高中数学人教a版1.5-高中数学最复杂公式
高中数学 ----- 三角函数
【知识网络】
【概念梳理】
1.
角的概念和弧度制。
(1)
在确定一个角的大小时,不仅要看它的始边与终边的位置,还要看它是按什么方
向
旋转而成,这样一来,角的范圉就推广到了任意角。
⑵角度制与弧度制换算的关键是
180
。=兀,注意两种度量需统一。弧度制将角的集合
与
实数集合
R
之间建立了 ------ 对应关系。
(3)
象限角、轴线角的范围都是用终边相同的角来表示的区域角。判断给定角是第几
象限
角一般是将角转化为
0
。到
360
。之间终边相同的角来判定。
2.
三角函数的定义。
(1)
在直角坐标系中,设任意角
a
终边上任意一点
P(x,
y),
它与原点的距离为
r= *x+y,
则
sin a=? cos
a=*, tan a=±
由此可得以实数
x
为自变量的三角函数
y =
sin x, y=cos x
和
22
y=tan
x^x#^+2k7r(kZ)^
o
(2)
任意角的三角函数值只与这个角的终边位置有关,而与点
P
在终边上的位置无关;
角
与三角函数值的对应关系是多值对应关系,给定一个角,它的三角函数值是唯一
确定的;
反过来,给定一个三角函数值,有无穷多个角和它对应。
(3)
三角函数的值在各象限的符号有如下口决:一全正、二正弦、三正切、四余弦。
依据相应三角函数值的符号可以确定角终边所在的象限。
3.
同角三角函数基木关系
⑴平方关系:
sin2 a +cos2 a
=1,
商数关系:
tan a =sin a cos a
。
(2)
应用:①已知角
a
的一个三角函数值可以知一求二,注意依据三角函数值确定角
Q
的
终边所在的彖限。②在三角函数式的化简、求值及恒等式证明中的三个技巧:
“1”
的代换
sin2a +cos2a
=1
;
切化弦;
sin a ±cos a
平方整体代换。
4
?诱导公式
(1)
诱导公式可概括为
k
号
±a
的各三角函数值的化简公式。记忆规律是:奇变偶不变,
符号看象限。其中的奇、偶是指号的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化。
若
是奇数倍,则函数名称变为相应的异名函数;若是偶数倍,则函数名称不变。符
号看象
限是指把
a
看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。
(2)
利用诱导公式,可以把任意用的正弦,余弦函数值化为锐角三角函数值,其步骤
为:
负化正,大化小,锐角求值。化简求值中注意利用角与角之间隐含的互余或互
补关系,
从而简化解题过程。
5.
三角函数的图象与性质
y = sin
x
函数
y=cos x
y
y = tem x
i
[y
1
图象
i
y
託勢
r x
丸每
2
o
粤左
( JI
Z 2
,
定义
域
函数
值域
R R
k n +m~J(kWZ)
y = sin x
[—1,1]
y=cos x
[-1,1]
y = tan x
( — 8,
+OO
)
JI
x = 2k Ji
+—时,
y.
碎
x = 2kn
时,
y
唤
=1;
最值
=1;
x
—
2k “ 2
时,^
min
x = 2k n +
JI
时,
y
min
= —
1
无最大、最小值
=—1
周期
性
奇偶
性
奇函数 偶函数 奇函数
T=2n
T=2 Ji T= Ji
JI
在
2k Ji
—, 2kn +
单调 性
JI ■
y(kez)
上都是增
函数;在
2k
肌+*,
在
[2k n — n , 2k n ]
(k ez)±
在每个区间
k n
2
, k
都是增函数;在
[2k
肌
,
n +y(kez)±
都是增
2k Ji
+
JI
] (ke Z)
上都是减
函数
3 Jl
z
、
2k n + ? (k W Z)
上
都是减函数
轴对称图形,对称轴
对称
性
JI
方程是
x = k
兀+—,
函数
轴对称图形,对称轴方
程
对称中
k n
是
x=k Ji , kez
;
中
心对称
中心对称图形,
心(亍
0)
图形,对称中心
( Ji A
k Ji +—, 0 , kGZ
k^Z
;
中心对称图
形,对称中心
(k Ji ,
O)kez
⑴函数
y=sin x
和
y=cos
x
的周期是
2 n ,
y=tanx
的周期是兀;函数
y=Asin
(
3x +
4
)
)
和
『=
Acos
(
3x+d
)
)
的周期是
2
兀
|3|, y = Atan
(
3x+“
)
的周期是兀
I 3 I
。
(2)
利用函数的单调性比较同名三角函数值的大小时,注意利用诱导公式将角化到同 一单调区间内。求形如
f
(
3x+d
)
)(f
为
sin, cos, tan)
的单调区间时,采用整体代换 的
形式将
3x+
“视为整体求解时注意
x
的范围即可,注意3及
f
符号对单调性的影
响。
6.
五点作图与图象变换
(l)y=sinx,
xe[0,2n]
图象上关键五点:
(
0,0),
兀
2,
1,(
兀
,
0)3
肌
2, -1, (2
兀
,
0)
;
y=cosx,
xe[0,2n]
图象上关键五点:
(
0,1)
兀
2,
0,(
兀,一
1), 3
兀
2, 0, (2
兀,
1)
。
五点即为图象的最高点、最低点及与
x
轴的交点,描点作图并向左向右平移即得正
弦曲
线和余弦曲线。
⑵函数
y = sin
x
的图象变换到函数
y = Asin
(
3x+ ?
)
的图象时,法则是针对自变量
x
和
因变量
y,
左加右减
,上加下减。途径是相位变换周期变化
w(>0)
f振幅变换
A(A>0)
和周期变换
3
(
3 >0)—相位变化
4
)
(4
)
HO)—
振幅变换
A(A
>0)o
注 意二者平
移量不同。
⑶依据
y=Asin
(
3x+
(
I
)
)
的图象可以确定周期和振幅,依据图象上的特殊点可
确定
A,
3,4
)
,
可得对应的函数解析式。