2006年高考试题_理科数学试卷及答案(重庆卷)

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绝密★启用前 解密时间：2006年6月7日17：00 【考试时间：6月7日15:00—17:00】

2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数学试题卷
（理工农医类）

数学试题（理工农医类）共5页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡
皮擦干净后，再选涂共他答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字后，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：
如果事件A
、
B互斥，那么
P(A?B)?P(A)?P(B)
．
如果事件A
、
B相互独立，那么
P(A?B)?P(A)?P(B)
．
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概
率
k
P
n
(k)?C
n
P
k
(1?P)n?k
．
一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分．在每小题给出的四个备选项中, 只
有一项是符合题目要求的．
（1）已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A= {2，4，5，7}，B = {3，4，5}，则（
C
U
A）∪（
C
U
B）
=
（A）{1，6} （B）{4，5}
（D）{1，2，3，6，7} （C）{2，3，4，5，7}
（2）在等差数列{a
n
}中，若a
4
+ a
6
=12，S
n
是数列{a
n
}的前n项和，则S
9
的值为
（A）48 （B）54 （C）60 （D）66
（3）过坐标原点且与圆
x
2
?y
2?4x?2y?
1
x

3
1
（C）y =－3x或
y??x

3
（A）y =－3x 或
y?

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5
?0
相切的直线的方程为
2
1
（B）y = 3x 或
y??x

3
1
（D）y = 3x 或
y?x

3

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（4）对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l
（A）平行
（C）垂直
n


（B）相交
（D）互为异面直线
1
?
的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为 （5）若
?
?3x??
??
x
??
（A）－540
（C）162


（B）－162
（D）540
< br>（6）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18
岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下：









根据上图可得这100名学生中体重在[56.5, 64.5]的学生人数是
（A）20
（C）40


（B）30
（D）50

7 1
??
17
?
（7）与向量
a?
?
?
,< br>?
,b?
?
,?
?
的夹角相等, 且模为1的向量是
?
22
??
22
?

（A）
?

（C）
?
?
43
?
,?
?

55
??
（B）
?
?
43
??
43?
,?
?
或
?
?,
?

55
??
55
??
?
221
?
?

?
3
,?
3
?
??
（D）
?
?< br>221
?
?
221
?
?
或
??
< br>?
3
,?
3
?
?
?
3
,
3
?
??
??

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（8）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的
分配
方案有
（A）30种
（C）180种


（B）90种
（D）270种
⌒
与弦AB所围
⌒
的长为
x,f(x)
表示弧AB （9）如图所示, 单位圆中弧AB
成的弓形面积的2倍，则函数
y?f(x)
的图象是












（10）若a, b, c > 0且
a(a?b?c)?bc?4?23
,则
2a?b?c
的最小值为
（A）
3?1


（C）
23?2
（D）
23?2

（B）
3?1

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡相应位置上．

（11）复数
1 + 2i

3


的值是_______．
3 + i

（12）

1?3?
?
?(2n?1)
?
_______．
lim< br>2
2n?n?1
n??
3
?
?
3
?
?
12
?
???
（13）已知
?
,
?
?< br>?
,
?
?
,sin(
?
?
?
)?? ,sin
?
?
?
?
?,则cos
?
?
?< br>?
?
_______．
?
54
?
134
??
4
???

（14）在数列
?
a
n
?
中, 若
a
1< br>?1,a
n?1
?2a
n
?3
（n≥1）, 则该数列的通项
a
n
?
_______．
（15）设
a? 0,a?1,
函数
f(x)?a
lg(x
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2
?2x?3)
2
有最大值, 则不等式
log
a
(x?5x?7)?0
的

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解集为_______．
（16）已知变量
x,y
满足约束条件
1 ?x?y?4
,
?2?x?y?2
, 若目标函数
z?ax?y
（其 中
a?0
）仅在点（3,1）处取得最大值，则a的取值范围为_______．

三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）(本小题满分13分)
设函数
f(x)?
y
轴右侧的第一个最高点的横坐标为
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果
f(x)
在区间
?
?
3cos
2
ωx + sinωxcosωx + a（其中ω> 0, a∈R）, 且
f(x)
的图象在
?
．
6
?
?
5?
?
,
?
上的最小值为
3
, 求a的值．
36
??

（18）(本小题满分13分)
某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠．若该电梯在底层载
有5
位乘客, 且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为
20层下电梯的人数, 求：
（Ⅰ）随机变量
?
的分布列；
（Ⅱ）随机变量
?
的期望．

（19）(本小题满分13分)
如图, 在四棱锥
P?ABCD
中,
PA?
底面ABCD,
1
, 用
?
表示这5位乘客在第
3
?DAB
为直角,
ABCD,AD?CD?2AB,
E、F分
别为PC、CD的中点．
（Ⅰ）试证：
CD?
平面BEF；
（Ⅱ）设
PA?k?AB
, 且二面角
E?BD?C
的平面角大于30°, 求k的取值范围．
（20）(本小题满分13分)

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已知函数
f(x)?(x?bx?c)e
, 其中
b,c?R
为常数．

（Ⅰ）若
b?4(c?1)
, 讨论函数
f(x)
的单调性；
（Ⅱ）若
b?4(c?1)
, 且
lim

（21）(本小题满分12分)
已知定义域为R的函数
f(x)
满足
f(f(x)?x?x)?f(x)?x?x
．
（Ⅰ）若
f(2)?3
, 求
f(1)
； 又若
f(0)?a,求f(a)
；
（Ⅱ）设有且仅有一个实数
x
0
, 使得
f(x
0
)?x< br>0
,求函数
f(x)
的解析表达式．

（22）(本小题满分12分)
22
2
2
2x
x?0
f(x)?c
?4,
试证：
?6?b?2
．
x
y
2
已知一列椭圆
C< br>n
:x?
2
?1,

b
n
2
0?b
n
?1
, n = 1, 2, …, 若椭圆C
n
上有一点
P
n
, 使P
n
到右准线l
n
的距离d
n
是| P
n
F
n
|与
| P
n
G
n
|的等差中项, 其中F
n
、G
n
分别是C
n
的左、右焦点．
（Ⅰ）试证：
b
n
?
n?2

3
（n≥1）；
2
（Ⅱ）取
b
n
?
2n?3
,并用 S
n
表示△P
n
F
n
G
n
的面积,试证：
S
1
?S
2
且S
n
?S
n?1
（n≥3）．













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2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题卷（理工农医类）答案

一、选择题：每小题5分，满分50分.
（1）D
（7）B
（2）B
（8）B
（3）A
（9）D
（4）C
（10）D
（5）A

（6）C
二、填空题：每小题4分，满分24分.
（11）
17
?i

1010
n?1
（12）
1

2
（13）
?
56

65
（14）
2?3
（15）（2，3） （16）a>1
三、解答题：满分76分.
（17）（本小题13分）
解：（Ⅰ）
f(x )?
313
cos2
?
x?sin2
?
x?||?a

222

?sin(2
?
x?
?< br>3
)?
3
?a.

2
依题意得
2
?
?
解得
?
?
?
6
?
?
3
?
?
2
.

1
.

2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
f(x)?sin(x?
又当
x?[?
故
?
?
3
)?
3
?a.

2
?< br>5
?
3
,
6
]
时，
x?
?
3
?[0,
7
?
]

6
1
?
?sin(x?)?1
，
23
从而
f(x)在[?
?
5
?
36
,]
上取得最小值
?
13
??a.

22
3?1
.
2
因此，由题设知
?
（18分）（本小题满分13分）
13
??a?3, 故a?
22
解法一：（Ⅰ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，5.
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由等可能性事件的概率公式得
2
5
32
P(
?
?0)?
5
?,
243
3
C
5
2
?2
3
80
P(
?
?2)??,
243
3
5
C
5
4
?2
10
P(
?
?4)??,< br>5
243
3
从而ξ的分布列为
ξ
P
0 1 < br>1
C
5
?2
4
80
P(
?
?1)? ?.

5
243
3
3
C
5
?2
4
40
P(
?
?3)??.

243
3
5



P(
?
?5)?
11
?.

5
243
3
2 3 4 5
32

243
80

243
80

243
40

243
10

243
1

243
（Ⅱ）由（Ⅰ）得ξ的期望为
E
?
?0?

3280804010 1
?1??2??3??4??5?
243243243243243243
4055
??.
2433

解法二：（Ⅰ）考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验.



故
?
?B(5,),
即
1
3
12
P(
?
?k)?C
5
4
()
k
()
5?k
, k?0,1,2,3,4,5.

33
由此计算ξ的分布列如解法一.
（Ⅱ）
E
?
?5?
15
?.

33
解法三：（Ⅰ）同解法一或解法二
（Ⅱ）由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相
等.
即
3E
?
?5,
从而
E
?
?
5
.

3
（19）（本小题13分）
解法一：
（Ⅰ）证：由已知
DFAB
且∠DAB为直角，故ABFD是矩形，从而CD⊥BF.
?
又PA⊥底面ABCD, CD⊥AD, 故由三垂线定理知CD⊥PD. 在△PDC中, E、F
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分
别为PC、CD的中点，故EFPD，从而CD⊥EF，由此得CD⊥面BEF.
（Ⅱ）连接AC交BF于G，易知G为AC的中点，连接






EG，则在△PAC中易知EGPA，又因
PA⊥底面ABCD，故EG⊥底面ABCD. 在底
面ABCD中，过G作GH⊥BD，垂足为H，连接
EH，由三垂线定理知EH⊥BD. 从而∠EHG为
二面角E—BD—C的平面角.
设AB=A，则在△PAC中，有


BG?





11
PA?ka

22
以下计算GH，考虑底面的平面图（如答（19）图2），连结GD，
11
BD?GH?GB?DF

22
GB?DF
故
GH?.

BD
因
S< br>?GBD
?
在△ABD中，因AB=a，AD=2a，得
BD?
而GB?
5a.

11
FB?AD?a,DF?AB
，从而得
22

GH?
GB?ABa?a5
??a

BD5
5a


1
ka
EG
2
5
??k.
因此
tanEHG?
GH2
5
a
5


由k>0知∠EHG是锐角，故要使∠EHG>30°，必须
53
k?tan30??,

23
解之得，k的取值范围为
k?

215
.

15
解法二：
（Ⅰ）如图，以A为原点, AB所在直线为x轴, AD所在直线为y轴, AP所在直线为z轴建
立


空间直角坐标系，设AB=a，则易知点A，B，C，D，F的坐标分别为
A（0，0，0），B（a，0，0），C（2a，2a，0），
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D（0，2a，0），F（a，2a，0）
从而
DC?(2a,0,0), BF?(0,2a,0)
，
DC?BF?0, 故DC?BF.

设PA=B，则P（0，0，b），而E为PC中点，故
bb
E(a,a,)
. 从而
BE?(0,a,).

22

DC?BE?0, 故DC?BE.

由此得CD⊥面BEF.
（Ⅱ）设E在xOy平面上的投影为G, 过G作为GH⊥BD垂足为H, 由三垂线定理知EH⊥
BD.




从而∠EHG为二面角E—BD—C的平面角.
由
PA?k?AB得P(0,0,ka), E(a,a,
ka
), G(a,a,0)
.
2
设
H(x,y,0)
，则
CH ?(x?a,y?a,0),BD?(?a,2a,0)
，
由
GH?BD?0得?a(x?a)?2a(y?a)?0
，即

x?2y??a
①


又因
BH?(x?a,y ,0)
，且
BH与BD
的方向相同，故
x?ay
，即
?
a2a
2x?y?2a
②
由①②解得
x?

215
34
a
.
a, y?a
. 从而
CH?(?a, ?a, 0),|GH|?
555
55

ka
|EG|5
tanEHG??
2
?k.

2< br>5
|GH|
a
5
由k>0知∠EHG是锐角，由∠EHG>30°，得
tanEHG?tan30?
，即
5
k?
3
.

23
故k的取值范围为
k?


215
.

15
（20）（本小题13分）
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解：（Ⅰ）求导得
f
?
(x)?[x?(b?2)x?b?c]c

因
b?4(c?1), 故方程f
?
(x)?0即x?(b?2)x?b?c?0
有两根；
22
22





但
b
2
?4(c?1)b
2
?4(c?1)
b?2b?2

x
1
????x
2
???
2222
令
f< br>?
(x)?0, 解得x?x
1
或x?x
2
；
又令
f
?
(x)?0, 解得x
1
?x?x
2
，
故当
x?(??,x
1
)时, f(x)
是增函数；当
x?(x
2
,??)时, f(x)
是增函数；
当
x?(x
1
,x
2
)时, f(x)
是减函数.
（Ⅱ）易知
f(0)?c, f
?
(0)?b?c
，因此

lim

n?0
f(x)?cf(x)?f(0)
?lim?f?
(0)?b?c.

n?0
xx
所以，由已知条件得
?
b?c?4,

?
2

b?4(c?1),
?


因此
b?4b?12?0.

解得
?6?b?2
.
2
（21）（本小题12分）
解：（Ⅰ）因为对任意
x?R, 有f(f(x)?x?x)?f(x)?x?x
，所以

f(f(2)?2?2)?f(2)?2?2.





又由
f(2)?3
，得
f(3?2?2)?3?2?2, 即f(1)?1.

若
f(0)?a, 即f(a?0?0)?a?0?0, 即f(a)?a.

22
22
22
22
22
（Ⅱ）因为对任意
x?R, 有f(f(x)?x?x)?f(x)?x?x
，




又因为有且只有一个实数
x
0
, 使得f(x
0
)?x
0
,

2
所以对任意
x?R, 有f(x)?x?x?x
0
,
，
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条件.

在上式中令
x?x
0
, 有f(x
0
)?x
0< br>?x
0
?x
0
,

又因为
f(x
0
)?x
0
, 所以x
0
?x
0
?0, 故x
0
?0或x
0
?1.

2
若
x
0
?0, 则 f(x)?x?x?0
，即
2
2
f(x)?x
2
?x.

2
但方程< br>x?x?x
0
有两个不同实根，与题设条件矛盾，故
x
0
?0 .

若
x
0
=1, 则有
f(x)?x
2
?x?1. 即f(x)?x
2
?x?1.
易验证该函数满足题设
综上，所求函数为
2

f(x)?x?x?1

（22）（本小题12分）
证：（Ⅰ）由题设及椭圆的几何性质有



(x?R)

2d
n
?|P
n
F
n
|?|P
n
C
n
|?2, 故d
n
?1
.
设
c
n
?1?b
n
，则右准线方程为
2
l
n
:x?
1
.

c
n
因此，由题意d
n
应满足

11
?1?d
n
??1.

c
n
c
n
?
1
?1?1
1
即
?
c
, 解之得?c
n
?1.

?
n
2
?
0?c?1
n
?
即



1
2
?1?b
n
?1,

2
3
.

2
从而对任意
n?1, b
n
?
（Ⅱ）设点P
n
的坐标为
(x
n
,y
n
), 则由d
n
?1
及椭圆方程易知
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x
n
?
1
?1,

c
n
2222
y
n
?b
n
(1?x
n
)?(1?c
n< br>)(1?(

1
?1)
2
)
c
n
?



1
c
n
2

(?2c
n
?c< br>n
?2c
n
?1).
32
因
|P
n
C
n
|?2c
n
, 故?P
n
F
n
C
n
的面积为
S
n
?c
n
|y
n
|
，从而
1
232
S
n
??2c
n
?c< br>n
?2c
n
?1 (?c
n
?1)

2
令
f(c)??2c?c?2c?1
，由
2
32

f
?
(c)??6c?2c?2?0

得两根
11?3
1?13
)
内是增函数，而在
.
从而易知函数
f(c)在(,
22
6

1?13
()
内是减函数.
6
现在由题设取
b
n
?
增数列，又易知

c
2
?

2n?3n?11
2
, 则c
n
?1?b
n
??1?, c
n
是
n?2n ?2n?2
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