江苏省高中数学竞赛内容-高中数学教学后记20字
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高二上学期数学期末复习测试题
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.下列命题正确的是
22
A.若
a?b,c?d
,则
ac?bd
B.若
a?b
,则
ac?bc
( )
C.若
a?c?b?c
,则
a?b
D.若
a?b
,则
a?b
2.如果直线
ax?2y?2?
0
与直线
3x?y?2?0
平行,那么系数
a
的值是
2
3
A.-3 B.-6
C.
?
D.
3
2
y
2
2
3.与
双曲线
x??1
有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线方程为
4
22
y
2
x
2
yx
??1
A.
??1
B.
28
312
( )
(
)
x
2
y
2
??1
C.
28
22
D.
x
?
y
?1
312
4.下说法正确的有
( )
①对任意实数a、b,都有|a+b|+|a-b|
?
2a;
②函数y=x·
1?x
2
(0
2
③对a
?
R,不等式|x|④
若AB≠0,则
lg
|A|?|B|
?
lg|A|?lg|B|
.
22
A. ①②③④ B.②③④ C.②④ D.①④ <
br>22
5.直线
l
过点P(0,2),且被圆x+y=4截得弦长为2,则
l
的斜率为 ( )
A.
?
3
B.
?
3
C.
?2
D.
?3
2
3
x<
br>2
y
2
6.若椭圆
2
?
2
?1
(a
>b>0)的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,线段F
1
F<
br>2
被抛物线y
2
=2bx的
ab
焦点分成5∶3的两段,则此
椭圆的离心率为 ( )
A.
2
7.已知不等式
ax?bx?c?0
的解集为(—∞,—1
)∪(3,+∞),则对于函数
16
B.
417
17
17
C.
4
5
D.
25
5
f(x)?ax
2
?bx?c
,下列不等式成立的是
( )
A.
f(4)?f(0)?f(1)
C.
f(0)?f(1)?f(4)
A.
(1,?1)
B.
f(4)?f(1)?f(0)
D.
f(0)?f(4)?f(1)
D.
(?1,?1)
8.已知直线
2x?y?4?0
,则抛物线
y?x
2
上到直
线距离最小的点的坐标为 ( )
B.
(1,1)
C.
(?1,1)
?
x?y?3?0
9.设z=x?y,
式中变量x和y满足条件
?
, 则z的最小值为 ( )
?
x?2y?0
A.1 B.?1
C.3 D.?3
10.已知椭圆E的离心率为e,两焦点为F
1
,F
2
. 抛物线C
以F
1
为顶点,F
2
为焦点.P为两
曲线的一个交点.若
A.
3
3
PF
1
PF
2
?e
,则e的值为
( )
B.
3
2
C.
2
2
D.
6
3
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二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
11.设中心在原点的椭圆与双曲线
2x
2
-2y
2
=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,
则该
椭圆的方程是 .
12.已知两变量
x
,
y
之间的关系为
lg(y?x)?lgy?lgx
,则以
x
为自变量的函数y
的
最小值为________.
13.直线
l
经过直线x?y?2?0和x?y?4?0
的交点,且与直线
x?2y?1?0
的夹角为45°,则直线
l
方程的一般式为 .
14.已知下列四个命题:
①在直角坐标系中,如果点P在曲线上,则P点坐标一定满足这曲线方程的解;
②平面内与两
个定点F
1
,F
2
的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线;
③角α一定是直线
y?xtan
?
?2
的倾斜角;
④直线
3x?4y?5?0
关于
x
轴对称的直线方程为
3x?4y?5?0
.
其中正确命题的序号是
(注:把你认为正确命题的序号都填上)
三、解答题(本大题共6小题,共74分)
15.
解不等式
x
2
?2x?1?
|x|
?0
.(12分)
x
22
16.已知圆
x?y?9
与
直线
l
交于
A
、
B
两点,若线段
AB
的中
点
M(2,1)
(1)求直线
l
的方程;
(2)求弦
AB
的长.(12分)
17.过抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点F的
直线与抛物线交于A、B两点,O为坐标原点,直线OA
的斜率为
k
1
,直线OB的斜率为
k
2
.
(1)求
k
1
·
k
2
的值;
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(2)两点向准线做垂线
,垂足分别为
A
1
、
B
1
,求
?A
1FB
1
的大小.(12分)
18.某厂生产甲、乙两种产品,生产每吨甲、乙产品所需煤、电力和所获利润如下表所示:
消耗量 资源
煤(t) 电力(kW) 利润(万元)
产品
甲产品
乙产品
9
4
4
5
12
6
在
生产这两种产品中,要求用煤量不超过350t,电力不超过220kW.问每天生产甲、乙
两种产品各
多少,能使利润总额达到最大?(12分)
19.已知双曲线的中心在原点,右顶点为A(1,0),点P、Q在双曲线的右支上,点M(m,0)
到直线AP的距离为1.
3
,3
], 求实数m的取值范围;
(1)若直线AP的斜率为k,且|k|?[
3
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(2)当m=
2
+1时,△APQ的内心恰好是点M,求此双曲线的方程.(14分)
20.如图,已知
Rt?PAB
的直角顶点为
B
,点
P(3,0)
,点
B
在
y
轴上,点
A
在
x
轴负半
轴上,在
BA
的延长线上取一点
C
,使
AC?2AB
.
(1)在
y
轴上移动时,求动点
C
的轨迹
C
; <
br>(2)若直线
l:y?k(x?1)
与轨迹
C
交于
M
、
N
两点,
设点
D(?1,0)
,当
?MDN
为
锐角时,求
k
的取值范围.(14分)
C
y
D
P
A
O
x
B
参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1 2 3
4 5 6
题号
7 8 9 10
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D B D A B D A B A A
答案
二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分)
x
2
11.
?y
2
?1
12. 4 13.
x?3y?8?0或3x?y-6?0
14. ① ④
2
三、解答题(本大题共6题,共76分)
15.(12分)
?0
时,原不等式可化为:
|x?1|?1
,解得
x?1?1或x?1??1
,
即
x?2或x?0
,
则原不等式的解为:
x?2
;当
x
?0
时,原不等式可化为:
|x?1|?1?0
,该不等式恒成立
所以,原不等式的解为
?
x|x?0或x?2
?
.
1
,得k
AB
???1,?k
AB
??2
,
16.(12分)[解析]:
(1)
由k
AB
?k
OM
??1
2
l:y?1??2(x?2)即2x?y?5?0
.
[解析]:当
x
(2)原点到直线
l
的距离为
d
17.(12分)
[解析]:.设
A(
x
1
,y
1
),B
(x
2
,y
2
),则
k
1
?5
,
?AB?2AP?29?5?4.
?
y
y
1
,
k
2
?
2
,
x
2
x
1
p
),代入抛物线方程
2
∵直线
AB过焦点F,若直线AB与x轴不垂直,∴可设AB方程为:y=k(
x?
有
p<
br>p
1
,则
y
1
·
y
2
=-p
2
,
k(x?)
2
?2px?k
2
x
2
?p(k
2
?2)x?p
2
k
2
?0
,可得x
1
·
x
2
=
24
4
2
2<
br>∴
k
1
·
k
2
=
y
1
?y
2
??4?
;若直线AB与x轴垂直,得
k
1
=2, k
2
??2
,∴
k
1
·
k
2
=-4
x
1
?x
2
y
A
1
B
A
(2) 如图,∵ A、B在抛物线上,∴ |AF|=|AA
1
|
∴∠AA
1
F=∠AFA
1
,∴∠AFA
1
=
90
0
??B
1
A
1
F
同理
?BFB
1
?90???A
1
B
1
F
∴
?A
1
FB
1
?180
0
?(90<
br>0
??B
1
A
1
F)?(90
0
??A1
B
1
F)
??B
1
A
1
F??A
1
B
1
F
90
o
,
又
?B
1
A
1
F??A
1
B
1
F?180
0
??A
1
FB
1
,
18.(12分)[解析]:设每天生产甲、乙两钟产品分别为
x
t、
o
B
1
B
F
x
??A
1
FB
1
?180
0
??A
1
FB
1
??A
1
FB
1
?90
0
.
y
t,
利润总额为z万元.那么:
?
9x?4y?350,
?
?
4x?5y?220,
?
0
?
x?0,
y?
z=
12x?6y
作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域
z?12x?6y
,作出以上不等式组所表示的平面
y?0
,把直线
l
向右上方平移至
l
?
位置时,直线经过
可行域上点M,现与原点
距离最大,此时z=
12x?6y
取最大值.
?
9x?4y?350
解方程组
?
得M(30,20)
?
4x?5y?220
区域,即可行域(如右图).
作直线
l:2x?
答:生产甲产品30t,乙产品20t,能使利润总额达到最大.
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19.(14分)[解析]:(1)
由条件得直线AP的方程
y?k(x?1)
,即kx-y-k=0,
因为点M到直线AP
的距离为1,
k
2
?113
??1?m?1?
?1?
2
,
?
k?[,3],
2
3
k<
br>k
k?1
mk?k
?
232323
?m?1?2??1?m?
3或?1?m?1?.
333
2
(2)可设双曲线方程为
x?y
2
b
2
?1(b?0)
,由
M(2?1,0),A(
1,0)得AM?2.
又因为M是
?APQ
的内心,M到AP的距离为1,
所以
?MAP?45
?
,
直线AM是
?APQ
的角平分线,
且M到AQ、
PQ的距离均为1,因此,
k
AP
?1,k
AQ
??1,
(不妨设A在第一象限),直线PQ的方程为
x?2?2
,
直线A
P的方程为
y?x?1
所以解得点P的坐标为
(2?2,1?2)
,将其代入
x?
2
的方程为
x?
2
y
2
b
2
?1(b?0)
得
b
2
?
2?1
2?3
,所求双曲线
2?3
2?1
y
2
?1
,即
x
2
?(22?1)y
2
?1
.
20.(14分)[解析
]:设
C(x,y),A(a,0),B(0,b),?k
AB
??
????????
?
AC?AB,?AC?2BA,?(x?a,y)?2(a,?b),?
x?3a,y??2b,
bbbb
,k
BP
??,???(?)?
?1,即b
2
??3a.
a3a3
y
2
???x,即y
2
??4x(x?0).
4
(2)令<
br>M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),k
MD
?
2
y
1
y
,k
ND
?
2
,
把
y?k(x?1)代入y??4x,
x
1
?1x
2
?1
2
得k
2<
br>x
2
?(4?2k
2
)x?k
2
?0,?x?x?<
br>2k?4
,xx?1,yy?4
,
121212
2
k
yy
2
当MD?ND时,
1
???1即x
1
x
2
?x
1
?x
2
?y
1
y
2
?1?
0,
x
1
?1x
2
?1
?1?2?
42
?4?1?0,?k??,又??16?16k
2
?0,??1?k?1,
2
k2
结合图形可得
?1?k??
22
或?k?1.
22
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