高二数学选修2-2知识点

高二数学选修2-2知识点总结
第一章 导数及其应用
1．函数的平均变化率为< br>f(x
2
)?f(x
1
)f(x
1
??x)?f(x
1
)
?y?f
?

?
?
x
2?x
1
?x
?x?x
注1：其中
?x
是自变量的改变量 ，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函 数的概念:函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的瞬时变化率是
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
，则称 函数
?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
y?f(x)在点
x
0
处可导，并把这个极限叫做
y?f(x)
在
x
0
处的导数，记作
f
'
(x
0
)
或
y
'
|
x?x
0
，即
f
'
(x
0
)
=
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
.
?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
常见的函数导数和积分公式
函数 导函数 不定积分
————————
n?1
y?c

y?x
n
y'?
0
?
n?N
?

*
y'?nx

x
n?1
?
xdx?
n?1

n
y?a
x
?
a?0,a?1
?

y'?alna

x
a
x
?
adx?
lna

x
y?e
x

y'?e
x

?
edx?e
xx

y?log
a
x
?
a?0,a?1,x?0
?

y?lnx

y?sinx

y'?
1

xlna
1

x
————————
y'?
1
?
x
dx?lnx

y'?cosx

y'??sinx

?
cosxdx?sinx

?
sinxdx??cosx

1 7

y?cosx

常见的导数和定积分运算公式
若
f
?
x
?
，g
?
x
?
均可导（可积），则有：
和差的导数运算
?
f(x)?g(x)
?
?f
'
(x)?g
'
(x )

'
?
f(x)?g(x)
?
?f
'
( x)g(x)?f(x)g
'
(x)

积的导数运算
特别地：?
?
Cf
?
x
?
?
?
'?Cf'?
x
?

'
商的导数运算
?
f(x)
?
f
'
(x)g(x)?f(x)g
'
(x)
(g(x) ?0)

?
g(x)
?
?
2
??
?
g(x)
?
?
1
?
?g'(x)
特别地：
?
?
'?
2
gxgx
??
?
??
?< br>y
x
?
?y
u
?
?u
x
?

'
复合函数的导数
微积分基本定理
?
f
?
x
?
dx?
（其中
F'
?
x
?
?f
?
x
?
）
b
a
?
和差的积分运算
b
a
[f
1(x)?f
2
(x)]dx?
?
f
1
(x)dx??
f
2
(x)dx
aa
bb

特别地：
积分的区间可加性
?
b
a
kf(x)dx?k< br>?
f(x)dx(k为常数)
a
b

?
b
a
f
(
x
)
dx?
?
f
(
x
)
dx?
?
f
(
x
)
dx
(
其 中a?c?b
)
ac
cb

用导数求函数单调区间的步骤
①求函数
f
(
x
)的导数
f'(x)
②令
f'(x )
>0,解不等式，得
x
的范围就是递增区间.③令
f'(x)
<0 ,解不等
式，得
x
的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数 的定义域。
求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域。(2) 求函数
f
(
x
)的导数
f'(x)
(3)求方程
f'(x)
=0的根(4) 用函数的导数为0的

点，顺次将函 数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查
f(x)
在方程根左右的值的符号，
如果左正右负，那么
f
(
x
)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么
f
(
x
)在这个根处取得极小值；如
果左右不改变符号，那么
f
(
x
)在这个根处无极值
2 7

利用导数求函数的最值的步骤
求
f(x)
在
?
a,b?
上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求
f(x)
在
?
a,b
?
上的极值；⑵将
f(x)
的各极值
与
f(a),f(b)
比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一
极值点 就是所求的最值点；
求曲边梯形的思想和步骤
分割
?
近似代替
?
求和
?
取极限 （“以直代曲”的思想）
定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1
?
1
dx
?
b
?
a

a
b
a
b
性质5 若
f(x)?0,x?
?
a,b
?
，则
?
f
(
x
)
dx
?0

①推广：
②推广:
?
b
a
[f1
(x)?f
2
(x)?
L
?f
m
(x)]d x?
?
f
1
(x)dx?
?
f
2
(x)d x?
L
?
?
f
m
(x)

aaa
bbb
?
b
a
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
L
?
?
f(x)dx

ac
1
c
k
c
1
c
2
b
定积分的取值情况
定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取
正值，且等于x轴上方的图形面积；
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，
且等于x轴上方图形面积的相反数；
（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方
的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．
12．物理中常用的微积分知识（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。
3 7

第二章 推理与证明
13.归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。
．．．．．．．
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
．．．．
14.归纳推理的思维过程
大致如图：
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论

15.归纳推理的特点: ①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳 所得的结论是尚属未知的一般现
象。②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过 逻辑证明和实验检验，因此，
它不能作为数学证明的工具。③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归 纳推理的猜想，可以作为
进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
16.类比推理 的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面
也相似或相同， 这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。
．．．．
17.类比推理的思维过程

观察、比较 联想、类推 推测新的结论

18.演绎推理的定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义 、公理、定理等）按照严格
的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。
．．．．
19．演绎推理的主要形式：三段论
20.“三段论”可以表示为：①大前题：M是P②小前提：S是M ③结论：S是P。
其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，
它是根 据一般性原理，对特殊情况做出的判断。
21.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义 、公理、定理，直接推证结论的真实性。直
接证明包括综合法和分析法。
22.综合法就是“ 由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结
论。
4 7

23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称
为“由果索因”。要注意叙述的形式：要证
A
，只要证
B
，
B
应是
A
成立的充分条件. 分析法和综合法
常结合使用，不要将它们割裂开。
24反证法：是指从否定的结论出发，经过 逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定
原结论是正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从假设出发，经过
推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。
．．．
26常见的“结论词”与“反义词”
原结论词
至少有一个
至多有一个
至少有
n
个
至多有
n
个
反义词
一个也没有
至少有两个
至多有n-1个
至少有n+1个
原结论词
对所有的
x
都成立
对任意
x
不成立
反义词
存在x使不成立
存在x使成立
p
或
q

p
且
q

?p
且
?q

?p
或
?q

27.反证法的思维方法:正难则反
．．．．
28.归缪矛盾（1）与已知条件矛盾:（2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾．
．．．．．．．．．．．．．．．．
?
29．数学归纳法（只能证 明与正整数有关的数学命题）的步骤(1)证明：当
n
取第一个值
．．．．．．．n
0
n
0
?N
时
??
命题成立；(2)假设当 n=k (
k
∈N
*
，且
k
≥
n
0
)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.由(1)，(2)可
．．．．．
知，命题对 于从
n
0
开始的所有正整数
n
都正确 [注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确
性的证明。



5 7

第三章 数系的扩充和复数的概念
30.复数的概念：形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，
a
叫实部， < br>b
叫虚部，数集
．．．．
C?
?
a?bi|a,b?R
?
叫做复数集。
规定：
a?bi?c?di?
a=c且，强调：两复数不 能比较大小，只有相等或不相等。
．．．．
b=d
．．．
?
实数 (b?0)
?
31．数集的关系：
复数Z
?
?
?
一 般虚数(a?0)

虚数 (b?0)
?
?
?
?
纯 虚数(a?0)
?
32.复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。
33.复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数
z?a?bi
，都可以由一个有序实数对
(a,b)
唯一确定。
由于有序实数对
(a,b)
与平面直角坐标系 中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间
可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系 来表示复数的平面叫做复平面，
x
轴叫做实轴，
y
轴叫做
虚轴。实轴 上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
34.求复数的模(绝对值)与复数z
对应的向量
OZ
的模
r
叫做复数
z?a?bi
的模(也叫绝对值)记作
z或a?bi
。由模的定义可知：
z?a?bi?a
2
?b
2

35.复数的加、减法运算及几何意义①复数的加、减法法则：
z
1
?a?bi与z
2
?c?di
，则
的加、减法 来进行。
z
1
?z
2
?a?c?(b?d)i
。注：复数 的加、减法运算也可以按向量
．．
②复数的乘法法则：
(a?bi)(c?di)?< br>?
ac?bd
?
?
?
ad?bc
?
i
。
③复数的除法法则：
a?bi(a?bi)(c?di)ac?bdbc?ad
???i
其中
c?di
叫做实数化因子
c?di(c?di)(c?di) c
2
?d
2
c
2
?d
2
36.共轭复数: 两复数
a?bi与a?bi
互为共轭复数，当
b?0
时，它们叫做共轭虚数。
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常见的运算规律
(1)z?z;(2)z?z?2a,z?z?2bi;

(3)z?z?z
2
?z
2
?a
2
?b
2
;(4)z?z;(5)z?z?z?R

(6)i
4n?1
?i,i
4n?2
??1,i
4n?3
??i,i
4n?4
?1;

2
(7)
?
1?i
?
2
??i;(8)
1 ?i
1?i
?i,
1?i
?
1?i
?
1?i
??i,
?
?
2
?
?
??i

(9)< br>设
?
?
?1?3i
2
3n?1
2
是1的立方 虚根，则
1?
?
?
?
?0
，
?
?
?
,
?
3n?2
?
?
,
?
3n?3
?1
7 7