高中数学难度分布比例-高中数学竞赛 高斯函数
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2015年高一第二学期期末
一、选择题
题号 1 2 3
4 5 6 7 8 9 10 11 12
普通
选项
D C B A B B
C D C D B B
12
示范
C
二、填空题:
(13).
y??2x
或
y?-x -1
(14). 32
(15).
10
?
(16) 【普通】:等腰或直角三角形 【示范】:
6 ?1
三、解答题 4
?
?
a
1
q?a
1
?15
(17)
解:设数列公比为
q
,显然
q?1
,有题意知:
?
3
?
?
a
1
q?a
1
q?6
解之得q?2
或
q?
1
………… 2分
2
当
q?2
时,得
a
1
?1
a
3
?a
1
q
2
?4
………… 4分
当
q?
1
时,得
a
1
??16
a
3
?a
1
q
2
??4
…………
6分
2
a
1
(1?q
n
)
?31
………… 8分 当
q?2
时,
S
5
?
1?q
当
q?
1
时,
S
5
??31
………… 10分
2
(18)(Ⅰ)证明:在
?DAD
1
中,因为G
、
F分别是
边DA、
DD
1
的中点,
所以 FG
D
1
A
又
FG?
面
AD
1
E
故FG
面
AD
1
E
………… 2分
在该长方体中,又因为E是
BB
1
中点,
所以
D
1
FEB
且
D
1
F?EB
所以四边形
D
1
FBE
为平行四边形
所以
BFD
1
E
又
BF?
面
AD
1
E
故BF
面
AD
1
E
………… 4分
又因为FG
、
BF 为两条相交线
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所以平面
AD
1
E
平面BGF
………… 6分
(Ⅱ)证明:在该长方体中,有直角
Rt?ADD
1
则
A
D
1
2
?AD
2
?DD
1
2
?1?22
?5
在
Rt?ABE
中,
AE?AB?BE?1?1?2
侧棱
BB
1
?
面
?A
1
B
1
C
1
D
1
连接
D
1
B
1
,
D
1
B
1
?
面
A
1
B
1
C
1
D
1
所以
BB
1
?D
1
B
1
(
D
1
B
1
2
?A
1
D
2
1
?A
1
B
1
2
?2
)
在
Rt?D
1
B
1
E
中,
D
1
E
2
?D<
br>1
B
1
2
?B
1
E
2
?2?1?3
由上述关系知:
AD
1
2
?AE
2
?D
1
E
2
所以
?AED
1
为直角三角形,
所以
D
1
E?AE
………… 8分
同理可证
D
1
E?CE
………… 10分
又AE与CE相交于E
所以
D
1
E?
平面AEC
………… 12分
(19)(Ⅰ)解:因为
cosA?
222
3
(
0?A?
?
)
5
4
所以
sinA?1?cos
2
A?
………… 2分
5
ab
o
由正弦定理:
a?1,B?60
………… 4分
?
sinAsinB
解得:
b?
53
………… 6分
8
1
bcsinA?4
2
(Ⅱ)三角形面积公式
S?
解得: 10 ………… 8分
由余弦定理:
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
=
(b?c)?2bc?2bccosA
………… 10分
解得:
b?c?33
………… 12分
(20)(Ⅰ)解:当
a?0
,
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2
联立直线
l
1
和
l
2
:
?
?2x?y?0
11
解得交点
M(?,)
42
?
?2y?1?0
联立直线
l
1
和
l
3
:
?
?
2x?y?0
解得交点
N(2,?4)
x?y?2?0
?
?
?2y?1?0
51
联立直线
l
2
和
l
3
:
?
解得交点
P(?,)
………… 3分
22
?
x?y?2?0
显然,直线
PM
平
行
x
轴,
PM??
159
?(?)?
…………
4分
424
点
N
到直线
PM
的距离为
19
?(?4)?
………… 5分
22
19981
???
…………6分
24216
a
(Ⅱ)有已知得直线
l
1
、<
br>l
2
、
l
3
的斜率分别为:
k
1
?
?2
k
2
?
k
3
??1
2
故所求封闭图形为
?PMN
, 面积为:
S?
当
l
1
l
2
时,由
k
1
?k2
得
a??4
当
l
3
l
2
时,由
k
3
?k
2
得
a??2
显然直线
l
1
和
l
3
不平行………8分
?
2x?y?a?0
当三条直线相交于一点时:
联立直线
l
1
和
l
3
:
?
x?
y?2?0
?
解得交点坐标
(2?a,a?4)
,代入
l
2
:
a(2?a)?2(a?4)?1?0
解得:
a??3
………… 10分
综上所述,当三条直线构成三角形时:
a
为实数且
a??3
且a??4
且
a??2
…… 12分
(21)解:(Ⅰ)由题意:
a
1
?(x?1)
2
?4(x?1)?2
a
2
?0
a
3
?(x?1)
2
?4(x?1)?2
因为数列
?
a
n
?
为等差数列,所以有:
a
1
?a
3
?2a
2
…………2分
即
(x?1)?4(x?1)?2?(x?1)?4(x?1)?2?0
解得:
x
1
?1,x
2
?3
…………4分
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22
当
x?1
时,
a
1
??2
(舍,因为数列
?
a
n
?
为递减数列)
所以
x?3
此时解得:
a
1
?2,a
3
??2
………… 6分
(Ⅱ)由上问得:数列
?
a
n
?
的公差
d??2
,所以
a
n
?a
1
?(n?1)d?4?2n
设所求数列前
n
项和为
S
,则
111
S?2??0?
2
??(4?2n)
n
2
22
11111
S?2?
2
?0?
3
??(6?2n)n
?(4?2n)?
n?1
………… 8分
22222
111
11
两式做差:
S?1?2(
2
?
3
??
n
)?(4?2n)?
n?1
22222
11
(1?()
n?1
)
11
2
S?1?2(
4
)?(4?2n)?
n?1
………… 10分
1
22
1?
2
n
化简
得:
S?
n?1
………… 12分
2
(22)
解:(Ⅰ)二次函数
f(x)
图像的对称轴为:
x?2
二次项系数大于零,函数图像开口向上,
故
f(x)
在
[2,??)
上为增函数,………… 2分
3
2
?
2??2?3?2?n
?
?
f(2)?2
?
4
有题意得:
?
即:
?
?
f(m)?m?
m?
3
m
2
?3m?n(m?2)
?
?4<
br>10
或
m?2
(因为
m?2
,故舍去) ………… 4分
3
10
所以,
n?5
m?
………… 6分 <
br>3
3
(Ⅱ)由题意知,关于
x
的不等式
x
2
?3x?4?a
对于一切
x?R
恒成立,…8分
4
3
从而
关于
x
的不等式
x
2
?3x?4?b
的解集为
[a
,b]
,于是,
a,b
是关于
x
的一元
4
3
二次方程
x
2
?3x?4?b
的两个实根,据二次方程根与系数关系式得:
4
解得:
n?5
m?
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?3
?
a?b??
?
3
?
?
4
(a?b)
………… 10分 关于
x
的不等式
??
ab?
4?b
?
?
?
解之,得
?
?
a?0
?
b?4
所以,
a?0,b?4
3
4
?
或
?
?
a?
8
?
3
(因为
a?b
,故舍去)
?
?
?
b?
4
3
………… 12分
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