高中数学导题库-高中数学竞赛数论阶梯
平面向量 综合测试题
(时间:120分钟
满分:150分)
学号:______ 班级:______ 姓名:______
得分:______
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出
的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的)
1. 向量
a
,b
,
c
,实数
λ,
下列命题中真命题是( )
A.
若
a
·
b
=0,则
a
=0或
b
=0
B.若
λ a
=0,则
λ
=0或
a
=0
C.若<
br>a
2
=
b
2
,则
a
=
b
或
a
=-
b
D.若
a
·
b
=
a
·
c
,则
b
=
c
2.已知向量
a
=(1,0)与向量
b
=(-1,3),则向量
a<
br>与
b
的夹角是( )
π
A.
6
C.
2π
3
B.
D.
π
3
5π
6
3. 设
P
是△
ABC
所在平面内的一点,
→
BC
+
→<
br>BA
=2
→
BP
,则( )
A.
→
PA
+
→
PB
=0
B.
→
PC
+
→
PA
=0
C.
→
PB
+
→
PC
=0
D.
→
PA
+
→
PB
+
→
PC
=
0
4.已知向量
a
=(2,3),
b
=(-1,2),若
ma
+
nb
与
a
-2
b
共线,则=(
)
A.-2
1
C.-
2
B.2
1
D.
2
m
n
5.若向量
a
,
b
,
c
满足
a
∥
b
且
a
⊥
c
,则
c
·(
a
+2
b
)=( )
A.4 B.3 C.2 D.0
6.已知点
A
(-1,1),
B
(1,2),
C
(-2,-1),
D
(3,4),则向量
→
AB
在
→
CD
方向上的投影
为( )
A.
32
2
B.
315
2
32
C.-
2
315
D.-
2
7. 已知|
a
|=2|
b
|,|
b
|≠0,且关于
x
的方程
x
2
+|
a
|
x
+
a
·b
=0有实根,则
a
与
b
的
夹角的取值范围是( )
1
A.[0,
π
]
6
B.[
D.[
π
,π]
3
π
,π]
6
π2π
C.[,]
33
8. 已知向量
a,
b
满足|
a
|=1,(
a
+
b
)·
(
a
-2
b
)=0,则|
b
|的取值范围为( )
A.[1,2] B.[2,4]
?
11
??
1
?
C.
?
,
?
D.
?
,1
?
?
42
??
2
?
9. 下列命题中正确的个数是(
)
①若
a
与
b
为非零向量,且
a∥b
,则
a
+
b
必与
a
或
b
的方向相同;
②若
e
为单位向量,且
a∥e
,则
a
=|
a
|
e
;
③
a
·
a
·
a
=|
a
|
3
;
④若
a
与
b
共线,又
b
与
c
共线,则
a
与
c
必共线;
→
A.1
C.3
→→→
⑤若平面内有四点
A<
br>,
B
,
C
,
D
,则必有
AC
+BD
=
BC
+
AD
.
B.2
D.4
10.已知向量
a
=(
x
+1,1),
b
=(1,
y
-2),且
a
⊥
b
,则
x
2<
br>+
y
2
的最小值为( )
1
A.
3
1
C.
2
2
B.
3
D.1
11.若向量
a
,
b
满足:|
a
|=1,
(
a
+
b
)⊥
a
,(2
a
+
b<
br>)⊥
b
,则|
b
|=( )
A.2
B.2 C.1 D.
2
2
12.设
a
,
b
是两个非零向量,下列结论一定成立的是( )
A.若|
a
+
b
|=|
a
|-|
b
|,则
a
⊥
b
B.若
a
⊥
b
,则|
a
+
b
|=|
a
|-|
b
|
C.若|
a<
br>+
b
=|
a
|-|
b
|,则存在实数
λ,使得
a
=
λb
D.若存在实数
λ
,使得<
br>a
=
λb
,则|
a
+
b
|=|
a<
br>|-|
b
|
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上 )
13.
已知向量
a
=(2,1),
a
·
b
=10,|
a<
br>+
b
|=5 2,则|
b
|等于________.
14.已知向量
a
=(2,-1),
b
=(-1,
m
),<
br>c
=(-1,2),若(
a
+
b
)∥
c
,则
m
=________.
2
15.已
知向量
a
,
b
满足|
a
|=1,
b
=(2
,1),且
λ
a
+
b
=0(
λ
∈R),
则|
λ
|=________.
16.在△
ABC
中,若
∠
A
=120°,
→
AB
·
→
AC
=-1
,则|
→
BC
|的最小值是________.
三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
→→17.(10分)已知
O
、
A
、
B
是平面上不共线的三
点,直线
AB
上有一点
C
,满足2
AC
+
CB=
r
0
,
→→→
(1)用
OA
、
OB
表示
OC
;
(2)若点
D
是
OB
的中点,证明四边形
OCAD
是梯形.
18.(10分)设
a
,
b
是不共线的两个非零向量.
(1)若<
br>→
OA
=2
a
-
b
,
→
OB
=3
a
+
b
,
→
OC
=
a
-3
b
,求证:
A
,
B
,
C
三点共线. (2)若
→
AB
=
a
+
b
,
→
BC
=2
a
-3
b
,
→
CD
=2
a
-
kb
,且
A
,
C
,
D
三点
共线,求
k
的值.
19.(10分)已知向量
a
=(3<
br>,
2),
b
=(-1
,
2),
c
=(4,
1).
(1)求3
a
+
b
-2
c
;
(2)求满足
a
=
m
b
+
n
c
的实数
m
,
n
;
(3)若(
a
+
k
c
)∥(2
b
-
a
),求实数
k
.
20.(10分)已知在△
ABC
中,
A
(2,-1),<
br>B
(3,2),
C
(-3,-1),
AD
为
BC边上的高,
→
求点
D
的坐标与|
AD
|.
2
1.(10分)已知|
a
|=2|
b
|=2,且向量
a
在向
量
b
的方向上的投影为-1,求
(1)
a
与
b
的夹角
θ
;
(2)(
a
-2
b
)·
b
.
22.(10分)已知
a
=( 3,-1),
b
=
?
,
?
13
?
?
,且存在实数
22
??
k
和
t
,使得
x
=
a
+(
t
2-
k
+
t
2
3)
b
,
y
=-
ka
+
tb
,且
x
⊥
y
,试求的最小值.
t
参考答案
3
一、选择题 1~6
BCBCDA 7~12 BDACBC
提示:
1.若
a
·
b
=0,表明
a
,
b
垂直,并不是
a
=0或
b
=0;若
a
2
=
b
2
,
表明|
a
|
2
=|
b
|
2
,并不
是
a
=
b
或
a
=-
b
;若
a·
b
=
a
·
c
,则有|
a
||
b
|cos
α
=|
a
||
c
|cos
β
,
α
,
β
分别是向量
a
,
b
和
c
,
a
的夹角,不只会是
b
=
c
.故只
有B正确.
a·b
-112π
2 .cos〈
a
,
b
〉===-.所以〈
a
,
b
〉=.
|
a
|·|
b
|1·223
3.由
→BC
+
→
BA
=2
→
BP
知,点
P<
br>是线段
AC
的中点,则
→
PC
+
→
PA=0.
4.由向量
a
=(2,3),
b
=(-1,2
)得
ma
+
nb
=(2
m
-
n,
3
m
+2
n
),
a
-2
b
=(4,-1),因为<
br>m
1
ma
+
nb
与
a
-2
b
共线,所以(2
m
-
n
)×(-1)-(3
m
+2
n
)×4=0,整理得=-.
n
2
5.因为
a
⊥
c
,所以
a
·
c
=0,又因为
a
∥b
,则设
b
=
λa
,所以
c
·(
a<
br>+2
b
)=(1+2
λ
)
c
·
a
=
0.
6.
→
AB
=(2,1),
→
CD
=(5,5),向量
→
AB
=(2,1)在
→
CD
=(5,
5)上的投影为|
→
AB
|cos〈
→
AB
,
→<
br>CD
〉
→
AB
·
→
CD
→
AB·
→
CD
1532
→
=|
AB
|===,故选
A.
→→→2
52
|
AB
||
CD
||
CD
|
7.
Δ
=|
a
|-4
a·b
=|
a
|-4|
a
||
b
|cos〈
a
,
b
〉=4|
b
|-8|
b
|·cos〈
a
,
b
〉≥0.
1π
所以cos〈
a
,
b
〉≤,〈
a
,
b
〉∈[0,π].所以≤〈
a
,
b
〉≤π.
23
8.由题意知
b
≠0,设向量
a
,
b
的夹角为
θ
,(
a
+
b
)·
(
a
-2
b
)=
a
2
-
a
·b
-2
b
2
,
1-2|
b
|
2
1-|
b
|cos
θ
-2|
b
|=0,所以cos
θ
=,因为-1≤cos
θ
≤1,所以-1≤
|
b
|
2
2222
1
-2|
b
|
2
≤1,
|
b
|
1
所以≤|
b
|≤1.
2
→
所以⑤正确.
10.因为
a
⊥
b<
br>,所以
a·b
=0,即
x
+1+
y
-2=0,整理得
x
+
y
=1,所以
x
2
+
y
2<
br>=
x
2
+(1
1
?
111
?
-x
)
2
=2
x
2
-2
x
+1=2?
x
-
?
2
+≥,所以
x
2
+
y
2
的最小值为.
2
?
222
?
11
.因为(
a
+
b
)⊥
a
,|
a
|=1,所
以(
a
+
b
)·
a
=0,所以|
a
|2
+
a
·
b
=0,所以
a
·
b
=-
4
→→→→→→→→→
9.易知①②③④均错误,⑤正确
,因为
AC
+
BD
=
BC
+
AD
,所以<
br>AC
-
AD
=
BC
-
BD
,即
DC
=
DC
,
1.
又因为(2
a
+
b
)⊥
b
,所以(2
a
+
b
)·
b
=0.所以2
a
·
b
+|
b
|=0.所以|b
|=2.所以|
b
|=2,
选B.
12.利用排除法可得选
项C是正确的,因为|
a
+
b
|=|
a
|-|
b<
br>|,则
a
,
b
共线,即存在实
数
λ
,使得<
br>a
=
λb
.
选项A:|
a
+
b
|
=|
a
|-|
b
|时,
a
,
b
可为异向的
共线向量;选项B:若
a
⊥
b
,由正方形
得|
a
+
b
|=|
a
|-|
b
|不成立;选项D;若存在实数
λ
,使得
a
=
λb
,
a
,
b
可
为同向的共线向
量,此时显然|
a
+
b
|=|
a
|
-|
b
|不成立.
二、填空题 13.5 14.-1 15.
5 16.6
提示:
13.因为|
a
+
b
|=5 2,所以(
a
+
b<
br>)
2
=50,即
a
2
+
b
2
+2<
br>a
·
b
=50,
又|
a
|=5,
a
·
b
=10,所以5+|
b
|
2
+2×10=50.
解得|
b
|=5.
14.由题意知
a
+
b
=(1,
m
-1),
c
=(-1,2),由(
a
+
b
)∥
c
,得1×2-(
m
-1)×(-1)
=
m
+1=0,所以
m
=-1.
15.|
b
|=2
2
+1
2
=5,由
λa
+
b
=0,得b
=-
λa
,故|
b
|=|-
λa
|=|λ
||
a
|,所以
|
λ
|=
|
b|5
==5.
|
a
|1
22
16.因为→
AB
·
→
AC
=-1,所以|
→
AB
|·|
→
AC
|cos 120°=-1,即|
→
AB
|
·|
→
AC
|=2,所以|
→
BC
|
2
=
|
→
AC
-
→
AB
|
2
=
→AC
2
-2
→
AB
·
→
AC
+
→
AB
2
≥2|
→
AB
|·|
→
AC<
br>|-2
→
AB
·
→
AC
=6,所以|
→BC
|
min
=6.
三、解答题
→→→→→→rr
17.解:(1)2
AC
+
CB
=
0
,2
(
OC
-
OA
)+(
OB
-
OC
)=0
.
r
2
OC
-2
OA
+
OB-
OC
=
0
,所以
OC
=2
OA
-<
br>OB
.
→→→→→→→
→→→→→→→
11
(2
)如图,
DA
=
DO
+
OA
=-
OB
+<
br>OA
=(2
OA
-
OB
),
22
→→1
故
DA
=
OC
,故四边形
OCAD
为梯形.
2
18.(1)证明
:
→
AB
=
→
OB
-
→
OA
=<
br>a
+2
b
,
5
→
AC
=
→
OC
-
→
OA
=-
a
-2<
br>b
.
所以
→
AC
=-
→
AB
,又
因为
A
为公共点,
所以
A
、
B
、
C
三点共线.
(2)解;
→
AC
=
→
AB
+
→
BC
=(<
br>a
+
b
)+(2
a
-3
b
)=3
a
-2
b
,
因为
A
,
C
,
D三点共线,所以
→
AC
与
→
CD
共线.
从而
存在实数
λ
使
→
AC
=
λ
→
CD
,即3
a
-2
b
=
λ
(2
a
-
k
b
),
?
3=2
λ
,
得
?
?
-
2=-
λk
,
344
解得
λ
=,
k
=,所以
k
=.
233
19.解:(1)3
a
+
b
-2
c<
br>=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(0,6).
(2)因为
a
=
mb
+
nc
,
所以(3,2)=
m
(-1,2)+
n
(4,1)=(-
m
+4
n,
2
m
+
n
).
?
-
m
+4
n
=3,
所以
?
?
2
m
+<
br>n
=2,
5
?
m
=,
?
9
解得?
8
n
=
?
?
9
.
(3)因为(
a
+
kc
)∥(2
b<
br>-
a
),
a
+
kc
=(3+4
k,
2+
k
),2
b
-
a
=(-5,2).
16所以2×(3+4
k
)-(-5)×(2+
k
)=0,所以
k<
br>=-.
13
→
-2),
→
→
→
→
因为
D
在直线
BC
上,即
BD
与
BC
共
线,
所以存在实数
λ
,使
BD
=
λBC
,
即(
x
-3,
y
-2)=
λ
(-6,-3). <
br>?
x
-3=-6
λ
,
所以
?
?
y<
br>-2=-3
λ
,
即
x
-2
y
+1=0.①
6
→→
20.解:设
D
点坐标为(
x<
br>,
y
),则
AD
=(
x
-2,
y
+
1),
BC
=(-6,-3),
BD
=(
x
-3,
y
所以
x
-3=2(
y
-2),
→→
又因为
AD
⊥
BC
,所以
AD
·
B
C
=0,
即(
x
-2,
y
+1)·(-6,-3)=0.
所以-6(
x
-2)-3(
y
+1)=0.②
?
x
=1,
由①②可得
?
?
y
=1.
→
所以
D
(1,1).|
AD
|=
21.解:(1)由题意知,
|
a
|=2,|
b
|=1,|
a
|cos
θ
=-1,
所以
a·b
=|
a
||
b
|cos
θ
=-|
b
|=-1,
所以cos
θ
=
1-2
2
+2
2
=5,
a·b
1
=-.
|
a
||
b
|2
2π
即为所求.
3由于
θ
∈[0,π],所以
θ
=
(2)(
a
-
2
b
)·
b
=
a·b
-2
b
2
=
-1-2=-3.
22.解:因为
a
=(3,-1),
b
=
?
,
2
?
1
?
?
3
?
?
??
?
?
?
2
?
?
2
?2
?
13
?
?
,所以|
a
|=
22
??
3
2
1
2
=2,
|
b
|=
13
=1,所以
a
·
b
=
3×+(-1)×=0,故有
a
⊥
b
.
22
由
x
⊥
y
,得[
a
+(
t
2
-3)
b
]·(-
ka
+
tb
)=0,
即-
ka
2
+(
t
3
-3
t
)
b
2
+(<
br>t
-
kt
2
+3
k
)
a
·
b
=0.
所以-
k
|
a
|
2
+(
t
3
-3
t
)|
b
|
2
=0
.
将|
a
|=2,|
b
|=1代入上式,得-4
k
+
t
3
-3
t
=0.
所以
k
=
t
3
-3
t
4
k
+
t
2
1
2
17
2
,所以=(
t
+4
t
-3)=(
t
+2)-.
t
444
k
+
t2
7
故当
t
=-2时,有最小值-.
t
4
7
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