高中数学数理统计文科-高中数学教师资格证考试数学试卷
向量
一、平面向量的加法和乘积
rrrr
1、向量加法的交换律:
a?b?b?a
rrrrrr
2、向量加法的结合律:
(a?b)?c?a?(b?c)
<
br>rr
3、向量乘积的结合律:
?
(
?
a)?(
??<
br>)a
rrr
4、向量乘积的第一分配律:
(
?
?<
br>?
)a?
?
a?
?
a
rrrr
5
、向量乘积的第二分配律:
?
(a?b)?
?
a?
?
b
二、平面向量的基本定理
r
urur
如果
e
1、
e
2
是同一平面内的两个不是共线的向量,那么对于这一平面内的任一
a
,有且只
rurur
有一对实数
?
1
、
?
2
,使得
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
。
urur
(1)我们把不是共线的
e
1<
br>、
e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;
(2)基底不是唯一的,关键是不是共线;
r
urur
(3)由定理可以将
平面内任一
a
在给出基底
e
1
、
e
2
的条
件下进行分解;
r
urur
(4)基底给定时,分解形式是唯一的,
?1
、
?
2
是被
a
、
e
1
、<
br>e
2
唯一确定的数量。
三、平面向量的直角坐标运算
rrrrrr
1、已知
a?(x
1
,y
1
)
,
b?(x
2
,y
2
)
,则
a?b?(x
1
?x2
,y
1
?y
2
)
,
a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
,
rr
a?b?(x
1
x
2
,y
1
y
2
)
。
uuruuruur
2、已知
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
,则
A
B?OB?OA?(x
2
,y
2
)?(x
1
,y
1
)?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
。
rr
3、已知
a?(x
1
,y
1
)
和实数
?
,则
?
a?
?
(x
1
,
y
1
)?(
?
x
1
,
?
y
1)
。
四、两平面向量平行和垂直的充要条件
1、平行(共线):
r
r
rr
基本定理:
a
、
b
互相平行的充要条件是存在一个实
数
?
,使得
a?
?
b
。
rr
rr
定理:已知
a?(x
1
,y
1
)
,
b?(x2
,y
2
)
,则
a
∥
b
的充要条件是
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
。
2、垂直:
rrrr
基本定理:
a
、
b
互
相垂直的充要条件是
a?b?0
。
rr
rr
定理:
已知
a?(x
1
,y
1
)
,
b?(x
2<
br>,y
2
)
,则
a
⊥
b
的充要条件是
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
。
五、平面向量的数量积
rr
rrrr
定义:非零向量
a
、
b
,它们之间的夹角为
?
,则
a?bcos
?
就称
作
a
与
b
的数量积,记作
rrrr
rr
a?b,即有
a?b?a?bcos
?
,
0?
?
?
?
。
rrrr
性质:非零向量
a
、
b
的夹角为?
,
e
是与
b
同向的单位向量,那么
rrrrr
(1)
a?e?e?a?acos
?
;
rrrr
(2)
a?b?a?b?0
;
rrr
2
rrr
(3)
a?a?a
或
a?a?a
;
rr
a?b
(4)
cos
?
?
rr
;
a?b
rrrr
(5)
a?b?a?b
。
rrrrrr<
br>数乘结合律:
(
?
a)?b?
?
(a?b)?a?(
?
b)
rrrrrrr
分配律:
(a?b)?c?a?c?b?c
六、向量的长度、距离和夹角公式
r
r
2
r
22
22
(1)已知
a?(x
1
,y
1
)
,则
a?x?y
,即
a?x?y
。(长度公式)
uur
22
B
(x
2
,y
2
)
,(2)已知
A(x
1
,
y
1
)
,则
AB?(x
2
?x
1
,y2
?y
1
)
,
AB?(x
2
?x
1<
br>)?(y
2
?y
1
)
。
(距离公式)
rr
(3)已知
a?(x
1
,y
1
)
,
b?(
x
2
,y
2
)
,它们之间的夹角为
?
,则
rr
x
1
x
2
?y
1
y
2
a?
b
,
0?
?
?
?
。(夹角公式)
cos
?
?
rr
?
2222
x
1
?x
2
?y
1
?y
2
a?b
高一数学《平面向量》单元测试
一、 选择题(共8小题,每题5分)
1.
下列命题正确的是 ( )
A.单位向量都相等 B.
任一向量与它的相反向量不相等
C.平行向量不一定是共线向量
D.模为
0
的向量与任意向量共线
2.已知向量a=(3,4),b=(sinα,cosα),且a∥b,则tanα等于( )
A.
3
3
4
4
B.
?
C. D.
?
43
43
3.在以下关于向量的命题中,不正确的是 ( )
A.若向量a=(x,y),向量b=(-y,x)(x、y≠0),则a⊥b
B.四边形A
BCD是菱形的充要条件是
AB
=
DC
,且|
AB
|=|<
br>AD
|
C.点G是△ABC的重心,则
GA
+
GB
+
CG
=0
D
.△ABC中,
AB
和
CA
的夹角等于180°-A
4.设P(3
,
?
6),Q(
?
5,2),R的纵坐标为
?
9,且P、Q
、R三点共线,则R点的横坐
标为 ( )
A.
?
9 B.
?
6 C.9 D.6
rrrr<
br>rrrrr
|a|?1,|b|?2,c?a?b
5.
若,且
c?a<
br>,则向量
a
与
b
的夹角为( )
A.
30°
B.
60°
C.
120°
D.
150°
6.在△ABC中,A>B是sinA>sinB成立的什么条件( )
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
?
7.若
将函数
y?sin2x
的图象按向量
a
平移后得到函数
y?sin(
2x?)
-1的图象,
4
则向量
a
可以是:
( )
?
?
?
?
A
.
(,?1)
B
.
(?,1)
C
.
(,1)
D
.
(?,?1)
84
8
4
8.在△ABC中,已知
|AB|?4,|AC|?1,S
?ABC
?3,则AB?AC
的值为( )
A.-2 B.2
C.±4 D.±2
二、 填空题(共4小题,每题5分)
9.已知向量
a
、
b
的模分别为3,4,则|
a
-
b
|的取值范围为 .
r
r
r
rr
O
10.已知
e
为一单位向量,
a
与
e
之间的夹
角是120,而
a
在
e
方向上的投影为-2,则
r
a?
.
11.设
e
1、e
2
是两个单位向量,它们的夹角是
60
,则
(2e
1
?e
2
)?(?3e
1
?2e
2
)?
12.在?ABC中,a
=5,b=3,C=
120
,则
sinA?
0
?
三、 解答题(共40分)
13
.设
e
1
,e
2
是两个垂直的单位向量,且
a??(2e
1?e
2
),b?e
1
?
?
e
2
(1)若
a
∥
b
,求
?
的值;
(2)若
a?b
,求
?
的值.(12分)
14.设函数
f(x)?a?b
,其中向
量
a
=(2cosx,1),
b
=(cosx,
(1)若f(x)=1-
3
且x∈[-
3
sin2x),x∈R.
??
,],求x;
(2)若函数y=2sin2x的图象按向量
33
c
=(m,n)
(|m|<
?
)平移后得到函数y=f(x)的图象,求实数m、n的值. (14分)
2
15. 已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为<
br>a
、
b
、
c
,向量
CCCC
?
m
?(cos,sin)
,
n?(cos,?sin)
,且
m与n
的夹
角为
.
3
2222
33
7
(1)求角C的值;
(2)已知
c?
,△ABC的面积
S?
,求
a?b
的值.
(14分)
2
2
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