山西高中数学理科选修-杭州著名高中数学老师
数形结合思想
数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,
通过数与形的相互转化来解决数学问
题的一种重要数学思想方法.利用数形结合思想,“以形助数,以数
解形”,使复杂问题简单化,
抽象问题具体化,从而找到解题思路,使问题得到解决.以形助数常用的有
:借助于数轴、函数
图像、单位圆、数式的结构特征、解析几何方法,以数解形常用的有:借助于几何轨
迹所遵循
的数量关系、运算结果与几何定理的结合.
【以形助数】
例1、(集合中的数形结合)
已知集合
取值范围.
参考解答:画数轴分析可得
?4?a?5
.
例2、(函数中的数形结合)
设
A?
?
xa?x?a?2
?
,B?xx
2
?3x?10?0
??
,当
A?B??,求实数
a
的
f
?
x
?
?x
2
?2ax?2
,当
x?
?
?1,??
?
时,
f<
br>?
x
?
?a
恒成立,求
a
的取值范围。
参考解答:
解法一:由
考查函数
g
f
?
x
?
?a
,在
?
?1,??
?
上恒成立
?x
2
?2ax?2?a?0
在
?
?1,??
?
上恒成立.
?
x
?
?x
2
?2ax?2?a
的图像在
?
?1,??
?
时位于
x
轴上方,如下图
y
y
2
不等式的成立条件是:
1)
??4a?4
?
2?a
?
?0?a?
?
?2,1
?
;
?
??0
?
2)
?
a??1?a?
?
?3,?2<
br>?
;
?
g
?
?1
?
?0
?
综上所述
a?
?
?3,1
?
解法二:由
x-1
O
a
x
a
-1
O
f
?
x
?
?a?x
2
?2?a
?
2x?1
?
,令
y
1
?x
2
?2,y
2
?a
?
2
x?1
?
,
在同一坐标系中作出两个函数的图像(如右图)满足条件的直线位于l,m
之间,而直线
l,m
对应的
a
的值分别为
?3
,1
,故直线
l
对应的
a?
?
?3,1
?
.
例3、(方程中的数形结合)
若方程
lg
参考解答:
y
l
m
x
-1<
br>-0.5
O
?
?x
2
?3x?m
?
?lg<
br>?
3?x
?
在
x?
?
0,3
?
内有
唯一解,求实数
m
的取值范围.
y
4
1-m
1
?
?
3?x?0
?
3?x?0
原方程变形为
?
,即<
br>?
,
?
2
?
?
?x?3x?m?3?x
?
?
x?2
?
?1?m
y
1
?
?
x
?2
?
,
x?
?
0,3
?
和直线
y
2
?1?m
的图象,由图可知:
①当
1?m?0
时,有唯一解
m?1
;
作出曲线
2
x
O
3
②当
1?1?m?4
时,即
?3?m?0
时,方程有唯一解.
综上可知,
m?1
或
?3?m?0
时,方程有唯一解.
例4、(不等式中数形结合)
不等式
x
参考解答:
2<
br>?2ax?a
2
?a?0
在
x?
?
0,2
?
时恒成立,求
a
的取值范围.
?
??,?1
?
?
?
0,??
?
例5、(解析几何中的数形结合)
x
2
y
2
?
?1
,求
y?3x
的最大值与最小值.
已知
x,y
满足
1625
参考解答:
x
2
y
2
??1
下求最值问题,常采用构造直线截距的方法
对于二元函数
y?3x
在限定条件
1625
x
2
y
2
??1
上求一点, 来求之.令
y?3x?b
,则
y?3x?b<
br>,原问题转化为:在椭圆
1625
使过该点的直线斜率为
3
,且在y
轴上截距最大或最小,由图可知,当直线
y?3x?b
与
椭圆
x
2
y
2
??1
1625
相切时,有最大截距与最小截距
.由
可得
?
?0
,得
b??13
,故
y?3x
的最大值为
13
,最小值为
?13
.
y
?ax
2
?bx?a
2
?1
的图像为下列之一,则
a
的值为(
B
)
y
x
O
例6、设
b?0
,二次函数
y
y
y
x
x
1
-1
O
O
1
-1
O
① ②
③ ④
x
?
A
?
1
例7、线段
点,
?
B
?
?1
?
C
?
?1?5
2
?
D
?
?1?5
2
AB
的两个端点为<
br>A
?
1,1
?
,B
?
?1,3
?
,
直线
l:y?2ax?1
,已知直线
l
与线段
AB
有公共<
br>y
求
a
的取值范围.
参考解答:
不论
a
取何值,直线
l
恒过定点
P
?
0,?1
?
,斜率为
2a
,由图
l
与线段
AB
有公共点,
B
需要
l
由直线
PA
的位置(绕
P
点)逆时针转动到
PB
的位置.在这一转动过程中,
?
,
l
绕过
y
轴后,倾斜角
l
的倾斜角
先逐渐增大到(从而
l
的斜率逐渐增大到
??
)
2
依然逐渐
增大,因此其正切值(
l
的斜率)逐渐增大到
PB
的斜率,又
kPA
?2,k
PB
??4
,
故
2a?
A
-1
O
1
1
x
?
??,?4
??
?
2,??
?
,即
a?
?
??,?2
?
?
?
1,??
?
.
x
2y
2
??1
内一点,
F
1
为椭圆左焦点,
P<
br>为椭圆上一动点, 例8、已知
A
?
1,1
?
为椭圆
95
求
PF
1
?PA
的最大值和最小值.
参考解答: <
br>由椭圆的定义知
y
P
A
x
F2
PF
1
?PF
2
?6?PF
1
?6?PF
2
,
PF<
br>1
?PA?6?PF
2
?PA??
?
6?AF
2,6?AF
2
即
?
?
?
PF
1?PA
?
min
?6?2
,
?
PF
1
?PA
?
max
?6?2
F1O
【配套练习】
1、方程
sin
?
x?
?
?
?
?
?
A
?
1
1
2
2
1
?x
的解的个数为(
C
)
?
4
?
4
?
B
?
2
?
C
?
3
3
2
?
D
?
4
2、如果实数
x,y
满足?
x?2
?
2
?y
2
?3
,则
33
y
x
的最大值为(
D
)
?
A
?
等式
?
B
??
C
?
?
D
?
3
参考解答:
?
x?2
?
?y
2
?3
有几何意义,它表示坐标平面上的一个圆,圆心为
?
2,0
?
,半径
r?3
,
yy?0
表示圆上的点
?
x,y
?
与坐标原点
?
0,0
?
的连线
的斜率. 如此以来,该问题
?
xx?0
可转化为如下几何问题:动点
A<
br>在以
?
2,0
?
为圆心,以
r?3
为半径的圆上移动
,求直线
OA
的斜率的最大值,由图可见,当
?A
在第一象限,且与圆相切
时,
OA
的斜率最大,
经简单计算得最大值为
tan60??3
.
如图,
3、已知函数
f
?
x
?
?log
2
?
x?1
?
,若
0?a?b?c
,则
f
?
a
?
f
?
b
?
f
?
c
?
的大小关系为
,,
abc
f
?
c
?
f?
b
?
f
?
a
?
.
??
c
ba
?
x
2
?bx?cx?0
4、设函数
f
?x
?
?
?
,若
f
?
?4
?
?
f
?
0
?
,
f
?
?2
?
??2<
br>,
x?0
?
2
则关于
x
的方程
f
?
x
?
?x
的解的个数为(
C
)
y
?
A
?
1
5、函数
?
B
?
2
?
B
?
2
?
C
?
3
?
C
?
?
D
?
3
?
D
?
13
O
x
y?x
2
?2x?2?x
2
?6x?13的最小值为(
D
)
5
2
?
A
?
2?
6、已知函数
2?1
2
y?x?ax?2?a
在区间?
??,3
?
内递减,则实数
a
的取值范围为
a??6
.
-3-a2
a
y
参考解答:如图所示,可知对称轴
x?
??3?a??6
2
x
7、设
?
、
?
分
别是方程
log
2
x?x?4?0和2?x?4?0
的根,
A
则
?
?
?
=
4
.
C
B
1
x
O
1
?ax?3?2a?0
有两个实
数根
x
1
,x
2
,
并且
x
1
?
?
??,?1
?
,x
2
?
?
0,2
?
,
求实数
a
的取值范围.
8、如果关于
x
的方程
x
参考解答:
2
令
?f
?
?1
?
?0
?
4?3a?0
3
?
?
f
?
x
?
?x
2
?ax?3?2a
,由
题
?
f
?
0
?
?0?
?
3?2a?0?a
?
.
2
?
f
?
2
?
?0
?7?0
?
?
y
x
-1
O
2
9、求函数
y?
sinx?2
的值域.
cosx?2
,表示过两点
P
0
参考解答:
y?
y
2
?y
1
sinx?2
的形式类似于斜率公式
k?
x
2
?x
1
cosx?2
?
2,?2
?
,
P
?
cosx,sinx
?
的直线的斜率,由于点
P<
br>在单位圆
x
2
?y
2
?1
上,显然
kP
0
A
?y?k
P
0
B
,设过
P0
的圆的切线方程为
y?2?k(x?2)
,则有
|2k?2|
k?1
所以
2
?1
,解得
k?
?4±7
3
,即
k
PA
0
?
?4?7
3
,
k
PB
0
?
?4?7
3
,
?4?7?4?7
?y
?
33
,所以函数值域为
?
?
?4?7?4?7
?
,
?
.
33
??
2
10、已知集合
P?
?
?
x,y
?
⑴
P?Q
x?y?1,x?R,y?R
?
,Q?
?
?
x,y
??
x?a
?
?y
2
?1,x?R,y?R
y
?
2
,
求满足下列条件时实数
a
的取值范围.
??
;
x
⑵
P
?
Q
;
参考解答:画区域分析问题,⑴
a?
【高考真题】
?
?2,2
?
,⑵
a?0
-2
O
??
?
x?3cos
?
??
(0?
?
?
?
)
?
1、若集合
M?
?
(x,y)
?
?
?
?
y?3sin
?
??
M?N≠?
,
则实数
b
的取值范围为
?3,32
?
.
?
,集合
N?{(x,y)|y?x?b}
,且
?
参考解答:
集合
M?{(x,y)|x
2
?y
2
?9,0?y?1}
,显然
,
M
表示以
?
0,0
?
为圆心,以
3
为半
径
的圆在
x
轴上方的部分,(如图),而
N
则表示一条直线,其斜
率
k
最大值为
3
2、已知
?1
,纵截距为
b
,由图形易
知,欲使
M?N??
,即直线
y?x?b
与半圆有公
共点,显然
b
的最小逼近值为
?3
,
2
即
?3?b?32
.
,且
?
,
?f
?
x
?
?
?
x?a
??
x?b?
?2
(其中
a?b
)是方程,
f
?
x?
?0
的两根(
?
?
?
)
则实数
a?
?
?
,
?
?
,且
b
?
?
?
,
?
?
.
x
2
y
2
??1<
br>上一点,它到其中一个焦点
F
1
的距离为
2
,
N为
MF
1
的中点,
O
表示3、点
M
是椭圆2516
原点,则
ON?
(
C
)
3
A
??
2
?
B
?
2
?
C
?
4
?
D
?
8
参考解答:
设椭圆另一焦点为
F
2
,(如下图),则
所以
MF
1
?MF
2?2a
,而
a?5
,因为
MF
1
?2
, MF
2
?8
,又注意到
N,O
各为
MF
1,F
1
F
2
的中点,所以
ON
是
?MF
1
F
2
的中位
1
线,因此
|ON|?|MF
2
|?4
.
22
*
4、关于
x
的方程
?
x?2k
?
?ax
在
x?
?
2k?1,2k?1
?
?
k?N<
br>?
上有两个不相等的实数解,求实数
a
的取值范围.
参考解答: <
br>y
2
?
?
y
1
?
?
x?2k
?
设
?
?
?
y
2
?ax
,可作图得?
0,
?
?
1
?
?
.
2k?1
?
1
y = ax
O
2k-1
N
M
2k+1
x
(数的问题转换为形的问题有多种途径、多种方法,
应选择最简单、最佳方案,这称为最优化原则)
5、已知函数
6、已知
f
?
x
?
?lg
?
x?1
?
,若
a?b
且
f
?
a
?
?f
?
b
?
,则
a?b
的取值范围是
?<
br>0,??
?
.
A?
?
?
x,y
?
y?mx
?
,B?
?
?
x,y
?
y?x
?m
?
,C?A?B
,若
C
中仅含有两个元素时,
则实数<
br>m
的取值范围
m??1
或
m?1
.
参考解答:
已知当
m?0
时
y
O
x
y
y =
x+1
y = x
1
O
x
y =x
y = x-1
m?0
m?0
y?mx
与
y?x?m
在
y
轴左
侧必有一个交点,故要在
y
轴右侧有一个交点只需
m?1
,
同理当
m?0
时
y?mx
m??1
.
—————(
D
)
与
y?x?m
在
y
轴
右侧必有一个交点,故要在
y
轴左侧有一个交点只需
7、下图中的函数图像①、②、③
、④与函数方程
a
、
b
、
c
、
d
的对应关
系中,有可能正确的一组是—
a:f
?
x?y
?
?f
?x
?
?f
?
y
?
c:f
?
xy
?
?f
?
x
?
?f
?
y
?<
br>
b:f
?
x?y
?
?f
?
x
?
?f
?
y
?
d:f
?
xy
?<
br>?f
?
x
?
?f
?
y
?
y
y
y
x
y
x
x
O
O
x
O
O
?
1
?
?
2
?
?
3
?
?
4
?
?
A
??
1
?
?c,
?
2
?
?a,
?
3
?
?b,
?
4
?
?d
?
B
??
1
?
?a,
?
2
?
?b,
?
3
?
?
c,
?
4
?
?d
?
C
??
1<
br>?
?b,
?
2
?
?d,
?
3
??a,
?
4
?
?c
?
D
??<
br>1
?
?b,
?
2
?
?c,
?
3?
?d,
?
4
?
?a
f
?
x
?
?ax
3
?bx
2
?cx?d
的图像如图所示
,则(
A
)
8、已知函数
?
A
?
b?
?
??,0
?
?
D
?
b?
?
2,??
?
f
?
0
?
?0
,即
d?0
;
?
B
?
b?
?
0,1
?
?
C
?
b?
?
1,2
?
参考解答:
本题可将图形转化为具体数值,由图像过
3
个特殊点及与
x
轴的相对位置特征,可得到以下等式:
y
⑴
⑵
⑶
⑷
f
?
1
?
?0
,即
a?b?c?0
; <
br>f
?
2
?
?0
,即
8a?4b?2c?0
;
0
f
?
x
?
?ax?
?
x?1
?
?
?
x?2
?
;
1
2
x
?
??,0
?
?
?
1,2
?
时,
f?
x
?
?0
,由
f
?
?1
?
?0
得
?a?b?c?0
,
⑹当
x?
?
0,1<
br>?
?
?
2,??
?
时,
f
?
x?
?0
,
f
?
3
?
?0
,可推得a?0
.
⑸当
x?
巧妙合理地利用以上各式,就可以得到多种简捷的解法:
方法一:
⑵⑶得
b??3a
,再由⑹推得
b?0
,选
方法二:⑵⑸推得
b?0
;
方法三:由⑷比较同次项系数得
b??3a
,再由⑹得
b??3a
.
A
;
数学思想方法:数形结合
数形结合是根据数量
与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一
种重要数学思想方法.利用数形结合
思想,“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问
题具体化,从而找到解题思路,使问题得到
解决.以形助数常用的有:借助于数轴、函数图像、
单位圆、数式的结构特征、解析几何方法,以数解形
常用的有:借助于几何轨迹所遵循的数量
关系、运算结果与几何定理的结合.
【以形助数】
例1、(集合中的数形结合)
已知集合
A?
?xa?x?a?2
?
,B?xx
2
?3x?10?0
??
,当
A?B??
,求实数
a
的
取值范围.
例2、(函数中的数形结合)
设
f?
x
?
?x
2
?2ax?2
,当
x?
?
?1,??
?
时,
f
?
x
?
?a
恒成立,求
a
的取值范围.
例3、(方程中的数形结合)
若方程
lg
?
?x
2
?3x?m
?
?lg
?
3?x
?
在
x?
?
0,3
?
内有唯一解,求实数
m
的取值范围
.
例4、(不等式中数形结合)
不等式
x
2
?2ax?a
2
?a?0
在
x?
?
0,2
?
时恒成立,求
a
的取值范围.
例5、(解析几何中的数形结合)
x
2
y
2
??1
,求
y?3x
的最大值与最小值.
已知
x,y
满足
1625
例6、设
b?0
,二次函数
y?ax
2
?bx?a
2
?1
的图像为下列之一,则
a
的值为( )
y
x
O
y
y
y
x
x
1
-1
O
O
1
-1
O
① ②
③ ④
x
?1?5?1?5
D<
br>??
22
例7、线段
AB
的两个端点为
A
?
1,1
?
,B
?
?1,3
?
,直线
l:y?2ax
?1
,已知直线
l
与线段
AB
有公共
点,求
a的取值范围.
?
A
?
1
?
B
?
?1
?
C
?
x
2
y
2
?
?1
内一点,
F
1
为椭圆左焦点,
P
为椭圆上一动点, 例
8、已知
A
?
1,1
?
为椭圆
95
求
PF
1
?PA
的最大值和最小值.
【配套练习】
1、方程
sin
?
x?
?
?
?
?
?
A
?
1
1
2
1
?x
的解的个数为( )
?
4
?
4
?
B
?
2
?
C
?
3
3
2
?
D
?
4
2、如果实数
x,y
满足?
x?2
?
?y
2
?3
,则
2
y
x
的最大值为( )
?
A
?
?
B
?
3
3
?
C
?
?
D
?
3
3、已知函数
f
?
x
?
?log?
?
1
,若
0?a?b?c
2
?
x
,则
f
?
a
?
f
?
b
?
f
?
c
?
的
大小关系
,,
abc
为 .
?x
2
?bx?cx?0
4、设函数
f
?
x
?<
br>?
?
,若
f
?
?4
?
?f
?
0
?
,
f
?
?2
?
??2
,
2x?0
?
则关于
x
的方程
f
?
x
??x
的解的个数为( )
?
A
?
1
5、函数
?
B
?
2
?
C
?
3
?
D
?
3
y?x
2
?2x?2?x
2
?6x?13
的最小值为(
)
?
A
?
2?5
?
B
?
22?1
在区间
?
C
?
2
?
D
?
a
13
6、已知函数
y?x2
?ax?2?a
?
??,3
?
内递减,则实数的取值范围为 .
7、设
?
、
?
分别是方程
log
2
8、如果关于
x
的方程
x
9、求函数<
br>2
x?x?4?0和2
x
?x?4?0
的根,则
?
?
?
= .
求实数
a
的取值范围.
?ax?3?2a?0
有两个实数根
x
1
,x
2
,并且
x
1
?
?
?
?,?1
?
,x
2
?
?
0,2
?
,
y?
sinx?2
的值域.
cosx?2
10、已知集合
P?
?
?
x,y
?
【高考真题】
x?y?1,x?R,y?R
?,Q?
?
?
x,y
??
x?a
?
2
?
y
2
?1,x?R,y?R
?
,
求满足下列条件时实数
a
的取值范围.⑴
P?Q??
;⑵
P
?
Q
.
??
?
x?3cos
?
??
(0?
?
?
?
)
?
1、若集合
M?
?
(x,y)
?
?
?
?
y?3sin
?
??
M?N≠?
,
则实数
b
的取值范围为 .
,集
合
N?{(x,y)|y?x?b}
,且
2、已知,且
?,
?
f
?
x
?
?
?
x?a
?
?
x?b
?
?2
(其中
a?b
)是方程,
f?
x
?
?0
的两根(
?
?
?
)
则实数
a?
?
?
,
?
?
,且
b
?
?
,
?
?
.
x
2
y
2
??1
上一点,它到其中一个焦点
F
1
的距离为
2
,
N
为
MF
1
的中点,
O
表示3、点
M
是椭圆
2516
原点,则
ON?
( )
3
?
B
?
2
?
C
?
4
?
D
?
8
2
2
*
4、关于x
的方程
?
x?2k
?
?ax
在
x?
?
2k?1,2k?1
?
?
k?N
?
上有两个不相等的实数
解,求实数
a
的取值范围.
?
A
?
5
、已知函数
f
?
x
?
?lg
?
x?
?1
,若
a?b
且
f
?
a
?
?f
?
b
?
,则
a?b
的取值范围
是
.
6、已知
A?
?
?
x,y
?
y?mx
?
,B?
?
?
x,y
?
y?x?m
?
,C
?A?B
,若
C
中仅含有两个元素时,
则实数
m
的取值范围
.
7、下图中的函数图像①、②、③、④与函数方程
a
、
b
、c
、
d
的对应关系中,有可能正确的一组是—
( )
a:
f
?
x?y
?
?f
?
x
?
?f
?
y
?
c:f
?
xy
?
?f
?<
br>x
?
?f
?
y
?
b:f
?
x?y
?
?f
?
x
?
?f
?
y
?
d:f
?xy
?
?f
?
x
?
?f
?
y
?
y
y
y
x
y
x
x
O
O
x
O
O
?
1
?
?
2
?
?
3
?
?
4
?
?
A
??
1
?
?c,
?
2
?
?a,
?
3
?
?b,
?
4
?
?d
?
B
??
1
?
?a,
?
2
?
?b,
?
3
?
?
c,
?
4
?
?d
?
C
??
1<
br>?
?b,
?
2
?
?d,
?
3
??a,
?
4
?
?c
?
D
??<
br>1
?
?b,
?
2
?
?c,
?
3?
?d,
?
4
?
?a
32
8、已知
函数
f
?
x
?
?ax?bx?cx?d
的图像如图所示,则
( )
y
?
A
?
b?
?
??,0
?
?
B
?
b?
?
0,1
?
?
C
?
b?
?
1,2
?
?
D
?
b?
?
2,??
?
0
1
2
x
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