安徽省长丰县实验高级中学人教版高中数学选修1-1教案：3.3.3函数的最大(小)值与导数

§3.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时）

项目 内容
修改与
课题 （共2课时）
创新
⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概 念，掌握可导函数
f(x)
在闭区
教学
目标
间
?
a,b
?
上所有点（包括端点
a,b
）处的函数中的最大（或最小）值必有
的充分条件；
⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤
教学重、
教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．

难点

教学
多媒体课件
准备
一、
导入新课：


教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．
我们知道，极值反 映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义
域内的性质．也就是说，如果
x< br>0
是函数
y?f
?
x
?
的极大（小）值点，那么在点
x
0
附近找不到比
f
?
x
0
?
更 大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的
性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大 ，哪个值最小．如果
x
0
是
教学过
程


函数的最大（小）值，那么
f
?
x
0
?
不小（大）于函数
y?f
?
x
?
在相应区间上的
所有函数值．
二、讲授新课：
观察图中一个定义在闭区间
?
a,b
?
上 的函数
f(x)
的图象．图中
f(x
1
)
与
y
f(x
3
)
是极小值，
f(x
2
)
是极大值．函数
f(x)
在
?
a,b
?
上的最大值是
f(b)
，最小
值是
f(x
3
)
．
a
x
1
O
x
2
x
3
b
x

1．
结论
：
一般地，在闭区间
?
a,b
?
上函 数
y?f(x)
的图像是一条连续
不断的曲线，那么函数
y?f(x)
在
?
a,b
?
上必有最大值与最小值．

说明：⑴如果在 某一区间上函数
y?f(x)
的图像是一条连续不断的曲线，则
称函数
y?f (x)
在这个区间上连续．（可以不给学生讲）
⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间< br>(a,b)
内连续的函数
f(x)
不一定
有最大值与最小值．如函数< br>f(x)?
1
在
(0,??)
内连续，但没有最大值与最小值；
x
⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，
⑷函数
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上连续，是
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上有最大值与最小
值的充分条件而非必要条件．（可以不 给学生讲）
2．“最值”与“极值”的区别和联系
⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域 内的函数值得出的，具有绝对性；而“极
值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对 性．
⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；
⑶函数在其定 义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止
一个，也可能没有一个
⑷极 值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必
有最值，有最值的未必有极值 ；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是
极值．
3．利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数
f(x)
的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端
点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
一般地，求函数
f(x)
在?
a,b
?
上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求
f(x)
在
(a,b)
内的极值；
⑵将
f( x)
的各极值与端点处的函数值
f(a)
、
f(b)
比较，其中最大 的一个
是最大值，最小的一个是最小值，得出函数
f(x)
在
?
a, b
?
上的最值
三．典例分析

例1．（课本例5）求
f
?
x
?
?
1
3
x?4x?4
在
?
0,3
?
的最大值与最小值
3
解：由例4可知，在
?
0,3
?
上，当
x?2
时，
f(x)
有极小值，并 且极小值
为
f(2)??
4
，又由于
f
?
0
?
?4
，
f
?
3
?
?1

3< br>1
3
4
因此，函数
f
?
x
?
?x? 4x?4
在
?
0,3
?
的最大值是4，最小值是
?
．
33
1
3
上述结论可以从函数
f
?
x
?
?x?4x?4
在
?
0,3
?
上的图象得到直观验
3
证．
例2．求函数
y?x?2x?5
在区间
?
?2, 2
?
上的最大值与最小值
42
解：先求导数，得
y?4x?4x


3
令y
＝0即
4x?4x?0
解得
x
1
??1,x
2
?0,x
3
?1

3
导数
y
的正负以及
f(?2)
，
f(2)
如下表


从上表知，当< br>x??2
时，函数有最大值13，当
x??1
时，函数有最小值4
x
2
?ax?b
例3．已知
f(x)?log
3
,
x
∈(0,+∞).是否存在实数
a、b
,使
x
（1）
f(x )
)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)
f(x)
同时满足下列两个条件：上是增函数；（2）
f(x)
的最小值是1，若存在，求出
a、b
，若不 存在，说明理
由.
x
2
?ax?b
解：设g(x)=
x
∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数
∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.
∴
?
?
g'(1)?0
?
b?1?0
?
a?1
∴
?
解得
?

?
g(1)?3
?
a?b?1?3
?
b?1
经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件.
四．课堂练习

1．下列说法正确的是 ( )
A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
2．函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x) ( )
A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有
12
10< br>8
6
4
2
-4
-2
y
可能
111
3．函数y=
x
4
?x
3
?x
2
，在［－ 1，1］上的最小值为( )
432
13
A.0 B.－2 C.－1 D.
12
4．求函数
y?x?2x?5
在区间
??2,2
?
上的最大值与
42
y=x
4
-2x
2
+5
O
2
4
x
最小值．
5．课本 练习
课堂小结：
1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；
2．函数
f(x)
在闭区间
?
a,b< br>?
上连续，是
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上有最大值与最
小值的充分条件而非必要条件；
3．闭区间
?
a,b
?
上的连续函数一定有最值；开区间
(a,b)
内的可导函数
不一定有最值 ，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值
4．利用导数求函数的最值方法．
布置作业：
P99 A组6
§3.3.3函数的最大（小）值与导数
1．一般地，在闭区间
?
a,b
?
上函数
y?f(x)
的图像是一条连续不断的曲 线，那么函数
y?f(x)
在
?
a,b
?
上必有最大值与最 小值。
板书设
2．利用导数求函数的最值步骤:
计
由上面函数
f(x)
的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函
数值进行比较，就可 以得出函数的最值了．
一般地，求函数
f(x)
在
?
a,b
?
上的最大值与最小值的步骤如下：

⑴求
f(x)
在
(a,b)
内的极值；
⑵ 将
f(x)
的各极值与端点处的函数值
f(a)
、
f(b)
比较，其中最大的一个是最大值，
最小的一个是最小值，得出函数
f(x)
在
?
a,b
?
上的最值。
这里求最值，仅仅只对在闭区间且图像是一条连续不 断的函数，所以求解较为简单。
教学反
思
鉴于课标的要求，教学时，对不满足条件的 函数求最值，不做补充。但是，对在开区间，
且函数只有一个极值点的，可举例分析其最值的情况，及求 解。函数只有一个极（大）小
值，则该极（大）小值也是最（大）小值。这一点，学生不难理解。