高中数学圆的方程相切相交与相离-高中数学对比课评课总结
高中数学教学中数学思想方法的渗透
摘 要:数学思想方法是数学学习中的精髓.有
效的渗透数学思想方法,不
仅可以最大化的调动学生的积极性、主动性,也能使学生在学习过程中真正的
感受到数学知识的本质和渊源,本文主要以数形结合、分类讨论、函数与方程
和转化与化归这四
个数学思想方法为主线,把中学的知识有机的整合起来,让
学生领悟数学思想方法在数学学科中的支撑与
统帅作用,进一步丰富学生认知
结构,完善学生认知系统,培养学生数学思维.
关键词:数学教学;数学思想方法
一、利用函数奇偶性问题,培养学生数形结合的数学思想
我国著名数学家华罗庚说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微”.数形
结合思想方法是利用
数形结合来解决数学中的有关问题, 有着明显的优越性.
“形” 的直观与“数
”的精确相辅相成,能优化解题,化解难点知识.
1
例 1
已知
y?f(x?)?4
为奇函数 ,求
y?f(x)
的对称中心.
3
11
解:由题意
y?f(x?)?4
的对称中心为
(0,0)
而
y?f(x?)?4
上移4
33
1
?
1
?
个单位右移个单位得到函数
y?f(x)
,所以
y?f(x)
的对称中心为
?
,4
?
.
3
?
3
?
例2
已知
y?f(5x?6)
为偶函数,求
y?f(x)
的对称轴.
1
解:由题意
y?f(5x?6)
的对称轴
y
轴,左移个单位得到y?f(x)
,所以
5
1
y?f(x)
的对称轴为
x?
?
.
5
分析:这两个例题求函数的对称中心和对称轴,利用的是函数奇偶性的特点,奇函数的图像关于原点对称,该图像是一个中心对称图形,偶函数的图像
关于 y
轴对称,该图像是一个轴对称图形.这两个例题体现了数形结合的数学
1
<
br>思想,数形结合是一种重要的数学思想,包含“以数辅形”和“以形助数”两
个方面.
解析几何中也体现了数形结合的思想方法, 数与形结合,可以使问题
变得形象生动、更直观,亦可使问
题变得严谨和规范.它可以让学生知道数学严
谨的同时,感受数学本身体现出来的对称美.
二、利用等差数列前n项和问题,培养学生分类讨论的数学思想
分类讨论是在题目部分条件缺失或不明确的情况下, 按照数学对象的相同
点和差异点, 将数
学对象区分为不同种类的思想方法.掌握分类的方法,领会
其实质,对于加深基础知识的理解,提高分析
问题、解决问题的能力是十分重
要的.
1
例3 已知数列
{a
n<
br>}
的前
n
项和为
S
n
,满足关系
S
n
?(a
n
?)
2
,且
a
n
?0
,
2
若
b
n
?(?1)
n
S
n
,求数列
{b
n
}
的前
n
项和为
T
n.
解:当
n?1
时,由
a
1
?S
1
?(
a
1
?1
2
)
得
a
1
?1<
br>;
2
a
n
?1
2
a
n?1
?1<
br>2
)?()
,得
22
当
n?2
时,由
an
?S
n
?S
n?1
?(
(a
n
?a
n?1
)(a
n
?a
n?1
?2)?0
?
a
n
?0
,
?
a
n
?a
n?1
?2
,即
{a
n
}
是首项为1,公差为2的等差数列,从而
S
n
?n
2
,
b
n
?(?1)
n
n
2
.
当
n?2m
时
(m?N
?
)
,即偶数时,
T
n
?T
2m
?
n(n?1)<
br>;
2
n(n?1)
.
2
当
n?2m?1
时
(m?N
?
)
,即奇数时,
T
n
?T
2
m?1
?T
2m
?b
2m
??
n(n?1)
(n?
N
?
)
.
2
综上所述
T
n
?(?1)
n
分析:本题解法可以结合等比数列前n项和来解决,在解决过程中,讨论
n的奇偶性
,体现了一种分类讨论的思想.分类讨论是一种重要的数学思想,是
2
将一个较复杂的数学问题拆分成若干个简单的问题,通过对简单问题的解答来
实现解决原问题的思想
策略.对问题实行分类与整合,分类标准等同于增加一个
已知条件,实现了有效增设,将大问题转化为小
问题,优化解题思路,降低问
题难度.它要求我们对问题的各种情况要讨论周全,分别研究各种情况下的
所有
可能结果.此外分类讨论在导数和解不等式中也会重点考察,对学生来说既是重
点又是难点
.为了突出重点,突破难点,在平常的教学中就要注意对学生渗透分
类讨论的数学思想.
三、利用方程的根与函数的零点问题,培养学生函数与方程的数学思想
函数思想的实质是抛开
所研究对象的非数学特征,用联系和变化的观点提
出数学对象,抽象其数学特征,建立各变量之间固有的
函数关系,通过函数形
式,利用函数的有关性质,使问题得到解决.方程思想是将所求的量设成未知数,用它表示问题中的其它各量,根据题中隐含的等量关系,列方程(组),
通过解方程(组)或对
方程(组)进行研究,以求得问题的解决.
例4判断函数
y?x
2
?2x?1
是否存在零点?
解:函
数
y?x
2
?2x?1
对应的方程为,因为方程
x
2
?2x?1?0
有两个相等
的实数根
x
1
?x
2
?1
,根据方程
f(x)?0
有实数根等价于函数
y?f(x)
有零
点得
出,函数
y?x
2
?2x?1
有一个零点即1.
分析
:虽然方程的根和函数的零点有各自不同的特性,但反映的却是共同
的本质.函数与方程是整体与局部、
一般与特殊、动态与静止等相互联系的,在
一定条件下,它们可以相互转化.
四、利用求立方体侧面积问题,培养学生转化与化归的数学思想
所谓转化与化归思想,就是在
研究和解决有关数学问题时,采用某种手段
将问题通过变换使之转化,进而使问题得到解决的一种数学方
法.主要包含以下
几个方面:(1)化未知为已知(2)化难为易(3)化繁为简 (4)化大为小.
3
例如,教师在讲授“求圆柱体的侧面积”问题时,通过探求解决
问题的思
想和方法,可以引导学生以化归思想为指导,将求圆柱体的侧面积转化为求矩
形的面积
,这样问题就迎刃而解了.同时,通过化归思想的这种转化教学,学生
能深入认识到化归思想的实质,可
以将空间图形问题转化为平面图形问题.这
样,学生再遇到求圆锥的表面积问题时,就可以采取同样的办
法.由此可见,解
决问题的思维过程以及它所包含的数学思想就是解题的关键.教师在对数学知识
的引入与应用过程中,要以分散式教学法逐步渗透到课堂教学中去,从而促进
学生在数学思想上有一个
由感性认识上升到理性认识的过程,进而提高课堂教
学效果.
综上所述,在教学过程中重视数
学思想方法的渗透和灌输,可以深化学生
对基础知识的理解,进一步完善学生的认知结构,优化学生思维
品质,提高学
生复习问题,解决问题的能力,提高学生的数学数养.
参考文献:
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为例[J].学
周刊,2015,(18):82.
[2] 田文苗.高中阶段的数学教学应重视数学思想方法的渗透
[J].中国
教育技术装备,2014,(01):31.
[3] 王云华.渗透数学思想,
培养学生数学思维———浅谈高中数学教学新
视角[J].学周刊,2014,(19):173.
[4]
渗透数学思想方法的高中数学教学研究[J].考试周刊2018,王敬.
4
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