高中数学抽象不等式-高中数学教学的做法与思考
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2
1
．已知等比数列
?
a
n
?
中，
a
1
?2
，且有
a
4
a
6
?4a
7
，则
a
3
?
( )
A
．
1
B
．
2
C
．
1
4
D
．
1
2
2
．甲、乙两人在相同条件
下，射击
5
次，命中环数如下：
甲
乙
9.8
9.4
9.9
10.3
10.1
10.8
10
9.7
10.2
9.8
根据以上数据估计（
）
A
．甲比乙的射击技术稳定
C
．两人没有区别
B
．乙
.
比甲的射击技术稳定
D
．两人区别不大
3
．在平面直角坐标系
xOy
中，已知点
A(1?m,2m?1)
，点
B
?
?2,1
?<
br>，直线
l
:
ax?by?0
.
如果对任意的
m?R<
br>点
A
到直线
l
的距离均为定值，则点
B
关于直线l
的对称点
B
1
的坐标为（
）
A
．
?
0,2
?
B
．
?
?
211
?
,
?
?
55
?
C
．
?
2,3
?
D
．
?
,3
?
?
2
?
5
?
?
4
．某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭
360
户、
270
户、
180
户，若首批
经济适用房中有
90
套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区
中抽取低收入家庭的户数为（
）
A
．
40
B
．
36 C
．
30 D
．
20
5
．若
A
?
1,3
?
，
B
?
?2,?3
?
，
C
?
x,7
?
，设
AB?a
，
BC?b
，且
ab
，则
x
的值为（
）
A
．
0 B
．
3 C
．
15
D
．
18
6
．执行如下图所示的程序框图，若输出的
S?0
，则输入的
a
的值为（
）
A
．
255
256
B
．
511
512
C
．
1023
1024
D
．
2047
2048
7
．平
面向量
a?(n,1)
与
b?(4,n)
共线且方向相同，则
n的值为（
）
A
．
0
B
．
?2
C
．
2
D
．
?2
8
．己知关于
x
的不等式
x?a?x?2?1
解集为
R
，则突数
a
的取值范围为
( )
A
．
??
,1
?
?
?
?
3,??
?
C
．
??,?3
?
?
?
?
?1,??
?
?
B
．
?
1,3
?
D
．
?
?3,?1
?
?
9
．已
知
a
与
b
的夹角为
120
，
a?3
，a?b?13
，则
b?
（
）
A
．
4
B
．
3
C
．
2
D
．
1
10
．数列
1
,3,6,10
，
…
的一个通项公式是（
）
2
A
．
a
n
?n?n?1
B
．
a
n
?
n(n?1)
2
2
C
．
a
n
?
n(n?1)
2
D
．
a
n
?n?1
?
x?1
?0
?
11
．若实数
x,y
满足约束条件
?
x?y
?0
，则
z?2x?y
的最大值为（ ）
?
x?y?6?0
?
A
．
9 B
．
7
C
．
6 D
．
3
12
．在正方体
ABCD?A<
br>1
B
1
C
1
D
1
中，
E
，
F
，
G
，
H
分别是
A
1
C
1
，
A
1
D
1
，
DD
1
，AA
1
的中点，
K
是底面
ABCD
上的动点，且
HK
平面
EFG
，则
HK
与平面
ABCD
所成角
的正弦值的最小值是（
）
A
．
6
6
B
．
5
5
C
．
2
2
D
．
1
2
二、填空题：本题共4小题
13
．在
ABC
中，已知<
br>a?6
，
b?3
，
B?
?
3
，则角
C?
__________
．
14
．已知函数
f(x)?
2sin(?
x
?
)
，若对任意
x?R
都有
f(x
1
)?f(x)?f(x
2
)
（
x
1
,x
2
?R
）成立，则
46
x
1
?x
2
的最小值为
__________
．
15
．已知圆锥的表面积等
于
12
?
cm
2
，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为__________
cm
.
16．设S
n
为数列{a
n
}的前n项和，若S
n
＝(－1)
n
a
n
－
1
，n∈N，则a
3
＝________
．
n
2
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
．已知点
A(4,1),B(?6,3),C(3,0)
．
<
br>（
1
）求
?ABC
中
BC
边上的高所在直线的方程；
（
2
）求过
A,B,C
三点的圆的方程．
18
．如图，为了测量河对岸
A
、
B
两点的距离，观察者找到一
个点
C
，从
C
点可以观察到点
A
、
B
；找
到一个点
D
，从
D
点可以观察到点
A
、
C
；找到一个点
E
，从
E
点可以观察到点
B
、
C
．并测量得到以
下数据，
?DCA?105
，
?ADC?30<
br>，
?BCE?90
，
?ACB??CEB?60
，
DC?20
02
米，
CE?1003
米．求
A
、
B
两点的距离
．
19
．（
6
分）某种产品的广告费支出
x<
br>与销售额
y
（单位：万元）之间有如下对应数据：
x
2
30
4
40
5
60
6
50
8
70
y
（
1
）画出散点图；
（
2
）求线性回归方程；
（
3
）试预测广告费支出为
10
万元时，销售额为多少？
附：公式为：
b?
^
?
xy?nx?y
ii
i?1
n
n
?
x
i?1
2
i
?nx
2<
br>,a?y?bx
，参考数字：
?
x?145
，
?
x<
br>i
y
i
?1380
.
2
i
i?1
i?1
^^
5
5
20
．（
6
分）等差数列
?
a
n
?
的各项均为正数，
a
1
?3
，<
br>?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，
?
b
n
?
为等比数列，
b
1
?2，
且
b
2
S
2
?32,
b
3
S
3
?120
．
（
1
）求
a
n
与
b
n
；
（
2
）求数列
?
a
n
b
n
?的前
n
项和
T
n
.
21
．（
6分）如图，正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
．
（
1
）求证：
AC?
平
面
B
1
D
1
DB
；
（
2
）求异面直线
AC
与
BC
1
所成角的大小．
2
2
．（
8
分）已知数列
{a
n
}
的前
n<
br>项和为
A
n
，对任意
n?N
*
满足
*
足
b
n?2
?2b
n?1
?b
n
?0(n?N)
，
b
3
?5
，其前
9
项和为
63. A
n?1
A
n
1
??
，且
a
1
?1
，数列
{b
n
}
满
n?1n2
（
1
）求数列
{a
n
}
和
{b
n
}
的
通项公式；
（
2
）令
c
n
?
围；
（
3
）将数列
{a
n
}
,
{b
n
}
的项按照
“
当
n
为奇数时，
a
n
放在前面；当<
br>n
为偶数时，
b
n
放在前面
”
的要求进行
“
交
叉排列
”
，得到一个新的数列：
a
1
,b
1
,b
2
,a
2
,a
3
,b
3
,b
4
,a
4
,
…
，求这个新数列的前
n
项和
S
n
.
b
n
a
n
?
，数列
{c
n
}
的前
n
项和为
T
n
，若
存在正整数
n
，有
T
n
?2n?a
，求实数
a的取值范
a
n
b
n
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．
A
【解析】
22
2
a
4
a
6
?4a
7
2
,a
5
?4a
7
，
a
5
?2a
7
，所以
q?
1
,
a
3
?a
1
q
2
?1.
选
A
2
2
．
A
【解析】
【分析】
先计算甲、乙两人射击
5
次，命中环数的平均数，再计算
出各自的方差，根据方差的数值的比较，得出正
确的答案
.
【详解】
甲、乙两人射击
5
次，命中环数的平均数分别为：
x
1<
br>?
9.8?9.9?10.1?10?10.29.4+10.3+10.8+9.7+9.8<
br>?10、x
2
==10
，甲、乙两人射击
5
次，命中环
55
数的方差分别为：
(9.8?10)
2
?(9.9?10)
2
?(10.1?10)
2
?(10?10)
2
?(10.
2?10)
2
S??0.02
，
5
2
1
(9.4?10)
2
?(10.3?10)
2
?(10.8?10)
2
?(9.7?10)
2
?(9.8?10)
2
S??0.244<
br>，
5
2
2
22
因为
S
1
?S
2
，所以甲比乙的射击技术稳定，故本题选
A.
【点睛】
本题考查了用方差解决实际问题的能力，考查了方差的统计学意义
.
3
．
B
【解析】
【分析】
利用点到
直线的距离公式表示出
d
，由对任意的
m?R
点
A
到直线<
br>l
的距离均为定值，从而可得
a?2b
，
求得直线
l
的方程，再利用点关于直线对称的性质即可得到对称点
B
1
的坐标。
【详解】
由点到直线的距离公式可得：点
A
到直线
l的距离
d?
a?am?2mb?b
a?b
22
?
a?m
(a?2b)?b
a?b
22
由于对任意的
m?R
点<
br>A
到直线
l
的距离均为定值，所以
a?2b?0
，即
a?2b
，
所以直线
l
的方程为：
2x?y?0
设点
B
关于直线
l
的对称点
B
1
的坐标为
(m,n)
2
?
?
n?11
m?
??
?
?
m?22
?
5
，解得：
?
，
故
?
11
m?
2n?1
?
2?
?
n?
??0
?
?
522
?
?
所以设点
B
关于直线
l
的对称点B
1
的坐标为
?
?
211
?
,
?
55
??
故答案选
B
【点睛】
本题主要考查点关于直线对称的对称点的求法，涉及点到直线的距离，两直
线垂直斜率的关系，中点公式
等知识点，考查学生基本的计算能力，属于中档题。
4
．
C
【解析】
试题分析：利用分层抽样的比例关系<
br>,
设从乙社区抽取
n
户，则
考点：考查分层抽样
.
5
．
B
【解析】
【分析】
首先分别求出向量
a,b
，然后再用两向量平行的坐标表示，最后求值
.
【详解】
，解得
.
AB?a?
?
?3,?6
?
,
BC?b?
?
x?2,10
?
,
当
ab
时，<
br>(?3)?10?
?
?6
?
?
?
x?2
?<
br>?0
，
解得
x?3
.
故选
B.
【点睛】
本题考查了向量平行的坐标表示，属于基础题型
.
6
．
D
【解析】
由题意，当输入
a
，则
i?1,S?2(a?1)?1
；
S?2
2
(a?1)
?1,i?2
；
S?2
3
(a?1)?1,i?3,
11
；
S?2(a?1)?1,i?11?10
，终止循环，
11
则输出
S?2(a?1)?1?0
，所以
a?1?
7
．
C
【解析】
【分析】
12047
?
，故选
D.
2
11
2048
利用向量共线的坐标运算求解
n
，验证得答案．
【详解】
向量
a?(n,1)
与
b?(4,n)
共线，
?n
2<
br>?4?0
，解得
n2
．
当
n?2
时，
a?(2,1)
，
b?(4,2)?2a
，
?
a
与
b
共线且方向相同．
当
n??2
时，
a?(?2,1)
，
b?(4,?2)??2a
，<
br>
?
a
与
b
共线且方向相反，舍去．
故选
C
．
【点睛】
本题考查向量共线的坐标运算，是基础的计算题．
8
．
C
【解析】
【分析】
利用绝对值的几何意义求解，即<
br>x?a?x?2
表示数轴上
x
与
a
和－
2
的
距离之和，其最小值为
a?2
．
【详解】
∵
x?a?x?
2?a?2
，
∴
由
x?a?x?2?1
解集为
R
，
得
a?2?1
，解得
a??3或a??1
．
故选
C
．
【点睛】
本题考查绝对值不等式，考
查绝对值的性质，解题时可按绝对值定义去绝对值符号后再求解，也可应用绝
对值的几何意义求解．不等
式
x?a?x?2?1
解集为
R
，可转化为
x?a?x?2
的最小值不小于
1
，
这是解题关键．
9
．
A
【解析】
【分析】
将等式
a?b?13
两边平
方，利用平面向量数量积的运算律和定义得出关于
b
的二次方程，解出即可
.
【详解】
22
将等式
a?b?13
两边平方得，
a?2a?b?b?13
，即
a?2a?bcos120?b?13
，
22
整理得
b?3b?4?0
，
【点睛】
2
b?0
，解得
b?4
，故选：
A.
本题考查平
面向量模的计算，在计算向量模的时候，一般将向量模的等式两边平方，利用平面向量数量积
的定义和运
算律进行计算，考查运算求解能力，属于中等题
.
10
．
C
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：可采用排除法，令
n?1
和
n?2,
n?3
，验证选项，只有
a
n
?
n(n?1)
，使得
2
a
1
?1,a
2
?3,a
3
?6
，故
选
C
．
考点：数列的通项公式．
11
．
A
【解析】
?
x?1?0<
br>?
x?y?0
?
由约束条件
?
x?y?0
作出可行域
如图，联立
?
，解得
A
?
3,3
?
，化目标函数<
br>z?2x?y
为
x?y?6?0
?
?
x?y?6?0
?
y??2x?z
，由图可知，当直线
y??2x?z
过
A
时，直线在
y
轴上的截距最大，
z
有最大值为
9
，故选A.
【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题
.<
br>求目标函数最值的一般
步骤是
“
一画、二移、三求
”
：（1
）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（
2
）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（
3
）将最
优解坐标代入目标函数求出最值
.
12
．
A
【解析】
【分析】
根据题意取
BC,AD
的中
点
M,N
，可得平面
MNH
平面
EFG
，从而可得
K
在
MN
上移动，
HA?
平
面
ABCD
，
即可
HK
与平面
ABCD
所成角中最小的为
?AMH
【详解】
如图，取
BC,AD
的中点
M,N
，连
接
HN,MN,HM,AM
，
由
E
，
F
，
G
，
H
分别是
A
1
C
1
，
A
1
D
1
，
D
D
1
，
AA
1
的中点，
所以
HNFG<
br>，
MNEF
，且
HN?MN?N,FG?EF?F
，
则平面
MNH
平面
EFG
，
若
K是底面
ABCD
上的动点，且
HK
平面
EFG
，
则
K
在
MN
上移动，
由正方体的性质可知
HA?
平面
ABCD
，
所以
HK
与平面
ABCD
所成角中最小的为
?AMH
，
不妨设正方体的边长为
a
，
a
AH
2
?
6
sin?AMH??
.
在
?AMH
中，
HM6
6a
2
故选：
A
【点睛】
本题考查了求线面角，同时考查了面面平行的判定定理，解题的关键是找出
线面角，属于基础题
.
二、填空题：本题共4小题
13
．
5
?
12
【解析】
【分析】
先由正弦定理得到角
A
的大小，再由三角形内角和为?
得到结果
.
【详解】
根据三角形正弦定理得到：
因为
a?b?A?B
故得到
A?
故答案为
?
3
632
A?
，故得到或
?
，
??sinA?
0
4
4
sinAsin602
?
4
?C?
?
?
?
4
?
?
3<
br>?
5
?
.
12
5
?
.
12
【点睛】
在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据
.
解三角形时，有
时可用正弦定理，有
时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说
,
当条件中同时出现
ab
及
b
2
、
a
2
时，
往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余
弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再
结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
14
．
4
?
【解析】
【分析】
根据
f(x
1
)
和
f(x2
)
的取值特点，判断出两个值都是最值，然后根据图象去确定
x
1?x
2
最小值
.
【详解】
因为
f(x1
)?f(x)?f(x
2
)
对任意
x?R
成立，所以
f(x
1
)
取最小值，
f(x
2
)
取最大
值；
x
1
?x
2
取最小值时，
x
1与
x
2
必为同一周期内的最小值和最大值的对应的
x
，则
x
1
?x
2
min
?
T?
2
?
?8
，故
x
1
?x
2
min
?4
.
|
?
|
T
，且
2
【点睛】
任何
一个函数
f(x)
，若有
f(x
1
)?f(x)?f(x
2
)
对任何
x?
定义域成立，此时必有：
f(x
1
)
?min
，
f(x
2
)?max
.
15
．
2cm
【解析】
【分析】
设出底面圆的半径，用半径表示出圆锥的母线，再利用表面积，解出半径。
【详解】
设圆锥的底面圆的半径为
r
，母线为
l
，则底面圆面积为
?
r
2
，周长为
2
?
r
，
?
l?2
?
r
?
?
r?2
?
则
?
1
2
解得
?
2
l?412
?
?
?
r?
?
l
?
?
2
?
故填
2
【点睛】
本题考查根据圆锥的表面积求底面圆半径，属于基础题。
16．－
1
16
11
，则a
1
＋a2
＋2a
3
＝－，当n＝4时，S
4
＝a
1
＋
a
2
＋a
3
＋a
4
88
【解析】当n＝3时，S<
br>3
＝a
1
＋a
2
＋a
3
＝－a
3<
br>－
＝a
4
－
11
，两式相减得a
3
＝－.
1616
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
．
（
1
）
3x?y?11?0
；（
2
）
x
2
?y
2
?x?9y?12?0
【解析】
【分析】
（
1
）
BC
边上的高所在直线方程斜率
与
BC
边所在直线的方程斜率之积为
-1
，可求出高所在直线的斜率，
代入
A(4,1)
即可求出高所在直线的方程。（
2
）设圆的一般方程为<
br>x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
，代入
A(4,1
),B(?6,3),C(3,0)
即可求得圆的方程。
【详解】
（
1
）因为
BC
所在直线的斜率为
k
BC
?3?01
??
，
?6?33
所以
BC
边上的高所在直线的斜率为
k?3
<
br>所以
BC
边上的高所在直线的方程为
y?1?3(x?4)
，即
3x?y?11?0
（
2
）设所求圆的方程为
x
2?y
2
?Dx?Ey?F?0
因为
A,B,C
在所求的圆上，故有
?
16?1?4
?
?
36?9?6D?3E?F?0
?
9?3D?F?0
?
?
D?1
?
?
?
E??9
?
F??12
?
所以所求圆的方程为
x?y?
x?9y?12?0
【点睛】
（
1
）求直线方程一般通
过直线点斜式方程求解，即知道点和斜率。（
2
）圆的一般方程为
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
，三个未知数三个点代入即可。
22
18
．
AB?1007
米
【解析】
【分析】
在
?ACD
中，求出
?DAC
，利用正
弦定理求出
AC
，然后在
Rt?BCE
中利用锐角三角函数定义求出
BC
，
最后在
?ABC
中，利用余弦定理求出
AB
.
【详解】
由题意可知，在
?ACD
中，
?DAC?45
，
由正弦定理得
DC?sin?ADC
ACDC
?
?200
米，
，所以
AC?
sin?ADCsin?DAC
sin?DAC
在
Rt?BCE
中，
BC?1003?3?300
米，
在
?ABC
中，由余弦定理得
1
AB
2
?AC
2
?BC
2
?2AC?BC?cos60?200
2
?300
2
?2?200?300??70000
，
2
所以，
AB?1007
米
.
【点睛】
本题考查利用正弦、余弦定理解三角形应用题，要将实际问题转化为三角形的问题，并结合已知元素类型
选择正弦、余弦定理解三角形，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题
.
?
?6.5x?17.5
；
(3)
y
19
．
(1)
散点图见详解；
(2)
82.5
万元
.
【解析】
【分析】
（
1
）根据表格数据，绘制散点图即可；
（
2
）根据参考数据，结合表格数据，分别求解回归直线方程的系数即可；
（
3
）令（
2
）中所求回归直线中
x?10
，即可
求得预测值
.
【详解】
（
1
）根据表格中的
5
组数据，绘制散点图如下：
（
2
）由表格数据可知：
x?
5
11
?
2?4?5?6?8
?
?5,y?
?
30?40?50?
60?70
?
?50
55
ii
?
xy
i
?1
?1380
，
?
x
i
2
?145
i?1
5
故可得
b?
^
?
xy?5x?y
ii
i?1
5
5
?
?
x
i?1
^
2
i
?5x
2
1380?5
?5?50
?6.5
145?5?25
a?y?bx?50?6.5?5?17.5
?
?6.5x?17.5
.
故所求回归直线方程为
y
?
?6.5x?17.5
（3
）由（
2
）知，
y
^
?
?82.5
.
令
x?10
，解得
y
故广告费支出为
10
万元
时，销售额为
82.5
万元
.
【点睛】
本题考查散点图
的绘制，线性回归直线方程的求解，以及应用回归直线方程进行预测，属综合性基础题
.
n<
br>n?1
20
．（
1
）
a
n
?2n?1,b<
br>n
?2
；（
2
）
T
n
?(2n?1)?2?
2
【解析】
试题分析：（
1
）
?
a<
br>n
?
的公差为
d
，
?
b
n
?
的公比为
q
，利用等比数列的通项公式和等差数列的前
n
项和
公式
，由
b
2
S
2
?32,b
3
S
3
?120
列出关于
q,d
的方程组，解出
q,d
的值，从而得到a
n
与
b
n
的表达式
.
n
（
2
）根据数列
?
a
n
b
n
?
的特点,
可用错位相减法求它的前
n
项和
T
n
,
由（
1
）的结果知
a
n
b
n
?(2n?1)?2
T
n
?3?2?5?2
2
?
2T
n
?
3?2
2
?5?2
3
?
?(2n?1)?2
n?1
?(2n?1)?2
n
?(2n?1)?2
n
?(2n?1)?2
n
?1
(1)
，两边同乘以
2
得
(2)
由
(1)(2)
两式两边分别相减
,
可转化为等比数列的求和问题解决
.
试题解析：（
1
）设
?
a
n
?
的公
差为
d
，
?
b
n
?
的公比为
q
，
则
d
为正整数，
a
n
?3?(n?1)d
，b
n
?2q
n?1
S
3
b
3
?(9?3d)2q
2
?120
(9?3d)q
2
?60
依题意有
{
，即
{
，
S
2
b
2
?(6?d)2q?32
(6?d)q?16
6
d??
d?2
5
,
或者
{
解得
{
（舍去），
q?2
10
q?
3
n
故
a
n
?3?2(n?1)
?2n?1,b
n
?2
．
4
分
n
（<
br>2
）
a
n
b
n
?(2n?1)?2
．
6
分
T
n
?3?2?5?2
2
?
?(2n?1)?2
n?1
?(2n?1)?2
n
，
2T
n
?3?2
2
?5?2
3<
br>??(2n?1)?2
n
?(2n?1)?2
n?1
，
?2?2
n
?(2n?1)2
n?1
8
分
23
两式相减得
?T
n
?3?2?2?2?2?2?
?2?22
?2
3
??2
n?1
?(2n?1)2
n?1
?2
n?2
?2?(2n?1)2
n?1
?(1?2n)2
n?1
?2
，
n?1
所以
T
n
?(2n?1)
?2?2
12
分
考点：
1
、等差数列和等比数列；
2
、错位相减法求特数列的前
n
项和
.
21
．（
1
）见解析（
2
）
【解析】
【分析】
（
1
）证明
AC?BD
，
BB
1
?AC
，即得证；（
2
）求出
?CAD
1
?
小．
【详解】
（
1
）证明：因为
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
为正方体，
所以
ABCD
为正方形．
所以
AC?BD
，
<
br>又因为
BB
1
?
平面
ABCD
，
AC?平面
ABCD
，故
BB
1
?AC
，
又
BD?BB
1
?B
，
BD,B
1
D
1<
br>?
平面
B
1
D
1
DB
,
所以AC?
平面
B
1
D
1
DB
．
（
2
）因为
AD
1
BC
1
，
<
br>所以直线
AC
与
BC
1
所成的角或补角即为
AC与
AD
1
的角，
又三角形
CAD
1
为等边三角形，
所以
?CAD
1
?
?
3
?
3<
br>即得异面直线
AC
与
BC
1
所成角的大
?
3
，
即直线
AC
与
BC
1
所成的角为
【点睛】
?
．
3
本题主要考查线面位置关系的证明，考查异面直线所成角的
计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水
平
.
1
2
3
n?n,n?2k
42
n
2
?6n?3
4
,n?4k?3,
k?N
*
22
．（
1
）
a
n
?n,b<
br>n
?n?2
；（
2
）
a?
；（
3
）
S
n
?{
3
4
n
2
?6n?5
,
n?4k?1
4
【解析】
试题分析：
（
1
）由已知得数列
?
A
?
A
n
?
?
是等差数列，从而易得
n
，也即得
A
n
，利用
a
n
?A
n
?A
n?1
(n?2)
求
n<
br>?
n
?
得
a
n
(n?2)
，再求得
a
1
?A
1
可得数列
?
a
n
?
通
项，利用已知
b
n?2
?2b
n?1
?b
n
?0<
br>可得
?
b
n
?
是等差数列，由
等差数列的基本量法可
求得
b
n
；（
2
）代入
a
n
,b
n
得
c
n
，变形后得
c
n
?2?2
?1
??
1
?
从而易求得和
T
n
，
?<
br>，
nn?2
??
于是有
T
n
?2n?3?2
?
1
?
11
?
1
?
?
，只要求得的最大值
即可得
T
n
?2n
的最小值，从而得
?
n?1n?2
?
n?1n?2
?
a
的范围，研究
11
?
的单调
性可得；（
3
）根据新数列的构造方法，在求新数列的前
n
项和
S<
br>n
时，
n?1n?2
对
n
分类：
n?2k
，
n?4k?1
和
n?4k?1
三类，可求解．
试题解析：
（
1
）
∵
A
n?1
A
n
1
1?
A
?
??
，
∴
数列
?
n
?
是首项为
1
，公差为的等差数列，
n?1n2
2
?
n
?
，即
A
n
?
∴
n
?
n?1
?
2
?
n?N
?
，
*
∴
a
n?1
?A
n?1
?A
n
?
?
n?1
??
n?2
?
?
n
?
n?1
?<
br>?n?1
22
?
n?N
?
，
*
*
又
a
1
?1
，
∴
a
n
?nn?N
．
??
∵
b
n?2
?2b
n?1
?b
n
?0
，
∴
数列
?
b
n
?
是等差数列，
设
?
b
n
?
的前
n
项和为
B
n
，
∵
B
9
?
∴b
7
?9
，
∴
?
b
n
?
的公
差为
（
2
）由（
1
）知
c
n
?
9
?
b
3
?b
7
?
2
?63
且b
3
?5
，
b
7
?b
3
9
?5
??1,b
n
?n?2n?N
*
7?37?3
??
b
n
a
n
n?2n1
??
1
???
?2?2
?
?
?
，
a
n
b
n<
br>nn?2nn?2
??
?
11
?
?
?
nn?2
?
∴
T
n
?c
1
?c
2?
?
111
?c
n
?2n?2
?
1????<
br>?
324
11
?
1
??
1
?
1?2n?2
?
1????2n?3?2?
???
，
2
n?1n?2n?1n?2
????
∴
T
n
?2n?3?2
?
1
??
1
?
?
?
n?1n?2
?
设
R
n
?3?2
?
1
?
4
1
?
?
1
?
1
R?R?2???0
，
?
，则
n?1n
??
?
n?1n?3n?1n?3
n?
1n?2
???
??
?
??
∴
数列
?
R
n
?
为递增数列，
∴
?
R
n
?
min
?R
1
?
4<
br>，
3
4
．
3
∵
对任意正整数<
br>n
，都有
T
n
?2n?a
恒成立，
∴
a?<
br>（
3
）数列
?
a
n
?
的前
n
项和
A
n
?
n
?
n?1
?
2
，
数列
?
b
n
?
的前
n
项和
B
n<
br>?
n
?
n?5
?
2
，
①
当
n?2kk?N
?
*
?
时，
S
*
n?A
k
?B
k
?
k
?
k?1
?
2
?
k
?
k?5
?
2
?k
2
?
3k
；
②
当
n?4k?1k?N
??
时，
S
n
?A
2k?1
?B
2k
2k?1
??
2k?2
?
2k
?
2k?5
??
???4k
2<
br>?8k?1
，
22
特别地，当
n?1
时，
S
1
?1
也符合上式；
③
当
n?4k?1k?N
?
*
?
时，
S
n
?A
2k?1
?
B
2k
?
?
2k?1
?
2k
?
2k
?
2k?5
?
?4k
2
?4k
．
22
1
2
3
n?n,n?2k
42
n
2
?6n
?3
,n?4k?3,k?N
*
综上：
S
n
?{
4
n
2
?6n?5
,n?4k?1
4
考点：等差数
列的通项公式，数列的单调性，数列的求和．
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2
2
1
．过点
M(?2,4)
作圆
C:(x?2)?(y?1)?25
的切线
l
,
且直线
l
1
:ax?3y?2a?0<
br>与
l
平行，则
l
1
与
l
间
的距离是
（
）
A
．
8
5
B
．
2
5
C
．
28
5
D
．
12
5
2
．已知
?、
?
为锐角，
cos
?
?
A
．
1
3
B
．
3
1
3
，
tan
?
?
?
?
?
??
，则
tan
?<
br>?
（
）
5
3
9
13
C
．
D
．
9
13
3
．设集合
A?
?
0,1,2,3
?，集合
B?
?
?1,1
?
，则
A
A
．
?
?1,1
?
B
．
?
1
?
B?
（
）
1
?
D
．<
br>?
?1,0，
C
．
?
?1,0
?
4
．将某选手的
7
个得分去掉
1
个最高分，去掉
1
个最低分，
5
个剩余分数的平均分为
21
，现场作的
7
个<
br>分数的茎叶图后来有
1
个数据模糊，无法辨认，在图中以
x
表示
,
则
5
个剩余分数的方差为
( )
A
．
116
7
B
．
36
5
C
．
36 D
．
67
5
5<
br>．若
f
?
x
?
?cosx?sinx
在
?a
,a
是减函数，则
a
的最大值是
A
．
??
?
4
B
．
?
2
C
．
3?
4
D
．
?
6
．
PM2.5
是空气质量的一个重要指标，我国
PM2.5
标准采用世卫组织设定的最宽限值，即
PM2.5
日均
值在
35
?
gm
3
以下空气质量为一级，在
35
?
gm
3~75
?
gm
3
之间空气质量为二级，在
75
?
gm
3
以上空气
质量为超标
.
如图是某地
11
月
1
日到
10
日
PM2.5
日均值（单位：
?
gm
）的统计数据，则下列叙述不
正确的是（
）
3
A
．这
10
天中有
4
天空气质量为一级
B
．这
10
天中
PM2.5
日均值最高的是
11
月
5
日
C
．从
5
日到
9
日，
PM
2.5
日均值逐渐降低
D
．这
10
天的
PM2.5
日均值的中位数是
45
7
．若
A
．（
3
，－
4
）
8
．设
0?
?
?
A
．递增数列
，则向量
B
．（－
3
，
4
）
的坐标是（
）
C
．（
3
，
4
）
D
．（－
3
，－
4
）
?
2
，若
x
1
?sin
?
,x
n?1
?(sin
?
)
x
n
(n?1,2,3,)
，则数列
{x
n}
是（
）
B
．递减数列
D
．偶数项递增，奇数项递减的数列
C
．奇数项递增，偶数项递减的数列
9
．若复数
z?
m?
i
（
i
是虚数单位）是纯虚数，则实数
m
的值为（
）
2?i
B
．
?
A
．
?2
1
2
C
．
1
2
D
．
2
10
．如图，
E
是平
行四边形
ABCD
的边
AD
的中点，设等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，若
AC?a<
br>1
AB?a
2
AE
，则
S
10
?
（
）
A
．
25
11
．
tan
B
．
65
2
C
．
?
25
2
D
．
55
16
?
的值为（
）
3
B
．
A
．
?
3
3
3
3
C
．
3
D
．
?3
12
．在区间
1,6
上随机选取一个数
a
，则
a?3
的概率为（
）
A
．
??
4
5
B
．
3
5
C
．
2
5
D
．
1
5
二、填空题：本题共4小题
13
．如图，点
M
为正方形
边
ABCD
上异于点
C,D
的动点，将
?ADM
沿
AM
翻折成
?PAM
，使得平面
PAM?
平面
ABCM，则下列说法中正确的是
__________.(
填序号
)
（
1
）在平面
PBM
内存在直线与
BC
平行；
（
2
）在平面
PBM
内存在直线与
AC垂直
（
3
）存在点
M
使得直线
PA?
平面
PBC
（
4
）平面<
br>PBC
内存在直线与平面
PAM
平行
.
（
5
）存在点
M
使得直线
PA?
平面
PBM
14<
br>．若函数
f
?
x
?
?sin2x?acos2x
，<
br>x?R
的图像关于
x??
?
6
对称，则
a?
________
．
15
．设数列
{a
n
}（
n?N
*
）是等差数列，若
a
2
和
a
2018
是方程
4x
2
?8x?3?0
的两根，则数列
{
a
n
}
的前
2019
项的和
S
2019
?
________
16
．某校高一、高二、高三分别有学生
1600
名、
1200
名、
800
名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，
按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取
20
名学生，则高一、高二共抽取的学生数为
.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
．已知圆
C
圆心坐标为点
C
?
2t,
?(t?R,t?0),O
为坐标原点，
x
轴、
y
轴被圆
C
截得的弦分别为
OA
、
?
?
1
?
t?
OB
.
（
1
）证明：
OAB
的面积为定值；
（
2
）设直线
2x?y?4?0
与圆
C
交于
M,N
两
点，若
|OM|?|ON|
，求圆
C
的方程
.
18
．已知直线
l
1
:kx?y?1?k?0
?
k?R
?，
l
2
:x?y?5?0
.
（
1
）证明
:
直线
l
1
过定点；
（
2
）已知直线
l
1
l
2
，O
为坐标原点，
A,B
为直线
l
1
上的两个动点，AB?
求
S
.
19
．（
6
分）从高三学生中
抽出
50
名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图
.
利用频
率分布直方图求：
2
，若
?OAB
的面积为
S
，
（
1
）这
50
名学生成绩的众数与中位数；
（<
br>2
）这
50
名学生的平均成绩
.
（答案精确到
0.1
）
20
．（
6
分）已知
f
?
x
?
?
?
log
m
x
?
?2log
m
x?3(m?0
，且
m?1)
（
1
）当
m?2
时，解不等式
f
?
x
?
?0
；
（
2
）
f
?
x
?
?0
在
2,4
恒成立，求实数
m
的取值范围
.
2
??
21
．（
6
分）已知圆<
br>C
经过点
E(0,4),F(5,5)
，且圆心在直线
l
：<
br>2x?7y?8?0
上
.
（
1
）求圆
C
的方程；
（
2
）
过点
M
?
1,2
?
的直线与圆
C
交于
A,
B
两点，问在直线
y?2
上是否存在定点
N
，使得
k
AN
??k
BN
恒
成立？若存在，请求出点
N
的坐标；若
不存在，请说明理由
.
2
x?1
?a
22
．（
8
分）已知函数
f(x)?
x
，
g(x)?1?f(?x)
，
且
g(x)
是
R
上的奇函数，
2?1
（
1
）求实数
a
的值；
（
2
）判断函数
g(x)
）的单调性（不必说明理由），并求不等式
g(2x
?1)?g(x)?0
的解集；
（
3
）若不等式
f(x)
?b?g(x)
对任意的
x?[0,3]
恒成立，求实数
b
的取值范
围
.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．
D
【解析】
由题意知点
M(－2,4)<
br>在圆
C
上，圆心坐标为
C(2,1)
，
4?13
??
，
?2?24
4
故切线的斜率为
k
l
?
，
3
4
所以切线方程为
y?4?(x?2)
，即
4x－3y＋
20＝0
．
3
所以
k
CM
?
l
1
ax＋3y＋2a＝0
平行，
因为直线
l
与直线
:
所以
?
a4
?
，解得
a??4
，
33
l
1
的方程是－
4x
＋
3y
－
8
＝
0
，即
4x
－
3y
＋
8
＝0.
所以直线
l
1
与直线
l
间的距离为所以直线
2
．
B
【解析】
【分析】
利用同角
三角函数的基本关系求出
tan
?
的值，然后利用两角差的正切公式可求得
t
an
?
的值
.
|20?8|
4
2
?(
?3)
2
?
12
．选
D
．
5
【详解】
因为
cos
??
3
，且
?
为锐角，则
sin
?
5
1
cos
2
?
4
sin
?
4
?
，
，所以
tan
?
?
5
cos
?
3
41
?
tan
?
?tan
?
?
?
?
?
33
?3
因为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
，所以
tan
?
?tan?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
1?tan
?
tan
?
?
?
?<
br>41
??
??
1???
??
3
?
3
?
故选：
B.
【点睛】
本题考查利用两角差的正切公式求值，解
答的关键就是弄清角与角之间的关系，考查计算能力，属于基础
题
.
3
．
B
【解析】
【分析】
已知集合
A,B
，取交集即可得到答案
.
【详解】
集合
A?
?
0,1,2,3
?
，集合
B?
?<
br>?1,1
?
，
则
A?B?
?
1
?
故选
B
【点睛】
本题考查集合的交集运算，属于简单题
.
4
．
B
【解析】
【分析】
由剩余<
br>5
个分数的平均数为
21
，据茎叶图列方程求出
x
＝
4
，由此能求出
5
个剩余分数的方差．
【详解】
∵
将某选手的
7
个得分去掉
1
个最高分，去掉
1
个最低分，剩余
5
个分数的平均数为
21
，
∴
由茎叶图得：
得
x
＝
4
，
∴5
个分数的方差为：
S
2
?
17?24?20?20?20?x
?21
5
1
?
36
22222
17?21
?
?
?
24?21
?
?
?
20?21
?
?
?
20?21
?
?
?
24?21
?
?
?
?
?
55
?
故选
B
【点睛】
本题考查方差的求法，考查平均数、方差、茎叶图基础知识，考查
运算求解能力，考查数形结合思想，是
基础题．
5
．
A
【解析】
【详解】
分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定
a
的最大值
.
π
2cos(x?)
，
4
ππ3π
?2kπ,(k?Z)
所以由
0?2kπ?x
??π?2kπ,(k?Z)
得
??2kπ?x?
444
π
π3ππ
3ππ
?0?a?
，从而
a
的最大值为，选
A.
因此[?a,a]?[?,]??a?a,?a??,a?
44444
4
点睛：函数<
br>y?Asin(
?
x?
?
)?B(A?0,
?
?0)
的性质：
详解：因为
f(x)?cosx?sinx?
(1)<
br>y
max
=A+B，y
min
?A?B
.
(2)
周期
T?
2π
?
.
(3)
由
<
br>?
x?
?
?
π
?k
π(
k?Z
)<
br>求对称轴，
(4)
由
2
ππ
??2kπ?
?
x?
?
??2kπ(k?Z)
求增区间；
22
π3π
?2kπ(k?Z)
求减区间
.
由
?
2kπ?
?
x?
?
?
22
6
．
D
【解析】
【分析】
由折线图逐一判断各选项即可
.
【详解】
由图易知：第
3,8,9,10
天空气质量为一级，故<
br>A
正确，
11
月
5
日
PM2.5
日均值为<
br>82
，显然最大，故
B
正
确，从
5
日到
9<
br>日，
PM2.5
日均值分别为：
82,73,58,34,30
，逐渐
降到，故
C
正确，中位数是
所以
D
不正确，故选
D.
【点睛】
本题考查了频数折线图，考查读图，识图，用图的能力，考查中位数的概念，属于基础题
.
7
．
D
【解析】
【分析】
直接利用向量的坐标运算法则化简求解即可．
【详解】
解：向量
则向量
2
（
3
，
2
），（
0
，﹣
1
），
45?49
?47
，
2
2
（
0
，﹣
1
）﹣（
3
，
2
）＝（﹣3
，﹣
4
）．
故选
D
．
【点睛】
本题考查向量的坐标运算，考查计算能力．
8
．
C
【解析】
【分析】
根据题意，由三角函数的性质分析可得
0?sina?1
，进而可得函数
y?(sina)
为减函数，结合函数与数
列的关系分析可得答案。
【详解】
根据题意，
0?
?
?
x
?
2
x
，则
0?sina?1
，指数
函数
y?(sina)
为减函数
?(sina)
1
?(s
ina)
sina
?(sina)
0
?1
x
即
0?x
1
?(sina)
1
?1
<
br>?(sina)
1
?(sina)
x
2
?(sina)
x
1
?(sina)
0
?1,
即
0?x
1
?x
3
?x
2
?1
?(sina)
1
?(sina)
x
2
?(sina)x
3
?(sina)
x
1
?(sina)
0
?
1,
即
0?x
1
?x
3
?x
4
?x
2
?1
?(sina)
1
?(sina)
x
2
?(sina)
x
4
?(sina)
x
3
?(sina)
x
1
?(sina)
0
?1,
即
0?x
1
?x
3
?x
5
?x
4
?x
2
?1,,
0?x
1
?x
3
?x<
br>5
?x
7
??x
8
?x
6
?x
4<
br>?x
2
?1
，
数列
{x
n
}是奇数项递增，偶数项递减的数列，故选：
C.
【点睛】
本题涉及数
列的函数特性，利用函数单调性，通过函数的大小，反推变量的大小，是一道中档题目。
9
．
C
【解析】
z?
10
．
D
2m?11
m?i
?
m?
i
??
2?i
?
2m?1m?1
?0,m?
，故选
C.
???i
，且
z
是纯虚数，
?
52
2?i5
55
【解析】
【分析】
根
据向量的加法和平面向量定理，得到
a
1
和
a
2
的值，从而
得到等差数列
?
a
n
?
的公差，根据等差数列求和
公式，得
到答案
.
【详解】
因为
E
是平行四边形
ABC
D
的边
AD
的中点，
所以
AC?AB?AD?AB?2AE
，
因为
AC?a<
br>1
AB?a
2
AE
，所以
a
1
?1
，
a
2
?2
，
所以等差数列
?
a
n
?
的公差
d?1
，
所以
S
10
?10a
1
?
故选：
D.
【点睛】
本题考查向量的加法和平面向量定理，等差数列求和公式，属于简单题
.
11
．
C
【解析】
试题分析：
tan
10?9
d?55
.
2
16π
?
π
?
π?tan
?
5π?
?
?tan?
3
．
33
?
3
?
考点：诱导公式
.
12
．
C
【解析】
【分析】
根据几何概型概率公式直接求解可得结果
.
【详解】
由几何概型概率公式可知，所求概率
p?
本题正确选项：
C
【点睛】
本题考查几何概型中的长度型概率问题的求解，属于基础题
.
二、填空题：本题共4小题
13
．（
2
）（
4
）
【解析】
【分析】
采用逐一验证法，利用线面的位置关系判断，可得结果
.
【详解】
（
1
）错，若在平面
PBM
内存在直线
与
BC
平行，
3?12
?
6?15
则
BC
平面
PBM，可知
BC
AM
，
而
BC
与
AM
相交，故矛盾
（
2
）对，如图
作
PN?AM
，
根据题意可知平面
PAM?
平面
ABCM
所以
P
N?AC
，作
NE?AC
，点
E
在平面
PBM
，<
br>
则
AC?
平面
PNE
，而
PE?
平面PBM
，
所以
AC?PE
，故正确
（3
）错，若
PA?
平面
PBC
，则
PA?BC
，而
PN?BC
所以
BC⊥
平面
PAN
，则AM?BC
，矛盾
（
4
）对，如图
延长
AM,BC
交于点
H
连接
PH
,
作
CK
PH
PH?
平面
PAM
，
CK?
平面
PBC
，
CK?
平面
PAM
，所以
CK
平面
PAM
，故存在
（
5
）错，若
PA?
平面
PBM
，则
PA?BM
又
PN?BM
，所以
BM?
平面
PAM
所以
BM?AM
，可知点
M
在以
AB
为直径的圆上
又该圆与
CD
无交点，所以不存在
.
故答案为：（
2
）（
4
）
【点睛】
本题主要考查线线，线面，面面之间的关系，数形结合在此发挥重要作用，属中档题
.
14
．
?
3
3
【解析】
【分析】
特殊值法：由
f
?
x
?
的对称
轴是
x??
【详解】
由题意得
f
?
x
?
是三角函数
所以f
?
0
?
?f
?
?
【点睛】
本题主要考查了三角函数的性质，需要记忆三角函数的基本性质：单调性、对称轴、周期、定义域、最值、对称中心等。根据对称性取特殊值法解决本题是关键。属于中等题。
15
．
2019
【解析】
【分析】
根据二次方程根与系数的关系得出
a
2
?a
2018
?2
，
再利用等差数列下标和的性质得到
?
?
?
?
f0?f
??<
br>，所以
?
?
?
即可算出
a
6
?<
br>3
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?3
?
?
?
?sin0?acos0?sin2???a
cos2???a??
???
?
??
???
3
?
3
?
?
?
3
?
??
?
3
?
?
a
1
?a
2019
?a
2
?a
2018
，然后利用等差数列求和公式可得出答案
.
【详解】
由二次方程
根与系数的关系可得
a
2
?a
2018
?2
，
<
br>由等差数列的性质得出
a
1
?a
2019
?a
2?a
2018
?2
，
因此，等差数列
?
a<
br>n
?
的前
2019
项的和为
S
2019
?<
br>故答案为
2019
.
【点睛】
本题考查等差数列的性质与
等差数列求和公式的应用，涉及二次方程根与系数的关系，解题的关键在于等
差数列性质的应用，属于中
等题
.
16
．
70
2019
?
a<
br>1
?a
2019
?
2019?2
??2019
，
22
【解析】
设高一、高二抽取的人数分别为
x、y
，则
【考点】分层抽样
.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22
17
．（<
br>1
）证明见解析；（
2
）
(x?2)?(y?1)?5
.
xy20x?y
???
，解得
x?y?70
.
160
【解析】
【分析】
（
1）利用几何条件可知，
OAB
为直角三角形，且圆过原点，所以得知三角形两直角边边长，
求得面积；
（
2
）由
|OM|?|ON|
及原点
O
在圆上，知
OC
?
MN
，所以
k
OC
?k
MN
??1
,
求出
t
的值，再利用直线与圆
的
位置关系判断检验，符合题意的解，最后写出圆
C
的方程．
【详解】
（
1
）因为
?
2t,
?
(t?R,t?0),x
轴、
y
轴被圆
C
截得的弦分别为
OA
、
OB
，
?
?
1
?
t?
所以
AB
经过
C
，又
C
为
AB中点，所以
A(4t,0),B
?
0,
?
?
2
?
?
，所以
t
?
S
OAB
?
1
12
|OA|?|OB|?|4t|?4
，所以
OAB
的面积为定值
.
22t
（
2
）因为直线
2x?y?4?0
与圆
C
交于
M,N
两点，
|OM|?|ON|
，
所以
MN
的中垂线经过
O
，且过
C
，所以
OC
的方程
y?
所以
?
1
x
，
2
1
t
1
?2t
，所以当
t?1
时，有圆心
C
?
2,1
?
，半径
r?5
，
2
5
?5
，
5
所以圆心
C
到直
线
2x?y?4?0
的距离为
d?
所以直线
2x?y?4?0
与圆
C
交于点
M,N
两点，故成立；
当
t??
1
时，有圆心
?
?2,?1
?
，半径
r?5
，所以
圆心
C
到直线
2x?y?4?0
的距离为
d?
95
?5
，
5
所以直线
2x?y?4?0
与圆
C
不相交
，故
t??1
（舍去），
综上所述，圆
C
的方程为
(x?2)?(y?1)?5
.
【点睛】
本题通过直线与圆的有关知识，考查学生直观想象和逻辑推理能力．解题注
意几何条件的运用可以简化运
算．
18
．（
1
）见详解；（
2
）
S?1
22
【解析】
【分析】
<
br>（
1
）将直线
l
1
变形，然后令
k
前系数为
0
，可得结果
.
（
2
）根据直线
l
1<
br>
l
2
，可得
k
，然后计算点
O
到直线
l
1
距离，根据面积公式，可得结果
.
【详解】
（
1
）由
则直线
l
1
:k
?<
br>x?1
?
?y?1?0
，
令
x?1?0?x??1
且
y?1
所以对任意的
k?R
，直线
l
1
必过定点
?
?1,1
?
（
2
）由直线
l
1
l
2
，所以可
知直线
k?1
，
则直线
l
1
:x?y?2?0
，
点
O<
br>到直线
l
1
距离为
d?
又
AB?
【点睛】<
br>
本题主要考查直线过定点问题以及平面中线线平行关系，属基础题
.
19<
br>．（
1
）众数为
75
分，中位数为
76.7
分；（<
br>2
）
76.2
分
【解析】
【分析】
（
1
）由众数的概念及频率分布直方图可求得众数，根据
中位数的概念可求得中位数；
.
（
2
）由平均数的概念和频率直方图可求得平均数
.
【详解】
（
1
）由众数的概念及频率分布直方图可知，这
50
名学生成绩的众数为
75
分
.
因为数学竞赛成绩在
?
40,70
?
的频率为
?
0.004?0.006?0.020?
?10?0.3
，数学竞赛成绩在
?
70,80
?
的
频
率为
0.030?10?0.3
.
所以中位数为
70?
0?0?2
1?
?
?1
?
2
2
?2
1
2
，所以
S??AB?d?1
2
0.5?0.3
?10?76.7
.
0.3
（
2
）这
50
名学生的平均成绩为
45?
?
0.004?10
?
?55?
?
0.006?1
0
?
?65?
?
0.020?10
?
?75?(0.030?10)?85?
?
0.024?1
0
?
?95?
?
0.016?10
?
?76.2
.
【点睛】
本题考查根据频率直方图求得数字特征，关键在于理解各数字特征的含义，属于基础题
.
20
．（
1
）
{x|
【解析】
试题分析
：（
1
）当
m?2
时，可得
?
log
2
x
?
?2log
2
x?3?0
，即为
?3?log
2
x?1
，由对数函数的单调
性，可得不不等式的解集；（
2
）由f
?
x
?
?0
在
2,4
上恒成立，得
?3?log
m
x?1
在
2,4
上恒成立，讨
论
m
?1,0?m?1
，根据
x
的范围，由恒成立思想，可得
m
的范围<
br>.
试题解析：（
1
）当
m?2
时，解不等式
f?
x
?
?0
，得
?
log
m
x
?
?2log
m
x?3?0
，
2
2
?
1
?
1
?x?2}
；（
2
）
?
0
,
3
?
?
?
4,??
?
.
8
4
??
????
即
?3?log
2
x?1
，
故不等式的解集为
{x|
1
?x?2}
.
8
（<
br>2
）由
f
?
x
?
?0
在
2,4恒成立，得
?3?log
m
x?1
在
2,4
恒成立，<
br>
????
?
?3?log
m
2
①
当m?1
时，有
?
，得
m?4
，
log2?
1
m
?
1
?
?3?log
m
4
0?m?<
br>②
当
0?m?1
时，有
?
，得，
3log2?1
4
m
?
故实数
m
的取值范围
?<
br>0,
?
?
1
?
?
?
?
4,???
.
3
4
?
?
7
?
,2
?
，使得
k
AN
??k
BN
恒成立，详
?
2
?
22
21
．（
1
）
(x?3)?(y?2)?1
3
（
2
）在直线
y?2
上存在定点
N
?
?
见解析
【解析】
【分析】
（
1）求出弦
EF
中垂线方程，由中垂线和直线
l
相交得圆心坐标，再求出圆
半径，从而得圆标准方程；
（
2
）直线斜率存在时，设方程为
y?
k(x?1)?2
，代入圆的方程，得
x
的一元二次方程，同时设交点为
A<
br>?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
,
由韦达定理得
x
1
?x2
,x
1
x
2
，假设定点存在，设其为
N(t,2)<
br>，由
k
AN
??k
BN
求得
t
，
再
验证所作直线斜率不存在时，
N
点也满足题意．
【详解】
（
1
）
EF
的中点为
D
?
?
59
?
,
?
，
∴
EF
的垂直平分线的斜率为
?5，
2
?
2
?
∴
EF
的垂直平分线的方程为
5x?y?17?0
，
∴
EF<
br>的垂直平分线与直线
l
交点为圆心
C
，则
?
2x?7y?8?0
，解得
x?3,y?2
，
?
5x?y?17?0
?
又
r?(3?0)
2
?(2?4)
2
?13
．
∴
圆
C
的方程为
(x?3)
2
?(y?2)
2
?13
.
（
2）当直线的斜率存在时，设直线的斜率为
k
，则过点
M
?
1,2
?
的直线方程为
y?k(x?1)?2
，故
?
y
?k(x?1)?2
2222
1?kx?6?2kx?k?4?0
，
由
?
，整理得
????
22
?
(x?3)?(y?2)?
13
6?2k
2
k
2
?4
设
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y<
br>2
?
,?x
1
?x
2
?
，
,x
1
x
2
?
22
1?k1?k
设
N<
br>?
t,2
?
，则
k
AN
?
y
1?2y?2
,k
BN
?
2
,
x
1
?t
x
2
?t
k
AN
??k
BN
，
?
y
1
?2y
2
?2
??0,?
?
y1
?2
??
x
2
?t
?
?
?
y
2
?2
??
x
1
?t
?
?0
，
x
1
?tx
2
?t
2k
2
?8
2k
2
?6
2x
1
x
2
?(t?1)
?<
br>x
1
?x
2
?
?2t?0,?(t?1)?2t?0
，
22
1?k1?k
即
2k?8?2k(t?1)?6(t?1)
?2t?k?2t?0
222
7
?8?6t?6?2t?0,t??
，
2
当斜率不存在时，
x?1,A(1,5),B(1,?1),k
AN
??k
BN
成立，
∴
在直线
y?2
上存在定点
N
?
?
【点睛】
?
7
?
,2
?
，使得
k
AN
??k
BN
恒成立
?
2<
br>?
本题考查求圆的标准方程，考查与圆有关的定点问题．求圆的标准方程可先求出圆心坐标和圆的
半径，然
后得标准方程，注意圆心一定在弦的中垂线上．定点问题，通常用设而不求思想，即设直线方程
与圆方程
联立消元后得一元二次方程，设直线与圆的交点坐标为
(x
1
,y<
br>1
),(x
2
,y
2
)
，由韦达定理得
x<
br>1
?x
2
,x
1
x
2
，然
后设定点
坐标如本题
N(t,2)
，再由条件
k
AN
??k
BN求出
t
，若不能求出
t
说明定点不存在，如能求出
t
值
，
注意验证直线斜率不存在时，此定点也满足题意．
16
1
22<
br>．（
1
）
0
（
2
）
(
，
?
?)
（
3
）
(??,)
3
7
【解析】
【分析】
（
1
）根据奇函数的性质可得
g(?x)?g(x
)?0
．，由此求得
a
值（
2
）函数
g(x)
在<
br>R
上单调递增，根据单
调性不等式
g(2x?1)?g(x)?0?2x?1?
?x
即可（
3
）不等式
2
x?1
2
f(x)?bg
(x)?
x
?b(1?
x
)
．
?2
x?1
?b(2
x
?1)
．分离参数即可．
2?12?1
【详解】
2
1?x
?a
（
1
）
g(x)?1?f(?x)?1?
?x
，
2?1
g(x)
是
R
上的奇函数．
?g(?x)?g(x)?0
．
即
1?f(x)?1?f(x)?0
得：
f(x)?f(?x)?2
．
2
x?1
?a
2
1?x
?a
?
?x
?0
，
即
x
2?12?1
(a?2)2
x
?(a?2)
?2
．
得：
2
x
?1
?a?2?2
，
?a?0
．
（
2
）由（
1
）得
g(x)?1?
2
．
1?2
x
函数
g(x)
在
R
上单调递增，
由不等式
g(2x?1)?g(x)?0
得不等式
g(2x?1)?g(?x)?0
．
所以
2x?1??x
，
解得
x?
1
<
br>3
1
3
?
不等式
g(2x?1)?g(x)?0
的解
集为
(
，
??)
．
（
3
）由不等式f(x)?b?g(x)
在
x?[0,3]
上恒成立，
2
x?1
2
?b(1?
x
)
，
可得
x
2?12?1
即
2
x?1
?b(2
x
?1)
．
当
x?0
时，
b?R
，
<
br>2?2
x
当
x?(0
，
3]
时，
b?
x
．
2?1
2
x
,x?(0,3]
，
令
h(x)?
x
2?1
18
h(x)?
．
?x
1?27
?b?
16
7
故实数
b
的取值范围
(??,
【点睛】
16
)
.
7
本题主要考查指数型复合函数的性质以及应用，函数的
奇偶性的应用，以及函数的恒成立问题，属于中档
题．