
）

设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），则
设AB：my=x+2，代入< br>即（3m
2
﹣1）y
2
﹣12my+9=0．

得，3（my﹣2）
2
﹣y
2
﹣3=0，

∴（7分）

①当=λ时，y
1
=λy
2
，∴（8 分）得，，（9
第55页（共122页）

分）

∴∈[4，6]，即4≤≤6．

∴解得，m
2
≥3，故tan
2
θ≤（10分）

②当=﹣λ时y
1
=﹣λy
2
，∴（11分）得，，
即
∵λ ∈[2﹣
∴
，2+
．

]，∈[2，4]

≤0．

∈[﹣2，0]，即﹣2≤
∴即，故tan
2
θ≥11． （13分）

由①、②得tan
2
θ≤或tan
2
θ≥11．

则夹角θ∈（0，]∪arctan，），（14分）

时，符合题意．

∵tanθ不存在时，直线l符合条件，故θ=
∴θ∈（0，]∪[arctan，）． （15分）

【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．



25．在等差数列{a
n
}中，a
4
S
4
=﹣14，S
5
﹣a
5
=﹣14，其中S
n
是数列{a< br>n
}的前n项之和，曲线C
n
的方程是+=1，直线l的方程是y=x+3．< br>
（1）求数列{a
n
}的通项公式；

（2）判断C
n
与l的位置关系；

（3）当直线l与曲线C
n
相交于不同的两点A
n
，B
n
时，令M
n
=（ |a
n
|+4）|A
n
B
n
|，求M
n
的 最
第56页（共122页）

小值．

（4）对于直线l和直线外的一点P，用“l上的点与点P距离的最小值”定义点P到直线l的距
离与原 有的点到直线距离的概念是等价的．若曲线C
n
与直线l不相交，试以类似的方式给出
一条曲线C
n
与直线l间“距离”的定义，并依照给出的定义，在C
n
中自行 选定一个椭圆，求出
该椭圆与直线l的“距离”．

【分析】（1）利用等差数列{a
n
}中，a
4
S
4
=﹣14，S
5
﹣a< br>5
=﹣14，可求首项与公差，从而可求求
数列{a
n
}的通项公式；

（2）将曲线C
n
与l的方程联立，利用判别式可求解；

（3）利用（2）的结论，表达出M
n
=（|a
n
|+4）|A
n
B
n
|，再求M
n
的最小值；

（4）根据条件可 类比得：若曲线C
n
与直线l不相交，曲线C
n
与直线l间“距离”是：曲线 C
n
上的点到直线l距离的最小值．

由（2）知n=5时，曲线C
5
为圆，n=3，4时，曲线C
n
为椭圆．以椭圆为例，利用参数法可解．

【解答】解：（1）∵S
5
﹣a
5
=﹣14，∴S
4
=﹣14，

又∵a
4
S
4
=﹣14，∴a
4
=1，

∵S
4
=﹣14=
∴a
1
=﹣8，
∴a
n
=3n﹣11．

（2），

，

，
< br>由题意，知△=16（|a
n
|
2
﹣5|a
n
|）＞ 0，即|a
n
|＞5，

∴3n﹣11＞5或3n﹣11＜﹣5，即或n＜2，

即n≥6或n=1时，直线l与曲线C
n
相交于不同的两点．

（3 ）由（2）当n≥6或n=1时，直线l与曲线C
n
相交于不同的两点．M
n
=（|a
n
|+4）
?|A
n
B
n
|==
，

∴n=6时，M
n
的最小值为

．

第57页（共122页）

（4）若曲线C
n
与直 线l不相交，曲线C
n
与直线l间“距离”是：曲线C
n
上的点到直线l距离 的
最小值．

曲线C
n
与直线l不相交时，△=16（|a
n
|
2
﹣5|a
n
|）＜0，即0＜|a
n
|＜5 ，即|3n﹣11|＜5，

∴n=3，4，5，

∵n=5时，曲线C
5
为圆，

∴n=3，4时，曲线C
n
为椭圆．

选n=3，椭圆为，设椭圆上任一点M，它到直线l的距离：
，

∴椭圆C
3
到直线l的距离为． （椭圆C
4
到直线l的距离为）

【点评】本题以数列为载体，考查直线与圆 锥曲线的位置关系，关键是利用直线与圆锥曲线
联立，借助于判别式进行解决．



26．设椭圆的左、右焦点分别为F
1
、F
2
，A是椭圆 C上的一点，且
，坐标原点O到直线AF
1
的距离为
（I）求椭圆C的方程；

（II）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点P（﹣1，0），交y轴于点M， 若
求直线l的方程．

【分析】（I）由题意可得出
，从而可得出点A的坐标
，再由得出
，
．

，由此可得出AF
1
所在直线方 程为
．建立方程，即可解出a，再由坐标原点O到直线AF
1
的距离为
的值， 由此得椭圆的方程；

（II）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x+1 ），求出点M的坐标，设出Q
的坐标，代入向量得到关于两点M与Q的坐标的方程，解出点Q的坐标来， 再由点
Q在椭圆上，代入椭圆的方程即可得到直线的斜率k所满足的方程，解出k的值，即可得直
第58页（共122页）

线l的方程

【解答】解：（I）由题设知
由于，则有，

，

，…（3分）


所以点A的坐标为
故AF
1
所在 直线方程为
所以坐标原点O到直线AF
1
的距离为，

又
解得
，所以
，

，

所求椭圆的方程为．…（5分）

（II）由题意知直线l的斜率存在，

设直线l的方程为y=k（x+1），则有M（0，k），

设Q（x
1
，y
1
），由于，

∴（x
1
，y
1
﹣k）=2（﹣1﹣x
1
，﹣y
1
），
解得…（8分）

又Q在椭圆C上，得
解得k=±4，…（10分）

，

故直线l的方程为y=4（x+1）或y=﹣4（x+1），

即4x﹣y+4=0或4x+y+4=0． …（12分）

【点评】本题考查直线 与圆锥曲线的综合问题，考查了转化的思想与方程的思想，判断推理
的能力及综合利用直线与椭圆的有关 知识解题，正确解答本题的关键是准确理解题意建立所
引入的参数的方程求出参数的值，本部分题符号运 算多，计算量大，要认真严谨计算



27．在平面直角坐标系xoy中， 已知三点A（﹣1，0），B（1，0），C（﹣1，），以A、B为
第59页（共122页）

焦点的椭圆经过点C．

（I）求椭圆的方程；

（II）设点D（0，1），是否存在不平行于x轴的直线l 与椭圆交于不同两点M、N，使
？若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由；

（III）若对于y轴上的点P（0，n）（n≠0），存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同 两点
M、N，使，试求n的取值范围．

，据A（﹣1，0），B（1，0），C（﹣ 1，）【分析】（I）设椭圆方程为
知，，由此可求出椭圆方程．

（II）?，若存 在符合条件的直线，该直线的斜率一定存在，否则
与点D（0，1）不在x轴上矛盾．

可设直线l：y=kx+m（k≠0），由得（3+4k
2
）x
2
+8km x+4m
2
﹣12=0，然后利用根的
判别式和根与系数的关系进行求解．

（III）由题设条件可推出，即，由4k
2
+3＞m
2
得4k2
+3＞n
2
（3+4k
2
）
2
，
即 ，要使k存在，只需，由此可推导出n的取值范围．

，据A（﹣1，0），B（1，0），C （﹣1，）【解答】解：（I）设椭圆方程为
知，解得

∴所求椭圆方程为（4分）

第60页（共122页）

（II）∵条件等价于

∴若存在符合条件的直线，该直线的斜率一定存在，否则与点D（0，1）不在x轴上矛盾．

∴可设直线l：y=kx+m（k≠0）

由

得（3+4k
2
）x
2
+8kmx+4m
2
﹣12=0

由△ =64k
2
m
2
﹣4（3+4k
2
）（4m
2﹣12）＞0得4k
2
+3＞m
2
．（6分）

设M（ x
1
，y
1
），N（x
2
，y
2
），MN 的中点为Q（x
0
，y
0
）

则．

又∵∴

解得：m=﹣3﹣4k
2
．（8分）

（将点的坐标代入亦可得到此结果）

由4k
2
+3＞m
2
得，4k
2
+3＞（3+4k
2
）
2
得，4k2
＜﹣2，这是不可能的．

故满足条件的直线不存在．（10分）

（III）据（II）有，即，

解得，m=﹣n（3+4k
2
），

由4k
2
+3 ＞m
2
得4k
2
+3＞n
2
（3+4k
2
）
2
，即
∴n的取值范围是（14分）

，要使k存在，只需

【点评】本题综合考查直线和椭圆的位置关系和椭圆性质的运用 ，解题时要认真审题，仔细
解答，恰当地选取公式．



28．如 图，设抛物线y
2
=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，且
第61页（共122页）

A、B两点坐标为（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
），y
1< br>＞0，y
2
＜0，P是此抛物线的准线上的一点，O是坐
标原点．

（Ⅰ）求证：y
1
y
2
=﹣p
2
；
（Ⅱ）直线PA、PF、PB的方向向量为（1，a）、（1，b）、（1，c），求证：实数a、b、c成 等
差数列；

（Ⅲ）若．


【分析】（I）（1）当直线 AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为：
p
2
（1分）

，由此 可知y
1
y
2
=﹣
（2）当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线 AB方程为：，则由
所以y
1
y
2
=﹣p
2
（3分 ）

（Ⅱ）由已知a=k
PA
，b=k
PF
，c=k
PB
，设，所以
．由此入手可知a、b、c成等差数列．

（Ⅲ）由题意知 a?c=﹣1，a﹣b=b﹣c．再由k
AB
的取值范围分别进行讨论，可以推导出θ=|α< br>﹣β|．

【解答】证明：（I）（1）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程 为：
则，∴y
1
y
2
=﹣p
2
（1分）

，

，

（2）当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB方程为：
第62页（共122页）

则由∴y
1
y
2
=﹣p
2
（3分）
（Ⅱ）由已知a=k
PA
，b=k
PF
，c=k
PB
，

设∴

故

=

=

=
=


∴a、b、c成等差数列（8分）

（Ⅲ）∵

∴PA⊥PB，故a?c=﹣1

由（Ⅱ）可知a+c=2b，即a﹣b=b﹣c

①若AB⊥x轴，则α=β=45°，θ=0°∴θ=α﹣β

②若k
AB
＞0，则
同理可得tanβ=α

∴
即|tan（α﹣β）|=|b|=tanθ

易知∠PFO，∠BPF，∠APF都是锐角∴θ=|α﹣β|

③若k
AB
＜0，类似的也可证明θ=|α﹣β|

总上所述，θ=|α﹣β|（14分）

【点评】本题考查圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，结合图形效果会更好．

第63页（共122页）

29．已知抛物线y
2
=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐 标为4、且位于x轴上方的点，
A到抛物线准线的距离等于5．

（1）求抛物线方程；

（2）过焦点F作倾斜角为45°的直线，交抛物线于A，B两点，求 A B的中点C到抛物线准
线的距离．

【分析】（1）抛物线，由此能求出抛物线方程．

得x
2
﹣6x+ 1=0．由此能求（2）由点F的坐标是（1，0），知AB的方程为y=x﹣1，由
出AB的中点C到 抛物线准线的距离．

【解答】解：（1）抛物线
∴p=2．

∴抛物线方程为y
2
=4x．…（4分）

（2）∵点F的坐标是（1，0），

所以AB的方程为y=x﹣1，…（6分）

由消y得x
2
﹣6x+1=0…（8分）

，

设 A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），

则x
1
+x
2
=6，

所以C点的横坐标为x
C
=3…（10分）

所以AB的中点C到抛物线准线的距离为x
C
+1=4．…（12分）
【点评】本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线
的简单性 质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与
转化思想．



30．已知点A（x
1
，y
1
），B（x2
，y
2
）（x
1
x
2
≠0）是抛物线y2
=2px（p＞0）上的两个动点，O是
坐标原点，向量
y=0．

（1）证明线段AB是圆C的直径；

第64页（共122页）

，满足，设圆C的方程为x
2
+y
2
﹣（x
1
+x
2
）x﹣（y
1
+y
2
）

（2）当圆C的圆心到直线x﹣2y=0的距离的最小值为时，求p的值．

【分析】 （1）根据两个向量模长之间的关系，两边平方，移项合并得到数量积为零，用坐标
表示出来，根据点是 圆上的点，得到线段垂直，从而数量积为零，把两个式子进行比较，整
理得到结果．

（2）根据两个点是抛物线上的点，把点的坐标代入抛物线方程，整理变化得到圆心的轨迹方
程，表示出 圆心到直线的距离，根据二次函数的最值得到结果，本题考查运算能力．

【解答】解：（1）∵向量
∴
即
整理得

，

满足，

=
=

∵点A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
）

∴=（x
1
，y
1
），=（x
2
，y
2
）

∴x
1
x
2
+y
1
y
2
=0①

设点M（x，y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，

则

即 （x﹣x
1
）（x﹣x
2
）+（y﹣y
1
）（y﹣y
2
）=0

展开上式并将 ①代入得x
2
+y
2
﹣（x
1
+x
2
）x﹣（y
1
+y
2
）y =0

故线段AB是圆C的直径．

（Ⅱ）设圆C的圆心为C（x，y），

则x=，y=

∵y
1
2
=2px
1
，y
2
2
=2px
2< br>（p＞0），

∴x
1
x
2
=

又 ∵x
1
x
2
+y
1
y
2
=0

∴x
1
x
2
=﹣y
1
y
2

∴﹣y
1
y
2
=

第65页（共122页）

∴y
1
y
2
=﹣4p
2

∴x=
=
=（y
1
2
+y
2
2
）

< br>（y
1
2
+y
2
2
+2y
1
y2
）﹣
=（y
2
+2p
2
）

∴圆心的轨迹方程为：y
2
=px﹣2p
2

设圆心C到直线x﹣2y=0的距离为d，则

d=

=
=


当y=p时，d有最小值
由题设得
∴p=2

=

，

【点评】本小题主要考查平面向量的基本运算，圆与抛物线的方程，点到直线的距 离等基础
知识，以及综合运用解析几何知识解决问题的能力．本题是一个综合题，考查的知识点比较多，是一个难题．



31．双曲线C与椭圆
（1）求双曲线C的方程；

（2）过点P（0，4） 的直线l，交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不
重合），当，且时，求Q点的坐 标．

为C的一条渐近线，
有相同的焦点，直线为C的一条渐近线．

【分析】（1）先求出椭圆的焦点找到双曲线中的c，再利用直线
求出a和b的关系进而求出双曲线C 的方程；

（2）先把直线l的方程以及A、B两点的坐标设出来，利用，找到λ
1< br>和λ
2
与A、B两点的坐标和直线l的斜率的关系，再利用A、B两点是直线和双曲线的 交点以及
第66页（共122页）

，求出直线l的斜率k进而求出Q点的坐标．

【解答】解：（Ⅰ）设双曲线方程为

由椭圆

求得两焦点为（﹣2，0），（2，0），

∴对于双曲线C：c=2，又
∴ 解得a
2
=1，b
2
=3，


为双曲线C的一条渐近线

∴双曲线C的方程为
（Ⅱ）由题意知直线l得斜率 k存在且不等于零，设l的方程：y=kx+4，A（x
1
，y
1
），B（x
2
，
y
2
）

则
∵
∴

，

．

∴

同理λ
2
=﹣
所以
，

．

即2 k
2
x
1
x
2
+5k（x
1
+x
2
）+8=0．（*）

又y=kx+4以及


消去y得（3﹣k
2
）x
2
﹣8kx﹣19=0．

当3﹣k
2
=0时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，3﹣k
2
≠0．

由韦达定理有：


第67页（共122页）

代入（*）式得k
2
=4，k=±2

∴所求Q点的坐标为（±2，0）．


【点评】本题综合考查了直线与双曲 线的位置关系以及向量共线问题．在对圆锥曲线问题的
考查上，一般都是出中等难度和高等难度的题．直 线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇
了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还 涉及到函数，方程，不等式，
平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想 ，分类讨论的思
想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点．



32．已知椭圆C
1
：
椭圆C
1
的右焦点．
（Ⅰ）当AB⊥x轴时，求m、p的值，并判断抛物线C
2
的焦点是否在直线AB上；
（Ⅱ）是否存在m、p的值，使抛物线C
2
的焦点恰在直线AB上？若存在，求 出符合条件的
m、p的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（Ⅰ）由题意知当AB ⊥x轴时，直线AB的方程为：x=1，从而点A的坐标为（1，）
或（1，﹣）．因为点A在抛物线上 ．

所以，即．此时C
2
的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上．
，抛物线C
2
：（y﹣m）
2
=2px（p＞0），且C
1、C
2
的公共弦AB过
（II）解法一：假设存在m、p的值使C
2的焦点恰在直线AB上，由（I）知直线AB的斜率存
在，故可设直线AB的方程为y=k（x﹣1 ）．由消去y得（3+4k
2
）x
2
﹣8k
2
x+4k2
﹣12=0．设
A、B的坐标分别为（x
1
，y
1
） ，（x
2
，y
2
），由根与系数的关系可推导出求出符合条件的m、p
第68页（共122页）

的值．

解法二： 设A、B的坐标分别为（x
1
，y
1
），（x
2
y
2
）．因为AB既过C
1
的右焦点F（1，0），又过
C
2
的焦点
率
p的值．

【解答】解：（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴 对称，所以m=0，直线AB的方程为：

x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，﹣）．

因为点A在抛物线上．

所以，即．

，0），该焦点不在直线AB上．

，所以． 由（Ⅰ ）知x
1
≠x
2
，p≠2，于是直线AB的斜
．由此入手可求出符合 条件的m、．且直线AB的方程是
此时C
2
的焦点坐标为（
（II）解法一： 假设存在m、p的值使C
2
的焦点恰在直线AB上，由（I）知直线AB

的斜率存在，故可设直线AB的方程为y=k（x﹣1）．

由消去y得（3+4k< br>2
）x
2
﹣8k
2
x+4k
2
﹣12=0①

设A、B的坐标分别为（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
），

则x
1
，x
2
是方 程①的两根，x
1
+x
2
=．

由

消去y得（kx﹣k﹣m）
2
=2px．②

因为C
2的焦点
所以
即
，即
在直线y=k（x﹣1）上，

．代入②有
．③

．

由于x
1
，x
2
也是方程③的两根，

所以x
1
+x
2
=．

第69页（共122页）

从而=．

解得=4 ④

又AB过C
1
…C
2
的焦点，

所以
则．⑤

，

由④、⑤式得
解得k
2
=6．于是
因为C
2
的焦点
所以
∴或
．

．

．

在直线
，即k
4
﹣5k
2
﹣6=0．

上，

由上知，满足条件的m、p存在，且或，．

解法二：设A、 B的坐标分别为（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2< br>）．

因为AB既过C
1
的右焦点F（1，0），又过C
2< br>的焦点
所以
即． ①

，②

，

．

由（Ⅰ）知x
1
≠x
2
，p≠2，于是直线A B的斜率
且直线AB的方程是
所以
又因为，

，

．③

所以

．④

第70页（共122页）

将①、②、③代入④得
因为，

．⑤
< br>所以
将②、③代入⑥得
由⑤、⑦得
即3p
2
+20p﹣32= 0

解得
将
∴
代入⑤得
或．

．⑥

．⑦

=．

．

，

由上知，满足条件的m、p存在，

且或，


【点评】本题考查直线和圆锥轴线的位置关系和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，
注意 公式的灵活运用．



33．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点 分别为F
1
，F
2
，点P在此椭圆上，且PF
1
⊥
．

F
1
F
2
，|PF
1
|=，|PF< br>2
|=
（1）求椭圆的方程；

（2）若直线l过圆x
2+y
2
+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，
求直线l的方程．

第71页（共122页）

【分析】解：（Ⅰ）由题意可知2a=|PF
1
|+|PF
2
|=6，a= 3，
由此可求出椭圆C的方程．

，
（Ⅱ）解法一：设A，B的坐标分别为（ x
1
，y
1
）、（x
2
，y
2
）．设直线 l的方程为y=k（x+2）+1，
代入椭圆C的方程得（4+9k
2
）x
2
+（36k
2
+18k）x+36k
2
+36k﹣27=0．因为A ，B关于点M对称．所
以．解得，由此可求出直线l的方程．

（Ⅱ）解法二：设A， B的坐标分别为（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2< br>）．由题意x
1
≠x
2
且，
①，②

由①﹣ ②得．③因为A、B关于点M对称，所以
x
1
+x
2
=﹣4，y1
+y
2
=2，代入③得直线l的斜率为，由此可求出直线l的方程．

【解答】解：（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF
1
|+|PF
2
|=6，a=3．

在Rt△PF
1
F
2
中，故椭圆的半焦距c=
从而b
2
=a
2
﹣c
2
= 4，

所以椭圆C的方程为
（Ⅱ）解法一：

设A，B的坐标分别为 （x
1
，y
1
）、（x
2
，y
2
）．
已知圆的方程为（x+2）
2
+（y﹣1）
2
=5，

所以圆心M的坐标为（﹣2，1）．

从而可设直线l的方程为

y=k（x+2）+1，

代入椭圆C的方程得

（4+9k
2
）x
2
+（36k
2
+18k）x+36k
2
+36k﹣27=0．

因为A，B关于点M对称．

=1．

，

，

第72页（共122页）

所以
解得，

．

所以直线l的方程为
即8x﹣9y+25=0．

，

（经检验，所求直线方程符合题意）

（Ⅱ）解法二：

已知圆的方程为（x+2）
2
+（y﹣1）
2
=5，

所以圆心M的坐标为（﹣2，1）．

设A，B的坐标分别为（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
）．

由题意x
1
≠x
2
且，①，②

由①﹣②得
因为A、B关于点M对称，

所以x
1
+x2
=﹣4，y
1
+y
2
=2，

代入③得=，

．③

即直线l的斜率为，

所以直线l的方程为y﹣1=（x+2），

即8x﹣9y+25=0．

（经检验，所求直线方程符合题意．）

【点评】本题综合考查直线和圆、椭圆的位置 关系，解题时要认真审题，仔细解题，避免错
误．



34．已知 一列椭圆．n=1，2…．若椭圆C
n
上有一点P
n
，使P
n
到右
准线l
n
的距离d
n
是{p
n
F
n
}与{P
n
G
n
}的等差中项，其中F
n
、Gn
分别是C
n
的左、右焦点．

第73页（共122页）

（I）试证：
（II）取
（n≥1）；

，并用S
n
表示△P
n
F
n
G
n
的面积，试证：S
1
＜S
2
且S
n
＞S
n
+
1
（n≥3）．


【分析】（I）由题设及椭圆的几何性质有2 d
n
={P
n
F
n
}+{P
n
G
n
}=2，故d
n
=4．设
右准线方程为

，则
． 由题设条件能推出．即．从而证出对任意
（II）设点P的坐标为（x
n
，y
n
），由题设条件能够推出{F
n
G
n
}=2G
n
，△P
n
F
n
G
n
的面积为S
n
=Gn
{y
4
}，
由此入手能够证出S
1
＜S
2< br>，且S
n
＞S
n
+
1
（n≥3）．

【解答】证明：（I）由题设及椭圆的几何性质有：

2d
n
={P
n
F
n
}+{P
n
G
n
}=2，故dn
=1．

设，则右准线方程为x=．

．

因此，由题意d
n
应满足
即，解之得：．

即

．从而对任意．

（II）设点P的坐标为（x
n
，y
n
），则由

d
n
=1及椭圆方程易知
=．因{F
n
G
n
}=2 G
n
，

故△P
n
F
n
G
n的面积为S
n
=G
n
{y
4
}，

从而

．

第74页（共122页）

< br>令f（c）=﹣2c
3
+c
2
+2c﹣1．由f′（c）=﹣6c2
+2c+2=0．

得两根
而在
现在由题设取
则又易知
．从而易知函数f（c）在
内是减函数．

，

是增数列．

．

内是增函数．

故由前已证，知 S
1
＜S
2
，且S
n
＞S
n
+
1
（n≥3）

【点评】本题综合考查椭圆、数列和不等式的知识，难度较大，解题时要 综合考虑，恰当地
选取公式．



35．如图，以椭圆的中心O为 圆心，分别以a和b为半径作大圆和小圆．过
椭圆右焦点F（c，0）（c＞b）作垂直于x轴的直线交 大圆于第一象限内的点A．连接OA交小
圆于点B．设直线BF是小圆的切线．

（1）求证c
2
=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；

（2）设直线BF交椭圆于P、Q两点，求证?=b
2
．


【分析】（1）直接利用Rt△OFA∽Rt△OBF，找到对应边的比值相等即可证明c
2
=ab，再求出
直线OA的斜率，利用OA与直线BF垂直可得直线BF的斜率，进而求出直线BF的方 程以及
BF与y轴的交点M的坐标；

（2）先把直线BF的方程与椭圆方程联立，求 出关于P、Q两点的坐标以及直线BF的斜率之
间的等量关系，代入?整理可得结论．（注意整理过程中 要细心）

【解答】解：（1）由题设条件知，Rt△OFA∽Rt△OBF，

第75页（共122页）

故，即，因此c
2
=ab．①（2分）

==b

=﹣．

在Rt△OFA中，FA=
于是，直线OA的斜K
OA=．设直线BF的斜率为k，k=﹣
所以直线BF的方程为：
直线BF与y轴的交点为（2）由（1），得直线BF得方程为y=kx+a，
（5分）

．（6分）

②

由已知，P（x
1
，y
1
），Q（x
2
，y
2
），则它们的坐标满足方程
由方程组 ③消y，并整理得（b
2
+a
2
k
2
）x
2
+2a
3
x
2
+2a
3
kx+a
4
﹣a
2
b
2
=0，④

由式①、②和④，.
③



综上，得到
又因a
2
﹣ab+b
2
= a
2
﹣c
2
+b
2
=2b
2
，得

?====
，（12分）

=a（a﹣b）

第76页（共122页）

═b
2
．（15分）

【点评】本题是对椭圆与圆以及直线与椭圆位 置关系的综合考查．这一类型题目，思路比较
清晰，就是整理过程要求比较高，所以在做题时，一定要认 真，细致．



36．如图，椭圆Q：（a＞b＞0）的右焦点F（c，0 ），过点F的一动直线m绕点F
转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点．

（1）求点P的轨迹H的方程．

（2）在Q的方程中，令a
2
=1 +cosq+sinq，b
2
=sinq（0＜q≤），确定q的值，使原点距椭圆
的 右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形
ABD的面积最 大？


【分析】（1）设出椭圆的标准方程和A，B的坐标进而把A，B代入到椭圆 方程联立，先看当
当AB不垂直x轴时，方程组中两式相减，进而求得x和y的关系及P的轨迹方程；再 看AB
垂直于x轴时，点P即为点F，满足刚才所求的方程，最后综合可得答案．

（ 2）先根据椭圆方程求得其右准线方程，求得原点到右准线的距离，根据c
2
=a
2< br>﹣b
2
，求得
=2sin（+
当q=
Q：
），进而可 知

时，上式达到最大值．此时a，b和c可求得，则可求得此时的椭圆的方程，设椭圆
上的点A（x
1
，y
1
）、B（x
2
，y
2），则可表示出三角形的面积，把直线m的方程
代入椭圆方程，消去x，根据韦达定理由韦达定理得 y
1
+y
2
和y
1
y
2
的表达式，进而求 得三角形
面积的表达式，令t=k
2
+1，进而求得S关于t的函数，根据t的范围确 定三角形面积S的最大
值．

第77页（共122页）

【解答】解：如图，（1）设椭圆Q：（a＞b＞0）

上 的点A（x
1
，y
1
）、B（x
2
，y
2
），又设P点坐标为P（x，y），

则

1°当AB不垂直x轴时，x
1
?x
2
，

由（1）﹣（2）得

b
2
（x
1
﹣x
2
）2x+a
2
（y
1
﹣y
2
）2y=0

∴

∴b
2
x
2
+a
2
y
2
﹣b
2
cx=0（3）

2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）

故所求点P的轨迹方程为 ：b
2
x
2
+a
2
y
2
﹣b
2< br>cx=0

（2）因为，椭圆Q右准线l方程是x=，原点距l的距离为
）

，

由于c
2
=a
2
﹣b
2
，a
2
= 1+cosq+sinq，b
2
=sinq（0＜q≤
则
当q=
== 2sin（+
时，上式达到最大值．

）

此时a
2
=2，b
2
=1，c=1，D（2，0），|DF|=1

设椭圆Q：上的 点A（x
1
，y
1
）、B（x
2
，y
2
） ，三角形ABD的面积

S=|y
1
|+|y
2
|=|y< br>1
﹣y
2
|

设直线m的方程为x=ky+1，代入
由韦达定理得y
1
+y
2
=，y
1
y
2
=
中，得（2+k
2
）y
2
+2ky﹣1=0

，


4S
2
=（y
1
﹣y
2< br>）
2
=（y
1
+y
2
）
2
﹣4y< br>1
y
2
=
令t=k
2
+1
3
1，< br>
得4S
2
=，

第78页（共122页）

当t=1，k=0时取等号．

因此，当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大．


【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了考生运用数学知识分析问题和
解决问题的能 力．



37．如图，椭圆=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0 ，1）的直线有且只有一个公共
．

点T，且椭圆的离心率e=
（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）设F
1、F
2
分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF
2
的中点，求证：∠AT M=∠AF
1
T．


【分析】（I）过点A、B的直线方程为．， 因为
，有惟一解，所以△=a
2
b
2
（a
2
+4b
2
﹣4）=0（ab≠0），故a
2
+4b
2
﹣4=0．由 题意知
故所求的椭圆方程为
（II）由（I）得，故
．

，从而
．由此可推出∠ATM=∠AF
1
T．

．

．，由
，解得x
1
=x
2
=1，所以
【解答】解： （I）过点A、B的直线方程为
第79页（共122页）

，

因为由题意得有惟一解，

即有惟一解，

所 以△=a
2
b
2
（a
2
+4b
2
﹣4）= 0（ab≠0），

故a
2
+4b
2
﹣4=0．

又因为，即，

所以a
2
=4b
2
．

从而得，

故所求的椭圆方程为．

（II）由（I）得，

故，

从而．

，

由

解得x
1
=x
2
=1，

所以．

因为，

又，，

得=，

因此∠ATM=∠AF
1
T．

【点评】本题主要考查直线与椭圆的 位置关系、椭圆的几何性质，同时考查解析几何的基本
思想方法和综合解题能力．



第80页（共122页）

38．已知在平面 直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为
顶点为D（2，0），设点
（1） 求该椭圆的标准方程；

（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；

（3）过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值．

．

，右

【分析】（1）由“左焦点为，右顶点为D（2，0）”得到椭圆的半长轴a， 半焦距c，
再求得半短轴b最后由椭圆的焦点在x轴上求得方程．

（2）设线段PA 的中点为M（x，y），点P的坐标是（x
0
，y
0
），由中点坐标公式，分 别求得
x
0
，y
0
，代入椭圆方程，可求得线段PA中点M的轨迹方 程．

（3）分直线BC垂直于x轴时和直线BC不垂直于x轴两种情况分析，求得弦长|BC |，原点到
直线的距离建立三角形面积模型，再用基本不等式求其最值．

【解答】解 ：（1）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距c=
又椭圆的焦点在x轴上，

∴椭圆的标准方程为

，则半短轴b=1．

（2）设线段PA的中 点为M（x，y），点P的坐标是（x
0
，y
0
），

由得

由，点P在椭圆上，得
∴线段PA中点M的轨迹方程是
（3） 当直线BC垂直于x轴时，BC=2，

因此△ABC的面积S
△
ABC
=1．

，

．

当直线BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx，代入
第81页（共122页）

，

解得B（，），C（﹣，﹣），

则，又点A到直线BC的距离d=

，

∴△ABC的面积S
△
ABC
=
于是S
△
ABC
=
由≥﹣1，得S< br>△
ABC
≤
．


，其中，当k=﹣时，等号成立．

∴S
△
ABC
的最大值 是
【点评】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，还考查了三角形面积模型
的 建立和解模型的能力．



39．椭圆的中心是原点O，短轴长为
轴交于点A，且点F分
（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若PF⊥QF，求直线PQ的方程；

（Ⅲ）设（λ＞1），点Q关于x轴的对称点为Q′，求证：
，
．

，左焦点为F（﹣c，0）（c＞0），相应的准线l与x
的比为3，过点A的直线与椭圆相交于P、Q 两点．

【分析】（I）由题意可得2b=2结合a
2
=b
2
+c
2
可求a，b，c，进而求椭圆的方程

（II）可先设PQ：y=k （x+4），P（x
1
，y
1
），Q（x
2
，y
2
），F（﹣1，0）由PF⊥QF可得（x
1
+1）
（x
2
+1）+y
1
y
2
=0

故需要联立方程，可得（3+4k
2
）x
2
+32k
2
x+64k
2
﹣12 =0，进而可得x
1
x
2
=，
x
1
+x
2
=
（III）要证
可

，代入可求

，只要证明P 、F、Q三点共线且点F在线段PQ′上，与反向即
【解答】解：（I）由题意可得2b=2，

第82页（共122页）

∵a
2
=b
2
+c
2
∴
∴椭圆的方程为


（II） 设PQ：y=k（x+4），P（x
1
，y
1
），Q（x
2
，y
2
），F（﹣1，0）

∵PF⊥QF∴（x
1
+1） （x
2
+1）+y
1
y
2
=0∴（x
1
+ 1）（x
2
+1）+k
2
（x
1
+4）（x
2
+4）=0

∴（1+k
2< br>）x
1
x
2
+（1+4k
2
）（x
1
+x
2
）+（1+16k
2
）=0

联立，消去y得（3 +4k
2
）x
2
+32k
2
x+64k
2
﹣12=0

∴x
1
x
2
=，x
1
+x< br>2
=
．


代入化简得8k
2
=1∴k=±
∴直线PQ的方程为y=
（III）如图所示，
（x+4）或y=


（x+4）．

又|QN|=2|QF|，|PM|=2|PF|∴
又|FQ ′|=|FQ|∴
再∴


又∠PP
1
F=∠Q′Q
1
F=90°

∴P、F、Q三点共线且点F在线段PQ′上，
∴=．

与反向．


【点评】本题主要考查了椭圆的性质在椭圆的方程求解中的应用，直线与椭圆的位置关系的< br>第83页（共122页）

应用，属于综合性试题，考查了考试的逻辑推理与运算的能力



40．若F
1
F
2
为双曲线﹣=1的左右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左 支上，M在右准
线上，且满足=，=

（1）求此双曲线的离心率；

（2）若此双曲线过点N（2，），求双曲线方程；

（3）设（2）中双曲线的虚轴 端点为B
1
，B
2
（B
1
在y轴正半轴上），求B
2
作直线AB与双曲线
交于A B两点，求
【分析】（1）先由
PF
1
OM为菱形，所以就有
求出离心率e即可．

（2）由（1）求出的离心率e以及双曲线过点N（2，
程；

（3）先设出 直线AB的方程，再与双曲线方程联立，求出关于A，B两点坐标的方程，再利
用⊥?x
1x
2
+y
1
y
2
﹣3（y
1
+y2
）+9=0，就可求出对应的直线的斜率，进而求出直线AB的
），可以求出c，a进而 求出双曲线方
⊥时，直线AB的方程．

知四边形PF
1
OM为平行四边形，再利用

得
方程．

【解答】解：（1）由
又由
知四边形PF
1
OM为平行四边形，


知OP平分∠F
1
OM，∴PF
1
OM为菱形，

设半焦距为c，由
，∴
又，即
=c 知=c，

，


e
2
﹣e﹣2=0，∴e=2（e=﹣1舍去）（4分）

第84页（共122页）

（2）∵e=2=∴c=2a ，∴双曲线方程为
将点（2，
∴a
2
=3．

即所求双曲线方程为．（8分）

）代入，有，

，

（3）依题意得B
1
（0，3），B
2
（0，﹣3）
设直线AB的方程为y=kx﹣3，A（x
1
，y
1
）B（x
2
，y
2
）．

则由．

∵双曲线的渐近线为y=±
即k≠±∵x
1
+x
2
=﹣
x，∴k=±
，x1
?x
2
=
时，AB与双曲线只有一个交点，

．

y
1
+y
2
=k（x
1
+x
2
）﹣6=
又=（x
1
，y
1
﹣3），
， y
1
y
2
=k
2
x
1
x
2
﹣k（x
1
+x
2
）+9=9

=（x
2
，y
2
﹣3），

?x
1
x
2
+y
1
y
2
﹣3（y
1
+y
2
）+9=0，

∴，即k
2
=5∴k=±
x﹣3或y=﹣
．

x﹣3．（14分）

故所求直线AB的方程为y=
【点评】本题综合考查了 直线与椭圆的位置关系以及向量共线问题．直线与圆锥曲线的位置
关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线 两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到
函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有 效的考查函数与方程的思想，数形结合
的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容 也成了高考的热点和重点．



41．已知直线l
1
：a x﹣by+k=0；l
2
：kx﹣y﹣1=0，其中a是常数，a≠0．

（ 1）求直线l
1
和l
2
交点的轨迹，说明轨迹是什么曲线，若是二次曲线，试 求出焦点坐标和离
心率．

（2）当a＞0，y≥1时，轨迹上的点P（x，y）到点 A（0，b）距离的最小值是否存在？若存
在，求出这个最小值．

第85页（共122页）

【分析】（1）联立直线l< br>1
和l
2
的方程，消去参数即可得到交点的轨迹方程，根据a的取值a
＞0，﹣1＜a＜0，a=﹣1，a＜﹣1说明轨迹曲线，利用二次曲线判断形状，直接求出焦点坐
标和 离心率．

（2）通过a＞0，y≥1时，说明轨迹的图形，求出轨迹上的点P（x，y）到点 A（0，b）距离
的表达式，通过配方讨论b与
【解答】解：（1）由
消去k，得y< br>2
﹣ax
2
=1

①当a＞0时，轨迹是双曲线，焦点为②当﹣1＜a＜0时，轨迹是椭圆，焦点为
③当a=﹣1时，轨迹是圆，圆心为（0，0），半径为 1；

④当a＜﹣1时，轨迹是椭圆，焦点为，离心率


的大小，求出|PA|的最小值．

，离心率
，离心率
；

；

（2）当a＞0时，y≥1时，轨迹是双曲线y
2
﹣ax
2
=1的上半支．

∵|PA|
2
=x
2
+（y ﹣b）
2
=
=
①当b＞
②当 b≤


时，|PA|的最小值为
时，|PA|的最小值为|1﹣b|

；

【点评】本题考查知识点比较多，涉及参数方程，双曲线方程椭圆方程，圆的方程，两点的
距离 公式等等，涉及分类讨论思想二次函数的最值，是难度比较大，容易出错的题目，考试
常靠题型，多以压 轴题为主．



42．P，Q，M，N四点都在椭圆
线，与共线， 且
上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知与共
．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值 ．

【分析】由题设条件可知MN⊥PQ．设MN⊥y轴，则PQ⊥x轴，MN的方程为y=1 ，PQ的方
程为x=0，由题设条件能够推出四边形PMQN的面积为，|MN|?|PQ|=×
第86页（共122页）

×2=2．当

MN，PQ都 不与坐标轴垂直时，根据题设条件能够推导出，
|PQ|=，所以S
四边形
PMQN< br>=|MN|?|PQ|=
．

，由此入手结合题设条件
能够导出（S< br>四边形
PMQN
）
max
=2，（S
四边形
PMQN
）
min
=
【解答】解：∵．即MN⊥PQ．

当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时，另一条直线必垂直于y轴．

不妨设MN⊥y轴，则PQ⊥x轴，

∵F（0，1）

∴MN的方程为：y=1，PQ的方程为：x=0

分别代入椭圆中得：|MN|=
×2
，|PQ|=2
=2

．

S
四边形
PMQN
=|MN|?|PQ|=×
当MN，PQ都不与坐标轴垂直时，

设MN的方程为y=kx+1（k≠0），
< br>代入椭圆
∴x
1
+x
2
=
∴
中得：（k2
+2）x
2
+2kx﹣1=0，

，x
1
?x
2
=


同理可得：|PQ|=，

S
四边形
PMQN
=|MN|? |PQ|=
（当且仅当
又S
四边形
PMQN
=

=

即k=±1时，取等号）．

，∴此时S
四边形
PMQN
＜2．

第87页（共122页）

综上可知：（S
四边形
PMQN
）
max
=2，（S
四边形
PMQN
）
m in
=．


【点评】本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线与椭圆的位置 关系，解题昌要认真审题，
仔细解答，避免错误．



43．如图 ，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F
1
，F
2
在x轴上，长轴A
1
A
2
的长为4，左准线
l与x轴的交点为M，|MA
1
|： |A
1
F
1
|=2：1．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若点P在直线l上运动，求∠F
1
PF
2
的最大值、


【分析】（Ⅰ）设椭圆方程为，半焦距为c，由题意能够导出a=2，b=，
c=1 ，故椭圆方程为．

（Ⅱ）设P（﹣4，y
0
），y
0
≠0 设直线PF
1
的斜率k
1
=
∠F1PF为锐角．由此能导出∠F1
PF
2
的最大值为
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆方程为
，直线P F
2
的斜率k
2
=
．

，半焦距为c，

，由题设知
第88页（共122页）

则由题意，

得，∴a=2，b=，c=1，故椭圆方程为．

（Ⅱ ）设P（﹣4，y
0
），y
0
≠0设直线PF
1
的斜率k< br>1
=
∵
∴
当，即
，∴∠F1PF为锐角．

，直线PF
2
的斜率k
2
=，

．

时，tan∠F
1
PF
2
取到最大值，

．

此时∠F
1
PF
2
最大，故∠F
1< br>PF
2
的最大值为
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要认真 审题，仔细求解．



44．设A、B是椭圆3x
2
+y
2
=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平
分线与椭圆相 交于C、D两点．

（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程；

（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由．
【分析】（Ⅰ）解法一：设直线AB的方程为y=k（x﹣1）+3，代入3x
2
+y2
=λ，整理得：（k
2
+3）
x
2
﹣2k（k﹣3） x+（k﹣3）
2
﹣λ=0，然后结合题设条件由根与经数的关系和根的判别式能够求
出直线AB的方程．

解法二：设A（x
1
，y
1
），B（ x
2
，y
2
），则有?3 （x
1
﹣x
2
） （x
1
+x
2
）+（y
1
﹣y
2
）
=0．∴k
AB
=﹣
程．
．∵N（1，3）是AB的中点∴k
AB
=﹣1．由此能够求出直线AB的方< br>（Ⅱ）解法一：由题意知直线CD的方程为x﹣y+2=0代入椭圆方程，整理得4x
2
+4x+4﹣λ=0．由
弦长公式可得|CD|=?|x
3
﹣x
4
| =．将直线AB的方程x+y﹣4=0代入椭圆方
第89页（共122页）

程得4x
2
﹣8x+16﹣λ=0．同理可得|AB|=< br>的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上．

?|x
1
﹣x
2
|=．由此可以推出存在这样
解法二：由题高设条件可知λ＞12，直线CD的方程为y﹣ 3=x﹣1，代入椭圆方程，整理得
4x
2
+4x+4﹣λ=0．将直线AB的方程x +y﹣4=0代入椭圆方程整理得4x
2
﹣8x+16﹣λ=0，由此通
过计算知?= 0，∴A在以CD为直径的圆上．又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D
四点共圆．

【解答】解：（Ⅰ）解法一：依题意，可设直线AB的方程为y=k（x﹣1）+3，

代入3x
2
+y
2
=λ，整理得：（k
2
+3）x
2
﹣2k（k﹣3）x+（k﹣3）
2
﹣λ=0①

设A（x1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），则x
1
，x
2
是方程①的两个不同的根，

∴△=4[λ（k
2
+3）﹣3（k﹣3）
2
]＞0，②

且x
1
+x
2
=．由N（1，3）是线段AB的中点，得x
1
+x
2
=2，

∴k（k﹣3）=k
2
+3解得k=﹣1，代入②得λ＞12，

即λ的取值范围是（12，+∞）．

于是直线AB的方程为y﹣3=﹣（x﹣1），即x+y﹣4=0．

解法二：设A（ x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），则有
=0．

依题意，x
1
≠x
2
，∴k
AB
=﹣．

?3 （x
1
﹣x
2
） （x
1
+x
2< br>）+（y
1
﹣y
2
）
∵N（1，3）是AB的中点，∴x1
+x
2
=2，y
1
+y
2
=6，从而kAB
=﹣1．

又由N（1，3）在椭圆内，∴λ＞3×1
2
+ 3
2
=12，

∴λ的取值范围是（12，+∞）．

直线AB的方程为y﹣3=﹣（x﹣1），即x+y﹣4=0．

（Ⅱ）解法一：∵CD垂直平分AB，

∴直线CD的方程为y﹣3=x﹣1，即x﹣ y+2=0代入椭圆方程，整理得4x
2
+4x+4﹣λ=0．③

又设C（ x
3
，y
3
），D（x
4
，y
4
），CD 的中点为M（x
0
，y
0
），

则x
3
，x
4
是方程③的两根，

∴x
3
+x
4
=﹣1，且x
0
==﹣，y
0
=x
0
+2=，即M（，）

第90页（共122页）

于是由弦长公式可得|CD|=?|x
3
﹣x
4
|=．④

将直线AB的方程x+y﹣4=0代入椭圆方程得4x
2
﹣8x+16﹣λ=0．⑤< br>
同理可得|AB|=
∵当λ＞12时，
∴|AB|＜|CD|．

假设存在λ＞12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心．

点M到直线AB的距离为d===．⑦

=+==．

?|x
1
﹣x
2
|=
＞，

．⑥

于是，由④⑥⑦式及勾股定理可得|MA|
2
=|MB|
2
=d2
+
故当λ＞12时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，|
（注：上述解法中 最后一步可按如下解法获得：

|为半径的圆上．

A、B、C、D共圆?A CD为直角三角形，A为直角?|AN|
2
=|CN|?|DN|，

即=（||+d）（||﹣d）．⑧

，

+）（﹣）=﹣=．

由⑥式知，⑧式左边=
由④⑦知，⑧式右边=（
∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆．）

解法二：由（Ⅱ）解法一知λ＞12，

∵CD垂直平分AB，

∴ 直线CD的方程为y﹣3=x﹣1，代入椭圆方程，整理得4x
2
+4x+4﹣λ=0．③
将直线AB的方程x+y﹣4=0代入椭圆方程整理得4x
2
﹣8x+16﹣λ =0．⑤

解③和⑤式可得x
1
，
2
=
不妨设A（ 1+
C（
∴=（
=（，
，
，3﹣
），D（
，
，x
3
，
4
=
），

，
），

），

第91页（共122页）

，

）．

计算可得?=0，

∴A在以CD为直径的圆上．

又B为A关于CD的对称点，

∴A、B、C、D四点共圆．

【点评】本题综合考查直线和椭圆的位置关系，难度较 大，解题时要仔细审题，注意公式的
灵活运用．



45．已知椭 圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F
1
（﹣c，0）、F
2
（c， 0），Q是椭圆
|=2a．点P是线段F
1
Q与该椭圆的交点，点T在线段F
2
Q上，并且满足
|≠0．

|=a+x；

外的动点，满 足|
?=0，|
（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明|
（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；< br>
（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F
1
MF
2< br>的面积S=b
2
．若存在，求∠F
1
MF
2
的正切值 ；若不存在，请说明理由．


【分析】（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为（x，y），

由题设条件知|
由此能够推导出|

|=
|=a+x．

==，

证法二：设点P的坐标为（x，y）．记|
由r
1
+r
2
=2a，r
1
2
+r
2
2
=4cx ，能够推导出|
|=r
1
，||=r
2
，

|=r
1
=a+x．

证法三：设点P的坐标为（x，y）．椭圆的左准线方程为a+x=0，

第92页（共122页）

由椭圆第二定义得=，由此入手推导出||=a+x．


（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为（x，y）．当|
上．

当|
在△Q F
1
F
2
中，
|=0时，点（a，0）和点（﹣a，0）在轨迹时，由题设条件知T为线段F
2
Q的中点．

，由此求出点T的轨迹C的方程．

解法二：在推导出T为线段F
2
Q的中点的基础上，设点Q的坐标为（x'，y'），

由中点坐标公式和||=2a推导出点T的轨迹C的方程．

（Ⅲ）解法一：C上存在 点M（x
0
，y
0
）使S=b
2
的充要条件是
< br>由③得|y
0
|≤a，由④得|y
0
|≤．再分类讨论进行求解．
解法二：C上存在点M（x
0
，y
0
）使S=b
2< br>的充要条件是

由④得|y
0
|≤．上式代入③得x
0
2
=a
2
﹣=（a﹣）（a+）≥0．再分类讨论进行求解．

【解答】（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为（x，y）．

由P（x，y）在椭圆上，得||==
|=a+x

|=r
1
，||=r
2
，

=

由x≥a，知a+x≥﹣c+a＞0，所以|
证法二：设点P的坐标为（x，y）．记|
则r< br>1
=，r
2
=．

由r
1
+r
2< br>=2a，r
1
2
+r
2
2
=4cx，得||=r1
=a+x．

证法三：设点P的坐标为（x，y）．椭圆的左准线方程为a+x=0

第93页（共122页）

由椭圆第二定义得=，即||=|x+|=|a+x|．

由x≥﹣a，知a+x≥﹣ c+a＞0，所以|
（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为（x，y）．

当|
当|
又
在△QF
1
F
2
中，
|=a+x．

|=0时，点（a，0）和点（﹣a，0）在轨迹上．

时，由
，所以T为线段F
2
Q的中点．

，所以有x
2
+y
2
=a
2
．

，得．

综上所述，点T的轨迹C的方程是x
2
+y
2=a
2
．

解法二：设点T的坐标为（x，y）．当|
当|又，|
|≠0且|
|
|≠0，时，由?
|=0时，点（a，0）和点（﹣ a，0）在轨迹上．

=0，得⊥．

，所以T为线段F
2
Q的中点．

设点Q的坐标为（x'，y'），则

因此
由|
①

|=2a得（x'+c）
2
+y'
2
=4a
2
．②

将①代入②，可得x
2
+y
2
=a
2
．

综上所述，点T的轨迹C的方程是x
2
+y
2
=a
2
．

（Ⅲ）解法一：C上存在点M（x
0
，y
0
）使S= b
2
的充要条件是

由③得|y
0
|≤a，由④得|y0
|≤
当a＜
当a≥
由

．所以，当a≥时，存在点M，使S=b
2
；

时，不存在满足条件的点M．

时，=（﹣c﹣x
0
，﹣y
0
），
?
=（c﹣x
0
，﹣y
0
），

=||?||=cos∠F
1
MF
2
，

?=x< br>0
2
﹣c
2
+y
0
2
=a
2
﹣c
2
=b
2
，
第94页（共122页）

S=?sin∠F
1
MF
2
=b
2
，得tan∠F
1
MF
2
=2．

解法二：C上 存在点M（x
0
，y
0
）使S=b
2
的充要条件是


由④得|y
0
|=
于是，当a≥
当a＜
当a≥< br>．上式代入③得x
0
2
=a
2
﹣
时，存在点M，使S =b
2
；

=（a﹣）（a+）≥0

时，不存在满足条件的点M．

时，记k
1
=k
F1
M=，k
2
=k
F2
M=，

由|F
1
F
2
|＜2a，知∠F
1
MF
2
＜90°，所以tan∠F
1
MF
2
=||=2．


【点评】平时练习时多尝试一题多解，能够开拓我们的解题思路，从而提高解题能力．



46．已知方向向量为v=（1，）的直线l过点（0，﹣2）和椭圆C：+=1 （a＞b＞0）
的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点E（﹣2，0）的直线m交椭圆C于点 M、N，满足?=．cot∠
MON≠0（O为原点）．若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理 由．



第95页（共122页）

【 分析】（I）解法一：直线l：y=x﹣2，过原点垂直l的直线方程为y=﹣x，这两个方
=3．由程 联立可知x=．再由椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，可知
此可以求出椭圆 C的方程．

解法二：直线l：y=x﹣3．设原点关于直线l对称点为（p，q），则解得< br>p=3．由椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，知
出椭圆C的方程．< br>
=3．由此能够推
（II）解：设M（x
1
，y
1
），N（x
2
，y
2
）．当直线m不垂直x轴时，直线m：y=k（x+2） 代入+=1，
整理得（3k
2
+1）x
2
+12k
2
x+12k
2
﹣6=0，再由根与系数的关系和点到直线 的距离求解．

【解答】解：（I）解法一：直线l：y=
过原点垂直l的直线方程为y=﹣
解①②得x=．< br>
∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴=2×=3．

+=1
x﹣2，①

x，②

∵直线l过椭圆焦点，∴该焦 点坐标为（2，0）．∴c=2，a
2
=6，b
2
=2．故椭圆C的方程为< br>③

解法二：直线l：y=x﹣3．

设原点关于直线l对称点为（p，q），则解得p=3．

∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴=3．

+=1∵ 直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）．∴c=2，a
2
=6，b
2
=2．故椭圆C的方程为
③


（II）解：设M（x
1
， y
1
），N（x
2
，y
2
）．

第96页（共122页）

当直线m不垂直x轴时，直线m：y=k（x+2）代入③，

整理得（3k
2
+1）x
2
+12k
2
x+12k
2
﹣6=0，

∴x
1
+x
2
=﹣，x
1
?x
2
=，

|MN|===，

点O到直线MN的距离d=
∵
∴|
即4
?=
|?|
|k|
cot∠MON，即|
|sin∠MON=4
=
．

|?||cos∠MON=
．∴|MN|?d=，

≠0，

，∴S
△
OMN
=
（3k
2
+1），

．

．

x﹣，或x=﹣2．

整理得k
2
=，∴k=±
当直线m垂直x轴时，也满足S
△
OMN
=
故直线m的方程为y=
经检验上述直线均满足
所以所求直线方程为y=
x+
?
x+
，或y=﹣
≠0．

，或y=﹣x﹣，或x=﹣2．



【点评】本题综合考查直线的椭圆的位置关系，具有一定的难度，解题时要注意培 养运算能
力．

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47．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F
1
、F
2
，离心率为e．直线l：y=ex+a
与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直 线l与椭圆C的一个公共点，P是点F
1
关于直线l的对
称点，设=λ．

（Ⅰ）证明：λ=1﹣e
2
；

（Ⅱ）若λ=，△MF
1< br>F
2
的周长为6；写出椭圆C的方程；

（Ⅲ）确定λ的值，使得△PF
1
F
2
是等腰三角形．
< br>【分析】（Ⅰ）先根据A、B分别是直线l：y=ex+a与x轴、y轴的交点表示出A、B的坐标，然后联立直线方程与椭圆方程可得到交点M的坐标，再根据=λ得（﹣c+，）=λ（，
a）根据对 应坐标相等可得到，从而得到λ=1﹣e
2
，等证．

（Ⅱ）当λ=时可得到 e的值，进而得到a，c的关系，再由△PF
1
F
2
的周长为6可得到2a+ 2c=6，
进而可求出a，c的值，从而可得到b的值，确定椭圆方程．

（Ⅲ）根据 PF
1
⊥l，可得到∠PF
1
F
2
=90°+∠BAF1
为钝角，进而要使得△PF
1
F
2
为等腰三角形，必
有|PF
1
|=|F
1
F
2
|，即|PF
1
|=c成立，

然后设点F
1
到l的距离为d，根据|PF
1|=d=
的值，求出λ的值．

【解答】（Ⅰ）证明：因为A、B分别是直线l：y=ex+a与x轴、y轴的交点，

所以A、B的坐标分别是（﹣，0），（0，a）．

=c可得到=e，进而可得到e
由得这里c=．

所以点M的坐标是（﹣c，
由=λ得（﹣c+，
）．

）=λ（，a）．

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即，解得λ=1﹣e
2

（Ⅱ）当λ=时，e=，所以a=2c．

由△PF
1
F2的周长为6，得2a+2c=6．

所以a=2，c =1，b
2
=a
2
﹣c
2
=3．

椭圆方程为+=1．

（Ⅲ）因为PF
1
⊥l，所以∠PF
1
F
2
=90°+∠BAF
1
为钝角，要使△PF
1
F
2
为等腰三角形，必有
|PF
1
|=|F
1
F
2
|，

即|PF
1
|=c．

设点F
1
到l的距离为d，由|PF
1
|=d===c．

得=e．

所以e
2
=，于是λ=1﹣e
2
=．

即当λ=时，△PF
1
F
2
为等腰三角形．

【点 评】本题主要考查直线与x轴、y轴的交点问题、向量的线性运算、椭圆方程的求法和点
到直线的距离． 考查基础知识的综合运用和计算能力．直线与圆锥曲线是高考的一个重要考
点，每年必考，要给予充分重 视．



48．如图，已知抛物线C：y
2
=2px（p ＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴
上方的点． A到抛物线准线的距离等于5，过 A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为
M（O为坐标原点）．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；

（Ⅲ）以M为圆心，4为半径 作圆M，点P（m，0）是x轴上的一个动点，试讨论直线AP
与圆M的位置关系．

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【分析】（Ⅰ）抛 物线的准线为，于是4+=5，p=2，由此可知抛物线方程为y
2
=4x．

，，由此可知点N的坐标．

（Ⅱ）由题意得由题意得B（0，4），M（0，2），
（Ⅲ）由题意得，圆M的圆心坐标为（0，2），半径为4．当m=8时，直线AP的方程为x=8，< br>此时，直线AP与圆M相离；当m≠8时，直线AP的方程为
到直线AP的距离
，圆心M （0，4）
，由此可判断直线AP与圆M的位置关系．

，

【解答】解：（Ⅰ）抛物线的准线为
于是4+=5，p=2，

由此可知抛物线方程为y
2
=4x．（4分）

（Ⅱ）∵点A的坐标为（4，4），

由题意得B（0，4），M（0，2），又∵F （1，0），∴
又MN⊥FA，∴
直线MN的方程为
，则直线FA的方程为
（ 8分）

，

（6分）

联立方程组，解得，∴点N的坐标为（，）．（10分）

（Ⅲ）由题意得，圆M的圆心坐标为（0，2），半径为4．

当m=8时，直线AP的方程为x=8，此时，直线AP与圆M相离（12分）

当m≠8时，直线AP的方程为，

，

即为8x﹣（8﹣m）y﹣ 8m=0，所以圆心M（0，4）到直线AP的距离
令d＞4，解得m＞2；令d=4，解得m=2；令 d＜4，解得m＜2（14分）

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