高中数学课题研究的步骤-高中数学线上教学感想
2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第12讲:数列
1、(2009一试
7)一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和,
最后一行仅
有一个数,第一行是前
100
个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数是(可以用指数表
示)
【答案】
101?2
98
【解析】易知:(ⅰ)该数表共有100行;
(ⅱ)每一行构成一个等差数列,且公差依次为
d
1
?1
,
d
2
?2
,
d
3
?2
2
,…,
d
99
?2
98
(ⅲ)
a
100
为所求.设第
n
?
n≥2
?<
br>行的第一个数为
a
n
,则
n?3n?2
?
a
n
?a
n?1
?
?
a
n?1
?2n?2
?
?2a
n?1
?2
n?2
?2
?2a?2?2
n?2
??
3n?2
n?4n?2n?2
n?1n
?2n?2
?
?2a?3?2
=……
?2a?n?1?2?n?12
?2
2
?
2a?2?2?2?2
????
n?3
1
n?3
??
故
a
100
?101?2
98
.
2、(2010一试4)已知
{a
n
}
是公差不为
0
的等差数列,
{b
n
}
是等比数列,其中
a
1
?3,b
1
?1,a
2
?b
2
,3a
5<
br>?b
3
,且存在常数
?
,
?
使得对每一个正整数n
都有
a
n
?log
?
b
n
?
?
,则
?
?
?
?
.
【答案】
3
3?3
从而
log
?
9?6
,?3??log
?
9?
?
,求得
?
?
3
3,
?
?3
,
?
?
?
?
3
3?3
.
3、(2013一试8)已知数列
?
a
n
?
共有9项,其中
a
1
?a
9
?1
,且对每个
i?
?
1,2,
这样的数列的个数为.
【答案】491
【解析
】令
b
i
?
a
i?1
?
1?i?8
?,则对每个符合条件的数列
?
a
n
?
有
a
i
,8
?
,均有
a
i?1
?
1
?
?
?
2,1,?
?
则
a
i
2
??
?
b
i
?
?
i?1i?1
88
a
i?1a
9
1
??
??1
,且
b
i
?
?
2,1,?
?
?
1?i?8
?
.
2
?
a
i
a
1
?
1
○
1
的8项数列
?
b
?
可唯一确定一
个符合题设条件的9项数列
?
a
?
. 反之,由符合条件○
n
n
1
的数列
?
b
?
的个数为
N
.显然<
br>b
?
1?i?8
?
中有偶数个
?
记符合条件○
i
n
11
,即
2k
个
?
;继而有
2k<
br>个2,
8?4k
22
k
个1.当给定
k
时,
?
b
n
?
的取法有
C
8
2k
C
8
2
?2k
种,易见
k
的可能值只有0,1,2,所以
24
N?1?C
8
2
C
6
?C
8
4
C
4
?1?28?15?70?1?491
.
因此,根据对应原
理,符合条件的数列
?
a
n
?
的个数为491
4、(2014一试4)数列
{a
n
}
满足
a
1
?
2,a
n?1
?
2(n?2)
a
2014
a
n(n?N
?
)
,则=_____.
n?1
a
1
?a
2
?...?a
2013
【答案】
2015
.
2013
将上面两式相减,得S
n
?2
n
(n?1)?(2
n?1
?2
n?2
?????2?2)
?2
n
(n?1)?2
n
?2
n
n.
a
2014
2
2013
?20152015
故??.
a
1
?a
2
?????a
2013
2
2013
?20132013
5、(2017一试8)设两个严格递增的正整数数列
{a
n
}
,
{b
n
}
满足
a
10
?b
10
?2017,
,对任意的正整数
n
,
有<
br>a
n?2
?a
n?1
?a
n
,b
n?1?2b
n
,
则
a
1
?b
1
的所有可能
值为.
【答案】13,20.
【解析】由条件可知,
a
1
,a<
br>2
,b
1
均为正整数,且
a
1
?a
2
,
由于
2017?b
10
?2
9
?b
1
?512b
1
,
故
b
1
?{1,2,3}.反复运用
{a
n
}
的递推关系知
a
10
?a
9
?a
8
?2a
8
?a
7
?3a
7
?2a
6
?5a
6
?3a
5
?8a
5<
br>?5a
4
?13a
4
?8a
3
?21a
3<
br>?13a
2
?34a
2
?21a
1
因此<
br>21a
1
?a
10
?b
10
?512b
1<
br>?2b
1
(mod34)
而
13?21=34?8+1,<
br>故有
a
1
?13?21a
1
?13?2b
1
?26b
1
(mod34)
另一方面,注意到
a
1
?a2
,
有
55a
1
?34a
2
?21a
1
?512b
1
,故a
1
?
(1)
(2)
512
b
1
55
a
1
?
当
b
1
?1
时,(1)(2)分别化为
a
1
?26(mod34),
512
,
无解.
55
a
1?
当
b
1
?2
时,(1)(2)分别化为
a
1
?52(mod34),
a
1
?
当
b
1
?
3
时,(1)(2)分别化为
a
1
?78(mod34),
综上所述
,
a
1
?b
1
的所有可能值为
13,20.
学科网
1024
,
得到唯一的正整数
a
1
?18,此时
a
1
?b
1
?20.
55
15
36
,
得到唯一的正整数
a
1
?10,
此时
a1
?b
1
?13.
55
6
、(2009一试10)已知
p
,
q
?
q?0
?
是
实数,方程
x
2
?px?q?0
有两个实根
?
,
?
,数列
?
a
n
?
满足
a
1
?p<
br>,
4,
a
2
?p
2
?q
,
a
n
?pa
n?1
?qa
n?2
?
n?3,
?
1
,求
?
a
n
?
的前
n
项和.
4
(Ⅰ)求数列
?
a
n
?
的通项公式(用
?
,
?
表示);(Ⅱ)若
p?1
,
q?
数列
?
b
n
?
的首项为:
b
1
?a
2
?
?
a
1
?p
2
?q?
?
p
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
.
22,
所以
b
n
?
?
2
?
?
n
?1
?
?
n?1
,即
a
n?1
?
?
a
n
?
?
n?1
?
n?1,
2,
所以<
br>a
n?1
?
?
a
n
?
?
n?1?
n?1,
?
.
?
.
①当
??p
2
?4q?0
时,
?
?
?
?0
,
a
1
?p?
?
?
?
?2
?
,
a
n
?1
?
?
a
n
?
?
n?1
?
n?
1,2,
?
变为
2,
a
n?1
?
?
an
?
?
n?1
?
n?1,
数列,其首项为
a<
br>1
?
2
?
?
.整理得,
a
n
an?1
?
?
n?1
a
n
?
n
2,?1
,
?
n?1,
?
.所以,数列
?
?
a
n
?
成公差为
1
的等差
n
?
?
?
?
??
?2
.所以
?
n
?2?1
?<
br>n?1
?
?n?1
.
于是数列
?
a
n?
的通项公式为
a
n
?
?
n?1
?
?
n
;
②当
??p
2
?4q?0
时,
?<
br>?
?
,
a
n?1
?
?
a
n
?
?
n?1
?
?
a
n
?
?
?<
br>?
n?1
??
?
?
?
a
n
?
?
n?1
?
?
n?1
?
n?1,2,
?
?
?
?
?
??
?
?
?
.
??
n?2
?
n?1
?
2,
?
?
?a
n
?
整理得
a
n?1
?
?
,
?
n?1,
?
?
??
?
?
??
?
.
?
?
n?1
?
所以,数列
?
a
n<
br>?
?
成公比为
?
的等比数列,其首项为
?
?
?
??
?
2
?
2
?
2
?
n?1
?
2
a
1
??
?
?
?
????
n?1
. .所以
a
n
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
n?1
?
?
n?1
于是数列
?
a
n<
br>?
的通项公式为
a
n
?
.
?
?
?
(Ⅱ)若
p?1
,
q?
n
11
,则
??p
2
?4q?0
,此时
?
?
?
?
.由第(Ⅰ
)步的结果得,数列
?
a
n
?
的通项公式为
42
?
1
?
n?1
a
n
?
?
n?1
?<
br>??
?
n
,所以,
?
a
n
?
的前<
br>n
项和为
2
?
2
?
s
n
?
234
???
22
2
2
3
?
nn?1
?
n?1n
22
?
nn?1
?
2n2<
br>n?1
1234
s
n
?
2
?
3
?<
br>4
?
2222
13n?3
以上两式相减,整理得
s
n
??
n?1
222
所以
s
n
?3?
n?3
. n
2
?
?
?
A
1
?A
2
?<
br>?
?2
?
,解得
A
1
?A
2
?1<
br>.故
a
n
?
?
1?n
?
?
n
.
?
22
?
?
?
A
1
?2A
2
?
?
?3
?
②当
?
?
?
时,通
项
a
n
?A
1
?
n
?A
2
?n
?
n?1,2,
?
.由
a
1
?
?<
br>?
?
,
a
2
?
?
2
?
?<
br>2
?
??
得
?
?
?
?
?
A
1
?
?A
2
?
?
?
?
?
A?
A?
,解得,.故
?
2
1
2222
?
?
?
?
?
?
A
?
?A
?
??
?
?
?
??
?
?
12
?
?
n?1
?
n?1
?
n?1
?
?
n?1a
n
???
.
?
?
??
?
??
?
?
(Ⅱ)同方法一.
7、(2010二试3)给定整数
n?2
,设正实数
a
1
,a
2
,,a
n
满足
a
k
?1,k?1,
2,
,k?1,2,,n
.
,n
,记
A
k
?<
br>求证:
a
1
?a
2
?
k
?a
k?
a
k
?
?
A
k
?
k?1k?1nn
n?1
.
2
【解析】由
0?a
k
?1<
br>知,对
1?k?n?1
,有
0?
?
a
i?1
k
i
?k,0?
i?k?1
?
a
n
i
?n
?k
.
注意到当
x,y?0
时,有
x?y?max
?x,y
?
,于是对
1?k?n?1
,有
1
n
?
11
?
k
A
n
?A
k
?
??
?
?
a
i
?
?
a
i
n
i?k?1
?
nk
?
i?1
1
n
?
1
n
?
11
?
k
?
?
a
i
?
?
?
?
?
a
i
?max
?
?
a
i
,
n
i?k?1
?
kn
?
i
?1
?
n
i?k?1
?1
?max
?
(n?k),
?
n
nn
?
11
?
k
?
?
?
?
?
a
i
?
?
kn
?i?1
?
k
?
11
?
?
?1?
, <
br>?k
??
?
n
?
kn
?
?
n
故
?
a
k
?
?
A
k
?nA<
br>n
?
?
A
k
?
k?1k?1k?1
?
?
A
n
?A
k
?
?
?
A
n?A
k
k?1k?1
n?1n?1
?
k
?
n?
1
.
?
?
?
1?
?
?
2
n?
k?1
?
n?1
8、(2011一试10)已知数列
{an
}
满足:
a
1
?2t?3(t?
R且
t??
1)
,
a
n?1
(2t
n?1
?3)a<
br>n
?2(t?1)t
n
?1
(n?
N
*
)<
br>.
?
n
a
n
?2t?1
(1)求数列
{a
n
}
的通项公式;(2)若
t?0
,试比较
a
n?
1
与
a
n
的大小.
【解析】(1)由原式变形得
a
n?1
2(t
n?1
?1)(a
n
?1)
??1
,
a
n
?2t
n
?1
2(a
n
?1)<
br>a?12(a
n
?1)
t
n
?1
. 则
n<
br>n
?
?
1
1
??
t?1a
n
?2t
n
?1
a
n
?1
?2
t
n
?1<
br>记
又
2b
n
a
n
?1
a
1
?1
2t?2
b?
,则,
?bb???2
.
n?1
n1
b
n
?2
t
n
?1t?1t?1
11111
??,?
,从而有
b
n?1
b
n
2b
1
2
111n
??(n?1)??
,
b
n
b
1
22
a
n
?1
2
2(t
n
?1)故
n
?
,于是有
a
n
??1
.
t?
1nn
2(t
n?1
?1)2(t
n
?1)
?
(2
)
a
n?1
?a
n
?
n?1n
?
2(t?1)
?
n(1?t?
n(n?1)
?
?t
n?1
?t
n
)?(n?1)(1?t??t
n?1
)
?
?
?(t
n
?t
n?1
)
?
?
?
2(t?1)
n
?
nt?(1?t?
?
n(n?
1)
?t
n?1
)
?
?
?
2(t?1)
n
n
?
(t?1)?(t?t)?
?
n(n?1)
2(t?1)
2
n?1n?2
?
?(t?t?
?
n(n?1)
?1)?
t(t
n?2
?t
n?3
??1)??t
n?1
?
?
,
显然在
t?0(t?1)
时恒有
a
n?1
?
a
n
?0
,故
a
n?1
?a
n
.
9、(2012一试10)已知数列
?
a
n
?
的
各项均为非零实数,且对于任意的正整数
n
,都有
(a
1
?a2
?
33
?a
n
)
2
?a
1
?a
2
?
3
?a
n
(1)当
n?3时,求所有满足条件的三项组成的数列
a
1
,a
2
,a
3
;
(2)是否存在满足条件的无穷数列
{a
n
}
,使得
a
2013
??2012?
若存在,
求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由.
综上,满足条件的三项数列有三个:1,2,3或1,2,-2或1,-,1
(2)令
S
n
?a
1
?a
2
?
233?a
n
,
则
S
n
?a
1
?a
2
?
333
?a
n
(n?N
?
)
从而(S
n
?a
n?1
)
2
?a
1
?a<
br>2
?
33
?a
n
?a
n?1
.
2
n?1
时,由(1)知
a
1
?1
; 两式相减,
结合
a
n?1
?0
得
2S
n
?a
n?1<
br>?a
n?1
当
22
当
n?2
时,
2a
n
?2(S
n
?S
n?1
)?(a
n?1
?a<
br>n?1
)?(a
n
?a
n
),
即
(a
n?1
?a
n
)(a
n?1
?a
n
?1)?0,
所以
a
n?1
??a
n
或
a
n
?1
?a
n
?1
?
n(1?n?2012)
又<
br>a
1
?1,a
2013
??2012,
所以
a
n
?
?
n
?
2012?(?1)(n?2013)
10、(2012二试
4)设
S
n
?1?
1
?
2
?
1
,
n是正整数.证明:对满足
0?a?b?1
的任意实数
a,b
,数
n
列
{S
n
?[S
n
]}
中有无穷多项属于
(a,b)
.这里,
[x]
表示不超过实数x的最大整数.
又令
N
1
?2
t(m?1)
,则
S
N
1
?S
2
t(m?1)
?m?1?m?b,
因此存在
n?
N
?
,N
0
?n?N
1
,
使得
m?a?S
n
?m?b,
所以
S
n
?[S
n
]?(a
,b)
不然一定存在
N
0
?k,
使得
S
k?1
?m?a,S
k
?m?b,
因此
S
k
?S<
br>k?1
?b?a,
这与
S
k
?S
k?1<
br>?
11
??b?a
矛盾.所以一定存在
n?N
?
,<
br>使得
S
n
?[S
n
]?(a,b)
kN<
br>0
(2)假设只有有限个正整数
n
1
,n
2
,,n<
br>k
,
使得
S
n
j
?[S
n
j
]?(a,b),(1?j?k
令
)
c?
min
S
nj
?[S
n
j
],
则
1?j?k
??
a?c?b,
则不存在
n?N
?
,n?N
?
,
使得
S
n
?[S
n
]?(a,c),
这与(1)的结论矛盾.
所以数列
?
S
n
?[S
n
]
?
中
有无穷多项属于
(a,b)
.终上所述原命题成立
证法二:(1)
S2
n
?1?
11
??
23
?
1
n
2
?
1111
)?1??(?)?
2
n
22
2
2
2
?(
1
?
2
n
?
1
)
2
n
?1?
1111
?(
1
?
2
)?(
n?1
?
22?122?1
1111
?1?????n
2222
因此,当
n
充分大时,
Sn
可以大于如何一个正数,令
N
0
?[
11
]?1,<
br>则
N
0
?,
当
k?N
0
时,
b?
ab?a
S
k
?S
k?1
?
11
??b?a
kN
0
因此,对于如何大于
S
N
0的正整数
m,
总存在
n?N
0
,
使
S
n
?m?(a,b),
即
m?a?S
n
?m?b,
否则,一定存在
k?N
0
,
使
S
k?1
?m?a
,
且
S
k
?m?b,
这样就有
S
k
?S
k?1
?b?a,
而
S
k
?S
k?1
?
11
??b?a,
矛盾
.故一定存在
n?N
0
,
使得
m?a?S
n
?m?
b,
kN
0
令
m
i
?[S
N
0
]?i(i?1,2,3,),
则
m
i
?S
N
0<
br>,
故一定存在
n
1
?N
0
,
使<
br>m
i
?a?S
n
i
?m
i
?b
,因
此
a?S
n
i
?m
i
?S
n
i
?
[S
n
i
]?b
这样的
i
有无穷多个,所以数列
?
S
n
?[S
n
]
?
中有无穷多项属于<
br>(a,b)
11、(2013一试10)(本题满分16分)给定正数数列
?
x
n
?
满足
S
n
?2S
n?1
,
n?2,3,
,这里
S
n
?x
1
??
x
n
.证明:存在常数
C?0
,使得
x
n
?C?2
n
,
n?1,2,
.
【解
析】当
n?2
时,
S
n
?2S
n?1
等价于
x
n
?x
1
?
对常数
C?
?x
n?1
.
.
1
○
1
x
1
,用数学归纳法证明:
x
n
?C?2
n<
br>,
n?1,2,
4
2
○
12、(2013二
试2)(本题满分40分)给定正整数
u,v
.数列
?
a
n
?
定义如下:
a
1
?u?v
,对整数
m?1
,
?
a
2m
?a
m
?u,
?
a?
a?v.
m
?
2m?1
记
S
m
?a
1?a
2
??a
m
?
m?1,2,
?
.证明:数
列
?
S
n
?
中有无穷多项是完全平方数.
【证明】对正整数
n
,有
S
2
n?1
?1
?a
1
?
?
a
2
?a
3
?
?<
br>?
a
4
?a
5
?
??
?
a
2
n?1
?2
?a
2
n?1
?1
?
?
?
a
2
n
?1
?u?a
2
n
?1
?v
?
?u?v?
?
a
1?u?a
1
?v
?
?
?
a
2
?u?a
2
?v
?
?
?2
n
?
u?v
?<
br>?2S
2
n
?1
,
所以
S
2
n
?1
?2
n?1
?
u?v
?
?2S
2
n?1
?1
?2
n?1
?
u?v
?
?22
n?2
?
u?v
?
?2S
2
n
?2
?1
?2?2
n?1
?
u?v
?
?
2
2
S
2
n?2
?1
??
??
?
n?1
?
?2
n?1
?
u?v
?
?2<
br>n?1
?
u?v
?
?
?
u?v
?
n?2
n?1
.
设
u?v?2
k
?q
,其中
k
是非负整数,
q
是奇
数.取
n?q?l
2
,其中
l
为满足
l?k?1
?
mod2
?
的任意正整数,此
时
S
2
n
?
1
?q
2
l
2
?2
k?1?q?l
,注意到
q
是奇数,故
k?1?q?l
2
?k?1?l
2
?k?
1?
?
k?1
?
?k
?
k?1
?
?0?
mod2
?
,
2
2
所以,
S
2<
br>n
?1
是完全平方数.由于
l
有无穷多个,故数列
?
S
n
?
中有无穷多项是完全平方数.学科&网
13、(2013
二试3)(本题满分50分)一次考试共有
m
道试题,
n
个学生参加,其中<
br>m,n?2
为给定的整数.
每道题的得分规则是:若该题恰有
x
个学生
没有答对,则每个答对该题的学生得
x
分,未答对的学生得零分.
每个学生得总分为其
m
道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为
p
1
?p
2
?
可能值.
因为每一个人在第
k
道题上至多得
xk
分,故
p
1
?
?
x
k
.
k?1
m
?p
n
,求
p
1
?p
n
得最大
由于
p
2
?
p
2
?p
3
??p
n
S?p
1
.所以
?
n?1n?1<
br>S?p
1
n?2S
p
1
?p
n
?p
1
?p
1
?
n?1n?1n?1
m
n?2
m
1
?
m
?
2
??
?
x
k??
?
n
?
x
k
?
?
x
k<
br>?
n?1
k?1
n?1
?
k?1k?1
?
?
p
1
,故有
p
n
?
mm
1
2
?2
?
x
k
??
?
x
k
.
n?1
k?1k?1
1
?
m
?
由柯西不等式得
?
x?
?
?
x
k
?
, <
br>m
?
k?1
?
k?1
2
k
m
2于是
1
?
m
?
p
1
?pn
?2
?
x
k
??
?
x
k
?
m
?
n?1
?
?
k?1
?
k?1
?
m
2
m
2
??
1
??
??
?
x
k
?m
?
n?1
?
?
?m
?
n?1
?
m
?
n?1
?
?
k?1
?
?m
?
n?1
?
.
另一方面,若有一个学生全部答对,其他
n?1
个学生全部答错,则
p1
?p
n
?p
1
?
?
?
n?1
?
?m
?
n?1
?
.
k?1
m
综上所
述,
p
1
?p
n
的最大值为
m
?
n?1<
br>?
.
14、(2016二试4)(本题满分50分)设p与p+2均是素数,p>3, 数列
{a<
br>n
}
定义为
a
1
?2
,
a
n
?a
n?1
?[
pa
n?1
],n?2,3,???.
这
里
[x]
表示不小于实数
x
的最小整数.
a
n
证
明:对
n?3,4,???,p?1
均
n|pa
n?1
?1
有成立
对
3?n?p?1
,设对
k?3,???,n?1
成立k|pa
k?1
?1
,此时
[
故
pa
k?1<
br>?1?p(a
k?2
?[
pa
k?1
pa?1
]?<
br>k?1
.
kk
pa
k?2
pa?1
])?1?p(
a
k?2
?
k?2
)?1
k?1k?1
?
(pa
k?2
?1)(p?k?1)
.
k?1
故对
3?n?p?1
,有
p?n?1p?n?1p?n?2
(pa
n?2
?1)?(pa
n?3
?1)
n?1n?1n
?2
p?n?1p?n?2p?3
????????(pa
2
?1
)
n?1n?23
pa
n?1
?1?
因此,
pa
n
?1
?1?
n
2n(p?1)
n
C
p?n
(p?n)(p?2)
由此知(注意
C
p?n
是整数)
n|(p?
n)(p?2)(pa
n?1
?1)
①
因n
(n,n?p)?(n,p)?1
,又p+2是大于n的素数,故
(n,p?2)?1
,从而n与(p+n)
(p+2)互素,故由①知
n|pa
n?1
?
1
.由数学归纳法知,本题得证.
15、(2017二试2)(本
题满分40分)设数列
{a
n
}
定义为
a
1
?1<
br>.
?
a
n
?n,若a
n
?n,
a
n?1
?
?
n?1,2,.
a?n,若a?n,
n
?
n
求满足a
r
?r?3
2017
的正整数r的个数.<
br>
当t=1时,由于
a
r
?r?r,
由定义,
ar?1
?a
r
?r?r?r?2r?r?1,
结论成立. <
br>a
r?2
?a
r?1
?(r?1)?2r?(r?1)?r?1?r?
2,
设对某个
1?t?r?1,(1)
成立,则由定义
a
r?2t
+1
=a
r?2t
?(r?2t)?r?t?r?2t?2r?t?r?2t?1,<
br>a
r?2t+2
?a
r?2t?1
?(r?2t?1)?2r?t?(
r?2t?1)?r?t?1?r?2t?2,
即结论对t+1也成立,由数学归纳法可知,(1)对所
有t=1,2
,r-1
成立,
特别当t=r-1时,有
a
3r?2
?1,
从而
a
3r?1
=a
3r?2
+
3r?2?3r?1.
若将所有满足
a
r
?r
的正整数r
从小到大记为
r
1
,r
2
,,
则由上面的结论可知
r
1
=1,r
2
=2,r
k?1
?3r
k
?1,k?2,3,
11
(r
k
?)(k?1,
由此可知,
r
k?1
?=3
22
由于
r
2018
.
,m?1),
从而
r
m
?3
m?1
113
m?1
?1
(r
1
?)??.
222
3
2017
?1
2017
3
2018
?1
??3??r
2019
,
在
1,2,,3
2017
满足
a
r<
br>?r
的数有2018个,为
r
1
,r
2
,
2
2
,r
2018
.
由(1)可知,对每个
k?1,2,,
2017,r
k
?1,r
k
?2,,3r
k
?2
恰
有一半满足
a
r
?r.
3
2017
?1
+1
均为奇数,而在
r
2018
+1
由于
r
201
8
+1=
其中偶
,,3
2017
中,奇数均满足
a
r
?r,
偶数均满足
a
r
?r,
2
数必奇数少1个
,因此满足
a
r
?r?3
2017
1
2017
3<
br>2017
?2019
?2018?1)?.
的正整数r的个数为
(3
22