高中数学必修一二四五

数学必修1-5常用公式及结论
【必修1】
：

一
、集合
1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互
异性，无序性
（2）集合的分类；有限集，无限集 （3）集合的表示法：列举
法，描述法，图示法
2、集合间的关系：子集：对任意
x?A
，都有
x?B
，
=则称A是B的子集。记作
A?B

真子集：若A是B的子集，且在B中至少存在一个元素不属
于A，则A是B的真子集，
记作A
?
B 集合相等：若：
A?B,B?A
,则
?
6.常用数集：自然数集：N 正整数集：
N
整数集：Z
有理数集：Q 实数集：R

二、函数的奇偶性
1、定义： 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x )
= f ( x )（注意定义域）
2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；
（2）偶函数的图象关于y轴成轴对称图形；
（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函
数；
（4）如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函
数．
二、函数的单调性
1、定义：对于定义域为D的函数f ( x )，若任意的x
1
, x
2
∈D，且
x
1
< x
2

① f ( x
1
) < f ( x
2
) <=> f ( x
1
) – f ( x
2
) < 0 <=> f ( x )
是增函数
② f ( x
1
) > f ( x
2
) <=> f ( x
1
) – f ( x
2
) > 0 <=> f ( x )
是减函数
2、复合函数的单调性: 同增异减
------------------------ -------------------------------------------------- ----

2、根式的性质
（1）
(
n
*
A?B

3. 元素与集合的关系：属于
?
不属于：
?
空集：
?

4、集合的运算：并集：由属于集合A或属于集合B的元素组成
的集合叫并集，记为
A?B

交集：由集合A和集合B中的公共元素组成的
集合叫交集，记为
A?B

补集：在全集U中，由所有不属于集合A的元
素组成的集合叫补集，
记为
C
U
A

5．集合
{a
1
, a
2
,?,a
n
}
的子集个数共有
2
个；真子集有
2
–1
个；非空子集有
2
–1个；
--- -------------------------------------------------- -------------------------
2
三、二次函数
y
=
ax
+
bx
+
c
（
a?0
）的性质
nn
n
?
b4ac ?b
2
?
b
??
1、顶点坐标公式：， 对称轴：
x??< br>，
?,
?
2a
?
2a
4a
??
4a c?b
2
最大（小）值：
4a
2.二次函数的解析式的三种形式
2
f(x)?ax?bx?c(a?0)
; (2)顶点式
2
;
f(x)?a(x?h)?k(a?0)
(3)两根式
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
a)
n
?a
.
n
（2）当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
； 当
n
为偶数时，
?
a,a?0
.
a?|a|?
?
?
?a,a?0
n


3、指数函数y = a
x
(a > 0且a≠1)的性质：
（1）定义域：R ； 值域：( 0 , +∞)
（2）图象过定点（0，1）


m
(1)一般式
四、指数与指数函数
1、幂的运算法则：
（1）a
m
? a
n
= a
m + n
， （2）
a
（2）（3）( a ) = a
n
n
m n m n
Y
a >
1
1
X
0
Y
0 < a <
1
X
?a
n
?a
m?n
，
nnn








4.



（4）( ab ) = a ? b
（5）
?
a
?
a
?
0
（6）a = 1 ( a≠0)
?
?
n
b
?
b
?
?n
1
0
（7）
a





?
1
1
?
n
（8）
a
m
?m
a
n
（9）
a
m
?

m
n
a
a
n
n
指数式与对数式的互化：

log
a
N?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)< br>.

1

五、对数与对数函数
1对数的运算法则：
（1）a
b
= N <=> b = log
a
N（2）log
a
1 = 0（3）log
a
a = 1
（4）log
a
a
b
= b（5）a
log
a
N


（10）推论
log
a
m
b?
n
n
log
a
b
(
a ?0
,且
m
= N
（6）log
a
(MN) = log
a
M + log
a
N
（7）log
a
(
a?1
,
m,n?0
,且< br>m?1
,
n?1
,

N?0
).
（11）log
a
N =
M
) = log
a
M -- log
a
N
N
（8）log
a
N
b
= b log
a
N
1
（12）常用对数：lg N = log
10
N
log
N
a
（13）自然对数：ln A = log
e
A （其中 e = 2.71828?）
（9）换底公式：log
log
a
N =
b
N
loga

b

2、对数函数y = log
a
x (a > 0且a≠1)的性质：
（1）定义域：( 0 , +∞) ； 值域：R （2）图象过定点（1，0）


Y
a >1
Y
0 < a < 1


0
1
X
1
X

0

a
六、幂函数y = X 的图象:（1） 根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图 .


a > 1
0 < a < 1 a < 0




1
例如： y = x
2

y?x?x
2

y?
1
?x
?1
x


七.图象平移：若 将函数
y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单位，
得到函数
y?f(x?a)?b
的图象； 规律：左加右减，上加下减
八. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为
p
，则对于时间
x
的总产值
y
，有
y?N(1?p)
x
.
九．函数的零点：
1.定义：对于
y?f(x)
，把使
f(x)? 0
的X叫
y?f(x)
的零点。即

y?f(x)
的图象与X轴相交时交点的横坐标。
2.函数零点存在性定理：如果函 数
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续不断的一 条
曲线，并有
f(a)?f(b)?0
，那么
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
内有零点，即存在
c?
?
a,b
?
，
使得
f(c)?0
，这个C就是零点。
3.二分法求函数零点的步骤：（给定精确度
?
）
（1）确定区间
?
a,b
?
，验证
f(a)?f(b)?0
;(2)求
?
a,b
?
的中点
x
a?b
1
?
2

（3）计算
f(x
1
)
①若
f(x
1
) ?0
，则
x
1
就是零点；②若
f(a)?f(x
1
)?0
，则零点
x
0
?
?
a,x
1
?
③若
f( x
1
)?f(b)?0
，则零点
x
0
?
?
x
1
,b
?
；

2

（4）判 断是否达到精确度
?
，若
a?b?
?
，则零点为
a
或
b
或
?
a,b
?
内任一值。否则重复（2）到（4）
【必修2】：
一、直线与圆
1、斜率的计算公式：k = tanα=
2、直线的方程
（1）斜截式 y = k x + b,k存在 ；
（2）点斜式 y – y
0
= k ( x – x
0
) ，k存在；
（3）两点式
4）截距式
y
2
?y
1
（α ≠ 90°，x
1
≠x
2
）
x
2
?x
1
xy
??1
（
a?0,b?0
）
ab
y?y
1
x?x
1
（
x
1
?x
2
,y< br>1
?y
2
） ；
?
y
2
?y
1
x
2
?x
1
l
1
： A
1
x + B
1
y + C
1
= 0
l
2
： A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
A
1
BC
?
1
?
1

A
2
B
2
C
2
（5）一般式
Ax?By?c?0(A,B不同 时为0）

3、两条直线的位置关系：

l
1
：y = k
1
x + b
1

l
2
：y = k
2
x + b
2

重合
平行
垂直
k
1
= k
2
且b
1
= b
2

k
1
= k
2
且b
1
≠ b
2

k
1
k
2
= – 1
A
1
B
1
C
1

??
A
2
B
2
C
2
A
1
A
2
+ B
1
B
2
= 0
4、两点间距离公式：设P
1
( x
1
, y
1
) 、P
2
( x
2
, y
2
)，则 | P
1
P
2
| =
5、点P ( x
0
, y
0
)到直线l

：A

x + B y + C = 0的距离：
d
?
x
1
?x
2
?
2?
?
y
1
?y
2
?
2

22
?
Ax
0
?By
0
?C
A?B

6，两平行线之间的距离d=
7、圆的方程

标准方程
|
C
2
?C
1
|
A?B
22

圆的方程
x
2
+ y
2
= r
2

(x – a )
2
+ ( y – b )
2
= r
2

x
2
+ y
2
+D x + E y + F = 0
圆心
（0，0）
（a，b）
半径
r
r
一般方程
8.点与圆的位置关系
?
DE
?
?
?,?
?

?
22< br>?
1
D
2
?E
2
?4F

2
P(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)
2
? (y?b)
2
?r
2
的位置关系有三种若
d?(a?x
0< br>)
2
?(b?y
0
)
2
，则
d?r?点
P
在圆
外;
d?r?
点
P
在圆上;
d?r?
点
P
在圆内.
点
9.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d)
直线
Ax?By?C ?0
与圆
(x?a)
2
d?r?相离???0
10.两圆位置关系的 判定方法
;
?(y?b)
2
?r
2
的位置关系有三种:
;
d?r?相切???0d?r?相交???0
.
设两圆圆心分别为O1
，O
2
，半径分别为r
1
，r
2
，
O
1
O
2
?d

d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
11.圆的切线方程
3

(1)已知圆
x?y
2
?Dx?Ey?F?0
． < br>①若已知切点
(x
0
,y
0
)
在圆上，则切线只有一 条，其方程是
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
??F?0
.
x
0
x?y
0
y?
22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
??F?0
表示过两个切点的切点弦方程． 当
(x
0
,y
0
)
圆外时,
x
0
x?y
0
y?
22
②过圆外一点的切线方程可设为
y?y
0
?k(x?x
0
)
，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏 掉平行
2
于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆
x
2
?y
2
?r
2
． ①过圆上的
Px
2
0
(
0
,y
0
)< br>点的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
;
②斜率为
k
的圆的切线方程为
y?kx?r1?k
2

二、立体几何
（一）、线线平行判定定理：
1、平行于同一条直线的两条直线互相平行。
2、垂直于同一平面的两直线平行。3、如果一 条直线和一个
平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条
直线和交线平行。
4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交
线平行。
（二）、线面平行判定定理
1、若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直
线与此平面平行。
2、若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线都与
另一个平面平行。
（三）、面面平行判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那
么这两个平面平行。

（四）、线线垂直判定定理：
若一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于这个平面内的所
有直线。
（五）、线面垂直判定定理
1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么
这条直线垂直于这个平面。
2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交
线的直线垂直于另一个平面。
（六）、面面垂直判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面
互相垂直。









．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；
（4）转化为线面垂直；
（5）转化为面面平行.
．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.
平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.
．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直：
（2）转化为线面垂直；
（3）利用三垂线定理或逆定理；
．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
．证明平面与平面的垂直的思考途径
1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.
4
A
（七）
（八）

（九）．证明



（十）

（十一）



（十二）
（

三、空间几何体
（一）、正三棱锥的性质
1、底面是正三角形，若设底面正三角形的边长为a，则有



正三角形



B
图形 外接圆半径 内切圆半径 面积
A
O
D
OA?
3
a

3
OD?
3
a

6
S?
3
2
a

4
2、正三棱锥的辅助线作法一般是：
作PO⊥底面ABC于O，则O为△ABC的中心，PO为棱锥的高，
取AB的中点D，连结PD、CD，则PD为三棱锥的斜高，CD为△ABC的AB边上的高，
且点O在CD上。∴△POD和△POC都是直角三角形，且∠POD =∠POC = 90°
（二）、正四棱锥的性质
1、底面是正方形，若设底面正方形的边长为a，则有


正方形


图形

O

A
B
P
面积 外接圆半径 内切圆半径
OB =

2
a

2
OA =
a

2
S = a
2

C
O
D
A
B
E
2、正四棱锥的辅助线作法一般是：
作PO⊥底面ABCD于O，则O为正方形ABCD的中 心，PO为棱锥的高，取AB的中点E，连结PE、OE、OA，则PE为四
棱锥的斜高，点O在AC上 。∴△POE和△POA都是直角三角形，且∠POE =∠POA = 90°
（三）、长方体
长方体的一条对角线长的平方等于这个长方体的长、宽、高的平方和。
特殊地，若正方体的棱长为a ，则这个正方体的一条对角线长为
（四）、正方体与球
1、设正方体的棱长为a，它的外接球半径为R
1
，它的内切球半径为R
2
，则





（五）几何体的表面积体积计算公式
1、圆柱: 表面积:2π
R
+2πRh 体积:πR?h
2、圆锥: 表面积:πR?+πRL 体积: πR?h3 (L为母线长)
3、圆台：表面积:
πh(R?＋Rr＋r?)3
4、球：S
球面
= 4πR
2
V
球
=
径）
5、正方体： a－边长， S＝6a? ，V＝a?
5

2
3
a 。
3a?2R
1
,
a?2R
2

D
1

O
C
1

B
1

A
1

D
A
C
B
6、长方体 a－长 ,b－宽 ,c－高 S＝2(ab+ac+bc) V
＝abc
7、棱柱：全面积=侧面积+2X底面积 V＝Sh
8、棱锥：全面积=侧面积+底面积 V＝
3
sh

9、棱台：全面积=侧面积+上底面积+下底面积
1
?
r
2?
?
R
2
?
?
(r?R)l
体积：V＝
4
πR
3
（其中R为球的半
3
1
V? (s
1
?s
1
?s
2
?s)
2
h
S1，S2分别为上下底面积
3

四、三视图 “长对正,高平齐,宽相等”是三视图之间的投影规律,是画图和读图的重要依据.
画几何体的三视图 时,能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示。
【必修4 】 一、
三角函数与三角恒等变换
1、三角函数的图象与性质
函数 正弦函数 余弦函数 正切函数
图象



定义域 R R {x| x≠
?
2
+kπ,k∈Z}
值域 [-1,1] [-1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
增区间[-
?
增区间[-π+2kπ, 2kπ] 增区间
单调性
2
+2kπ,
?
2
+2kπ]
减区间[2kπ,π+2kπ]
(-
?
减区间[
?
+2kπ
3
?
( k∈Z )
2
+kπ,
?
2
+kπ)
2
,
2
+2kπ]
( k∈Z )
对称轴 x =
?
2
+ kπ( k∈Z ) x = kπ ( k∈Z ) 无
对称中心 ( kπ,0 ) ( k∈Z ) (
?
?
2
+ kπ,0 )( k∈Z ) ( k
2
,0 ) ( k∈Z )
2、同角三角函数公式 sin
2
α+ cos
2
α= 1
tan
?
?
sin
?
cos
?
tanαcotα=1
3、二倍角的三角函数公式
sin2α= 2sinαcosα cos2α=2cos
2
α-1 = 1-2 sin
2
α= cos
2
α- sin
2
α
tan2
?
?< br>2tan
?
1?tan
2
?

4、降幂公式
cos
2
?
?
1?cos2
?
2

sin
2
?
?
1?cos2
?
2

5、升幂公式 1±sin2α= (sinα±cosα)
2
1 + cos2α=2 cos
2
α 1- cos2α= 2 sin
2
α


6、两角和差的三角函数公式
sin (α±β) = sinαcosβ
?
cosαsinβ
cos (α±β) = cosαcosβ
?
sinαsinβ
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
1
?
tan
?
tan
?

7、两角和差正切公式的变形：
tanα±tanβ= tan (α±β) (1干tanαtanβ)
1?tan
?
1?tan
?
=
tan45??tan
?
1?tan4 5?tan
?
= tan (
?
4
+α)
1?t an
?
tan45??tan
?
?
1?tan
?
=
1?tan45?tan
?
= tan (
4
-α)
8、两角和差正弦公式的变形（合一变形）
asin
?
?bcos
?
?a
2
?b
2
sin
?
?
?
?
?
（其中
tan
?
?
b
a
）

6

9、半角公式：
sin

?
2
??
1?cos
?
?
1?co
?
s
?< br>1?co
?
ssin
?
1?co
?
s

cos??

tan????
222
21?co
?< br>s1?co
?
ssin
?
10、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变，符号看象限。”

sin (π－α) = sinα， cos (π－α) = －cosα， tan (π－α) = －tanα；
sin (π+α) = －sinα cos (π+α) = －cosα tan (π+α) = tanα
sin (2π－α) = －sinα cos (2π－α) = cosα tan (2π－α) = －tanα
sin (－α) = －sinα cos (－α) = cosα tan (－α) = －tanα
??
－α) = cosα cos (－α) = sinα --------------------
22
??
sin (+α) = cosα cos (+α) = －sinα -----------------------------
22
sin (
11.三角函数的周期公式
函数
y?sin(< br>?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)
，x∈R(A,ω,
?
为常数，且A≠0，ω＞0)的周期
T?
2
?
?
；函数
y?tan(
?
x?< br>?
)
，
x?k
?
?

二、平面向量
（一）、向量的有关概念

1、向量的模计算公式：
（1）向量法：|
a
| =


?
2
,k ?Z
(A,ω,
?
为常数，且A≠0，ω＞0)的周期
T?
?
?
.
2、单位向量的计算公式：
2
a?a?a

（ 1）与向量
?
?
?
?
x
x
2
?y
2
,
a
=（x，y）同向的单位向量是
y
?
；
?
?
?
x
2
?y
2
（2）坐标法：设
a=（x，y），则|
a
| =


3、平行向量
x
2
?y
2

（2）与向量
?
x
?
?,
22
?
x?y
?
?
a
=（x，y） 反向的单位向量是
?
；
?
22
?
x?y
?
y
规定：零向量与任一向量平行。设
a
=（x
1
，y
1< br>），
b
=（x
2
，y
2
），λ为实数
向量 法：
a
∥
b
（
b
≠
0
）<=>

4、垂直向量规定：零向量与任一向量
垂直。设
a
=（x
1
，y
1
），
b
=（x
2
，y
2
）
坐标法：
a
⊥
b
<=> x
1
x
2
+ y
1
y
2
= 0

5.平面两点间的距离公式
向量法：
a
⊥
b
<=>
a
=λ
b
坐标法：
a
∥
b
（
b
≠
0
）<=> x
1
y
2
– x
2
y
1
= 0 <=>
x
1
x
2
（y
1
≠0 ，y
2
≠0）
?
y
1
y
2
a
?
b
= 0
????????????
22

d
A,B
=
|A B|?AB?AB
?(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)
(A
(x
1
,y
1
)
，B< br>(x
2
,y
2
)
).
法则（起点相同连对角）（2 ）坐标法：设
a
=（x
1
，y
1
），
b
=
（x
2
，y
2
），则
a
+
b
=（ x
1
+ x
2
，y
1
+ y
2
）
7
---------------------------------------- --------------------------------------
（二）、向量的加法
（1）向量法：三角形法则（首尾相接首尾连），平行四边形

----------------------------- -------------------------------------------------
（三）、向量的减法
（1）向量法：三角形法则（首首相接尾尾连，差向量的方向
指 向被减向量）（2）坐标法：设
a
=（x
1
，y
1
），b
=（x
2
，y
2
），
则
a
-
b
=（x
1
- x
2
，y
1
- y
2
）
（3）、重要结论：| |
a
| - |
b
| | ≤ |
a
±
b
| ≤ |
a
| + |
b
|
-------------------- -------------------------------------------------- --------- ------------------------------------ -----------------------------------------
（四）、两个向量的夹角计算公式：
（1）向量法：cos
?
=

（2）坐标法：设
a
=（x
1
，y
1
） ，
b
=（x
2
，y
2
），
---------- -------------------------------------------------- ------------------ ------------------------- ------------------------------------------------


（五）、平面向量的数量积计算公式：
（1）向量法：
a
?
b
= |
a
| |
b
| cos


数量积a?b等于a的长度|a|与b在
a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．

a?b
|a||b|

则cos
?
=
x< br>1
x
2
?y
1
y
2
22
x
1
2
?y
1
2
x
2
?y
2
? （2）坐标法：设
a
=（x
1
，y
1
），
b
=（x
2
，
y
2
），则
a
?
b< br>= x
1
x
2
+ y
1
y
2

（3） a?b的几何意义：



（六）.1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
2.向量的数量积的运算律：
(1)
a
?b= b?
a
（交换律）;
(2)（
?
a
）?b=
?
（
a
?b）=
?
a
?b=
a
?（
?
b）;(3)（
a
+b）?c=
a
?c +b?c.
3.平面向量基本定理：如果e
1
、e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，
有且只 有一对实数λ
1
、λ
2
，使得a=λ
1
e
1
+λ
2
e
2
．（不共线的向量e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．）


（七）.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,则△ABC的重心的坐标是
G(
x
1
? x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3< br>,)

33










8

【必修5 】
一
、解三角形：ΔABC的六个元素A, B, C, a , b, c满足下
列关系：
1、角的关系：A + B + C = π，
特殊地，若ΔABC的三内角A, B, C成等差数列，则
∠B = 60?，∠A +∠C = 120?
2、诱导公式的应用：sin ( A + B ) = sinC , cos ( A + B ) =
--cosC ,
sin (
A
2
?
BCABC
2
) = cos
2
, cos (
2
?
2
) = sin
2

3、边的关系：a + b > c , a – b < c（两边之和大于第三边，
两边之差小于第三边。）
4、边角关系：
（1）正弦定 理：
a
sinA
?
b
sinB
?
c
sin C
?2R
（R为Δ
ABC外接圆半径）
a : b : c = sinA : sinB : sinC 分体型a = 2R sinA , b
= 2R sinB , c = 2R sinC ,
（2）余弦定理：a
2
= b
2
+ c
2
– 2bc?cosA , b
2
= a
2
+ c
2

------------------ -------------------------------------------------- ---------

二、数列
（一）、等差数列{ a
n
}
1、通项公式：a
n
= a
1
+ ( n – 1 ) d ，推广：a
n
= a
m
+ ( n –
m ) d ( m , n∈N )
2、前n项和公式：S
1
n(a
n
= n a
1
+
1
?a
n
)
2
n ( n – 1 ) d =
2

3、等差数列的主要性质
① 若m + n = 2 p，则 a
m
+ a
n
= 2 a
p
（等差中项）( m , n
∈N )
② 若m + n = p + q，则 a
m
+ a
n
= a
p
+ a
q
( m , n , p , q
∈N )


③S
n
, S
2 n
-- S
n
, S
3 n
– S
2 n
组成等差数列，公差为n d。
（二）、等比数列{ a
n
}

----------------------------------------- ------------------------------------

– 2a c?cosB , c
2
= a
2
+ b
2
– 2 a b?cosC


cosA?
b< br>2
?c
2
?a
2
2bc
,
a
2
B?
?c
2
?b
2

cos
2ac
,

cosC?
a
2
?b
2
?c
2
2ab

5、面积公式：
S =
1
2
a h =
1
2
ab sinC =
11
2
bc sinA =
2
ac sinB
--- -------------------------------------------------- -------------------
1、通项公式：a
n
= a
1
q
n – 1
，推广：a
n
= a
m
q
n – m
( m ,
n∈N )
2、等比数列的前n项和公式：
当q≠1时，S
a
n
= 1
(1?q
n
)
a
1
?a
n
q
1?q
=
1?q
， 当q = 1时，S
n
= n a
1

3、等比数列的主要性质
① 若m + n = 2 p，则a
p
2
= a
m
? a
n
（等比中项）( m , n
∈N )
② 若m + n = p + q，则 a
m
? a
n
= a
p
? a
q
( m , n , p , q
∈N )
③S
n
, S
2 n
-- S
n
, S
3 n
– S
2 n
组成等比数列，公比为q
n
。

9

--------------------------------------- --------------------------------------


?
n?1
?
?
S
1
（三）、一般数列{ a
n
}的通项公式：记S
n
= a
1
+ a
2
+ ?

+ a
n
，则恒有
a
n
?
?

??
n?2,n?N
S?S
n?1
?
n








三、不等式
（一）、均值定理及其变式（1）a , b ∈ R , a
2
+ b
2
≥ 2 a b
2a?b
?
a?b
?
?ab??
（2）a , b ∈ R
+
, a + b ≥ 2
ab
（3）a , b ∈ R
+
, a b ≤
??
（4）
11
2?
2
?
?
ab
，以上当且仅当 a = b时取“ = ”号。
（二）.一元二次不等式
ax
2
2
a
2
?b
2

2
?bx?c?0(或?0)(a?0,??b
2
?4ac? 0)
，如果
a
与
ax
2
?bx?c
同号，则其解集 在两根
2
之外；如果
a
与
ax?bx?c
异号，则其解集在 两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. 设
x
1
?x
2

(x?x
1
)(x?x
2
)?0?x
1
?x?x< br>2
；
(x?x
1
)(x?x
2
)?0? x?x
1
,或x?x
2

（三）.含有绝对值的不等式：当a> 0时，有
x?a?x
2
?a??a?x?a
.
x?a ?x
2
?a
2
?x?a
或
x??a
.
2
（四）.指数不等式与对数不等式
f(x)
(1)当
a?1
时,
a?a
g(x)?
f(x)?0
?
?f(x)?g(x)
;
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?
(2)当
0?a?1
时,
a
f( x)
?a
g(x)
?
f(x)?0
?

?f(x) ?g(x)
;
log
a
f(x)?log
a
g(x)??
g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?
（五）.
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区域： 直线定界，特殊点定域。

线性规划问题：
1．了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解
2．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
3．解线性规划实际问题的步骤：
（1）将数据列成表格；（2）列出约束条件与目标函数； （3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③
求：求最值点坐标； ④答；求最值； （4）验证。
两类主要的目标函数的几何意义:
①
z?ax?by
-----直线的截距；
22
②
z?(x?a)?(y?b)
-----两点的距离或圆的半径；
4、均值定理： 若
a?0
，
b?0
，则
a?b?2ab< br>，即
a?b
?ab
．
2
?
a?b
?
；
ab?
??
?
a?0,b?0
?
?
2
?
2
10

（

a?b
称为正数
a
、
b
的算术平均数，
ab
称为正数
a
、
b
的几何平均数．）
2
y
都为正数，则有 5、均值定理的应用：设
x
、
⑴若< br>x?
⑵若
xy
y?s
（和为定值），则当
x?y
时， 积
xy
取得最大值
s
2
．
4
?p
（积为 定值），则当
x?y
时，和
x?y
取得最小值
2p
．

注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。

11