(完整word版)高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案

圆锥曲线测试题及详细答案
一、选择题：
x
2
y
2
??1
的焦距为（ ） 1、双曲线
102
A. 3
2
B. 4
2
C. 3
3
D. 4
3

x
2
?y
2
?1
的两个焦点为F
1
、F
2
，过F
1
作垂直于 x轴的 2.椭圆
4
直线与椭圆相交，一个交点为P，则
|PF
2
|
= （ ）
A．
3
7
B．
3
C． D．4
2
2
3．已知动点
M
的坐标满足方程13x
2
?y
2
?|12x?5y?12|
，则动点
M
的轨迹是（ ）
A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对
x
2
y
2
?1
上一点，双曲线的一条渐近 线方程为
3x?2y?0,F
1
、F
2
分别是双曲线4．设P是双曲 线
2
?
9
a
的左、右焦点，若
|PF
1
A. 1或5
|?5
，则
|PF
2
|?
（ ）

C. 1 D. 9 B. 1或9
5、设椭圆的两个焦点分别为F
1
、
、F
2
，过F
2
作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F
1
PF
2
为等腰直角三
角形，则椭圆的离心率是（ ）.
A.
2
B.
2
2?1
C.
2?2
D.
2
2?1

x
2
y
2
??1(mn?0)
离心率为2，有一个焦点与抛物线
y
2< br>?4x
的焦点重合，则mn的值为6．双曲线
mn
（ ）
33168
B． C． D．
16833
x
2
16y
2
7. 若双曲线
?
2
?1
的左焦点在抛物线y
2
=2px的准线上,则p的值为 ( )
3p
A．
(A)2 (B)3 (C)4 (D)4
2

x
2
y
2
??1
的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的 直线方程是（ ） 8．如果椭圆
369
A
x?2y?0
B
x?2y?4?0
C
2x?3y?12?0
D
x?2y?8?0

22
9、无论
?
为何值，方程
x?2sin
?
?y?1
所表示的曲线必不是（ ）
A. 双曲线 B.抛物线 C. 椭圆 D.以上都不对
第 1 页

10．方程
mx?ny?0
与
mx
2
?ny
2< br>?1(m?n?0)
的曲线在同一坐标系中的示意图应是
（ ）
2



A B C D
x
2
y2
??1
的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( ) 11.以双曲线
916
A
.
C .
B.
D.

12．已知椭圆的中心在原点，离心率
e?
1
，且它的一个焦点与抛物线
2
y
2
??4x
的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
x
2
2
?y?1
D．
?y
2
?1

??1
B．
??1
C．A．
24
4386

二、填空题：
x
2
y< br>2
x
2
y
2
??1
和双曲线
??1
有下列命题： 13．对于椭圆
16979
①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点;
③ 双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同.
其中正确命题的序号是 .
14．若直线
(1?a)x?y?1?0
与圆
x?y?2x?0
相切，则a
的值为
x
2
y
2
15、 椭圆
??1
的焦点为F
1
和F
2
，点P在椭圆上，如果线段 PF
1
中点在y轴上，
123
那么|PF
1
|是|PF
2
|的
22
x
2
y
2
??1
的焦点为定点，则焦点坐标是 .;

16．若曲线
a?4a?5
三、解答题：
x
2
y
2
14
??1
共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程.（1 2分） 17．已知双曲线与椭圆
925
5
22
18．P为椭圆
x< br>?
y
?1
上一点，
F
1
、
F
2为左右焦点，若
?F
1
PF
2
?60?

259
第 2 页

（1）求△
F
1
PF
2
的面积； （2）求P点的坐标．（14分）
19、求两条渐近线为
x?2y?0
且截直线x?y?3?0
所得弦长为
83
的双曲线方程.（14分）
3
?3)
，
(0，3)
的距离之和等于4，设点P的轨迹为20 在平面直角坐标系
xOy
中，点P到两点
(0，
C
． （Ⅰ）写出C的方程；
uuuruuur
uuur
（Ⅱ）设直线
y?kx? 1
与C交于A，B两点．k为何值时
OA
?
OB
？此时
AB
的值是多少？
y
21.A、B是双曲线x－＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点
2
2
2
(1)求直线AB的方程；
(2)如果线段AB的垂直平分 线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

x
2
y
2
??1
长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦22、点A、B分别是椭圆
3620
点，点P在椭圆上，且位于
x
轴上方，
PA?PF
。
（1）求点P的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于< br>|MB|
，求
椭圆上的点到点M的距离
d
的最小值。




答案

DC ADD AC DBA AA
一、 填空题：
13．①② 14、-1 15. 7倍 16.（0，±3）
三、解答题：
17(12分)
4
,所以双曲线的 焦点为F(0,
?
4),离心率为2,从而
5
y
2
x
2
??1
c=4,a=2,b=2
3
. 所以求双曲线方程为:
412
解:由于椭圆焦点为F(0,
?
4),离心率为e=
18．[ 解析]：∵
a
＝5，b＝3
?
c＝4 （1）设
|PF
1
|?t
1
，
|PF
2
|?t
2
，则
t
1
?t
2
?10
①
2
t
12
?t
2
?2t
1
t
2
?cos60??8< br>2
②，由①
2
－②得
t
1
t
2
?12

第 3 页

?S
?F
1
PF
2
?
113
t
1
t
2
?sin60???12??33

222
12
（2）设P
(x,y)
，由
S
?FPF
?
1
?2c?|y|?4?|y|
得 4
|y|?33
? |y|?
33
2
4
?y??
33
4
，将
y ??
33
4
代
入椭圆方程解得
x??
5
2
13
4
2
，
?P(
51333
或
51333或
51333
或
51333

,)
P(?,)
P(,?)
P(?,?)
44
44
44
44
19、解:设双 曲线方程为x-4y=
?
.
?
x
2
-4y
2=
?
2
联立方程组得:
?
,消去y得，3x-24x+(36+
?
)=0
?
x? y?3?0
x
1
?x
2
?8
?
?
36?< br>?
?
设直线被双曲线截得的弦为AB，且A(
x
1
,y
1
),B(
x
2
,y
2
)，那么：
?

x
1
x
2
?
3
?
2
?
?
??24?12(36?
?
)?0
36?
?
8(12??
)83
222
那么：|AB|=
(1?k)[(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
]?(1?1)(8?4?
3
)?
3
?
3

x
2
?y
2
?1
解得:
?
=4,所以，所求双曲线方程是：
4
?3)，，(03)
为焦点， 20．解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以
(0，
y
2< br>?1
． 长半轴为2的椭圆．它的短半轴
b?2?(3)?1
，故曲线C的方 程为
x?
4
?
2
y
2
?1，
?
x ?
（Ⅱ）设
A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)
，其坐标满足
?

4
?
y?kx ?1.
?
2k3
22
消去y并整理得
(k?4)x?2kx?3?0
， 故
x
1
?x
2
??
2
．
，x
1
x
2
??
2
k?4k?4
uuuruuur
OA?OB
，即
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
． 而
y
1
y
2
?k
2
x
1
x
2
?k(x
1
?x
2
)? 1
，
22
2
33k
2
2k
2
?4k2
?1
?
2
?
2
?1?
2
于是
x
1
x
2
?y
1
y
2
??
2< br>．
k?4k?4k?4k?4
uuuruuur
1
所以
k? ?
时，
x
1
x
2
?y
1
y
2?0
，故
OA?OB
．
2
1
412
当k??
时，
x
1
?x
2
?m
，
x1
x
2
??
．
2
1717
uuuur
AB?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(1?k
2
)(x
2
?x
1
)
2
，
4
2
4?34
3
?13?
而
(x
2
?x
1
)?(x
2
?x< br>1
)?4x
1
x
2
?
2
?4?
，
2
171717
uuuur
465
所以
AB?
．
17
22


第 4 页

y
21A、B是双曲线x－＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点
2
2
2
(1)求直线AB的方程；
(2)如果线段AB的垂直平分 线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
19.解：(1)依题意，可设直线方程为y＝k(x－1)＋2
y
22
代入x－＝1，整理得 (2－k)x－2k(2－k)x－(2－k)－2＝0 ①
2
2
2
2 k(2－k)
2
记A(x
1
,y
1
),B(x
2< br>,y
2
)，则x
1
、x
2
是方程①的两个不同的实数 根，所以2－k≠0,且x
1
＋x
2
＝
2
2－k
1
由N(1,2)是AB中点得(x
1
＋x
2
)＝1
2
∴ k(2－k)＝2－k，解得k＝1，所易知 AB的方程为y＝x＋1.
2
(2)将k＝1代入方程①得x－2x－3＝0，解出 x
1
＝－1 ,x
2
＝3，由y＝x＋1得y
1
＝0,y
2
＝4
即A、B的坐标分别为(－1,0)和(3，4)
由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为y＝－(x－1)＋2，即 y＝3－x ，代入双曲线方程，整理，
2
得 x＋6x－11＝0 ②
记C(x3
,y
3
),D(x
4
,y
4
)，以及CD中 点为M(x
0
,y
0
)，则x
3
、x
4
是 方程②的两个的实数根，所以
1
x
3
＋x
4
＝－6, x
3
x
4
＝－11， 从而 x
0
＝(x
3< br>＋x
4
)＝－3,y
0
＝3－x
0
＝6
2
|CD|＝(x
3
－x
4
)＋(y
3
－y
4
)＝2(x
3
－x
4
) ＝2[(x3
＋x
4
)－4x
3
x
4
＝410
1
22
∴ |MC|＝|MD|＝|CD|＝210， 又|MA|＝|MB |＝(x
0
－x
1
)＋(y
0
－y
1
)＝ 4＋36＝210
2
即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆.


22(14分)解:（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)
2222
2
uuuruuur
设点P(
x
,
y
),则
AP
=（
x
+6,
y
）,
FP
=（
x
－4,
y
）,由已知可得
?
x
2
y
2
?1
?
?

?
3620

?
(x?6)(x?4)?y
2
?0
?
则2
x
+9
x
－18=0,
x
=
2
53
33
或
x
=－6. 由于
y
>0,只能
x
=,于是
y
=.
2
22
∴点P的坐标是(
3
53
,)
2
2
(2) 直线AP的方程是
x
－
3
y
+6=0.
第 5 页

设点M(
m
,0),则M到直线AP的距离是
椭圆上的点(
x
,
y
)到点M的距离
d
有

d?(x?2)?y?x?4x?4?20?
由于－6≤
m
≤6, ∴当
x
=
2222
m?6
2
. 于是
m?6< br>2
=
m?6
,又－6≤
m
≤6,解得
m
=2 .
5
2
49
x?(x?)
2
?15
,
992
9
时,d取得最小值
15

2
说明：在解析 几何中求最值：一是建立函数关系，利用代数方法求出相应的最值；再是利用圆锥曲线
的几何性质或者曲 线的参数方程求最值。

第 6 页