最新高中数学选修2-2知识点总结(最全版)

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高中数学选修2-2知识点总结
第一章、导数
1．函数 的平均变化率为
f(x
2
)?f(x
1
)f(x
1
??x)?f(x
1
)
?y?f
?

??
x
2
?x
1
?x
?x?x
注1：其中
?x
是自变量 的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函 数
y?f(x)
在
x?x
0
处的瞬时变化率是
lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
? lim
，
?x
?x?0
?x
则称函数
y?f(x)
在点
x
0
处可导，并把这个极限叫做
y?f(x)
在
x0
处的导数，记作
f
'
(x
0
)
或
y
'
|
x?x
0
，即
f
'
(x
0< br>)
=
lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x0
)
?y
?lim
.
?x
?x?0
?x

3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；
函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；

5、常见的函数导数
函数 导函数
(1)
y?c

(2)
y?x
n
?
n?N
*
?

(3)
y?a
x
?
a?0,a?1
?

(4)
y?e
x

(5)
y?log
a
x
?
a?0,a?1,x?0
?

(6)
y?lnx

(7)
y?sinx

(8)
y?cosx




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y'?
0
y'?nx
n?1

y'?a
x
lna

y'?e
x

y'?
1

xlna
1
y'?

x
y'?cosx

y'??sinx

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6、常见的导数和 定积分运算公式:若
f
?
x
?
，
g
?
x< br>?
均可导（可积），则有：
和差的导数运算
?
f(x)?g(x)
?
?f
'
(x)?g
'
(x)

?
f(x)?g(x)
?
?f
'
(x)g(x)?f(x)g
'(x)

'
'
积的导数运算
特别地：
?
?< br>Cf
?
x
?
?
?
'?Cf'
?
x< br>?

?
f(x)
?
f
'
(x)g(x)?f (x)g
'
(x)
(g(x)?0)

?
g(x)
?
?
2
??
?
g(x)
?
'
商的导数运算
?
1
?
?g'(x)
特别地：
?

?'?
2
gxgx
??
?
??
?
复合函数的导数
y
x
?
?y
u
?
?u
x
?

微积分基本定理
?
f
?
x
?
dx?
F(a)--F(b)
a
b
（其中
F'
?
x
?
?f
?< br>x
?
）
和差的积分运算
?
[f(x)?f(x)]dx?
?
a
12
bb
a
f
1
(x)dx?
?
f
2
(x)dx
a
b
a
b



特别地：
积分的区间可加性
?
b
a
kf(x) dx?k
?
f(x)dx(k为常数)
cb
ac
?
b
a
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx(其中a?c ?b)

.用导数求函数单调区间的步骤:
①求函数f(x)的导数
f'(x)

②令
f'(x)
>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.
③令
f'(x)
<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；
[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f(x)的极值的步骤：
(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数f(x)的导数
f'(x)

(3)求方程
f'(x)
=0的根
(4) 用函数的导数为0的点，顺次将 函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，
检查
f

(x)
在方 程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如
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果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变 符号，那么f(x)在这个根处
无极值
8.利用导数求函数的最值的步骤:求
f(x )
在
?
a,b
?
上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求
f(x)
在
?
a,b
?
上的极值；
⑵将
f(x)
的各极值与
f(a),f(b)
比较，其中最大的一个是最大值 ，最小的一个是最小值。
[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；

9．求曲边梯形的思想和步骤:分割
?
近似代替
?
求和
?
取极限 （“以直代曲”的思想）

10.定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1
?
1dx?b?a

a
b
a
b
b
性质5 若
f(x)?0,x?
?
a,b
?
，则
?
f(x)dx?0

①推广：
?
[f
1
(x)?f
2
(x)?
a
?f< br>m
(x)]dx?
?
f
1
(x)dx?
?
f
2
(x)dx?
aa
bb
?
?
f
m
(x)

a
b
②推广:
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
aac
1
bc
1
c
2
?
?
f(x)dx

c
k
b

11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取
负值，还可能是0.
( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值
取正值，且等于x轴上方的图形面积；
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的
值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；
（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x
轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x轴
上方图形的面积减去下方的图形的面积．

12．物理中常用的微积分知识（1）位移的导 数为速度，速度
的导数为加速度。（2）力的积分为功。
第二章、推理与证明知识点

13.归纳推理的定义：
从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。
．．．．．．．
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
．．．．

14.归纳推理的思维过程大致如图：
实验、观察
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概括、推广 猜测一般性结论