数学必修5公式集合整体重复型公式巧解容斥原理问题

2020年9月21日发(作者：万毅)
行测数学运算技巧：三集合整体重复型公式巧解容斥原理问题
一、介绍三集合整体重复型核心公式
在三集合题型中，假设满足三个条件的元素数量分别是A、B 和C，而至少满足三个条
件之一的元素的总量为W。其中，满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件 的元素数量
为y，满足三个条件的元素数量为z，可以得到以下两个等式：
W=x+y+z
A+B+C=x×1+y×2+z×3

二、典型的三集合整体重复型的题目讲解
例1、某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、 语文小组、数学小组中的一个
课外活动。现已知参加英语小组的有17人，参加语文小组的有30人，参 加数学小组的有
13人。如果有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组?(20 04年浙
江公务员考试行测第20题)
A. 15人 B.16人 C.17人 D.18人
【答案】A 解析：此题有两种解法可以解出：
解一：分别设只参加英 语和语文、英语和数学、语文和数学小组的人为x、y、z，则只
参加英语小组的人为17-5-x-y ，只参加语文小组的人有30-5-x-z，只参加数学小组的人有
13-5-y-z，则只参加三个小 组中的一个小组的人和只参加其中两个小组的人和三个小组都参
加的人的总和为总人数，即17-5-x -y+30-5-x-z+13-5-y-z+x+y+z+5=35。则求x+y+z=15，所
以只 参加一个小组的人数的和为15。
解二：套用三集合整体重复型公式：
W=x+y+z
A+B+C=x×1+y×2+z×3
35=x+y+5
17+30+13=x×1+y×2+5×3
解得：x= 15，y=15
例2、某调查公司就甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过
甲 片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影全看过，20人一部也没
有看过，则 只看过其中两部电影的人数是( )(2009年江苏公务员考试行测A类试卷第19题)
A. 69 B.65 C.57 D.46
【答案】D 解析：本题也是一道典型的三集合整体重复型题目，直接套用三集合整体
重复型公式：
W=x+y+z
A+B+C=x×1+y×2+z×3
这里需要注意的是W=105，而非125，
105=x+y+24
89+47+63=x×1+y×2+24×3
两个方程，两个未知数，解出y=46，这里y表示只看过两部电影的人数，即所求。
例3、某高 校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考
试的有63人，准备参加英语 六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考
试?准备参加的有24人，准备选择两种 考试参加的有46人，不参加其中任何一种考试的有
15人。问接受调查的学生共有多少人?(2010 年国家公务员考试行测第47题)
A. 120 B.144 C.177 D.192
【答案】A 解析：本题的特征也很明显，直接套用公式，只是要注意的是，题目中最
后问的是接受调查的总人数，我们求出W之后，还需要再加上不参加其中任何一种考试的那
15 个人，
W=x+46+24
63+89+47=x×1+46×2+24×3
通过解方程，可以求出W=105，这只是至少准备参加一种考试的人数，所以接受调查的
总人数为105+15=120。
例4、某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8 种产品的低温柔度不合
格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项 不合格的有
7种，有1种产品这三项都不合格，则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种?(201 1
年国家公务员考试行测试卷第74题)
A. 37 B.36 C.35 D.34
【答案】D 解析：本题属于典型的三集合整体重复，直接套用公式：
W=x+7+1
8+10+9=x×1+7×2+1×3
可以解除W=18，所以 至少有一项不合格的有18种，则三项全部合格的建筑防水卷材产
品有52-18=34。
在三集合整体重复型的题目中，我们需要辨认A、B、C，x、y、z具体指代什么，特别
是需要搞清W 是哪个量，这里再强调一遍，至少满足三个条件之一的元素的总量为W，而并
非题目总量即为W，只要掌 握这一点，这类题目即可迎刃而解。