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抛物线及其性质
1.
抛物线定义
:平面内到
一定点F和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物线.
2.
抛物线四种标准方程的几何性质:
图形
参数p几何意义
开口方向
标 准方 程
焦 点位 置
焦 点坐 标
准 线方 程
范 围
对 称轴
顶 点坐 标
离心率
通 径
焦半径
A(x
1
,y
1
)
焦点弦长
AB
右
左 上
参数p表示焦点到准线的距离,p越大,开口越阔.
下
x
2
??2py(p?0)
y
2
?2px(p?0)
y
2
??2px(p?0)
x
2
?2py(p?0)
X正 X负 Y正 Y负
p
(,0)
2
p
x??
2
x?0,y?R
X轴
(?
p
,0)
2
p
x?
2
p
(0,)
2
p
y??
2
y?0,x?R
Y轴
(0,0)
p
(0,?)
2
p
y?
2
y?0,x?R
Y轴
x?0,y?R
X轴
e?1
2p
AF?x
1
?
p
2
AF??x
1
?
p
2
AF?y
1
?
p
2
AF??y
1
?
p
2
(x
1
?x
2
)?p
?(x
1
?x
2
)?p
(y
1
?y
2
)?p
?(y
1
?y
2
)?p
焦点弦长
AB<
br>的补充
以
AB
为直径的圆必与准线
l
相切
若
AB
的倾斜角为
?
,
AB?
2p
2
sin
?
若
AB
的倾斜角为
?
,则
AB?
A(x
1
,y
1
)
B(x
2
,y
2
)
2p
co
s
2
?
p
2
2
x
1
x
2
?
y
1
y
2
??p
4
11AF?BFAB2
????
AFBFAF?BFAF?BF
p
3.抛物线
y
2
?2px(p?0)
的几何性质:
(1)范围:因为p>0,由方程可知x≥0,所以抛物线在
y
轴的右侧, 当
x
的值增大时,|
y
|也增大,
说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
.
(2)对称性:对称轴要看一次项,符号决定开口方向.
(3)顶点(0,0),离心率:
e?1
,焦点
F(
2
pp
,0)
,准线
x??
,焦准距p.
22
(4) 焦点弦:
抛物线
y?2px(p?0)
的焦点弦
AB
,
A(x
1,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
,则
|AB|?x
1
?x
2
?p
.
弦长|
AB|=x
1
+x
2
+p,当x
1
=x
2
时,通径最短为2p。
4.焦点弦的相关性质:焦点弦
AB
,
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
,焦点
F(
2
p
,0)
2
p
2
(1) 若AB是抛物线
y?2px(p?0)
的焦
点弦(过焦点的弦),且
A(x
1
,y
1
)
,
B(
x
2
,y
2
)
,则:
x
1
x
2<
br>?
,
4
y
1
y
2
??p
2
。
(2) 若AB是抛物线
y?2px(p?0)
的焦点弦,且直线AB的倾斜角为
α,则
AB?
(3) 已知直线AB是过抛物线
y?2px(p?0)
焦点F
,
2
2
2P
(α≠0)。
2
sin
?
11AF?BFAB2
????
AFBFAF?BFAF?BFp
(4)
焦点弦中通径最短长为2p。通径:过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径.
(5) 两个相
切:1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.
○
2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,<
br>○
以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
5.弦长公式:
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)<
br>是抛物线上两点,则
AB?(x
1
?x
2
)
2?(y
1
?y
2
)
2
?1?k
2
|x
1
?x
2
|?1?
6.直线与抛物线的位置关系
直线,抛物线,
1
|y
1
?y
2
|
k
2
,消y得:
(1)当k=0时,直线
l
与抛物线的对称轴平行,有一个交点;
(2)当k≠0时,
Δ>0,直线
l
与抛物线相交,两个不同交点;
Δ=0,
直线
l
与抛物线相切,一个切点;
Δ<0,直线
l
与抛物线相离,无公共点。
(3)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?(不一定)
7.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线
l
:
y?kx?b
抛物线
① 联立方程法: <
br>?
y?kx?b
?
k
2
x
2
?2(kb?p
)x?b
2
?0
?
2
?
y?2px
,
(p?0)
.
设交点坐标为
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
,则有
??0<
br>,以及
x
1
?x
2
,x
1
x
2,还可进一步求出
y
1
?y
2
?kx
1
?b?
kx
2
?b?k(x
1
?x
2
)?2b
,
y
1
y
2
?(kx
1
?b)(kx
2
?b
)?k
2
x
1
x
2
?kb(x
1
?x2
)?b
2
在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如
a. 相交弦AB的弦长
AB?1?k
2
x
1
?x
2
?1
?k
2
(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
?1?k
2
?
a
或
AB?1?
11
?
2
2
y?y?1?(y?y)?4yy
?1?k
121212
22
kk
a
b.
中点
M(x
0
,y
0
)
,
x
0
?
② 点差法:
x
1
?x
2
y?y
2
,
y
0
?
1
22
设交点坐标为
A(x1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
,代入抛物线方程,得
y
1
?2px
1
y
2
?2px
2
22
将两式相减,可得
(y<
br>1
?y
2
)(y
1
?y
2
)?2p(x1
?x
2
)
y
1
?y
2
2
p
?
x
1
?x
2
y
1
?y
2
2p
y
1
?y
2
a.
在涉及斜率问题时,
k
AB
?
b. 在涉及中点轨迹问题时,设线段
AB
的中点为
M(x
0
,y
0
)
,
p,
y
0
y
1
?y
2
2p2pp
??
?
,
x
1
?x
2
y
1
?y
2<
br>2y
0
y
0
即
k
AB
?
同理
,对于抛物线
x
2
?2py(p?0)
,若直线
l
与抛物线
相交于
A、B
两点,点
M(x
0
,y
0
)
是弦
AB
的中点,则有
k
AB
?
x
1
?x
2
2x
0
x
0
??
2p2pp
(注意能用这个公式的条件:1)直线与抛物线有两个不同的交点,2)直线的斜率存在,
且不等于零)
.
【经典例题】
(1)抛物线——二次曲线的和谐线
椭圆与双曲线都有两种定义方法,可抛物线只有一种:到
一个定点和一条定直线的距离相等的所有
点的集合.其离心率e=1,这使它既与椭圆、双曲线相依相伴
,又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的
1,既使它享尽和谐之美,又生出多少华丽的篇章.
【例1】P为抛物线
y?2px
上任一点,F为焦点,则以PF为直径的圆与y轴(
)
2
A.
相交
B.
相切
C.
相离
D.
位置由P确定
【解析】
如图,抛物线的焦点为
F
?
?
p
?
,0
?
,准线是
?
2
?
Y
H
Q
N
P
M
2
p
.作PH⊥
l
于H,交y轴于Q,那么
PF?PH,
2
p
且
QH?OF?
.作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的
2
111
中位线,
MN?
?
OF?PQ
?
?PH?PF
.故以
222
l:x??
O
F(
p
,0)
l:x=-
p
2
X
PF为直径的圆与y轴相切,选B.
【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说,其结论则
分别是相离或相交的.
(2)焦点弦——常考常新的亮点弦
有关抛物线的试题,许多都与它的焦点弦有关.理解并掌
握这个焦点弦的性质,对破解这些试题是
大有帮助的.
【例2】 过抛物线
y?2p
x
?
p?0
?
的焦点F作直线交抛物线于
A
?
x<
br>1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
两点,求证:
2
y
2
=2px
(1)AB?x
1
?x
2
?p
(2)
112
??
AFBFp
【证明】(1)如图设抛物线的准线为
l
,作
AA1
?l
A
1
,BB
1
?l于B
1
,则
AF?AA
1
?x
1
?
p
,
2
Y
A
1
p
BF?BB
1
?x
2
?
.两式相
加即得:
2
A(x,y)
1
1
X
AB?x
1?x
2
?p
(2)当AB⊥x轴时,有
F
B
1
B(x,y)
2
2
l
?
AF?BF?p,
11
2
??
成立;
AFBFp
当AB与x轴不垂直时,设焦点弦AB的方程为:
y?k
?
x?
?
?
p
?
?
.代入
抛物线方程:
2
?
.
p
22
p
??
222
k?0
k
?
x?
?<
br>?2px
.化简得:
kx?p
?
k?2
?
x?
4
2
??
2
2
?
1
?
k2
∵方程(1)之二根为x
1
,x
2
,∴
x
1
?x
2
?
.
4
x
1
?x
2?p
111111
??????
pp
2
AFBFAA
1
BB
1
x?
p
x?
p
x
1x
2
?
?
x
1
?x
2
?
?<
br>12
22
24
x
1
?x
2
?px
1
?x
2
?p
2
??
.
22
p
p
pp
?
x
1
?x
2
?p
?
p
?<
br>?
x
1
?x
2
?
?
2
424
112
??
成立.
AFBFp
?
故不论弦AB与x轴是否垂直,
恒有
(3)切线——抛物线与函数有缘
有关抛物线的许多试题,又与它的切线有关.理解并掌
握抛物线的切线方程,是解题者不可或缺的
基本功.
【例3】证明:过抛物线
y?2
px
上一点M(x
0
,y
0
)的切线方程是:y
0
y=p(x+x
0
)
2
?y
?
?
【证明】对方程
y?2px
两边取导数:
2y?y
?
?2p,
2
p
.切线的斜率
y
k?y
?
x?x
0
?<
br>pp
.由点斜式方程:
y?y
0
?
?
x?x
0
?
?y
0
y?px?px
0
?y
0
2<
br>y
0
y
0
?
1
?
2
Qy
0
?2px
0
,代入()即得:1
y
0
y=p(x+x
0
)
(4)定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏
抛物线中存在许多不不易发现,却容易为人疏
忽的定点和定值.掌握它们,在解题中常会有意想不
到的收获.
2
例如:1.一动圆
的圆心在抛物线
y?8x
上,且动圆恒与直线
x?2?0
相切,则此动圆必过
定点
( )
A.
?
4,0
?
B.
?
2,0
?
C.
?
0,2
?
D.
?
0,?2
?
显然.本题是例1的翻版,该圆必过抛物线的焦点,选B.
2.抛物线
y?2px
的通径长为2p;
2
2
3.设抛物
线
y?2px
过焦点的弦两端分别为
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
,那么:
y
1
y
2
??p
2
以下再举一例
【例4】设抛物线
y?2px
的焦点弦AB在其准
线上的射影是A
1
B
1
,证明:以A
1
B
1
为直径的圆必过
.
2
一定点
【分析】
假定这条焦点弦就是抛物线的通径,那么A
1
B
1
=AB=2p,而A
1
B
1
与AB的距离为p,可知该圆
必过抛物线的焦点.由此我们猜想:一
切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证
明.
【证明】如图设焦点两
端分别为
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
,
2
那么:
y
1
y
2
??p
2
?CA
1
?CB
1
?y
1
y
2
?p.
设抛物线的准线交x轴于C,那么
CF?p.
A
1
Y1
A
??A
1
FB
1
中CF?CA
1
?CB
1
.故?A
1
FB
1
?90?
.
2
M
F
X
C
这就说明:以A
1
B
1
为直径的圆必过该抛物线的焦点.
B
1
B
● 通法 特法
妙法
(1)解析法——为对称问题解困排难
解析几何是用代数的方法去研究几何,所以它能
解决纯几何方法不易解决的几何问题(如对称问题
等).
【例5】(10.四川文科卷.10题)已知抛物线
y=-x
2
+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点
Y
A、B,则|AB|等于( )
A.3 B.4
C.3
2
D.4
2
【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直,且线段
AB的中点必在直线x+y=0上,因得解法如下.
【解析】∵点A、B关于直线x+y=0
对称,∴设直线AB的方程为:
B
M
A
O
X
l?x+y=0
?
y?x?m
?x
2
?x?m?3?0
y?x?m
. 由
?
2
?
y??x?3
设方程(1)之两根为x1
,x
2
,则
x
1
?x
2
??1.
设AB的中点为M(x
0
,y
0
),则
x
0
?
?
1
?
x
1
?x
2
1
1
?
11
?
??
.代入x+y=0:y
0=.故有
M
?
?,
?
.
22
2
?<
br>22
?
2
从而
m?y?x?1
.直线AB的方程为:
y?x?1
.方程(1)成为:
x?x?2?0
.解得:
,B(1,2).
?AB?32
,选C.
x??2,1
,从而
y??1,2
,故得:A(-2,-1)
(2)几何法——为解析法添彩扬威
虽然解析法使几何学得到长足的发展,但伴之而来的却是
难以避免的繁杂计算,这
又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状,人们研究出多种使计
算量
大幅度减少的优秀方法,其中最有成效的就是几何法.
K
【例6】(11.全国
1卷.11题)抛物线
y?4x
的焦点为
F
,准线为
l
,经
过
F
且斜
2
Y
A
率
60°
M
O<
br>F(1,0)
.
X
L:x=-1
=2px
Y
2
为
3
的直线与抛物线在
x
轴上方的部分相交于点
A
,AK⊥l
,垂足为
K
,则
△AKF
的面积( )
A.
4
B.
33
C.
43
D.
8
【解析】如图直线AF的斜率为
3
时∠AFX=60°.
△AFK为正三角形.设准线
l
交x轴于M,则
FM?p?2,
<
br>且∠KFM=60°,∴
KF?4,S
?AKF
?
3
2
?4?43
.选C.
4
【评注】(1)平面几何知识:边长为a的正三角形的
面积用公式
S
?
?
3
2
a
计算.
4
(2)本题如果用解析法,需先列方程组求点A的坐标,,再计算正三角形的边长
和面积.虽不是很
难,但决没有如上的几何法简单.
(3)定义法——追本求真的简单一着
许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真,用最原始的定义去做,反而特别简单.
【例7】(07.湖北卷.7题)双曲线
x
2
y
2
C1
:
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的左准线为
l
,左焦点和右焦点分别为
F
1
和
F
2
;抛物线
C
2
的线为
ab
l
,焦点为
F
2
;C
1
与
C
2
的一个交点为
M
,则
A.<
br>?1
B.
1
F
1
F<
br>2
MF
1
?
MF
1
MF
2
1
2
等于( )
C.
?
D.
1
2
【分析】 这道题如果用解析法去做,计算会特别繁杂,而平面几
何知识又一时用不上,那么就从
最原始的定义方面去寻找出路吧.
如图,我们先做必要的准备工作:设双曲线的半
焦距c,离心率为e,作
MH?l于H
,令
y
MF
1
?r
1<
br>,MF
2
?r
2
.∵点M在抛物线上,
H
r
2
O
a
2
c
M(x,y)
MF
1
MF<
br>1
r
1
?MH?MF
2
?r
2
,故???e
,
MHMF
2
r
2
|MF
1
|
这就是说:的实质是离心率e.
|MF
2
|
其次,
r
1<
br>F
1(-c,0)
l:x=-
r
2
F
2
(c
,0)
x
|F
1
F
2
|
与离心率e有什么关系?注
意到:
|MF
1
|
.
F
1
F
2
2ce?2a
e
?
r
1
?r
2
?
?
1
?
????e
?
1
?
?
?e?1
.
MF
1
r
1
r
1
r
1
?
e
?
这样,最后的答案就自然浮出水面了:
由于
|F
1
F
2
||MF
1
|
??
?
e?1
?
?e??1
.∴选 A..
|MF
1
||MF
2
|
(4)三角法——本身也是一种解析
三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段,可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名
同角的三角函数,然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的.
因此,在解析几何解题中,恰当地引入三角资源,常可以摆脱困境,简化计算.
A
【
例8】(09.重庆文科.21题)如图,倾斜角为a的直线经过
物线
y
2
?
8x
的焦点F,且与抛物线交于A、B两点。
(Ⅰ)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;
(Ⅱ)若a为锐角,作线段AB的垂直平分线m交
x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2a为定值,并求此定值。
【解析】(Ⅰ)焦点F(2,0),准线
l;x??2
.
(Ⅱ)直线AB:
y?tan
?
?
x?2
?
抛
M
?
1
?
.
?
2
?
y
2
x?
代入(1),整理得:
y
2
tan
?
?8y?16ta
n
?
?0
8
8
?
?
y
1
?y2
?
设方程(2)之二根为y
1
,y
2
,则
?
tan
?
.
?
?
y
1
?y
2<
br>??16
y
1
?y
2
4
?
y???4cot
?
?
设AB中点为
M
?
x
0
,y
0
?
,则
?
0
2tan
?
2
?
x?cot
?
?y?2?4cot
?
?2
00
?<
br>AB的垂直平分线方程是:
y?4cot
?
??cot
?
x?
4cot
2
?
?2
.
令y=0,则
x?4cot
2
?
?6,有P4cot
2
?
?6,0
故
FP?OP?OF?4cot
于是|FP|-|FP|cos2a=
4csc
22
??
??
?
?6?2?4
?
cot
2
?
?1
?
?4cos
2
?
?
?
1?cos2
?
?
?4csc
2
?
?2sin
2
?
?8
,故为定值.
(5)消去法——合理减负的常用方法.
避免解析几何中的繁杂运算,是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而
不求,它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.
【例9】 是否存在同时满足下列两条件的直线<
br>l
:(1)
l
与抛物线
y?8x
有两个不同的交点A和
.
2
B;(2)线段AB被直线
l
1<
br>:x+5y-5=0垂直平分.若不存在,说明理由,若存在,求出直线
l
的方程. <
br>【解析】假定在抛物线
y?8x
上存在这样的两点
A
?
x1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
.则有:
2
?
y
1
2
?8
x
1
?
y
1
?y
2
?
?
8
?y?yy?y?8x?x
?k?
??????
?
2
1
21212
AB
y?8x
?
x
1
?x
2
?
?
y
1
?y
2
?
?
22
∵线段AB被直线
l
1
:x+5y-5=0垂直平分,且
k
l
1
??
,?k
AB
?5,即
1
5
8
?5
y?y
?
12
?
8
?y
1
?y
2
?.
5
设线段AB的中点为
M
?
x
0
,y0
?
,则y
0
?
y
1
?y
2
4
?
.代入x+5y-5=0得x=1.于是:
25
AB中点为
M
?
1,
?
.故存在符合题设条件的直线,其方程为:
y?
?
4
?
?
5
?
4
?5
?
x?1
?
,即:25x?5y?21?0
5
(6)探索法——奔向数学方法的高深层次
有一些解析几何习题,初看起来好似“树高荫深,
叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析,探索规
律,不断地猜想——证明——再猜想——再证明.终于发
现“无限风光在险峰”.
【例10】(10.安徽卷.14题)如图,抛物线y=-x
2+1与x轴的正半轴交于点A,将线段OA的n等
分点从左至右依次记为P
1
,P
2
,…,P
n-1
,过这些分点分别作x轴的垂线,与抛物线的交点依次为Q
1
,Q
2
,…,
Q
n-1
,从而得到n-1个直角
三角形△Q
1
OP
1
,
△Q
2
P
1
P
2
,…, △Q
n-1
P<
br>n-1
P
n-1
,当n→∞时,这些三角形的面积
之和的极限为
.
1
【解析】∵
OA?1,?图中每个直角三角形的底边长均为
n
k
2
?
k
?
2
0
?
.
代入y??x?1:y?1?
2
.
设OA上第k个分点为
P
k?
,
n
?
n
?
第k个三角形的面积为:
ak
?
11
?
k
?
?
?
1?
2
?
.
2n
?
n
?
2
22
??
?
n?1
??
4n?1
?
1?2?
L
?n?1
??
1
?S
n?1
?
. ?
?
n?1
?
?
?
?
22
2n
?
n12n
?
??
故这些三角形的面积之和的极限
S?lim
n??
?
n?1
??
4n?1
?
?
12n
2
11
?
1
?
1
??
lim
?
1?
??
4?
?
?
12
n??
?
n
??
n
?
3
.
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