高中数学选修2-2知识总结(详尽版)

选修2-2考点总结 (详尽版)

一、导数复习：
1.平均变化率:
函数的平均变化率
?
函数值的 改变量
?
f
?
x??x
?
?f
?
x
?
?
f
?
x??x
?
?f
?
x
?

自变量的改变量
?
x??x
?
?x?x
注1： 其中
?x
是自变量的改变量，可正，可负，但不可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
fx??x
?
? f
?
x
?
f
?
x??x
?
?f
?
x
?
2.函数的瞬时变化率
?lim
?

?lim
?x?0?x?0
?x
?
x??x
?
?x
注1：当
函数值的改变量
存在极限时，极限值叫做瞬时变化率，并把这个变化率叫做导数，即：
自变量的改变量
?x?0
lim
f
?
x??x
?
? f
?
x
?
?f'
?
x
?
或记作
? x
y'
x
注2：函数的瞬时变化率可以看作是物体运动的瞬时速度
f
?
x??x
?
?f
?
x
?
?f'
?
x
?
,导数概念易考，所以必须理解
?x?0
?x
4.八个求导公式：
3.导数定义：
lim
函数 导函数 不定积分

n
?
xdx?
y?c

y'?0

y?x
n
?
n?N
*
?

y'?nx
n?1

y'?
?
x
?
?1

y'?a
x
lna
强记
1
n?1
x?c

n?1
y?x
?
?
x?0,
?
?0,
?< br>?Q
?

y?a
x
?
a?0,a?1
?

?
n??1
?

a
x
?
adx?
lna
?c

x
y?e
x

y'?e
x

1
强记
xlna
1
y?

x
?
edx?e

xx
?c

y?log
a
x
?
a?0,a?1,x?0
?

y'?
y?lnx

y?sinx

y?cosx

1
?
x
dx?lnx?c

y'?cosx

y'??sinx
符号不要忘记
?
cosxdx?sinx?c

?
sinxdx??cosx?c


5.导数的几种应用：
（1） 求曲线在某点的切线斜率及其切线方程（分两类）:
1
曲线在点
x
0
,f
?
x
0
?
处的切线方程为：y-f(x0
)=f ?(x
0
)(x-x
0
) ○
??
2
曲线过点（m,n）的切线方程：设切点为
x
0
,f
?
x
0
?
? 表达出y-f(x
0
)=f ?(x
0
)(x-x
0
) ?代○
入点（m,n）? 求出x
0
? f(x
0
)及f ?(x
0
) ?最后代入y-f(x
0
)=f ?(x
0
)(x-x
0
)即可
（2） 求单调区间: 解
f'
?
x
?
?0
得
f
?
x
?增区间，解
f'
?
x
?
?0
得
f
?< br>x
?
减区间（注意：单调区间一
??

1

定写成区间形式，且不能并起来）
（3） 已知函数单调性求参数范围(单调 性的逆向问题)：首先转换成恒成立问题（等号不能少）；再
分离参数于一端，求另一端的最值。 附：常见最值求法：换元法（千万注意新元范围），二次函数值域问题（画图分析），均值不等
式， 分离常数思想
（4）求极值、最值: （最值定理：连续函数在闭区间上一定有最大、最小值）求极值 和最值的过程都
需要画表格，切记【优点：明确变化状态表的地位，认识变化状态表的重要性—一表在手 ，性质全
有】；
（5）证明不等式、比较大小:证明f(x)>g(x)先构造函数F(x) =f(x)-g(x)只需证F(x)
min
>0

二、积分复习（导数的逆运算）
n
b
?
a
。此时称函数在区间
[a,b]
上可积。 1、积分定义：
b
f
?
x
???
dx
?limf?
?
i
?
a
n
??
n
i
? 1
【其中
f
?
x
?
叫做被积函数，
a
叫积 分下限，
b
叫积分上限，
f
?
x
?
dx
叫 做被积式】
2、常见的导数和定积分运算公式：若
f
?
x
?
，
g
?
x
?
均可导（可积），则有：
和差的导数运算
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
'?f'
?
x
?
?g'
?
x
?

?
?
f
?
x
?
g
?
x
?
?
?
'?f'
?
x
?
g< br>?
x
?
?f
?
x
?
g'
?
x
?

积的导数运算
特别地：
?
?
Cf
?
x
?
?
?
'?Cf'
?
x
?

?
f
?
x
?
?
f'
?
x
?
g
?
x
?
?f
?
x
?
g'?
x
?
（记准了）
??
'?
g
2
?
x
?
?
g
?
x
?
?
商的导数运算
特别地：
?
1
?
?g'
?
x
?
? ?
'?
g
2
?
x
?
?
g
?
x
?
?

复合函数的导数
y'
x
?y'
u
?u'
x
（易错处）对两层复合必须熟悉，能口算
和差的积分运算 < br>?
b
a
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
dx?
?
a
f
?
x
?
dx?
?
a
g
?
x
?< br>dx

bb
aa
bb
特别地：
?
kf
?
x
?
dx?k
?
f
?
x
?
d x

积分的区间可加性
?
b
a
f
?
x< br>?
dx?
?
f
?
x
?
dx?
?f
?
x
?
dx

ac
cb
3、微积分 基本定理：如果
F'
?
x
?
?f
?
x
?< br>，且
f
?
x
?
在
[a,b]
上可积，则 < br>dx
?
F
?
x
?
a
?
F
?
b
?
?
F
?
a
?
，
?
a
f
?
x
?
b
b
【其中
F
?x
?
叫做
f
?
x
?
的一个原函数，因为
?
F
?
x
?
?C
?
'?F'
?
x
?
?f
?
x
?
】关键在于正确利用求导公式寻求被
积函数的一个原函数
4定积分的应用
（1） 用积分的几何意义求面积：
基本 步骤为①画图形
?
②求交点
?
③写积分
?
④算面积 注意：根据情况灵活选择用x型或y型
求面积
或利用几何意义求特殊的积分：
?

3
0
9?
x
2
dx

2

（2）定积分在物理中的应用：
1
位移的导数为速度，速度的导数 为加速度：s(t)
?
=v(t);v(t)
?
=a(t) 反之s(t) =
t
v
(
○
dt

?
t
)
2
t
1
v(t)=
?
a
(
t
)
dt

t
1
t
2
2
变力做功：
w
?
○
三、推理与证明
?
a
b
F
(
x
)
dx
这里F(x)是关于位移x的函数
1.合情推理（1）归纳推理是由特殊到一般的推理；（2）类比推理是由特殊到特殊的推理；
2.演绎推理：是从一般性的原理（定义，性质定理，判定定理，公理，公式等）出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，又称为逻辑推理,简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。
3.三段论：三段论是演绎推理的一般模式，包括：大前提，小前提，结 论
4、综合法：由因导果 用此法需要审清每个已知条件及隐含条件，全盘考虑，更有赖于学生的解题方法经
验
5、分析法：执果索因，由结论入手寻求其成立的充分条件，俗称逆推
6、反证法步骤： 假 设命题的反面成立，以此为依据结合已知条件经过演绎推理，推出矛盾，从而说明假
设不成立，即原命题 成立。难在矛盾的不可预知性
常见否定词表（理解性的看看即可，不用抄）：
正
面
词
语
否
定
词
语
正
面
词
语
否
定
词
语
等于
(?)
大于
(?)
小于
(?)

至多
n
个
至少
n
个
至多
一个
至少
一个
不等于
(?)
不大于
(?)
不小于
(?)

至少 至多
n?1
个
n?1
个
至少
两个
一个
没有
是 都是 全是 所有 任意

任意
两个
存在
不是 不都是 不全是 某些 某个 某
两个
任意
7、 数学归纳法解题步骤：一个与自然数相关的命题，如果（1）当
n
取第一个值
n
0
时命题成立；（2）在假
设当
n?k
?
k?N
?
,k?n
0
?
时命题成立的前提下，推出当
n?k?1
时命题也成 立，那么可以断定，这个命题
对
n
取第一个值后面的所有正数成立。
1必须理解原命题含义○
2
初始值并不都是1开始的○
3
两凑：凑假设，凑 结论（得具有目标意识）注意事项：○
难在由n=k到n=k+1命题的变化

3

数学归纳法易和数列结合考察
四、复数复习
1、基本概念
⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即
i
2
??1
.
⑵复数及其相关概念：
① 复数：形如
a
+
b
i的数（其中
a，b?R
）；实数：当b = 0时的复数
a
+
b
i，即
a
；
② 虚数：当
b?0
时的复数
a
+
b
i；纯虚数：当
a
= 0且
b?0
时的复数
a
+
b
i，即
b
i.
③ 复数
a
+
b
i 的实部与虚部：
a
叫做复数的实部，
b
叫做虚部（注意
a
，
b
都是实数）
④ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示，其分类：
?
?
?
整 数
?
?
有 理 数
?
?
实数(b?0)
?
?
分 数
?
?
复 数a?bi(a,b?R)
?
小数)
?
无理数(无限不循环
?
?
虚 数(b?0)
?
纯 虚 数(a?0)
?
?
?
非 纯 虚 数(a?0)

?
⑶两个复数相等的定义：
a?bi?c?di?a?c且b?d（其中，a，b， c，d，?R）特别地a?bi?0?a?b?0
.
⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.
*若
a,b,c?C
， 则
(a?b)
2
?(b?c)
2
?(c?a)
2
? 0
是
a?b?c
的必要不充分条件.（当
(a?b)
2
?i
2
，
(b?c)
2
?1,(c?a)
2
?0
时，上式成立）
2、复数与坐标、方程
⑴复平面内的两点间距离公式：
d?z
1
?z
2
.其中
z
1
，z
2
是复平面内的两点
z
1
和z
2
所对应的复数，
d表示z
1
和z2
间的距离.
由上可得：复平面内以
z
0
为圆心，
r
为半径的圆的复数方程：
z?z
0
?r
（
r?
0）
.
⑵常见曲线方程的复数表示形式：
①
z?z
0
?r表示以z
0
为圆心，r为半径的圆的方程. ②< br>z?z
1
?z?z
2
表示线段
z
1
z
2
的垂直平分线的方
程.
③
z?z
1
?z?z
2
?2a（a?0且2a?z
1
z
2
）表示以Z
1
，Z
2
为焦点，长半轴长为
a
的椭圆的方程（若
2a?z
1
z
2
，此方
程表示线段
Z
1
，Z
2
）.
④
z?z
1
?z?z
2
?2a（0?2a?z1
z
2
），
表示以
Z
1
，Z
2
为焦点，实半轴长为
a
的双曲线方程（若
2a?z
1
z
2
，
此方程表示两条射线）.

4

⑶绝对值不等式 ：设
z
1
，z
2
是不等于零的复数，则
①
z< br>1
?z
2
?z
1
?z
2
?z
1?z
2
.②
z
1
?z
2
?z
1
?z
2
?z
1
?z
2
.仅仅了解，实数范围内的也有类似 不
等式
3. 共轭复数的性质：
z
1
?z
2
? z
1
?z
2
（和的共轭等于共轭的和）
z
1
?z< br>2
?z
1
?z
2
（差的共轭等于共轭的差）

?
z
1
?
?
z
2
?
?
z
1
?
?
（
z
2
?0
）
（商的共轭等于共 轭的商）
z
1
?z
2
?z
1
?z
2

（积的共轭等于共轭的积）

?
z
2
?
zn
?(z)
n
以上性质课本上没有但如果了解有时会方便计算（仅仅了解即可）
22
（以下必须掌握）
z?z?2a
，
z?z?2bi
（< br>z?
a
+
b
i）
z?z?|z|?|z|
（最易错）

4、复数的四则运算：若两个复数z< br>1
=a
1
+b
1
i，z
2
=a
2< br>+b
2
i，
（1）加法：z
1
+z
2
=( a
1
+a
2
)+(b
1
+b
2
)i； （2）减法：z
1
－z
2
=(a
1
－a
2
)+(b
1
－b
2
)i；
（3）乘法：z
1
·z
2
=(a
1
a
2
－b
1
b
2)+(a
1
b
2
+a
2
b
1
)i（按 多项式展开即可）
z
1
(aa?b
1
b
2
)?( a
2
b
1
?a
1
b
2
)i
?12
a
2
2
?b
2
2
（4）除法：
z
2

（类似于无理数除法的分母有理化
?
虚数除法的分母实数化：分 子分母同时乘以分母的共轭复数）；
（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。
（6）复数的乘方
①复数的乘方：
z
n?
?
?
z
?
?z
?
?z
?
...z(n?N)

?
n
②对任何
z
，
z
1
,z
2
?C
及
m,n?N
?
（非零自然数）
有
n
z
m
?z
n
?z
m?n
,(z
m
)
n
?z
m?n
,(z
1
?z
2
)
n
?z< br>n
1
?z
2

②注：a以上结论不能拓展到分数指数幂的 形式,即不是对任意m,n都成立的，因此易编制“正误辨析”
b在实数集成立的
|x|?x
2
. 当
x
为虚数时，
|x| ?x
2
，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.
5.复数
z
是实数及纯虚数的充要条件（易考）：
①
z?R?z? z
.②若
z?0
，
z
是纯虚数
?z?z?0
.







5