高中数学魅力课堂-高中数学第一册知识点
高中数学运算能力及其培养方法
高中数学运算能力及其培养方法
数学核心素养是指具有数学基本特征的,适应个
人终身发展和社会发
展的人的关键能力和思维品质。高中数学核心素养主要指:数学抽象、
逻辑
推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析这六个方面。
其中,涉及高中数学运算素养在堂培养中
需要梳理和明确的有三步,
即梳理数学运算常见错误,强化数学运算培养途径,形成数学运算的
培养共识。
一、梳理数学运算常见错误
1 审题出错(看错)
虽然看不懂,没看全,看错字等都是造成审题出错的因素,但缺
少审题的步骤和方法也是不容忽视的主要
因素。学生通过审题解决三
个疑惑:有什么?做什么?怎么做?也就是说要数学运算正确,首先
要了解该题的基本情况和答题的基本方向,即首先是要有目标。这体
现了数学运算蕴含目标意识。
2 计算出错(算错)
不少学生对计算能力的内涵缺乏科学认识,常常将计算过程
中的
错误原因归结到非智力因素上,认为是“马虎”“粗心”“不注意”才造成
计算错误。但是失之毫厘,差之千里。他们总是只看重解题过程中的
方法和思路,对计算的具体实施,对
计算过程中的合理性、简洁性等
都没有给出足够的重视。久而久之,慢慢地就造成了一算就错的尴尬境地。造成错误的主要原因虽有基础性的问题,但缺少规则(规范)
意识也是一个主要原因。这体现
了数学运算蕴含规则意识。
3 答案写错(写错)
虽计算等环节正确,但抄错
、写错答案也是使运算出错的致命环
节,造成这类错误的主要原因是身体疲劳,数字书写不规范这两个方
面。对于减少第一个错误的方法就需要强身健体(平时注意身体素质
的提升),对于减少第二个
错误的方法就需要规范字的书写,这就体
现了数学运算需要蕴含强体质意识、写规范字的意识。
4 方向出错(弄错)
如果说前三种出错是细微是偶然,那么解题方案理解出错是
方向
性错误,犹如一艘迷航的船,永远达不到目的地,这是颠覆性和毁灭
性的。造成方向性出错
的主要原因是一些想当然的坏习惯造成的,如
三角函数的正弦函数=Asin(xω+φ)的振幅,有的
理解是A,有的理
解2A,这就体现了数学运算蕴含方向意识。
二、强化运算能力培养途径
1 理解概念夯实运算根基
概念教育的重要性不言
而喻,并且现行高中教学改革和教学考试
考查中对于概念的理解和把握越越引起广泛的重视。根深之树不
易
折,泉深之水不会涸。准确理解概念是取得数学运算成功的重要根基,
而学生
许多错误的原因主要是概念理解出错,或者概念理解不全。因
此,在堂上就需要把概念讲清讲透,通过举
一反三,强化学生对概念
的理解。如在201年浙江理高考试题第7题:存在函数f(x)满足,
对任意x∈R都有( )
A f(sin2x)=sin(x) B
f(sin2x)=x2+x
f(x2+1)=|x+1| D
f(x2+2x)=|x+1|
这个试题的考查就是需要在堂上落实函数概念教学,这样的考查
应该说使考试更具有公平性,给教师和学生一个公平的机会,如果堂
上能准确落实概念教学的教
师,那么学生就多了一份可能和胜算。
2 错错得正巩固运算经验
数学运算中
有“负负得正”的运算律,对于学生运算发生错误,教
师也要有这样的一种心态,要给学生产生错误的机
会,让学生知道出
错了,也能知道发生错误的原因,实践出真知,通过一次次的出错,
让学生慢
慢得出正确的运算方法和ɹ算结论。正如陆游的一首
教子诗:“纸上得终觉浅,绝知此事要躬
行。”
3 优化策略指明运算方向
运算策略是取得运算成功的重要条,好比作
战中的参谋部,可以
为运算提供最直接、最有效的运算方向和运算步骤,其重要性不言而
喻。如
分类讨论虽然是一种很好的数学思想方法,但若能合理避免分
类讨论那就是一种更高的境界;从哲学辩证
的角度如果能注意克服动
辄加以分类讨论的思维定势,并能充分挖掘数学问题中潜在的特殊性
和
单一性,尽力打破常规,对应该讨论的正确讨论,对不必讨论的问
题能避免分类讨论,就
可以很大程度上优化学生的思维品质。这就是
分类讨论的一个基本要求:“用之有度、避之有法”。下面
举“消除参
数,避免讨论”一例进行说明:对于含参问题若能有效回避参数,运
用正难则反、等
价转化等手段可以使问题的解决与参数的讨论无关,
避开对参数的繁琐讨论。
例:已知适合不等式|x2-4x+p|+|x-3|≤的x的最大值为3,求p的
值。
分析:本题的第一感觉是去绝对值讨论不等式组的解的最大值,
显然去绝对值和后面的分类讨论过程都相
当繁琐,计算复杂。不妨回
避讨论:由不等式的最大值为3,知道整数“3”是不等式解的一个端点值这一重要信息,利用不等式的性质可把参数问题具体化。
解析:由已知不等式的性质知“3”是不等式解的一个端点值。
“3”是方程|x2-4x+p|+|x-3|≤的一个解,带入得p=8或p=-2,
当p=8时,不等式为|x2-4x+p|+|x-3|≤的,
∵x2-4x+8>0,∴x≥3x2-4x-8+x-3≤或x<3x2-4x-8+x-3≤
2≤x≤3,满足题意
当p=-2时,不等式为|x2-4x-2|+|x-3|≤,
易知是不等式的解,故x的解肯定大于3,不满足题意,∴p=8。
4 强化计算提升运算速度
计算是数学运算不可逾越的基本功,提高计算能力首先要避免计
算上的错误,而堂又是培养
学生计算能力的重要场地,在堂上若能借
助适当的计算,特别是全员参与的限时计算或竞技计算,对于提
高学
生的计算能力和纠正计算常见错误十分有效。因为堂计算是实战计
算,是限
时计算,是比较计算,(上接第37页)与后计算有明显的区
别,若能有效运用堂计算对于提高学生的运
算水平十分有益。
一题多解提供运算通途
一题多解是提高学生运算水平和运算
能力的有效途径,在堂上若
能借助学生的思维对一些问题进行多解研讨和研究,就可以有效拓展
学生对于数学运算和数学知识的认识与理解。如关于不等式性质(同
乘性)的讲解中,若能给学生机会,
让学生讲讲不同的想法,那就会
有下面至少五种不同的方案:
例1 已知0
证明:1(巧用)因为01,>1因此有>1,
又a>0,即有a 证明2:(换
元法)不妨设b=a+,d=+n(>0,
n>0),则有bd=(a+)(b+n)=a
b+n+b+na,因此有bd-a=n+b+na>0,
即有a 证明3:(传递性)因为0
证明4:(作差法)对于
a-bd=a-ad+ad-bd=a(-d)+d(a-b),
因-d<0,a-b<0,而a>0,d>0,a-bd<0,∴a
证
明:(对数法)因lga 因此有a 这样一题多解既可以加深学生
对不等式基本性质的
理解,加深对基本不等式性质的应用,也有利于
让学生体现数学知识对于解决数学运算问题中的普通性和
通用性。
三、形成数学运算培养共识
就数学而言,核心素养的内涵是核心知识
、核心能力、核心品质,
“十围之木持千钧之屋,五寸之键制阖之门”,数学运算作为数学核心
素养就是那“十围之木,五寸之键”,它是十分关键、十分重要、不可
缺少的数学素养。
数学运算的堂培养需要学校、师生形成一个通识,
从价值引领、思维启迪、品格塑造三大核心任务入手,
形成师生协力
强化堂训练,教师着力推进教法改进,学生用力促成习惯养成的培养
意识。
1 师生协力强化堂练习
堂练习是数学堂教学的重要组成部分,是学生学习过程中
不可缺
少的重要环节,是学生掌握数学知识,形成技能,发展智力的重要手
段,是教师了解学生
知识掌握情况的主要途径。要培养学生的运算能
力,就要特别重视堂练习,数学运算能力提高的主阵地主
要是堂。落
ɹɹ运算能力培养的有效载体就是堂练习,堂练习正确的可
以
激发学生的兴趣,而错误的也可以适当引导,使其愈挫愈勇。当然,
堂训练不能让教师演示替代,更不能
事不关己、高高挂起,堂练习不
但要有目标,而且需要有梯度,这样数学运算能力才能真正得以提升。
2 教师着力推进教法改进
教学改进就需要超越表层的符号教学,由符号教学向深
层次的逻
辑教学和意义教学进军。而运算问题一直以都是提高数学成绩的瓶
颈,教师的堂教学方
法也不容忽视,这就需要教师不断的探索和改变
教学方法,发挥教师应有的示范性和引领性。如教师在板
书时既要讲
知识也要指导学生如何计算,教给学生基本的方法,有针对性地给一
些训练计算能力
的练习题,要求他们要心算,也要笔算,即使是草稿
也要整洁,因为草稿不是“潦草”。
3 学生用力促成习惯养成
思想上重视,行动上落实,习惯上强化,一般性的目
标一定可以
实现。数学运算能力的培养也是一样,数学运算良好意识的养成,需
要一个过程,而
形成的关键是时间,因为根据美国科学家研究表明,
一个好习惯、好意识的养成需要21天,90天的重
复会形成稳定的习
惯或意识,所以一个观念,如果被别人或自己验证两1次以上,它一
定会形成
你的信念或意识。例如采用《错题本》(堂和外结合)收集
错误问题,巩固避错经验,做到“有目标、能
坚持”,那么提升数学运
算能力和水平亦是指日可待。正所谓静待花开,芬芳自。
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