高中数学网络课堂-苏教版高中数学必修四电子书
重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2
第一章 常用逻辑语
1.1 命题
命题及其关系
学习目标:理解命题的概念和命题的构成,能判断命题
的真假;了解四种命题的的含义,
能写出给定命题的逆命题、否命题和逆否命题;会分析四种命题之间的
相互关
系;
重点难点:命题的概念、命题的构成;分清命题的条件、结论和判断命题的真假。
四种命
题的概念及相互关系.
自主学习
1.复习回顾:初中已学过命题的知识,请同学们回顾:什么叫做命题?
2.判断下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题?
(1)空集是任何集合的子集;
(2)若整数
a
是素数,则
a
是奇数;
(3)2小于或等于2;
(4)对数函数是增函数吗?
(5)
2x?15
;
(6)平面内不相交的两条直线一定平行;
(7)明天下雨.
合作探究
1.根据下列命题完成填空
(1)如果两个
三角形全等,那么它们的面积相等;(2)如果两个三角形的面积相等,那么它
们全等;(3)如果两个
三角形不全等,那么它们的面积不相等;(4)如果两个三角形的面积
不相等,那么它们不全等.
命题(2)、(3)、(4)与命题(1)有何关系?
1.上面的四个命题都是
形式的命题,
可记为
,其中
p
是命题的条件,
q
是命题的结论.
2.在上面的例子中,
命题(2)的 分别是命题(1)的
,
我们称这两个命题为互逆命题.
命题(3)的
分别是命题(1)的
,这
两个命题称为互否命题.
命题(4)的
分别是命题(1)的
,
这两个命题称为互为逆否命题.
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1
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3.逆命题、否命题和逆否命题的含义:
一般地,设“若
p
则
q
”为原命题,那么
就叫做原命题的逆命题; 就叫做原命题的
否命题;
就叫做原命题的逆否命题.
四种命题之间的关系:
原命题
若p,则q
逆命题
若q,则p
否命题
若非p,则非q
逆否命题
若非q,则非p
3.写出下列命题的逆命题
、否命题与逆否命题.
(1)若
a?0
,则
ab?0
;(2)若<
br>a?b
,则
a?b
.
4.把下列命题改写成“若
p
则
q
”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题,同
时指出它们的真假.(1
)对顶角相等;(2)四条边相等的四边形是正方形.
5.原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假有什么关系?
(1)原命题与逆否命题
;(2)逆命题与否命
题 .
练习反馈
1.给出下列命题:
①若
ac?bc
,则
a?
b
;②若
a?b
,则
2
11
?
;③对于实数
x
,若
x?2?0
,则
x?2?0
;
ab
④若<
br>p?0
,则
p?p
;⑤正方形不是菱形.
其中真命题是
;假命题是 .(填上所有符合题意的序号)
2.将下列命题改写成“若
p
则
q
”的形式:
(1)垂直
于同一直线的两条直线平行;(2)斜率相等的两条直线平行;(3)钝角的余弦
值是负数.
3.写出下列各命题的逆命题、否命题 和逆否命题并判断真假:
(1)若两个事件是对立事件,则它们是互斥事件;
(2)当
c?0
时,若
a?b
,则
ac?bc
.
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2
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1.2 充分条件与必要条件
1.2.1 充分条件&1.2.2必要条件 学习目标:正确理解充分条件的概念;会判断命题的充分条件;通过对充分条件的概念的
理解和运用
,培养自己分析、判断和归纳的逻辑思维能力;
重点:充分条件的概念
难点:判断命题的充分条件
自主学习
练习与思考
写出下列两个命题的条件和结论,并判断是真命题还是假命题?
(1)若x > a +
b,则x > 2ab,
(2)若ab = 0,则a = 0.
置疑:对于命题“若p,则q”,有时是真命题,有时是假命题.如何判断其真假的?
合作探究
命题“若p,则q” 为真命题,是指由p经过推理能推
出q,也就是说,如果p成立,
那么q一定成立.换句话说,只要有条件p就能充分地保证结论q的成立
,这时我们称条
件p是q成立的充分条件.
一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p
通过推理可以得出q.这时,我们就说,
由p可推出q,记作:p?q.
充分条件
的定义:______________________________________________
_____________.
必要条件的定义: ______________________
______________________________________.
上面的命题(1)为真命题,即x > a + b? x > 2ab,所以“x > a +
b”是“x
> 2ab”的充分条件,“x > 2ab”是“x > a + b”
例题分析:
例1:下列“若p,则q”形式的命题中,那些命题中的p是q的充分条件?
(1)若x =1,则x - 4x + 3 = 0;(2)若f(x)=
x,则f(x)为增函数;(3)若x
为无理数,则x为无理数.
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3
2
2
22 "
22 22
22
的必要条件
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分析:要判断p是否是q的充分条件,就要看p能否推出q.
例2:下列“若p,则q”形式的命题中,那些命题中的q是p的必要条件?
(1) 若x
= y,则x = y;
(2) 若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等;
(3)
若a >b,则ac>bc.
分析:要判断q是否是p的必要条件,就要看p能否推出q.
练习反馈
22
1、从“充要条件(
A
)、充分不必要条
件(
B
)、必要不充分条件(
C
)、既不
充分也不必要条件(
D
)” 中选出适当的一种填空:
①
“
a?0
”是“函数
y?x
2
?ax
(x?R)
为偶函数”的_____
② “
sin
?
?sin?
”是“
?
?
?
” 的_____
③ “
M
?N
”是“
log
2
M?log
2
N
”的____
_
④ “
x?MIN
”是“
x?MUN
”的_____
2、已知
p
、
q
是
r
的必要条件,
s是
r
的充分条件,
q
是
s
的充分条件,那么
⑴
s
是
q
的什么条件?
⑵
r
是
q
的什么条件?
⑶
p
是
q
的什么条件?
3、已知
“
a?b?c?d
”和“
a?b?e?f
”,
则“
c?d
”是“
e?f
”的___________________条件
“
c?d
”是“
e?f
”的___________________条件
4、求圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2经过原点的充要条件。
课堂总结
充分、必要的定义.
在“若p,则q”中,若p?q,则p为q的充分条件,q为p的必要条件.
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1.2.3 充要条件
学习目标:
1、正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件,
既不充分也不必要条件的定义.
2、正确判断充分不必要条件、
必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不
必要条件.
3、通过学习,使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,.
重点:1、正确区分充要条件;
2、正确运用“条件”的定义解题
难点:正确区分充要条件.
自主学习
1.什么叫充分条件?什么叫必要条件?说出“
?
”的含义
2.指出下列各组命题中,“p
?
q”及“q
?
p”是否成立
(1)p:内错角相等 q:两直线平行
(2)p:三角形三边相等
q:三角形三个角相等
3.充要条件定义:一般地,如果既有p
?
q,又
有q
?
p,就记作:p
?
q。
这时,p既是q的充分条件,又是q的必要条件,我们说p是q的_______条件,简称
充要条件
合作探究
例1:指出下列各命题中,p是q的什么条件:
1)
p:x>1 q:x>2
2) p:x>5 q:x>-1
3) p:(x-2)(x-3)=0 q:x-2=0
4) p:x=3
q:
x
=9
5) p:x=±1 q:x-1=0
例2:1)请举例说明:p是q的充分而不必要条件;p是q的必要而不充分条件;
p是q的既不充分也不必要条件;p是q的充要条件
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2)从 “充分而不必要条件” “必要而不充分条件”
“充要条件”“既不充分也
不必要条件”中选出适当一种填空:
①“a
?
N
”是“a
?
Z”的______________________
②“a≠0”是“ab≠0”的_____________________
2
③“x=3x+4”是“x=
3x?4
”的_______________________
④“四边相等”是“四边形是正方形”的________________________
3)判断下列命题的真假: ①“a>b”是“a
2
>b
2
”的充分
条件;②“a>b”是“a
2
>b
2
”
的必要条件;③“a>b”是
“a+c>b+c”的充要条件;④“a>b”是“ac
2
>bc
2
”的充分
条
件
例3、若甲是乙的充分而不必要条件,丙是乙的充要条件,丁是丙的必要而不
充分条件,问
丁是甲的什么条件?
例4、求证:关于X的方程ax+b
x+c=0(a≠0)有两个符号相反且不为零的实根充要条件是
ac<0
例5、已知 P:
1?
2
x?1
22
≤ 2
,q:x-2x+1-m≤0 (m>0)且
?
p是
?
q的必要而<
br>3
不充分条件,求实数m的取值范围。
练习反馈
1、下列各组命题中,p是q的什么条件:
1)p: x是6的倍数。
q:x是2的倍数
2)p: x是2的倍数。 q:x是6的倍数
3)p: x是2的倍数,也是3的倍数。q:x是6的倍数
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4)p:
x是4的倍数 q:x是6的倍数
2、 已知p:x
1<
br>,x
2
是方程x
2
+5x-6=0的两根,q:x
1
+x
2
=-5,则p是q的
[ ]
A.充分但不必要条件
B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3、
p是q的充要条件的是
[ ]
A.p:3x+2>5,q:-2x-3>-5
B.p:a>2,b<2,q:a>b
C.p:四边形的两条对角线互相垂直平分,q:四边形是正方形
D.p:a≠0,q:关于x的方程ax=1有惟一解.
4、
若A是B成立的充分条件,D是C成立的必要条件,C是B成立的充要条件,
则D是A成立的
[ ]
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5、设命题甲为:0<x<5,命题乙为|x-2|<3,那么甲是乙的
[ ]
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6、 已知p、q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是
s的充分条件,那么s,r,
p分别是q的什么条件?
7、 关于x的不等式
(a?1)
2
2
≤
(a?1)
2
|x-|
2
与x
2
-3(a+1)x+2(3a+1)≤0的解集依次为A
与B,问“
A?B”是“1≤a≤3或a=-1”的充要条件吗?
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1.3 全称量词与存在量词
1.3.1 全称量词与存在量词
学习目标:
1、通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见
的全称量词和存在量词.
2、了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量
词的命题及判断其
命题的真假性.
重点:理解全称量词与存在量词的意义;
难点:
全称命题和特称命题真假的判定.
自主学习
问题1、下列语句是命题吗?假如是命题你能判断它的真假吗?
(1)2x+1是整数;(2) x>3;(3) 如果两个三角形全等,那么它们的对应边相等;(4
)
平行于同一条直线的两条直线互相平行;(5)海师附中今年所有高中一年级的学生数学课
本
都是采用人民教育出版社A版的教科书;(6)所有有中国国籍的人都是黄种人;(7)对
所有的x∈R
, x>3;(8)对任意一个x∈Z,2x+1是整数。
问题2、命题(5)-(8)跟命题(3)、(4)有些不同,它们用到 “所有的”“任意一个” <
br>这样的词语,这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部,这样的词叫做______量词,
含有全称量词的命题,叫做_______命题。命题(5)-(8)都是全称命题。
问题3、在判断问题1中的命题(5)-(8)的真假的时候,可以得出这样一些命题:
(5)存在个别高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书;
(6)存在一个(个别、部分)有中国国籍的人不是黄种人.
(7)
存在一个(个别、某些)实数x(如
x
=2),使x≤3.(至少有一个x∈R,
x
≤3)
(8)不存在某个x∈Z使2x+1不是整数.
这些命题用到了“存在一
个”“至少有一个”这样的词语,这些词语都是表示整体的
一部分的词叫做______量词。并用符号
“
?
”表示。含有存在量词的命题叫做______命题
(或存在命题)命题(5)-
(8)都是特称命题(存在命题).
特称命题:“存在
M
中一个
x
,使
p(x)
成立”可以用符号简记为:
?x?M,p(x)
。
读做
“存在一个
x
属于
M
,使p(x)成立”.
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8
,,
,
,
,
,
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全称量词相当于日常语言中“凡”,“所有”,“一切”,“任意一个”等
;存在量词相当
于日常语言中“存在一个”,“有一个”,“有些”,“至少有一个”,“
至多有一个”等.
合作探究
(1)下列全称命题中,真命题是:
A.
所有的素数是奇数; B.
?x?R,(x?1)f0
;
C.
?x?R,x?
(2)下列特称命题中,假命题是:
A.
2
1
?
1
?2
D.
?x?(0,),sinx??2
x
2sinx
?x?R,x
2
?2x?3?0
B.至少有一个
x?Z,x
能被2和3整除
2
C.
存在两个相交平面垂直于同一直线
D.
?x?{x|x是无理数},
x
是有理数.
(3)已知:对
?x?R,apx?
(4)已知:对
?x?R,x?ax?1p0
恒成立,则a的取值范围是
;
(5)求函数
f(x)??cosx?sinx?3
的值域;
(6)已知:对
?x?R,
方程
cosx?sinx?3?a?0
有解,求a的取值范围.
练习反馈
1、判断下列全称命题的真假:
①末位是o的整数,可以被5整除;
②线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的
距离相等;
③负数的平方是正数;
④梯形的对角线相等。
2、判断下列特称命题的真假:
①有些实数是无限不循环小数; ②有些三角形不是等腰三角形;
③有些菱形是正方形。
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2
2
?2
?
1
恒成立,则a的取值范围是
;
x
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3、判断下列全称命题的真假,其中真命题为( )
A.所有奇数都是质数
B.
?x?R,x?1?1
C.对每个无理数
x
,则
x
也是无理数
D.每个函数都有反函数
4、将“x+y≥2xy”改写成全称命题,下列说法正确的是(
)
A.
?x,y?R
,都有
x?y?2xy
B.
?x,y?R
,都有
x?y?2xy
C.
?x?0,y?0
,都有
x?y?2xy
D.
?x?0,y?0
,都有
x?y?2xy
5、判断下列命题的真假,其中为真命题的是
A.
?x?R,x?1?0
B.
?x?R,x?1?0
C.
?x?R,sinx?tanx
D.
?x?R,sinx?tanx
6、下列命题中的假命题是(
)
A.存在实数α和β,使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
B.不存在无穷多个α和β,使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
C.对任意α和β,使cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
D.不存在这样的α和β,使cos(α+β) ≠cosαcosβ-sinαsinβ
7、对于下列语句(1)
?x?Z,x?3
(2)
?x?R,x?2
(3)
?x?R,x
?2x?
3?0
(4)
?x?R,x
?
x
?5
?0
其中正确的命题序号是 。(全部填上) 2
2
2
22
2222
2222
22
22
2
8、命题
(a?b)
b?1
2
?
a?bb?1
是全称命题吗?如果是全称命题,请给予证明,如果不是全称命
题,请补充必要的条
件,使之成为全称命题。
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1.3.2 含有一个量词的命题的否定
学习目标:1、通过探究数学中一些实例
,使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们
的否定在形式上的变化规律.
2、通过例题和
习题的教学,使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否
定在形式上的变化规律,正确地对含有一个
量词的命题进行否定.
重点:通过探究,了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律,
会正确地
对含有一个量词的命题进行否定.
难点:正确地对含有一个量词的命题进行否定.
自主学习
1、判断下列命题是全称命题还是特称命题,你能写出下列命题的否定吗?
(1)所有的矩形都是平行四边形;
(2)每一个素数都是奇数;
(3)?x∈R, x-2x+1≥0。
(4)有些实数的绝对值是正数;
(5)某些平行四边形是菱形;
(6)? x∈R, x+1<0。
2、从命题
的形式上看,前三个全称命题的否定都变成了特称命题。后三个特称命题的否
定都变成了全称命题。
一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论:
全称命题和否定是特称命题。特称命题的否定是全称命题。
合作探究
例1、判断下列命题是全称命题还是特称命题,并写出它们的否定:
(1)、p:所有能被3整除的整数都是奇数;
(2)、p:每一个四边形的四个顶点共圆;
(3)、p:对?x∈Z,x个位数字不等于3;
(4)、p:? x∈R,
x+2x+2≤0;
(5)、p:有的三角形是等边三角形;
(6)、p:有一个素数含三个正因数。
例2、指出下列命题的形式,写出下列命题的否定。
(1)所有的矩形都是平行四边形;
(2)每一个素数都是奇数;(3)?x?R,x-2x+1≥0
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例3、写出命题的否定(1)p:?
x
∈R,
x
+2
x
+2≤0;(2)p:有的三角形是等边三角形;
(3)p:有些函数没有反函数;(4)p:存在一个四边形,它的对角线互相垂直且平分;
练习反馈
1、写出下列全称命题的否定:(1)p:所有人都晨练;(2)p:?x?R,x+x+1>0;
(3)p:平行四边形的对边相等;(4)p:?
x
∈R,
x
-
x
+1=0;
2、写出下列命题的否定。(1) 所有自然数的平方是正数。 (2)
任何实数x都是方程
5x-12=0的根。 (3) 对任意实数x,存在实数y,使x+y>0.
(4) 有些质数是奇数。
3、写出下列命题的否定。 (1) 若x>4 则x>2.。 (2)
若m≥0,则x+x-m=0有实数
根。
(3) 可以被5整除的整数,末位是0。
(4) 被8整除的数能被4整除。 (5) 若一
个四边形是正方形,则它的四条边相等。
4、 写出下列命题的非命题与否命题,并判断其真假性。(1)p:若x>y,则5x>5y;(2)
p:若x+x﹤2,则x-x﹤2;(3)p:正方形的四条边相等;(4)p:已知a,b为实数,若
x+ax+b≤0
有非空实解集,则a-4b≥0。
5、命题p:存在实数m,使方程x+mx+1=0有实数根,则“非p”形式的命题是(
)
A.存在实数m,使得方程x+mx+1=0无实根;
B.不存在实数m,使得方程x+mx+1=0有实根;
C.对任意的实数m,使得方程x+mx+1=0有实根;
D.至多有一个实数m,使得方程x+mx+1=0有实根;
6、有这样一段演绎推理是这样
的“有些有理数是分数,整数是有理数,则整数是分数”
结论显然是错误的,是因为( )
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误
7、命题“?x?R,x-x+3>0”的否定是
8、“末位数字是0或5的整数能被5整除”的
否定形式是
否命题是
9、写出下列命题的否定,并判断其真假:
(1)p:?m∈R,方程x+x-m=0必有实根; (2)q:??R,使得x+x+1≤0;
10、写出下列命题的“非P”命题,并判断其真假:
(1)若m>1,则方程x-2x+m=0有实数根.(2)平方和为0的两个实数都为0.
(3)若
?ABC
是锐角三角形,
则
?ABC
的任何一个内角是锐角.(4)若abc=0,则a,b,c
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中至少有一为0.(5)若(x-1)(x-2)=0 ,则x≠1,x≠2.
1.4
逻辑联结词“且”“或”“非”
学习目标:1、掌握逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义;
2、正确应用逻辑联结词“或、且、非”解决问题;
重点、难点:通过数学实例,了解逻辑联
结词“或、且、非”的含义,使学生能正确地表
述相关数学内容。
自主学习:
1、问题1:下列各组命题中,三个命题间有什么关系?
(1)①12能被3整除;②12能被4整除;③12能被3整除且能被4整除。
(2)①27是7的倍数;②27是9的倍数;③27是7的倍数或是9的倍数。
2、下列各组命题中的两个命题间有什么关系?
(1) ①35能被5整除;
②35不能被5整除;
(2) ①方程x+x+1=0有实数根。
②方程x+x+1=0无实数根。
2、归纳定义
(1)一般地,用联结词“且”
把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记
作_____读作________。
(
2)一般地,用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记
作_______,读
作_________。
(3)一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作_____
___;读作
__________
3、命题“p且q”、
“p或q”与“非P”的真假的
规定
p q P且q p
真
假
非P
22
真 真
真 假
假 真
假 假
第13页
13
p q
P或q
真 真
真 假
2
重庆市江津几江中学导学案
高中数学必修
当p,q都是真命题时,p且q是______命题;当p,
一个命题
是假命题时,p且q是_____命题;当p,q
假 真
假 假
q两个命题中
有
两个命题中有
一个是真命题时,p或q是______命题;当p,q两个命题都是假命题时
,p或q是_____
命题。
合作探究
例1:将下列命题分别用“且”与“或”
联结成新命题“p∧q” 与“p∨q”的形式,并
判断它们的真假。
(1)p:平行四边形的对角线互相平分,q:平行四边形的对角线相等。
(2)p:菱形的对角线互相垂直,q:菱形的对角线互相平分;
(3)p:35是15的倍数,q:35是7的倍数.
例2:选择适当的逻辑联结词“且”或“或”改写下列命题,并判断它们的真假。
(1)1既是奇数,又是素数;(2)2是素数且3是素数;(3)2≤2.
<
br>例3、判断下列命题的真假;(1)6是自然数且是偶数;(2)?是A的子集且是A的真子;
(
3)集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集;(4)周长相等的两个三角形全等或面积相
等的两个三角
形全等.
例4:写出下列命题的否定,判断下列命题的真假
(1)p:y = sinx 是周期函数;
(2)p:3<2;
(3)p:空集是集合A的子集。
练习反馈
1、指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题:
(1)24既是8的倍数,也是6的倍数;
(2)李强是篮球运动员或跳高运动员;
(3)平行线不相交
第14页
14
重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2
2、分
别指出下列复合命题的形式(1)8≥7;(2)2是偶数且2是质数;(3)
?
不是整数;
3、写出下列命题的非命题:(1)p:对任意实数x,均有x-2x+1≥0;
(2)q:存在一个实
数x,使得x-9=0(3)“AB∥CD”且“AB=CD”;(4)“△AB
C是直角三角形或等腰三角形”.
4、判断下列命题的真假:
(1)4≥3 (2)4≥4 (3)4≥5
(4)对一切实数
x,x
2
?x?1?0
5、分别指出由下列各组命题构成的p或q、p且q、非p形式的复合命题的真假
(1)p:2+2=5;
(2)p:9是质数;
(3)p:1∈{1,2};
(4)p:
??
{0};
6.在一次模拟打飞机的游
戏中,小李接连射击了两次,设命题
p
1
是“第一次射击中飞机”,
命题p
2
是“第二次射击中飞机”试用
p
1
、
p
2
以及逻辑联结词或、且、非表示下列命题:
命题
S
:两次都击中飞机;命题
r
:两次都没击中飞机;命题
t
:恰有一次击中了飞机;
命题
u
:至少有一次击中了飞机.
7、分别写出由下
列各种命题构成的“
p
或
q
”“
p
且
q
”
“非
p
”形式的复合命题,并判断它
们的真假:
(1)
p
:末位数字是0的自然数能被5整除
q
:5?{
x
|
x
+3
x
?10=0}
(2)
p
:四边都相等的四边形是正方形
q
:四个角都相等的四边形是正方形
2
?
(3)
p
:0??
q
:{
x
|
x
?3
x
?5<0}
?
R
(4)
p
:不等式
x
+2
x
?8<0的解集是:{
x
|?4<
x
<2}
q
:不等式
x
+2
x
?8<0的解集是:{
x|
22
2
2
2
q:3>2
q:8是12的约数;
q:{1}
?
{1,2}
q:
??
{0}
x
4或
x
> 2}
第15页
15
重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2
第二章 圆锥曲线与方程
2.1 椭圆
2.1.1椭圆及其标准方程
学习目标:1、理解椭圆的概念,掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题;
2、理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法;
3、了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法.
重点、难点:理解椭圆的概念,掌握
椭圆的定义;理解椭圆标准方程的推导过程及化简无
理方程的常用的方法
自主学习
1.引导学生一起探究P
41
页上的问题,准备无弹性细绳子一条(约60cm,一端结个套,
另一
端是活动的),图钉两个).当套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的图形是椭圆.启
发
性提问:在这一过程中,你能说出移动的笔小(动点)满足的几何条件是什么?
2.由上述探究过程容易得到椭圆的定义:
.其中这两个定点叫做椭圆的
,两定点间的距离叫做椭圆
的 .即当动点设为
合作探究
1.椭圆标准方程的推导过程(见教材):
思考:(1)已知图形,建立直角坐标系的一般性
要求是什么?第一、充分利用图形
的对称性;第二、注意图形的特殊性和一般性关系.
时,椭圆即为点集.
第16页
16
重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2
(2)无理方程的化简过程是教学的难点,注意无理方程的两次移项、平方整理.
(
3)设参量
b
的意义:第一、便于写出椭圆的标准方程;第二、
a,b,c
的
关系有
明显的几何意义.
y
2
x
2
(4)类比:写出焦点
在轴上,中心在原点的椭圆的标准方程
2
?
2
?1
?
a?b
?0
?
.
ab
222
2.如何用几何图形解释
b=a-c
?在椭圆中分别表示哪些线段的长?
3.已知椭圆两个焦点的坐标分别是
方程.
4.如图,设,的坐标分别为
,,并且经过点,求它的标准
,.直线,相交于点,且它们的斜率之积为
,求点的轨迹方程.
第17页
17
重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2
图2-1-1
练习反馈
1.在圆
上运动时,线段
2.
已知B,C是两个定点,|BC|=10,且?ABC的周长等于22,求顶点A满足的一个轨迹方程。
3.已知椭圆两焦点坐标分别是(0,-2),(0,2),并且经过点(
?
方程。
第18页
18
上任取一点
的中点
,过点作轴的垂线段,为垂足.当点在圆
的轨迹是什么?
35
,),求椭圆的标准
22
重庆市江津几江中学导学案
高中数学必修2
2.1.2椭圆的简单性质
学习目标:
1.了解用方程的方法研究图形的对称性;理
解椭圆的范围、对称性及对称
轴,对称中心、离心率、顶点的概念;
2.掌握椭圆的
标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题;利用信息技术初
步了解椭圆的第二定义
.
重点、难点:理解椭圆的范围、对称性及对称轴,对称中心、离心率、顶点的概念;
掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题.
自主学习
1.
把
平面内与两个定点,的距离之和等于___(大于)的点的轨迹叫做
椭圆.其中这两个定点叫做____
_,两定点间的距离叫做______.即当动
点设为时,椭圆即为点集.
2.
写出焦点在x轴上,中心在原点的椭圆的标准方程:_____________。
3. 写出焦点在y轴上,中心在原点的椭圆的标准方程:_____________。
合作探究
1.
椭圆的简单几何性质
y
2
x
2
①范围:由椭圆的标准方程可得,
2
?
1?
2
?0
,进一步得:
?a?x?a
,同
ba
理
可得:
?b?y?b
,即椭圆位于直线
x??a
和
y??b
所围成的矩形框图里;
②对称性:由以
?x
代
x
,以
?y
代
y
和
?x
代
x
,且以
?y
代<
br>y
这三个方面来研究
椭圆的标准方程发生变化没有,从而得到椭圆是以
x
轴和
y
轴为对称轴,原点为对称中心;
③顶点:先给出圆锥曲线的顶点的统一定义
,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交
点叫做圆锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点,由于椭圆的对称轴
有长短之分,较长的对
称轴叫做长轴,较短的叫做短轴;
第19页
19
重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2
④离心率:
椭圆的焦距与长轴长的比
e?
c
叫做椭圆的离心率(
0?e?1
)。
a
?
?
当e?0时
,c
?0
,b
?a?
当e?1
?
椭圆越接近于圆
?
时
,c
?a<
br>,,b
?0
?
椭圆图形越扁
2.求椭圆
16x
2
?25y
2
?400
的长轴和短轴的长、离心率、
焦点和顶点的坐标.
3.已知椭圆
mx
2
?5y2
?5m
?
m?0
?
的离心率为
e?
105
,求
m
的值.
练习反馈
1.说出椭圆的焦点和顶点坐标;
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程,并画出草图:
(1)a=6, e=
1
3
;
(2)C=3, e=
3
5
,焦点在y轴上;
(3)长轴长是短轴长得3倍,椭圆经过点P(3,0);
(4)椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别是10和4.
第20页
20
重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2
3.如图所示, “神舟”截人飞船发射升空,进入预定轨道开始巡
天飞行,其轨道
是以地球的中心
F
2
为一个焦点的椭圆,近地点
A
距
地面<
br>200km
,远地点
B
距地面
350km
,已知地球的半径<
br>R?6371km
.建立适当的直角坐标系,求出椭圆的轨迹方程.
图2-1-2
2.2.1抛物线及其标准方程
学习目标:1.掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程.
2
.进一步熟
练掌握解析几何的基本思想方法,提高分析、对比、概括、转化等
方面的能力
重点、难点:1.掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程
2.掌握解析几何的基本思想方法,提高分析、对比、概括、转化等方面的能
力。
自主学习
复习椭圆知识:
(1)把平面内与两个定点,的距离之和等于___(大
于)的点的轨迹
叫做椭圆.其中这两个定点叫做_____,两定点间的距离叫做______.即当动点设为
(2)
写出焦点在x轴上,中心在原点的椭圆的标准方程:___________
时,椭圆即为点集.
_。
(3)写出焦点在y轴上,中心在原点的椭圆的标准方程:____________。
合作探究
由教材提供的方法画出抛物线的图像,归纳出抛物线的定义和推导标准方程
:
第21页
21
重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2
(1)定义:
.定点F叫做
抛物线的 ,定直线l叫做抛物线的 .
(2) 抛物线标准方程的推导过程:
a)建系设标:
b)建立等量关系,推导方程:
练习反馈
1.已知抛物线的标准方程是y=6x,求它的焦点坐标和准线方程;
2.已知抛物线的焦点是F(0,-2),求它的标准方程;
第22页
22
2
重庆市江津几江中学导学案
高中数学必修2
3.一种卫星接收天线的轴截面如图所示。卫星拨束
近似平行状态社如轴截面为抛物线的接
受天线,经反射聚焦到焦点处。已知接收天线的口径为4.8m深
度为0.5m,求抛物线的标
准方程和焦点坐标。
2.2.2抛物线的简单性质
学习目标:1.使学生理解并掌握抛物线的几何性质,并能从抛物线的标准方程出发,推导
这
些性质.
2.从抛物线的标准方程出发,推导抛物线的性质,从而培养学生分析、归纳、
推理等能力
重点、难点:理解并掌握抛物线的几何性质;能从抛物线的标准方程出发,推导这些性质。
自主学习
1. 平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做___定点F不
在定直
线l上).定点F叫做抛物线的___,定直线l叫做抛物线的___.
2. 抛物线的___在一次项对应的轴上,其数值是一次项系数的__倍,准线方程与焦
点坐
标相反;反之可以逆推。
3.已知抛物线的标准方程是y2=8x,求它的焦点坐标和准线方程
4.已知抛物线的焦点是F(-2,0),求它的标准方程
合作探究
1.抛物线的几何性质:通过和椭圆几何性质相比,抛物线的几何性质有什么特点?
(1)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但是没有渐近线.
(2)抛物
线只有一条对称轴,这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合,
第23页
23
重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2
抛物线没有中心.
(3)抛物线只有一个顶点,它是焦点和焦点在准线上射影的中点. (4)抛物线的离心率要联系椭圆第二定义,并和抛物线的定义作比较.其结果是应规定抛
物线的离
心率为1.
2.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点M(-3,m)
到焦点的距离等于5,
求抛物线的方程和m的值.
3.过抛
物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点,且A(x1,y1)、
B(x2,y2)
图2-2-1
练习反馈
1.点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x + 6 =0的距离小2,求M得轨迹。
2.求顶点在原点,通过点(
3
,-6),且以坐标为轴的抛物线的标准方程。
3.某单行隧道横断面由一段抛物线及矩形的三边组成,尺寸如图,某
卡车载一集装箱,车
宽3m,车与箱总高4.5m,此车能否安全通过隧道?说明理由。
第24页
24
重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2
图2-2-2
2.3.1双曲线及其标准方程
学习目标:1.理解双曲线的概念,掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题;
2.理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法;
重点、难点:理解双曲线的概念,掌握双曲线的定义;
会用双曲线的定义解决实际问题.
自主学习
复习旧知:1.
把平面内与两个定点,的距离之和等于___
(大于)的点
的轨迹叫做椭圆(ellipse).其中这两个定点叫做_____,两定点间的距离叫
做
______.即当动点设为时,椭圆即为点集.
2.平面内与一定点F和一条定
直线l的距离相等的点的轨迹叫做___定点F不在定直线
l上).定点F叫做抛物线的___,定直线
l叫做抛物线的___.
3.抛物线的___在一次项对应的轴上,其数值是一次项系数的
__倍,准线方程与焦点
坐标相反;反之可以逆推。
合作探究
1.由教材探究过程容易得到双曲线的定义.
叫做双曲线.其中这两个定点叫做双曲线的焦点,两定点间的距离叫做双曲线的焦距.即
当动点
设为
M
时,双曲线即为点集
P?
。
2.双曲线标准方程的推导过程
思考:已知椭圆的图形,是怎么样建立直角坐标系的?类比求椭圆标准方程的方法自
第25页
25
重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2
己建立直角坐标系.
类比椭圆:设参量
b
的意义:第一、便于写出双曲线的
标准方程;第二、
a,b,c
的关系
有明显的几何意义.
类比:写出焦点
在
y
轴上,中心在原点的双曲线的标准方程
y
2
x
2
??1
?
a?0,b?0
?
.推导过程:
b
2
a
2
3.已知双曲线两个焦点分别为
F双曲线上一点
P
到
F
1
,
F
2
距离差
的
1
?
?5,0
?
,
F
2
?
5,
0
?
,
绝对值等于
6
,求双曲线的标准方程.
4.已知
A
,
B
两地相距
800m<
br>,在
A
地听到炮弹爆炸声比在
B
地晚
2s
,且声速为
340ms
,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
练习反馈
1.求满足下列条件的双曲线的标准方程:
(1)a=3,b=4,焦点在x轴上;
(2)焦点为(0,-10),(0,10),双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是16;
(3)焦点为(0,-5),(0,5),经过点(2,
35
)。
2
26
第26页
重庆市江津几江中学导学案
高中数学必修2
2
x
2
y
22
2.证明:椭圆+=1与双曲线
x
-15
y
=15有相同的焦
点。
259
2.3.2双曲线的简单性质 学习目标:1.了解平面解析几何研究的主要问题:(1)根据条件,求出表示曲线的方程;(2)
通过方程,研究曲线的性质.
2.理解双曲线的范围、对称性及对称轴,对称中心、离心率、顶点、渐近线的
概念;
3.掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题;通过例题和探究
了解双曲线的第二定义
,准线及焦半径的概念.
重点、难点:理解双曲线的范围、对称性及对称轴,对称中心、离心率、顶点、渐近线的
概念;
掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题
自主学习
复习旧知 1.把平面内与两个定点
F
1
,
F
2
的距离的差的绝对
值等于___(小于
F
1
F
2
)的点的轨迹
叫做双曲线(h
yperbola).其中这两个定点叫做双曲线的___,两定点间的距离叫做双
曲线的___.即当
动点设为
M
时,双曲线即为点集
P?
MMF
1
?MF
2
?2a
2.
写出焦点在x轴上,中心在原点的双曲线的标准方程:_____________
_,
3.写出焦点在Y轴上,中心在原点的双曲线的标准方程:______________
_。
合作探究
1.通过图像研究双曲线的简单性质:
??
y
2
x
2
①范围:由双曲线的标准方程得,
2
?
2
?1?0<
br>,进一步得:
x??a
,或
x?a
.这
ba
第27页
27
重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2
说明双曲线在不等式
x??a
,或
x?a
所表示的区域;
②对称性:由以
?x
代
x
,以
?y
代
y
和
?x
代
x
,且以
?y
代
y
这三个方面来研
究双
曲线的标准方程发生变化没有,从而得到双曲线是以
x
轴和
y
轴
为对称轴,原点为对称中
心;
③顶点:圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆
锥曲线的交点叫做
圆锥曲线的顶点.因此双曲线有两个顶点,由于双曲线的对称轴有实虚之分,焦点所在
的
对称轴叫做实轴,焦点不在的对称轴叫做虚轴;
x
2
y
2
b
④渐近线:直线
y??x
叫做双曲线
2
?
2
?
1
的渐近线;
ab
a
⑤离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比
e?
22
c
叫做双曲线的离心率(
e?1
)
a
2.求
双曲线
9y?16x?144
的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程.
x
2
y
2
??1
共渐近线,且经过<
br>A23,?3
点的双曲线的标准方及离心率.3.求与双曲线
169
??
练习反馈
1.求下列双曲线的实轴和虚轴的长,焦距和离心率:
(1)9
x
2
—
y
2
x
2
y
2
=81;
(2) - =1
9
25
x
2
y
2
x
2
y
2
2.已知双曲线-=1与双曲线 -+ =1,它们的离心率
e
1
,
e
2
是否满足等式
9
16
9
16ee
1
?2
+
?2
2
=1
第28页
28
重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2
3.如图,设
M
?
x,y
?
与定点
F<
br>?
5,0
?
的距离和它到直线
l
:
x?
求点
M
的轨迹方程.
分析:若设点
M
?
x,y
?,则
MF?
16
5
的距离的比是常数,
4
5
?
x?5
?
2
?y
2
,到直线
l
:
x?
16
16
的距离
d?x?
,则容易得点
M
的轨
迹方程.
5
5
图2-3-1
第三章 变化率与导数
3.1
变化的快慢与变化率
3.1.1 平均变化率
学习目标:1、通过大量实例,了解平均变化
率的计算,并能掌握求一个函数在某一区间
内的平均变化率。
2、理解平均变化率的几何意义。
重点、难点:平均变化率的几何意义。高
自主学习
(1)令
?f?f(x
2
)?f(x
1
)
或
?f?f(x
1
??x)?f(x
1
),?x?x2
?x
1
,函数
f(x)
在
[x
1
,
x
2
]
上的平均变化率可简记作
,式中
?x,?f
可正可负。
(2)平均变化率的几何意义:函数
f(x)
在
[x
1
,x
2
]
上的平均变化率是过点
,
两点的割线的斜率。高考资源网
合作探究
例1某婴儿从出生到第
12个月的体重变化如图所示,试分别计算从出生到第3个月与第6
个月到第12个月该婴儿体重的平均
变化率。
第29页
29
重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2
例2水经过虹吸管
从容器甲中流向容器乙,
t
秒后容器甲中的水的体积
V(t)?5e
位
cm
),计算第一个
10s
内
V
的平均变化率。高考
例3已知函数
f(x)?x
,分别计算
f(x)
在下列区间上的平均
变化率:
(1)
[1,3]
(2)
[1,2]
(3)
[1,1.1]
(4)
[1,1.001]
高考资源网
2
?0.1t
(单
3
例4已知函数
f(x)?2x?1,g
(x)??2x
,分别计算在区间
[?3,?1]
,
[0,5]
上<
br>f(x)
及
g(x)
的平均变化率。高考资源网
练习反馈
1、甲、乙两人投入相同的资金经营某商品,甲用5年时间挣到10万元,乙用5个月时间
挣到
2万元,如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?
2、国家环保局在
规定的排污达标日期前,对甲、乙两家企业进行检查,其连续检测结果
如图所示(其中
W
1
(t)
,
W
2
(t)
分别表示甲、乙两企业的排污量)
,试比较两个企业的治污
效果。
3、已知
f(x)
?3x?1
,求
f(x)
在区间
[a,b]
上的平均变化率:高考资
源
(1)
a??1,b?2
(2)
a??1,b?1
(3)
a??1,b??0.9
第30页
30
重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2
4、求经过函数
y?x
图像上两点
A,B
的直线的斜率:高考资源网
(1)
x
A
?1,x
B
?1.001
(2)
x
A
?1,x
B
?0.9
(3)
x
A
?1,x
B
?0.99
(4)
x
A
?1,x
B
?0.999
2
3.1导数的概念及其几何意义&3.2计算导数
3.1.2 瞬时变化率
学习目标:1、认清平均变化率与瞬时变化率的区别和联系。
2、理解并掌握利用“割线逼近切线”的方法求切线斜率。高考
3、掌握在物理学中,瞬时变化率的应用:瞬时速度和瞬时加速度。
重点、难点:理解并掌握利用“割线逼近切线”的方法求切线斜率。
自主学习高考资源网 <
br>1、
f(x)
从
x
1
到
x
2
的平均
变化率是
2、
f(x)
在
x?x
0
处的瞬时变化率是
合作探究
例1、圆面积A和直径
d
的关系由
A?
时变化率是多少?高考资源网
第31页
31
?
9
d
2
表示,当直径
d?10
时
,面积关于直径的瞬
重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2
例2、设一辆轿车在公路上做加速直线运动,假设
t
秒时的速度为
v(t)?t?3
,求
t?t
0
秒时轿车的加速度。
例3、物体作直线运动的方程为
s?s(t)?3t?5t
(1)
求物体在2秒到4秒时的平均速度;
(2) 求物体在2秒时的瞬时速度;
(3)
求物体在
t
0
秒时的瞬时速度。高考资
练习反馈 <
br>1、一质点的运动方程为
s?t?10
(位移单位:米,时间单位:秒)试求该质点在<
br>t?3
秒的瞬时速度。高考资源网
2、自由落体运动的位移S(m)
与时间
t(s)
的关系为
S?
(1)
求
t?t
0
秒时的瞬时速度。
(2)
分别求
t?0
、
1
、2秒时的瞬时速度。高考资源网
第32页
32
2
2
2
1
2
gt
(
g
为常数)
2
重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2
3、某
个物体走过的路程s(单位:m)是时间t(单位:s)的函数:s=t
2
—1,通过平均速度估计物体在下列各时刻的瞬时速度:
(1)x=1 (2)x=—1
(3)x=4
4、通过平均变化率估计函数y=
1
+2在下列各点的瞬时变化率:
x
(1)x=—1 (2)x=3 (3)x=4
3.2
导数的概念及其几何意义&3.3计算导数
3.2.1 导数的概念
学习目标::1、理解导数的定义,并能求出一般函数的导数,理解某点处导数的几何意义;
2、理解导数与瞬时速度、瞬时加速度的关系。高考资源网
重点、难点:理解导数的定义,并能求出一般函数的导数高考资源网
自主学习
1、
函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
上有定义,
x
0
?(a,b)
,当
?x
无限趋近于0时,比值
?y
?x
无
限趋近于一个常数A,则称
f(x)
在点
x?x
0
处
,并称该常数A为
函数
f(x)
点
x?x
0
处的
,记
作 。高考资源网
2、把上式中
的
x
0
看成变量
x
时,
f'(x)
即为
f
(x)
的 ,简称
3、函数
y?f(x)
在点
x?x
0
处导数的几何意义就是
4、瞬时速度是运动物体位移
S(t)
对时间
t
的导数,即为
v(t)?
。
合作探究
2
例1、 已知<
br>f(x)?x?2
高(1)求
f(x)
在
x?1
处的导数;(
2)求
f(x)
在
x?a
处的
导数。高考
第33页
33
重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2
例2、 曲线
y?t?t?t?1
的一条切线与已知
直线
x?y?1?0
垂直,求切点坐标。
例3、
求过点
(2,0)
且与曲线
y?
考资源
练习反馈
1、一物体的运动方程是
s?1?t?t
,其中
s
的单位是米,
t
的单位是秒,那么物体在
t?3
时的瞬时
速度为__________。(
2、质点运动方程为
S?3t?1
(位
移单位:米,时间单位:秒),分别求
t?1s,t?2s
时
的速度。高考
资源网
3、求下列函数在已知点处的导数:
(1)
y?3x?1
在
x?3
处的导数;高考资源网
2
(2)
y?x
在
x?a
处的导数;
32
1
相切的直线方程。高
x
2
(3)
y?
1
在
x?2
处的导数。
x
第34页
34
重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2
4、
f'(1)
与
f(1)
的含义有什么不同?
f'(1)
与
f'(x)
的含义有什么不同?
3.2.2 导数的几何意义及应用
学习目标:1、理解并掌握利用“割线逼近切线”的方法求切线斜率。
2、会求曲线上一点
P
处的切线方法。
重点:求曲线上一点
P
处的切线方程。
难点:利用“割线逼近切线”的方法求切线斜率高考资源网
自主学习
(1)导数的几何意义:
函数
y
=
f
(
x
)在
x
=
x
0
处的导数等于在该点处的切线的斜率,
即
f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?k
?x
点的坐标;②求出函数在点
说明:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出
P
x
0
处的变化率
f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?k
,得到曲线在点
(x
0
,f(x
0
))
的切线的斜率;
?x
③利用点斜式求切线方程.
(2)导函数:
由函数
f
(
x
)在
x
=
x
0
处求导数的过程可以看到,当
时,
f
?
(x
0
)
是一个确定的数,那么,
当<
br>x
变化时,便是
x
的一个函数,我们叫它为
f
(
x<
br>)的导函数.记作:
f
?
(x)
或
y
?
,
即:
f
?
(x)?y
?
?lim
?x?0
f(x??x)?f(x)
?x
注:在不致发生混淆时,导函数也简称导数. <
br>(3)函数
f(x)
在点
x
0
处的导数
f
?
(x
0
)
、导函数
f
?
(x)
、导数
之间的区别与联系。
第35页
35
重庆市江津几江中学导学案
高中数学必修2
1)函数在一点处的导数
f
?
(x
0<
br>)
,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极
限,它是一个常数,不是变数
。
2)函数的导数,是指某一区间内任意点
x
而言的, 就是函数f(x)的导函数
'
3)函数
f(x)
在点
x
0
处的导数
f
(x
0
)
就是导函数
f
?
(x)
在
x?x
0
处的函数值,这也是
求
函数在点
x
0
处的导数的方法之一。
合作探究
例1.
已知
f(x)?x
,求曲线
y?f(x)
在
x?2
处的切线
的斜率。
例2.已知函数
f(x)?x
的图像上点
P(
点的切线斜率。高考资源网
3
例3.求曲线
y?x
在
x
?
2
2
39
,)
,则在该点的切线斜率是多少?并写出该
4
16
3
处切线的倾斜角。高考资源网
3
练习反馈资源网
x
2
1
1.已知曲线
y?
的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为(
)
4
2
A.1
3
B.2
2
'
C.3 D.4
2.
f(x)?ax?3x?2
,若f(1)?0
,则
f(a)
的值等于( )
A.
?2
B.
30
C.
?36
D.
32
3.曲线
y?x?2
x?4x?2
在点
(1,?3)
处的切线方程是____.
2
4.
设曲线
y?ax
在点(1,
a
)处的切线与直线
2x?y?6?0<
br>平行,则
a?
( )
32
A.1
B.
5. 设曲线
y?
1
1
C.
?
D.
?1
2
2
x?1
2)
处的切线与直线
ax?y?1?0
垂直,则
a?
( ) 在点
(3,
x?1
第36页
36
重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2
A.2
B.
3
1
2
C.
?
1
2
D.
?2
6.
曲线
y?x?2x?4
在点
(1,3)
处的切线的倾斜角为( )
7、分别求曲线
f(x)?x
在
x?0
,
x??2
,x?3
处的切线的斜率。高考
8、曲线
y?
2
x
上过点
的切线与直线
x?2y?5?0
平行。
2
9、曲线
f(x)?x<
br>的一条切线的斜率时
?4
,求切点的坐标。高考资源网
3.4
导数的四则运算法则
3.4.1 常见函数的导数
学习目标:掌握定义法求函数导数的方
法,求熟练运用基本初等函数的求导公式,求常见
函数的导数
重点、难点:用定义推导常见函数的导数公式高考资源网
自主学习
①:
(kx?b)'?
②:
C'
(C为常数)
a
③:
(x)'?
④:
(log
a
x)'?
⑤:
(a)'?
⑥:
(e)'?
⑦:
(lnx)'?
⑧:
(sinx)'?
⑨:
(cosx)'?
合作探究:考资源网
例1下列各项中,正确的为 ( )高考资源网
①:
(2x?1)'?2
;②:
(ln2)'?
xx
1<
br>;③:
[f(x
0
)]'?f'(x
0
)
④:
[f(x
0
)]'?0
2
A. ①③ B. ②③
C. ①④ D. ②④
例2一质点的运动方程是
S?2sint
①:求
t?
高考资源网
?
3
时的速度;
第37页
37
重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2
②:求该质点运动的加速度。
例3求抛物线
y?x
2
和直线
y?x?1
间最短距离。高
考资源网
练习反馈
1.
用定义法推导
(x
3
)'?3x
2
;
(x)'?
1
2x
高考
资源网
2. 求函数
y?
1
x
的图像在点(2,
1
2
)处的切线的方程。高考资
3. 若直线
y??x?b
是函数
y?
1x
图像的切线,求
b
及切点坐标。
第38页
38
重庆市江津几江中学导学案
高中数学必修2
4. 若对于任意
x
,有
f'(x)?4x,
f(1)??1
,则此函数
f(x)?
5.
6. 直线
y?
3
1
x?3
能作为函
数
y?f(x)
图像的切线吗?若能,求出切点坐标,若不能,
2
1
4x
②
f(x)?x
③
f(x)?sinx
④
f(x)?e
高考
x
简述理由:
①
f(x)?
资源网
3.4.2 函数的和、差、积、商的导数
学习目标:1、能利用导数公式及四则运算求简单函数的导数;
2、体会建立数学理论过程,
感受学习数学和研究数学的一般方法,进一步发
展学生的思维能力。
重点、难点:利用求导法则求导
自主学习考资源网
①:
[f
②:
[f
③:
[
(x)?g(x)]'?
(x)?g(x)]'?
,若
g(x)?c
时,有
[cf(x)]'?
f(x)
]'?
,
(g(x)?0)
g(x)
合作探究
例1:求
y?
高例2:.求下列函数的导数高考资源网
(1)
第39页
39
x
2
?x
的导数。
3
f(x)?x
2
?sinx
(2)
g(x)?x
3
?x
2
?6x?2
2
重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2
例3:求下列函数的导数(1)
h(x)?x?sinx
(2)
s(t)?
t
2
?1
t
例4:求曲线
y?x
2
?2x?3
在
x?2
处的切线方程。
高考资源网
练习反馈
1、求下列函数的导数高考资源网
(1)
y?x
2
?cosx
(2)
y?2
x
?2lnx
(3)
f(x)?
1
x
2
(4)
f(x)?
x
2x?3
(5)
f(x)?
sinx
x
2
(6)
f(x)?x
2
?3x?1
2、求曲线
y?e
x
在
x?0
处的切线方程。高考资源网
第40页
40
重庆市江津几江中学导学案
高中数学必修2
3、求曲线
y?
?
x
?cosx
在
x?
处的切线方程。
6
2
第四章 导数应用
4.1 函数的单调性与极值
4.1.1 导数与函数的单调性
学习目标:1、理解导数正、负与函数单调性之间的关系;
2、能利用导函数确定函数的单调区间高考资源网
重点、难点:利用导函数求单调性
自主学习
已知
y?f(x),x?(a,b)
高考资源网
,b)
,有
f'(x)?0
,则
f(x)
在区间
(a,b)
内
,b)
,有
f'(x)?0,则
f(x)
在区间
(a,b)
内
(1) 对任意
x?(a
(2) 对任意
x?(a
合作探究资源网
例1、确定函数
例2、确定函数
f(x)?x
2
?4x?3
在哪个区间上是增函数,哪个区间上是减函数?
f(x)?2x
3
?6x
2
?7
在哪些区间上是增函数。
第41页
41
重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2
例3、确定函数
f(x)?sinx,x?(0,2
?
)
的单调区间。高考资源网
例4、证明:当
x?1
时,有
2x?3?
1
x
。高考资源网
练习反馈
1、确定下列函数的单调区间
(1)
y?x?x
2
(2)
y?x?x
3
2、讨论函数
f(x)
的单调性:
(1)
f(x)?kx?b
(2)
f(x)?
k
x
(3)
f(x)?ax
2
?bx?c
3、用导数证明:高考资源网
(1)
f(x)?e
x
在区间
(??,??)
上是增函数;
第42页
42
重庆市江津几江中学导学案
高中数学必修2
(2)
f(x)?e
x
?x
在区间
(??,0)
上是减函数。
4.1.2 函数的极值
学习目标:1、掌握函数极值点的定义与求解步骤;
2、体会导数方法在研究函数性质中的一般性与有效性。高考资源网
重点、难点:利用导数求极大、极小值
自主学习
1、极大值
2、极小值
3、极值与导数之间的关系:
(1)极大值与导数的关系:高考资源网
x
f'(x)
f(x)
x
1
左侧
x
1
x
1
右侧
f'(x)?0
增加
f'(x)?0
极大值
f'(x)?0
减少
f(x
1
)
(2)极小值与导数的关系:高考资源网
x
f'(x)
x
2
左侧
x
2
x
2
右侧
f'(x)?0
f'(x)?0
f'(x)?0
第43页
43
重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2
f(x)
合作探究
例1、求函数
例2、求函数
练习反馈
减少
极小值
f(x
1
)
增加
f(x)?x
2
?x?2
的极值。高考资源网
1
3
1
f(x)?x?4x?
的极值。高考资源网
33
1、求下列函数的极值:高考资源网
(1)
y?
2、设函数
3、作出符合下列条件的函数图像高考资源网
(1)
第44页
44
x
2
?7x?6
(2)
y?x?
1
x
f(x)
有极小值
f(a)
、极大值
f(b)
,
f(a)
一定小于
f(b)
吗
?试作图说明。
f(4)?3,f'(4)?0,x?4
时,
f'(x)?0,x?
4
时,
f'(x)?0
;
重庆市江津几江中学导学案
高中数学必修2
(2)
f(1)?1,f'(1)?0,x?1
时,
f'(x)?0
4.2 导数在实际问题中的应用
4.2.1 实际问题中导数的意义
学习目标:
1、掌握解应用题的思路与方法,能分析出变量间的关系,建立起函数模型,
确定自变量的定义域。高考
资源网
2、能用导数的知识对实际问题求解。
重点、难点:1、建立起函数模型,确定自变量的定义域。
2、用导数的知识对实际问题求解高考资源网
自主学习
解应用题的思路与方法:
1、审题:理解题意,分析问题的主要关系高考资源网
2、建模:
3、求解:求得数学问题的解
4、反馈:
高考资
合作探究
例1、在边长为60厘米的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形,再把
它的边沿虚线
折起(如图),做成一个无盖的方底铁皮箱,箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容<
br>积是多少?
高考资源网
例2、某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确
定它的高与底半径,使得所用材料最省?
第45页
45
重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2
高考资源网
例3、在平面直角坐标系内,过点(1,4)引一直线,使它与两坐标轴上的截距都为正,<
br>且两截距之和最小,求这条直线的方程。高考资源
网
练习反馈
1、内接于半径为R的半圆的矩形周长最大时,它的边长为
;高考2、
做一个容积为
256L
的方底无盖水箱,它的高为
,材料最省?
3、把长为60㎝的铁丝围成矩形,它的长为 ,宽为
时,面积最大。
4、把长100㎝的铁丝分成两段,各围成正方形,怎样分法,能使两个正方形面积之和最
小?
高4.2.2 最大值与最小值
学习目标:1.掌握函数最值的概念,会从几何直观理
解函数的最值与其导数的关系,并
会灵活应用;
2.掌握求闭区间
[a,b]
上的函数
f(x)
的最大值和最小值的思想方法和步骤;
3.增强数形结合的思维意识,提高运用导数的基本思想去分析和解决实际问
题的能力;
重点:正确理解函数最值的概念,掌握求函数最值的方法和步骤并能灵活应用;
难点:正确掌握“点是最值点”的充要条件,灵活应用导数求有关函数最值方面的问题。
自主学习
1.最大值与最小值的概念:
2.最值与极值的区别与联系:
3.求解函数最值的步骤是:
合作探究
例1.
求函数
f(x)?x?3x?3
在区间
[?2,4]
上的最大值与最小值.
3
第46页
46
重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2
例2.求函数
f(x)?e?ex
在区间
[?2,2]
上的最大值与最小值.
例3.求函数
f(x)?
x
1
x?sinx
在区间
[0,2
?
]
上的最大值与
最小值.
2
x
2
?2x?a
1
,x?
?
1,??
?
. 例4.已知函数
f(x)?
(1)当
a?
时,求函数
f(x)
的最小
x
2
值;(2)若对于任意
x
?
?
1,??
?
,f(x)?0
恒成立,试求实数
a
的取值范围.
练习反馈
1.求下列函数在所给区间上的最值:
(1)
f(x)?x?x,x?[0,2]
(2)
f(x)?
2.求下列函数的值域:
(1)
f(x)?3x?9x?5,x?[?2,2]
(2)
f(x)?x?lnx,x?[,3]
(3)
y?
3.已知实数
x、y
满足
x?y?2x
,求<
br>xy
的取值范围.
4.若函数
f(x)?x
?2x?5
在区间
[?2,2]
上恒有
f(x)?m
成立,求实数<
br>m
的取值范
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47
42
2222
3
3
x?1
,x?[0,2]
x?2
1
3
1
??
x?cosx,x?[?,]
222
重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2
围。
5.设函数
f(x)?ax?6ax?b在区间
[?1,2]
上的最大值为3,最小值为
?29
,且
a?
0
,
32
试求实数
a、b
的值
6.已知正四棱柱的体积为
V
,试求:当正四棱柱的底面边长多大时其表面积最小.
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