北师大版高中数学必修5教材答案-美国高中数学教材翻译
高中数学选修1—1
3.3.1函数的单调性与导数
教师:贾巧
【
教学目标
】
知识与技能:1.探索函数的单调性与导数的关系
2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间
过程与方法:1.通过本节的学习,掌握运用导数研究单调性的方法
2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形
结合思想、转化思想。
情感态度与价值观:通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善
总结,培养学生的探索精神,引导学生养成自主学习的学习习惯。
【
教学重点难点
】
教学重点:探索并应用函数的单调性与导数的关系,会用导数求函数的单调
区间。
教学难点:探索函数的单调性与导数的关系。
【
教学过程
】
一.回顾与思考
1、判断函数的单调性有哪些方法?比如判断y=x
2
的单
调性,如何进行?(分别
用定义法、图像法完成)
2、如果遇到函数:y=x-
3
3x判断单调性呢?还有其他方法吗?
二.新知探究 函数的单调性与导数之间的关系
【情景引入】函数是客观描述世界变化规
律的重要数学模型,研究函数时,
了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是
非常重要
的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变
化规律有一个基本的了解.函数的
单调性与函数的导
数一样,都是反映函数变化情况的,那么函数的单调
性与函数的导数是否有着
某种内在的联系呢?
【思考】 如图(1),它表示跳水运动中高度
h
随
时
间
t
变化的函数
h(t)??4.9t
2
?6.5t?10
的图像,图
(2)表示高台跳水运动员的速度
v
随时间
t
变化的函<
br>数
v(t)?h
'
(t)??9.8t?6.5
的图像.运动员从起跳
到最
高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?
【引导】
随着时间的变化,运动员离水面的高度的变化有什么趋势?是逐
渐增大还是逐步减小?
【探究】通过观察图像,我们可以发现:
(1)运动员从起点到最高点,离水面的高度
h
随时间
t
的增加而增加,即
h(t)
是
增函数.相应地
,
v(t)?h
'
(t)?0
.
(2)从最高点到入水,运动员离
水面的高
h
随时间
t
的增加而减少,即
h(t)
是减
函数.相应地,
v(t)?h
'
(t)?0
.
【思考】 导数的
几何意义是函数在该点处的切线的
斜率,函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化
的,那么函
数的单调性与导数有什么关系呢?
【引导】可先分析函数的单调性与导数的符号之间
的关系.
【探究】函数的单调性可简单的认为是:若
f(
x
2
)?f(x
1
)
x
2
?
x
1
2
>0则
函数f(x)为增函数.
可把
f(
x
2
)?f(
x
1
)
x
?
x
看作
1
?y
f(
x
2
)?f(
x
1
)
=.说
?x
x
2
?
x
1
明函数的变化率可以反映函数的单调性.即函数的
导数与函
数的单调性有着密切的联系.
观察下面函数的图象,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.
(1)函数
y?x
的定义域为
R
,并且在定义域上是增函数,其导数
y
?
?1?0
;
(2)函数
y?x
的定义域为
R
,在
(??,0)
上单调递减,在
(0,??)
上单调递增; <
br>而
y
?
?(x)
?
?2x
,当
x?0
时,
y
?
?0
;当
x?0
时,
y
??0
;当
x?0
时,
y
?
?0
。
(3)函数
y?x
的定义域为
R
,在定义域上为增函数;
32
而
y
?
?(x)
?
?3x
,若
x?0
,则
y
?
?0
,当
x?0
时,
y
?
?0
;
3
2
2
(4)函数
y?
递减;
1
的定义域为
(??,
0)U(0,??)
,在
(??,0)
上单调递减,在
(0,??)
上单调
x
而
y
?
?()
?
??
1
x
1
,因为
x?0
,显然
y
?
?0
. <
br>2
x
【总结】以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明,在区间
(a,b
)
内
如果函数
y?f(x)
在这个区间内单调递增,那么<
br>f(x)?0
.
如果函数
y?f(x)
在这个区间内单调递减,那么
f(x)?0
.
'
'
【思考】函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系? '
【探究】如图,导数
f(x
0
)
表示函数
f(x)<
br>在点
(x
0
,y
0
)
处的切线的斜率.
'
在
x?x
0
处,
f(x
0
)?0
,切线是
“左下右上”式的,这时,
函数
f(x)
在
x
0
附近单调递
增;
'
在
x?x
1
处,
f(x
0
)?0
,切线是“左上右下”式的,这时,
函数
f(x)
在
x
1<
br>附近单调递减.
用曲线的切线的斜率来理解.当切线斜率非负时,切线的倾斜
?
,函数曲线呈向上增加状态; 当切线斜率负时,切线的倾
2
?
斜
角大于、小于
?
,函数曲线呈向下减小状态.
2
知识归纳
角小于
函数的单调性与导数的关系:在某个区间
(a,b)
内, <
br>如果
f
'
(x)?0
,那么函数
y?f(x)
在这个
区间内 ;
如果
f
'
(x)?0
,那么函数
y?f(x)
在这个区间内
特别的,如果
f
'
(x)?0
,那么函数
y?f(x)
在这个区间内是 .
注意:1.若在某区间上有有限个点使
f(x)?0
,在其余的点恒有
f(x
)?0
,则
f(x)
仍
为增函数,(减函数的情形完全类似).即是说在区间
内
f(x)?0
是
f(x)
在此区间上为增函
数的充分条件,而不是
必要条件.
2.
f
?
(x)?0
能推出
f(x)
为增函数,但反之不一定.如函数
f(x)?x
3
在
(?∞,?∞)
上单调
递增,但
f
?
(x)
≥
0
.所以
f
?
(x)?0
是
f(x)
为增函数的充分条件,但不是必要条件.
3.
f(x)
为增函数,一定可以推出
f
?
(x)
≥
0
,但反之不一定,因为
f
?
(x)
≥
0
,即为
f
?
(x)?0
或
f
?
(x)?0
,当函数在某个区间内恒有
f
?
(x)?0
,则
f(x)
为常数,函数不具有单
'
''
调性.所以
f
?
(x)
≥
0
是
f(x)
为增函数的必要条件,但不是充分条件.
4.
f(x)
为增函数的充要条件是对任意的
x?(a,b)
都有<
br>f
?
(x)
≥
0
且在
(a,b)
内的任一<
br>非空子区间上
f
?
(x)?0
.
三.知识应用
【例题1】已知导函数
f(x)
的下列信息:
当
1?x?4
时,
f(x)?0
;
当
x?4
,或
x?1
时,
f(x)?0
;
当
x?4
,或
x?1
时,
f(x)?0
试画出函数
y?f(x)
图像的大致形状.
【解析】
利用导数和函数单调性之间的关系分析函数在每个区间上的单调性,然后画
出简图.
【答案】 当
1?x?4
时,
f(x)?0
,可知
y?f(x)
在此区间内单调递增;
当
x?4
,或
x?1
时,
f(x)?0
;可知
y?f(x)
在此区间内单调
递减; <
br>当
x?4
,或
x?1
时,
f(x)?0
,这两点比较
特殊,我们把它称
为“临界点”.
综上,函数
y?f(x)
图像的大致形状如图所示.
知识点2
用函数的导数研究函数的单调性
求解函数
y?f(x)
单调区间的步骤:
(1)确定函数
y?f(x)
的定义域;
(2)求导数
y?f(x)
;
(3)解不等式
f(x)?0
,解集在定义域内的部分为增区间;
(4)解不等式
f(x)?0
,解集在定义域内的部分为减区间.
注意:对于可导函数
f(x)
来说,
f(x)?0
是函数
f(x)
在(a,b)上为单调增函数的充分不必
'
'
'
''
'
'
'
'
'
'
'
要条件,
f(x)?
0
是函数
f(x)
在(a,b)上为单调减函数的充分不必要条件,如函数
'
f(x)?x
3
在R上为增函数,
三.知识应用
2判断下列函数的单调性例,并求出单调区间:
?
1
?
f
?
x
?
?x
3
?3x;
?
2<
br>?
f
?
x
?
?x
2
?2x?3;
?
3
?
f
?
x
?
?sinx?
x,x?
?
0,
?
?
;
?
4
?
f
?
x
?
?2x
3
?3x
2
?24x?1.
【解析】先求出导数,然后求解不等式进行判断、求解,使
f
?
(x)?0<
br>的区间为增区间,使
f
?
(x)?0
的区间为减区间。
利用导数判断函数单调性及单调区间应注意的问题:
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时
,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,
只能在定义域内,通过讨论导数的符号,来判断函数的
单调区间.
(2)在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还有注意在定义域内
不连续点和不可导点.
(3)注意在某一区间内
f
?
(x)?0<
br>(或
f
?
(x)?0
)是函数
f(x)
在该区间上为
增(减)函
数的充分条件,如
f(x)?x
是R上的可导函数,也是R上的单调增函数
,但当
x?0
时,
3
f
?
(x)?0
.
(4)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,这些单调区间中间不能用“
U
”连接,而只能用“逗号”或“和”字隔开.
四.课堂练习
1.判断下列函数的单调性,并求出单调区间
(1)f(x)?x
2
?2x?4
(2)f(x)?e
x
?x
(3)f(x)?3x?x
3
(4)f(x)?x
3
?
x
2
?x
2.求证:函数
f(x)?2x
3
?6x2
?7
在
(0,2)
内是减函数。
五.小结
求解函数
y?f(x)
单调区间的步骤:
(1)确定函数
y?f(x)
的定义域;
(2)求导数
y
'
?f
'
(x)
;
(3)解不等式
f
'
(x)?0
,解集在定义域内的部分为增区间
;
(4)解不等式
f
'
(x)?0
,解集在定义域内的部分为减区间.
六、作业布置
课本98页,A组1,2 练习册 相应部分
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