高中数学必修3书本答案-高中数学要学好要学一些竞赛题吗
高中数学圆锥曲线方程知识总结
一、椭圆方程及其性质.
PF<
br>1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
方程为椭圆,
1. 椭圆的第一定义:
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
无轨迹,
PF
1
?PF
2
?2a
?F
1
F
2
以F
1
,F
2
为端点的线段<
br>
PF
?e
,
PF
点椭圆的第二定义:
d
P
到定点
F
的距离,
d
为点
P
到直线
l的距离
其中
F
为椭圆焦点,
l
为椭圆准线
椭圆方程
图形特征
x
2
y
2
?
2
?1(a?b?0
)
a
2
b
B
2
y
M(x
0
,y<
br>0
)
y
2
x
2
?
2
?1(a?b?
0)
a
2
b
y
F
2
A
2
M
B
2
A
1
A
1
F
1
O
B
1
F
2
A
2
x
B
1
O
x
F
1
范围
|x|?a,|y|?b
(?a,0),(0,?b)
|
x|?b,|y|?a
(?b,0),(0,?a)
(0,?c)
y??
a<
br>2
c
几
何
性
质
顶点
焦点
准线
对称性
长短轴
离心率
焦半径
(?c,0)
a
2
x
??
c
关于x轴、y轴、原点对称关于x轴、y轴、原点对称
长轴长|AA|?2a,
短轴长|B
1
B
2
|?2b
12
长轴长|AA|?2a,短
轴长|B
1
B
2
|?2b
12
e?
c
(0
?e?1)
a
e?
c
(0?e?1)
a
|MF
1<
br>|?a?ex
0
,|MF
2
|?a?ex
0
|MF<
br>1
|?a?ey
0
,|MF
2
|?a?ey
0
①椭圆的标准方程:
x
2
2
a
?
y
2
b
2
?
x?acos
?
?1
的参数方程为
?
(
0?
?
?
?
2
?
y?bsin
?
)(现在了解,
后面选修4-4要详细讲).
2b
2
②通径:垂直于对称
轴且过焦点的弦叫做通径,椭圆通径长为
a
22
③设椭圆:
x
2?
y
2
?1
上弦
ab
AB
b
2
x
0
的中点为
M
(
x
0
,
y
0
),则斜率
k
AB
=
?
2
,对椭圆:<
br>ay
0
?
y
2
x
2
a
2
x
0
2
??1
1?k
,
则
k
=.弦长
AB?
?
AB
a
a
2b
2
b
2
y
0
⑸若P是椭圆:
2
x<
br>2
a
2
?
y
2
b
2
?1
上
的点.
F
1
,F
2
为焦点,若
?F
1
PF
2
?
?
,则
?PF
1
F
2
的面积
b
2
为
btan
(可用余弦定理与
PF
1
?PF
2
?2a
推导). 若是双曲线,则面积为.
2
tan
?
?
二、双曲线方程及其性质.
1. 双曲线的
第一定义:
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
方程为双曲线
PF
1
?PF
2
?2a?F
1<
br>F
2
无轨迹
PF
1
?PF
2
?2a?F1
F
2
以F
1
,F
2
的一个端点的一条射线<
br>
双曲线的第二定义:
PF
?e
,
PF
点
d
P
到定点
F
的距离,
d
为点
P
到直线l
的距离
其中
F
为双曲线的焦点,
l
为双曲线的准线
2.双曲线的简单几何性质:
标准方程
图
象
x
2
y
2
??1
(
a?0,b?0
) <
br>a
2
b
2
y
2
x
2
??1
(
a?0,b?0
)
a
2
b
2
a,b,c
关
a
2
?b
2
?c
2
系
范
围
顶
点
(?a,0)
(0,?a)
|x|?a,y?R
|y|?a,x?R
对 称
关于
x,y
轴成轴对称、关于原点成中心对称
性
渐 近
y??
b
x
a
y??
a
x
b
线
离 心
e?
率
焦
点
准 线
22
c
(?1)
a
F(?c,0)
F(0,?c)
a
2
x??
c
2
a
2
y??
c
等轴双曲线:
x-y=
a
(
a
≠0)
,它的渐近线方程为
y=±x,离心率
e=
2
.
注:①双曲线标准方程:
x2
2
ab
x?asec
?
x?btan
?
参数
方程:
?
或
?
??
?
y?btan
?
?<
br>y?asec
?
?
y
2
2
?1(a,b?0),y
2
a
2
?
x
2
b
2
?1(
a,b?0)
.
. (现在了解,后面选修4-4要详细讲)
2b
2
②通径:垂直于对称轴且过焦点的弦叫做通径,椭圆通径长为
a
③焦半径:
对于双曲线方程
x
2
a
2
?
y
2
b
2
(
F
1
,F
2
分别为双曲线的左、右焦点或上、
?1
下焦点)
“长加短减”原则:(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算
,而
▲
y
▲
y
F
1
M
M'
双曲线
不带符号)
F
1
M
x
F
2
M'
F
2
x
MF
1
?ex
0
?a
MF
2
?ex
0
?a
构成满足
MF
1
?MF
2
?2a
M
?
F
1
??ex
0
?a
M
?
F
2<
br>??ex
0
?a
x
2
y
2
④设双曲线
2
?
2
?1
:
上弦
ab
AB
b
2
x
0
的中点为
M
(
x
0
,
y
0
),则斜率
k
AB
=
2
,对双曲
ay
0
?
y
2
x
2
a
2
x
0
线:
2
?
2
?1, 则
k
AB
=
2
.弦长
AB?
1?k
2
ab
a
by
0
x
2
y
2<
br>x
2
y
2
⑤常设与
2
?
2
?1渐近线相同的双曲线方程为
2
?
2
?
?
;
a
b
ab
常设渐近线方程为
mx?ny?0
的双曲线方程为
m
2
x
2
?n
2
y
2
?
?
2
2
▲
y
3
4
例如:若双曲线一条渐近线为
y?
1
x
且过
p(3,?
1
)
,求双曲线的方程? <
br>2
1
F
2
x
⑥从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b
⑦直线与双曲线的位置关系:
F
1
5
3
3
将直线
方程代入双曲线方程得到一元二次方程,讨论方程二次项系数和
?
三、抛物线方程及其性质.
抛物线的定义:
PF?d
,
PF
为点
P
到定点
F
的距离,
d
为点
P
到直
线
l
的距
离
其中
F
为抛物线的焦点,
l
为抛物线的准线
设
p?0
,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:
图形
y
2
?2px
▲
y
2
??2px
▲
x
2
?2py
x
2
??2py
▲
y
y
▲
y<
br>y
x
O
x
O
x
O
x
O
焦点
准线
范围
p
F(,0)
2
x??
p
2
F(?
p
,0)
2
F(0,
p
)
2
p
2
F(0,?
p
)
2
x?
p
2
y??
y?
p
2
x?0,y?R
x?0,y?R
x?R,y?0
x?R,y?0
对称轴
顶点
离心率
焦半径
PF?
p
?x
1
2
x
轴
y
轴
(0,0)
e?1
PF?
p
?x
1
2
PF?
p
?y
1
2
PF?
p
?y
1
2
注:①抛物线通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.
?
x?2pt
2
②
y?2px
(或
x?2py
)的参数方程为
?
?
y?2pt
22
(或
?
?
x?2pt
2
?
y?2pt
)(
t
为参数).
(现在了解,后面选修4-4要详细讲)
4.抛物线的焦半径、焦点弦.(抛物线中常用结论和方法)
如图所示,抛物线方程为
y
2
=2
px
(
p
>
0).
(1)焦半
径
设
A
点在准线上的射影为
A
1
,设
A
(
x
1
,
y
1
),准线方程为
x
=-,由抛
2
物线定义|
AF
|=|
AA
1
|=
x
1
+. 抛物线上任意一条弦的弦长为
1?k
2
2
a
(2)关于抛物线焦点弦的几个结论
设
AB
为过抛物
线
y
2
=2
px
(
p
>0)焦点的弦,
A
(
x
1
,
y
1
)、
B
(
x
2
,
y
2
),
AB
中
p
p?
点为
M(x
0
,y
0
)
,直
线
AB
的倾斜角为
θ
,则①
x
1
x
2=,
y
1
y
2
=-
p
2
,
x
1
?x
2
时,
4
有
x
1
?x2
?p?
2p
2
k
p
2
2
p
p
2
p
2p
②|
AB
|=
2
=
x
1
+
x
2
+
p
=
2p?
2
(x
1
?x
2
)
,
k
AB
?
,
S
?AOB
?
sin
θ
y
0
2sin
?
k
③以
AB
为直径的圆与准线相切;
④焦点
F
对
A
、
B
在准线上射影的张角为90°;
2
⑤+=.
|
FA
||
FB
|
p
四、圆锥曲线的统一定义..
4. 圆锥曲线的统一定义:平面内到定点F和定直线
l
的距离之比为常数
e
的
点的轨迹.
当
0?e?1
时,轨迹为椭圆;当
e?1
时,轨迹为抛物线;当
e?1
时,轨迹为双曲<
br>线;当
e?0
时,轨迹为圆(
e?
c
,当
c?0,a
?b
时).
a
11
5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如:椭圆的标准方
程对原点的一条直线与
双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性,所以欲证AB=CD,
即证
AD与BC的中点重合即可.
注:椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
定义
椭圆
1.到两定点F
1
,F
2
的距离
之和为定值
双曲线
1.到两定点F
1
,F
2
的距
离之差的绝对值为定值
抛物线
2a(2a>|F
1
F
2
|)的点的轨迹
2a(0<2a<|F
1
F
2
|)的点的
轨迹
2.与定点和直线的距离
之比为定值e的点的轨
迹.(0
x
2
y
2
?
2
?1
(
a?b
>0)
2
ab
2.与定点和直线的距
离之比为定值e的点
的
轨迹.(e>1)
与定点和直线
的距离相等的
点的轨迹.
方
准
方
程
x
2
y
2
?
2
?1
(a>0,b>0)
2
ab
y
2
=2px
程
参
数
方
程
范围
中心
顶点
?
x?acos
?
?
y?bsin
?
?
(参数
?
为离心角)
?
x?asec
?
?
y?btan
?
?
(参数
?
为离心角)
?
x?2pt
2
?
y?2pt
(t为
?
参数)
─a?x?a,─b?y?b
原点O(0,0)
(a,0), (─a,0),
(0,b) , (0,─b)
|x| ? a,y?R
原点O(0,0)
(a,0), (─a,0)
x?0
(0,0)
对称轴
x轴,y轴;长轴长2a,短x轴,y轴;实轴长2a,
轴长2b
焦点
焦距
离心率
准线
渐近线
F
1
(c,0),
F
2
(─c,0)
2c
(c=
a
2
?b
2
)
e?
c
(0?e?1)
a
x轴
虚轴长2b.
F
1
(c,0), F
2
(─c,0)
2c
(c=
a
2
?b
2
)
e?
c
(e?1)
a
p
F(,0)
2
e=1
x??
p
2
a
2
x=
?
c
a
2
x=
?
c
y=±x
b
a
焦半径
通径
r?a?ex
2b
2
a
r??(ex?a)
2b
2
a
r?x?
p
2
2p
导数的基础知识
一.导数的定义:
1.(1).函数y?f(x)在x?x
0
处的导数:f'(x
0
)?y'|
x?x
0
?lim<
br>f(x
0
??x)?f(x
0
)
?x?0
?x
f(x??x)?f(x)
(2).函数y?f(x)的导数:f'(x)?y'?l
im
?x?0
?x
2.利用定义求导数的步骤:
?y?f(x
0<
br>??x)?f(x
0
)
;①求函数的增量:②求平均变化率:
?
?y
?x
f(x
0
??x)?f(x
0
)
; <
br>?x
③取极限得导数:
f'(x
0
)?
?
limx?0
(下面内容必记)
二、导数的运算:
?y
?x
(1)基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式:
①
C'?0(C
为常数)
;②
(x)'?nx
nn?1
m
n
?1
1
n
n
m
?n?n?1
;
(
n
)'?(x)
'??nx
;
(x)'?(x)'?x
n
x
mm
③
(sinx)'?cosx
;
④
(cosx)'??sinx
⑤
(e
x
)'?e
x
⑥
(a
x
)'?a
x
lna(a?0,且a?1)
;
⑦
(lnx)'?
; ⑧
(log
a
x)'?
1
x
1
(a?0,且a?1)
xlna
法则1:
[
f(x)?g(x)]'?f'(x)?g'(x)
;(口诀:和差的导数等于导数的和差).
法则2:
[f(x)?g(x)]'?f'(x)?g(x)?f(x)?g'(x)
(口诀
:左导右不导+左不导右导)
法则3:
[
f(x)f'(x)?g(x)?f(x)
?g'(x)
]'?(g(x)?0)
g(x)[g(x)]
2
(口诀:(上导下不导-上不导下导)
?
下平方)
(2)复合函数
y?f(g(x))
的导数求法:(理科必须掌握)
①换元,令
u?g(x)
,则
y?f(u)
②分别求导再相乘
y'?
?
g(x)
?
'?
?
f(u)
?
'
③回代
u?g(x)
题型一、导数定义的理解
题型二:导数运算
1、已知
f
?
x
?
?x
2
?2x?sin
?
,则
f
'
?
0
?<
br>?
2、若
f
?
x
?
?ex
sinx
,则
f
'
?
x
?
?
3.
f(x)
=
ax
3
+3x
2
+2
,
f
?
(?1)?4
,则
a
=(
)
A.
10
3
B.
13
3
C.
163
D.
19
3
三.导数的物理意义
1.求瞬时速度
:物体在时刻
t
0
时的瞬时速度
V
0
就是物体运动规律S?f
?
t
?
在
t?t
0
时的导数
f
?
?
t
0
?
,即有
V
0
?f<
br>?
?
t
0
?
。
2.
V?S
'(t)
表示即时速度。
a?V
'
(t)
表示加速度。
四.导数的几何意义:
函数
f
?
x
?
在
x
0
处导数的几何意义,曲线
y?f
?
x
?
在点<
br>P
?
x
0
,f
?
x
0
?
?
处切线的斜
率是
k?f
?
?
x
0
?
。于是相应的切线方程是:
y?y
0
?f
?
?
x
0
??
x?x
0
?
。
题型三.用导数求曲线的切线
注意两种情况:
(1)曲线
y?f
?
x
?
在点<
br>P
?
x
0
,f
?
x
0
?
?
处切线:性质:
k
切线
?f
?
?
x
0?
。相应的切线方
程是:
y?y
0
?f
?
?<
br>x
0
??
x?x
0
?
(2)曲线
y?f
?
x
?
过点
P
?
x
0
,y
0
?
处切线(有可能点
P
不在曲线上):先设切点,
切点为
Q(a,b)
,则斜率k=
f'(a)
,切点
Q(a,b)
在曲线
y?f
?
x
?
上,切点
Q(a,b)
在
切线
y?y0
?f
?
?
a
??
x?x
0
?
上,切点
Q(a,b)
坐标代入方程得关于a,b的方程组,
解方程
组来确定切点,最后求斜率k=
f'(a)
,确定切线方程。
例题在曲线y=x3
+3x
2
+6x-10的切线中,求斜率最小的切线方程;
解析:(
1)
k?y'|
x?x
0
?3x
0
2?6x
0?6?3(x
0
?1)
2
?3
当x
0
=-1时
,k有最小值3,
此时P的坐标为(-1,-14)故所求切线的方程为3x-y-11=0
五.函数的单调性:设函数
y?f(x)
在某个区间内可导,
(1)
f'(x)?0?f(x)
该区间内为增函数;
(2)
f'(x)?0
?
f(x)
该区间内为减函数;
注
意:当
f'(x)
在某个区间内个别点处为零,在其余点处为正(或负)时,
f(x)
在这个区间上仍是递增(或递减)的。
(3)
f(x)
在该区间内单调递增
?
f'(x)?0
在该区间内恒成立;
(4)
f(x)
在
该区间内单调递减
?
f'(x)?0
在该区间内恒成立;
题型一、利用导数证明(或判断)函数f(x)在某一区间上单调性:
步骤: (1)求导数
y
?
?f
?
(x)
(2)判断导函数
y
?
?f
?
(x)
在区间上的符号
(3)下结论
①
f'(x)?0?f(x)
该区间内为增函数;
②
f'(x)?0
?
f(x)
该区间内为减函数;
题型二、利用导数求单调区间
求函数
y?f(x)
单调区间的步骤为:
(1)分析
y?f(x)
的定义域; (2)求导数
y
?
?f
?
(x)
(3)解不等式
f
?
(x)?0
,解集在定义域内的部分为增区间
(4)解不等式
f
?
(x)?0
,解集在定义域内的部分为减区间
题型三、利用单调性求参数的取值(转化为恒成立问题)
思路一.(1)
f(x)<
br>在该区间内单调递增
?
f'(x)?0
在该区间内恒成立;
<
br>(2)
f(x)
在该区间内单调递减
?
f'(x)?0
在该区
间内恒成立;
思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间,则已知中限定的单调增
或减
区间是定义域上的单调增或减区间的子集。
注意:若函数
f
(
x
)
在
(a,c)
上为减函数,在
(c,b)
上为增函数,则
x=c两侧使函数
f
?
(
x
)变号,即
x=c
为函数
的一个极值点,所以
f'(c)?0
例题.若函数
f(x)?
ln
x
,若
a?f(3),b?f(4),c?f(5)
则( )
x
A. a< b < c B. c < b < a
C. c < a < b D. b
< a < c
六、函数的极值与其导数的关系:
1.①极值的定义:设函数
f(x)
在点
x
0
附近有定义,且若对
x
0
附近的所有的点
都有
f(x)?f(x
0
)
(或
f(x)?f(x
0
)
,则称
f(x
0
)
为函数的一个极大(或小)值,
x
0
为极大(或极小)值点。
②可导数
f(x)
在极值点,但函数
f(x)
在某点
x
0
...
x
0
处的导数为0(即
f'(x
0
)?0
)
处的导数为0,并不一定函数
f(x)
在该处取得极值(如
f(x)?x
3
在
x
0
?0<
br>处的
导数为0,但
f(x)
没有极值)。
③求极值的步骤:
第一步:求导数
f'(x)
;
第二步:求方程
f'(x)?0
的所有实根;
第三步:列表考察在每个根<
br>x
0
附近,从左到右,导数
f'(x)
的符号如何变化,
(用
表格)
若
f'(x)
的符号左正右负,则
f(x
0
)是极大值;
若
f'(x)
的符号左负右正,则
f(x
0
)
是极小值;
若
f'(x)
的符号不变,则
f(x
0<
br>)
不是极值,
x
0
不是极值点。
2、函数的最值:
①最值的定义:若函数在定义域D内存
x
0
,使得对任意的
x?D
,都有
f(x)?f(x
0
),(或
f(x)?f(x
0
)
)则称
f(x
0
)
为函数的最大(小)值,记作
y
max
?f(x
0
)(或
y
min
?f(x
0
)
)
②如果函数<
br>y?f(x)
在闭区间
[a,b]
上的图象是一条连续不间断的曲线,则该函<
br>数在闭区间
[a,b]
上必有最大值和最小值。
③求可导函数
f(x)
在闭区间
[a,b]
上的最值方法:
第一步: 求导数
f'(x)
;
第二步:求方程
f'(x)?0
的所有实根
第三步:比较
f(x)
在方程
f'(x)?0
的根处的函数值与
f(a)
、
f(b
)
的大小,最大
的为最大值,最小的为最小值。
注意:1、极值与最值关系:函数的
最值是比较整个定义域区间的函数值得出
的,函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的
端点处取得。
极值≠最值。函数
f(x)
在区间
[a,b]
上的最大
值为极大值和
f(a)
、f(b)
中
最大的一个。最小值为极小值和
f(a)
、f(b)
中最小的一个。
2.函数在定义域上只有一个极值,则它对应一个最值(极大值对
应最大值;
极小值对应最小值)
3、注意:极大值不一定比极小值大。如
f(x)?
x?
的极大值为
?2
,极小值为
2。
注意:函数
y?f(
x)
在
x
0
处有极值
?
f'(x
0
)?0
。但是,
f'(x
0
)?0
不能得到当
x=x
0<
br>时,函数有极值;
题型一、求极值与最值
题型二、导数的极值与最值的应用
1
x
题型三、导数图象与原函数图象关系
导函数 原函数
f'(x)
的符号
f(x)
单调性
f'(x)
与x轴的交点且交点两侧异号
f(x)
极值
f'(x)
的增减性
f(x)
的每一点的切线斜率的变化趋势
(
f(x)
的图象的增减幅度)
f'(x)
的增
f(x)
的每一点的切线斜率增大(
f(x)
的图
象的变化幅度快)
f'(x)
减
f(x)
的每一点的切线斜率减小
(
f(x)
的图象的
变化幅度慢)
典型例题
例1.
已知
f(x)=e
x
-ax-
1.
(1)求
f(x)的单调增区间;(2)若
f(x)
在定义域R内单调递增,求
a
的取值范
围;
(3)是否存在
a
,使
f(x)
在(-∞,0]上单调递减,
在[0,+∞)上单调
递增?若存在,求出
a
的值;若不存在,说明理由.
解:
f?(x)
=
e
x
-a
.(1)若
a≤0,
f?(x)
=e
x
-a≥0
恒成立,即f(x)在R上递增.
若
a>0,e
x
-a≥0
,∴
e
x≥a,x≥lna.
∴
f(x)
的单调递增区间为
(lna,+∞).
(2)∵
f(x)
在R内单调递增,∴
f?(x)
≥0在R
上恒成立.
∴
e
x
-a≥0
,即
a≤e
x
在R上恒成立.∴
a≤(e
x
)
min
,又∵
e
x
>0
,∴
a≤0
.
(3) 由题意知,
x=0为f
(x)
的极小值点.∴
f?(0)
=0,即
e
0
-a=0<
br>,∴
a=1
.
例2. 已知函数
f(x)=x
3
+
ax
2
+bx+c
,曲线
y=f(x)
在点
x=1
处的切线为
l:3x-
y+1=0
,若
x=
2
时,
y=f(x)
有极值.
3
(1)求
a,b,c
的值
;(2)求
y=f(x)
在[-3,1]上的最大值和最小值.
解 (1)由f(x)=x
3
+ax
2
+bx+c
,得
f?(x)<
br>=
3x
2
+2ax+b
,
当
x=1
时,切
线
l
的斜率为3,可得
2a+b=0
①
?
2
?
当
x=
2
时,
y=f
(x)
有极值,则
f
?
??
=0,可得
4a+3b+4=0
3
?
3
?
②
由①②解得
a=2,b=-4
.由于切点的横坐标为
x=
1,∴f(1)=4
.∴1
+a+b+c=4
.∴
c=5
.
(2)由(1)可得
f(x)=x
3
+2x
2
-4x+5
,
∴
f?(x)
=3x
2
+4x-4,令
f?(x)
=0,得
x=-
2
,
x=
2
.
3
当
x
变化时,
y
,y′
的取值及变化如下表:
x -3 (-3,-2) -2
+
单调递增
y 8
↗
13
↘
2
??
?
?2,
?
3
??
2
3
?
2
?
?
,1
?
?
3
?
1
4
y′ 0 -
单调递减
0 +
95
27
单调递增
↗
27
∴
y=f(x)
在[-3,1]上的最大值为13,最小值为
95
.
例3.当
x?0
,证明不等式
证明:
f(x)?ln(
x?1)?
x
?ln(1?x)?x
.
1?x
x
x
,
g(x)?ln(x?1)?x
,则
f
?
(x)?
,
2
1?x
(1?x)
当
x?0
时。
?f(x)在
?
0,??
?
内是增函数,
?f(x)?f(0)
,
即
ln(1?x)?
又
g
?
(x)?
x
?0
,
1?x
?x
,当
x?0
时,
g
?
(
x)?0
,
?g(x)
在
?
0,??
?
内是减函数
,
1?x
?g(x)?g(0)
,即
ln(1?x)?x?0
,因此,当
x?0
时,不等式
x
?ln(1?x)?x
成<
br>1?x
立.
点评:由题意构造出两个函数
f(x)?ln(x?1)?
x
,
g(x)?ln(x?1)?x
.
1?x
利用导数求函数的单调区间或求最值,从而导出是解决本题的关键.
例4 设
函数
f(x)?2x
3
?3ax
2
?3bx?8c
在
x?1
及
x?2
时取得极值.
(Ⅰ)求
a、b
的值;
2
f(x)?c
x?[0,3]
(Ⅱ)若对于任意的,都有成立,求c的取值
范围.
2
?
f(x)?6x?6ax?3b
, 解答过程:(Ⅰ)
因为函数
f(x)
在
x?1
及
x?2
取得极值,则有
f
?
(1)?0
,
f
?
(2)?0
.
?
6?6a?3b?0,
?
即
?
24?12a?3b?0
.
解得
a??3
,
b?4
.
32
f(x)?2x?9x?12x?8c
, (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,
f?
(x)?6x
2
?18x?12?6(x?1)(x?2)
. 令
f
'
(x)?0
,有
6(x?1)(x?2)?0
,
解得
x
1
?1
,
x
2
?2
f
(1)?5?8c
,
f(0)?8c
,
f(2)?4?8c
,
f(3)?9?8c
.
∴
x?[0,3]
时,
f(x)
max
?9?8c
因为对于任意的
x?
?
0,3
?
2
f(x)?c
,有恒成立,所以
f(x)max
?c
2
,即
9?8c?c
2
?1)U(9,??)
. 解得
c??1
或
c?9
,因此
c
的取值范围为
(??,
例5
设函数
f(x)?x(e
x
?1)?ax
2
(Ⅰ)若a?
,求
f(x)
的单调区间;(Ⅱ)若当
x?0
时,
f(x)?0
,求
a
的取
1
2
值范围
例6已知函数
f
(x)?x?ln(x?a)
的最小值为0,其中
a?0
(1)求
a
的值;(2)若对任意的
x?[0,??)
,有
f(x)?kx
2
成立,求实数
最小值
k
的
例7设函数
f
(
x
)=
e
x
-
ax
-2
(Ⅰ)求
f
(
x
)的单调区间;(Ⅱ)若
a
=1,
k
为整数,且当
x
>0
时,(
x
-
k
)
f?
(
x
)+
x
+1>0,求
k
的最大值