高中数学循环结构 引发的思考-郑州市高中数学A版
江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟考试
数
学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
已知
集合
A=
{
-
1,0,1},
B=
(
-∞
,0),则
A
∩
B= .
2
.
设复数
z
满足
z
(1
+
i)
=
2,其中i为虚数
单位,则
z
的虚部为
.
(第4题)
3
.
已知样本数据
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
的方差s
2
=
3,那么样本数据2
x
1
,2
x
2
,2
x
3
,2
x
4
,2
x
5
的方差
为
.
4
.
如图是一个算法流程图,则输出的
x
的值是
.
5
.
从1,2,3,4这四个数中一次随机地选择两个数,则选中的两个数中至少有
一个是偶数的概
率为
.
的最小值是
.
6
.
若变量
x
,
y
满足约束条件
+
则
+
7
.
设双曲线
-
y
2
=
1(
a>
0)的一条渐近线的倾斜角为30°,则该双曲线的
离心率为
.
8
.
设{
a
n
}是等差数列,
S
n
是其前
n
项和,若
a
4
+a
5
+a
6
=
21,则
S
9
=
.
9
.
将函数
y=
3sin
+
的图象向右平移
φ
个单位长度后,若所得图象对应的
函数为偶函数,则实数
φ= .
10
.
在矩形
ABCD
中,
AB=
3
,
BC=
2,将矩形
ABCD
绕边
AB
旋转一周得到一个圆
柱,点
A
为
圆柱上底面的圆心,△
EFG
为圆柱下底面的一个内接直
角三角形,则三棱锥
A
-
EFG
体积的最
大值是
.
·
的最大值为
.
11
.
在△
ABC
中,已知
AB=
,
C=
,那么
(第12题)
12
.
如图,在平面直角坐标系
xOy
中,分别在
x轴与直线
y=
(
x+
1)上从左向右依次取点
A
k
,
B
k
,
k=
1,2,…
,其中
A
1
是坐标原点,使△
A
k
B
k
A
k+
1
都是等边三角形,则△
A
10
B
10
A
11
的边长
是
.
13
.
在平面直角坐标系
xOy
中,已知点
P
为函数
y=
2ln
x
的图象与圆
M
:(
x-
3)
2
+y2
=r
2
的
公共点,且它们在点
P
处有公切线,若二次
函数
y=f
(
x
)的图象经过点
O
,
P
,
M
,则
y=f
(
x
)的最大
值为
.
14
.
在△
ABC
中,
A
,B
,
C
所对的边分别为
a
,
b
,
c<
br>,若
a
2
+b
2
+
2
c
2
=
8,则△
ABC
面积的最大值
为
.
二、 解答题:本大题共6小题,共90分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14分)如图,在直
三棱柱
ABC
-
A
1
B
1
C
1
中
,
BC
⊥
AC
,
D
,
E
分别是
A
B
,
AC
的中
点
.
(1) 求证:
B<
br>1
C
1
∥平面
A
1
DE
;
(2)
求证:平面
A
1
DE
⊥平面
ACC
1
A
1
.
(第15题)
16
.
(本小题满分14分)在△
ABC
中,
a
,
b
,
c
分别为内角
A
,
B
,
C
的对边,且
b
sin 2
C=c
sin
B.
(1) 求角
C
的大小;
(2)
若sin
-
=
,求sin
A
的值
.
17
.
(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,
已知圆
O
:
x
2
+y
2
=b
2
经
过椭圆
E
:
+
=
1(0
2)的焦点
.
(1) 求椭圆
E
的标准方程;
(2)
设直线
l
:
y=kx+m
交椭圆
E
于
P
,
Q
两点,
T
为弦
PQ
的中点,
M
(
-
1,0),
N
(1,0),记直线
TM
,
TN
的斜率分别为
k
1
,
k
2
,当2
m
2-
2
k
2
=
1时,求
k
1
·
k
2
的值
.
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)如图
所示,某街道居委会拟在
EF
地段的居民楼正南方向的空白地段
AE
上建一个
活动中心,其中
AE=
30
m
.
活动中心东西走向,与居民楼平行
.
从东向西看,活动
中心的
截面图的下部分是长方形
ABCD
,上部分是以
DC
为直径的半圆
.
为了保证居民楼住
户的采光要求,活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影
长
GE
不超过
2
.
5
m,其中该太阳光线与水平线的夹角
θ
满足tan
θ=.
(1)
若设计
AB=
18 m,
AD=
6 m,问:能否保证上述采光要求?
(2) 在保证上述采光要求的前提下,如何设计
AB
与
AD
的长度
,可使得活动中心的截面面积
最大?(注:计算中π取3)
(第18题)
19
.
(本小题满分16分)设函数
f
(
x
)
=
ln
x
,
g
(
x
)
=ax+
-
-
3(
a
∈R)
.
(1) 当
a=2时,解关于
x
的方程
g
(e
x
)
=
0(其中e为自然对数的底数);
(2) 求函数
φ
(
x
)
=f
(
x
)
+g
(
x
)的单调增区间;
(3) 当
a=
1时,记
h
(
x
)
=f<
br>(
x
)·
g
(
x
),是否存在整数
λ
,使得关于
x
的不等式2
λ
≥
h
(
x
)
有解?若存在,
请求出
λ
的最小值;若不存在,请说明理由
.
(参考数据:ln 2≈0
.
693 1,ln 3≈1
.
098
6)
20
.
(本小题满分16分)若存在常数
k
(k
∈N
*
,
k
≥2),
q
,
d
,使得无穷数列{
a
n
}满足
a
n+
1
=
+
则称数列{
a
n
}为“段比差数列”,其中常数
k
,
q
,d
分别叫做段长、段比、段差
.
设
数列{
b
n
}为“段比差数列”
.
(1) 若{
b
n
}的首项、段长、段比、段差分别为1,3,
q
,3
.
①
当
q=
0时,求
b
2 016
; <
br>②
当
q=
1时,设{
b
n
}的前3
n
项和为
S
3
n
,若不等式
S
3
n
≤λ
·3
n-
1
对
n
∈N
*
恒成立,求
实数
λ
的取
值范围
.
(2) 设{
b
n
}为等比数列,且首项为
b
,试写出所有满足条件的{
b
n
},并说明理由
.
江苏省南通市、泰州市2017届高三第一次模拟考试
数
学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
函数
y=
2sin
-
的最小正周期为
.
2
.
设集合
A=
{1,3},
B=
{
a+
2,5},
A
∩
B=
{3},则
A
∪
B= .
(第5题)
3
.
已知复数
z=
(1
+
2i)
2
,其中i为虚数单位,则
z
的实部为
.
4
.
口袋中有若干红球、黄球和蓝球,从中摸出一只球<
br>.
已知摸出红球的概率为0
.
48,摸出黄球
的概率为0
.<
br>35,则摸出蓝球的概率为
.
5
.
如图所示是一个算法的流程图,则输出的
n
的值为
.
+
z=
3
x+
2
y
的最大值为
.
6
.
若实数
x
,
y
满足
+
则
7
.
抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩(单位:分),结果如下:
学生
第1次
第2次
第3次
第4次
甲
65
80
70
85
乙
80
70
75
80
则成绩较为稳定(方差较小)的那位学生成绩的方差为
.
第5次
75
70
(第8题)
8
.
如图,在正四棱柱
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
中,
AB=
3 cm,
AA
1
=
1 cm,则三棱锥
D
1
-
A
1
BD
的体
积为
cm
3
.
9
.
在平面直角坐标系
xOy
中,直线2
x+y=
0为双曲线
-
=
1(
a>
0,
b>
0)的一条渐近线,则
该双曲线的离心率为
.
10
.
《九章算术》中的“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容
积成等差数列,
上面4节的容积为3 L,下面的3节的容积为4
L,则该竹子最上面一节的容积为
L
.
·
+
2
·
=
·
,则
的值为
.
11
.
在△
ABC
中,若
12
.
已知两曲线
f
(
x
)
=
2sin
x
,
g
(
x
)
=a
cos
x
,
x
∈
相交于点
P
.
若两曲线在点
P
处的切线互
相垂直,则实数
a
的值为 .
13
.
已知函数
f
(
x)
=|x|+|x-
4
|
,则不等式
f
(
x<
br>2
+
2)
>f
(
x
)的解集用区间表示为
.
14
.
在平面直角坐标系
xOy
中,已知
B
,
C
为圆
x
2
+y
2
=
4上两
点,点
A
(1,1),且
AB
⊥
AC
,则线段
BC
的长的取值范围为
.
二、 解答题:本大题共6小题,共90分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系
xO
y
中,以
x
轴正半轴为始边作锐角
α
,其终
边与单位圆交于
点
A
,以
OA
为始边作锐角
β
,其终边与单位圆交于点B
,
AB=
(1) 求cos
β
的值;
(2)
若点
A
的横坐标为
,求点
B
的坐标
.
.
(第15题)
16
.
(本小题满分14分)如图,在
四棱锥
P
-
ABCD
中,四边形
ABCD
为平行四边形,<
br>AC
,
BD
相
交于点
O
,点
E
为<
br>PC
的中点,
OP=OC
,
PA
⊥
PD.
(1) 求证:直线
PA
∥平面
BDE
;
(2)
求证:平面
BDE
⊥平面
PCD.
(第16题)
17
.
(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,已知椭圆
+
=
1(
a>b>
0)的离心
率为
,焦点到相应准线的距离为1
.
(1) 求椭圆的标准方程;
(2) 若
P
为椭圆上的一点,过点
O
作
OP
的垂线交直线
y=
于点
Q
,求
+
的值
.
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)如图,在某机械厂要将长6 m,宽2 m的长方形铁皮
ABCD
进行裁
剪
.
已知点
F
为
AD
的中点,点
E
在边<
br>BC
上,裁剪时先将四边形
CDFE
沿直线
EF
翻折到
MNFE
处(点
C
,
D
分别落在直线
BC
下方点
M
,
N
处,
FN
交边
BC
于点
P
),再沿直线
PE
裁剪
.
(1)
当∠
EFP=
时,试判断四边形
MNPE
的形状,并求其面积;
(2)
若使裁剪得到的四边形
MNPE
面积最大,请给出裁剪方案,并说明理由
.
(第18题)
19
.
(本小题
满分16分)已知函数
f
(
x
)
=ax
2
-x-<
br>ln
x
,
a
∈R
.
(1)
当
a=
时,求函数
f
(
x
)的最小值;
(2) 若
-
1≤
a
≤0,求证:函数
f
(
x
)有且只有一个零点;
(3) 若函数
f
(
x
)有两
个零点,求实数
a
的取值范围
.
20
.
(本小
题满分16分)已知等差数列{
a
n
}的公差
d
不为0,且
,
,…,
,…
(
k
1
<
…
<…)成等比数列,公比为
q.
(1) 若
k
1
=1,
k
2
=
3,
k
3
=
8,求
的值;
(2) 当
为何值时,数列{
k
n
}为等比数列?
(3) 若数列{
k
n
}为等比数列,且对于任意的
n
∈N
*
,不等式
a
n
+
>
2
k
n
恒成立,求
a
1
的取值范围
.
江苏省无锡市2017届高三第一次模拟考试
数
学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
设集
合
A=
{
x|x>
0},
B=
{
x|-
1
A
∩
B= .
2
.
若复数
z=
-
(其中i是虚数单位),则复数
z
的共轭复数为
.
3
.
命题“?
x
≥2,
x
2
≥4”的否定是“
,
x
2
<
4”
.
4
.
从3男2女共5名学生中任选2名学生参加座谈会,则选出的2人恰好为1男1女的概
率为
.
(第5题)
5
.
根据如图所示的伪代码可知,输出的结果为
.
6
.
已
知向量
a=
(2,1),
b=
(1,
-
1),若
a
-b
与
ma+b
垂直,则实数
m
的值为
.
7
.
设不等式
-
表示的平面区域为
M
,若直线
y=kx-
2上存在
M
内的
点,则实数
k
的
+
取值范围为
.
-
8
.
已知
f
(
x
)
=
是奇函数,则
f
(
g
(
-
2))
= .
9
.
设公比不为1的等比数列{
a<
br>n
}满足
a
1
a
2
a
3
=-
,且
a
2
,
a
4
,
a
3成等差数列,则数列{
a
n
}的前4
项和为
.
10
.
设
f
(
x
)
=
sin
2
x-
cos
x
cos
+
,则
f
(
x
)在
上的单调增区间为
.
11
.
已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°且面积为3π的扇形,则该圆锥的体积等
于
.
12
.
设
P
是有公共焦点
F
1
,
F
2
的椭圆
C
1<
br>与双曲线
C
2
的一个交点,且
PF
1
⊥
PF
2
,椭圆
C
1
的率心
率为
e
1
,
双曲线
C
2
的离心率为
e
2
,若
e
2=
3
e
1
,则
e
1
= .
13
.
若函数
f
(
x
)在[
m
,
n
](
m
m
,
n
],则称[
m
,
n
]为函数
f
(
x
)的
一个“等值映射区
间”
.
下列函数:
①y=x
2
-
1,
②y=
2
+
log
2
x
,
③y=2
x
-
1,
④y=
间”的函数有
个
.
14
.
已知
a>
0,
b>
0,
c>
2,且
a+b=
2,则
+
-
+
-
中,存在唯一一个“等值映射区
-
的最小值为
.
二、 解答题:本大题共6小题,共90分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14分)在△
ABC
中,角
A
,
B
,
C
所对的边分别为
a
,
b
,
c
,且sin
A+
cos
2<
br>
=
+
.
为
BC
上一点,且
(1)
求sin
A
的值;
(2) 若
a=
4
,
b=
5,求
AD
的长
.
16
.
(本小题满分14分)如图,在四棱锥
P
-
ABC
D
中,底面
ABCD
为矩形,
AP
⊥平面
PCD
,
E
,
F
分别为
PC
,
AB
的中点
.
(1) 求证:平面
PAD
⊥平面
ABCD
;
(2) 求证:
EF
∥平面
PAD.
+
=
1,
D
(第16题)
17
.
(本小题满分14分)某地拟在一个U形水面
PABQ
= =
上修一条堤坝
EN
(
E
在
AP
上,
N
在
BQ
上),围出一个封闭区域
EABN
,用以种
植水生植物
.
为美观起见,决定从
AB
上
点
M
处分
别向点
E
,
N
拉2条分隔线
ME
,
MN
将
所围区域分成3个部分(如图),每部分种植不
同的水生植物
.
已知
AB=a
,
EM=BM
,∠
MEN=
,设所拉分隔线总长度为
l.<
br>
(1) 设∠
AME=
2
θ
,求用
θ
表示
l
的函数表达式,并写出定义域;
(2)
求
l
的最小值
.
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)已知椭圆
+=
1,动直线
l
与椭圆交于
B
,
C
两点(点
B
在第一象限)
.
(1) 若点
B
的坐标为
,求△
OBC
面积的最大值;
(2) 设
B
(
x
1
,
y
1
),
C
(
x
2
,
y
2
),且3
y
1
+y
2
=
0,求当△
OBC
面积最大时,直线
l
的方程
.
19
.
(本小题满分16分)已知数列{
a
n
}的前n
项和为
S
n
,
a
1
=
2,
S
n
=a
n
+
(
r
∈R,
n
∈N
*
)
.
(1)
求
r
的值及数列{
a
n
}的通项公式
.
(2) 设
b
n
=
(
n
∈N
*
)
,记{
b
n
}的前
n
项和为
T
n
.
①
当
n
∈N*
时,
λ
n
-T
n
恒成立,求实数λ
的取值范围;
-
②
求证:存在关于
n
的整式<
br>g
(
n
),使得 (
T
i
+
1)
=
T
n
·
g
(
n
)
-
1对一切
n<
br>≥2,
n
∈N
*
都成立
.
=
20
.
(本小题满分16分)已知函数
f
(
x
)
=x
2
+
mx+
1(
m
∈R),
g
(
x
)
=
e
x
.
(1) 当
x
∈[0,2]时,
F(
x
)
=f
(
x
)
-g
(
x
)为增函数,求实数
m
的取值范围;
(2) 若
m
∈(<
br>-
1,0),设函数
G
(
x
)
=
恒成立.
,
H
(
x)
=-x+
,求证:对任意
x
1
,
x
2
∈[1,1
-m
],
G
(
x
1
)≤
H<
br>(
x
2
)
江苏省苏州市2017届高三第一次模拟考试
数 学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
已知
集合
A=
{
x|x>
1},
B=
{
x|x<
3},则集合
A
∩
B= .
2
.
已知复数
z=
-
,其中i是虚数单位,则复数
z
的虚部是
.
3
.
在平面直角坐标系
xOy
中,双曲线
-
=
1的离心率是
.
4
.
用分层抽样的方法从某高中在校学生中抽取一个容量为45的样
本,其中高一年级抽20人,
高三年级抽10人,已知该校高二年级共有学生300人,则该校学生总数
为
.
(第6题)
5
.
一架飞机向目标投弹,击毁目标的概率为0
.
2,目标未受损的概率为0
.
4
,则目标受损但未完
全击毁的概率为
.
6
.
阅读如图所示的流程图,如果输出的函数
f
(
x
)的值在区间
内,那么输入的实数
x
的取值
范围是
.
-
7
.
已知实数
x
,
y
满足约束条件
则目标函数
z=
2
x-y
的最大值是
.
+
8
.
设
S
n
是等差数列{
a
n
}的前
n
项和,若
a
2
=
7,
S
7
=-
7,则
a
7
的值为
.
9
.
在平面直角坐标系
xOy
中,已知
过点
M
(1,1)的直线
l
与圆(
x+
1)
2+
(
y-
2)
2
=
5相切,且与
直线
ax+y-
1
=
0垂直,则实数
a= .
10
.
已知一个长方体的三条棱长分别为3,8,9,若在该长方体上面钻一个圆柱
形的孔后其表面
积没有变化,则圆孔的半径为
.
11
.
已知正数
x
,
y
满足
x+y=
1,则
+
+
+
的最小值为
.
12
.
若2tan
α=
3tan
,则tan
-
= .
-
若关于
x
的方程
|f
(
x
)
|-ax-
5
=
0恰有三个不同的实数解,13
. 已知函数
f
(
x
)
=
-
则满足条件的所有实数
a
的取值集合为
.
14
.
已知
A
,
B
,
C
是半径为1的圆
O
上的三点,
AB
为圆
O
的直径,
P
为圆
O
内一点(含圆周),则
·
+
·
的取值范围为
.
+
·
二、 解答题:本大题共6小题,共90分<
br>.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14分)已知函数
f
(
x
)
=
sin
2
x-
cos
2
x-.
(1) 求
f
(
x
)的最小值,并写出取得最小值时的自
变量
x
的集合;
(2) 设△
ABC
的内角
A
,
B
,
C
所对的边分别为
a
,
b
,
c
,且
c=
,
f
(
C
)
=
0,若sin
B=
2sin
A
,求
a
,
b
的值
.
16
.
(本小题满分14分)如图,已知直四棱柱
ABCD
-A
1
B
1
C
1
D
1
的底面是菱形,<
br>F
是
BB
1
的中
点,
M
是线段
AC
1
的中点
.
(1)
求证:直线
MF
∥平面
ABCD
;
(2) 求证:平面
A
FC
1
⊥平面
ACC
1
A
1
.
(第16题)
C
:
+
=
1(
a>b>
0)的离心率为
,且过点
17
.
(本小题满分14分)如图,已知椭圆
(1)
求椭圆
C
的方程;
P
(2,
-
1)
.
(2) 设点
Q
在椭圆
C
上,且
PQ
与
x
轴平行,过点
P
作两条直线分别交椭圆
C
于
A
(<
br>x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
)两点,若直线
PQ
平分∠
APB
,求证:直线
AB
的斜率是定值,并求出这个定值
.
(第17题)
18
.
(本小题满分1
6分)某湿地公园内有一条河,现打算建一座桥(如图(1))将河两岸的路连接
起来,剖面设计图纸如
图(2)所示,其中点
A
,
E
为
x
轴上关于原点对称的两点
,曲线段
BCD
是
桥的主体,
C
为桥顶,且曲线段
BCD<
br>在图纸上的图形对应函数的解析式为
y=
+
(
x
∈[
-
2,2]),
曲线段
AB
,
DE
均为开口向上的抛物线段,且
A
,
E
分别为两抛物线的顶点
.设计时要求:保持两
曲线在各衔接处(
B
,
D
)的切线的斜率相
等
.
(1)
求曲线段
AB
在图纸上对应函数的解析式,并写出定义域
.
(2)
车辆从
A
经
B
到
C
爬坡
.
定义车辆上桥过
程中某点
P
所需要的爬坡能力为
M
P
=
(点
P与
桥顶间的水平距离)
×
(设计图纸上点
P
处的切线的斜率),
其中
M
P
的单位:m
.
若该景区可提供
三种类型的观光车:
①
游客踏乘;
②
蓄电池动力;
③
内燃机动力,它们的爬坡能
力分别为0
.
8
m,1
.
5 m,2
.
0
m,又已知图纸上一个单位长度表示实际长度1 m,试问:三种类型的观光车是否
都可以顺利过桥?
图(1)
图(2)
(第18题)
19
.
(本小题满分16分)已知数列
{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,且
S
n
=
2
a
n
-
2(
n
∈N*
)
.
(1)
求数列{
a
n
}的通项公式
.
(2)
若数列{
b
n
}满足
=
+
+
-+
+
-
…
+
(
-
1)
n+
1
+
,求数列{
b
n
}的通项公式
.
(3) 在(2)的条件下,设
c
n
=
2
n
+λb
n
,问:是否存在实数
λ
使得数列{
c
n
}(n
∈N
*
)是单调递增数列?
若存在,求出
λ
的取值范
围;若不存在,请说明理由
.
20
.
(本小题满分16分)已知函数
f
(
x
)
=
(ln
x-k-
1)
x
(
k
∈R)
.
(1)
当
x>
1时,求
f
(
x
)的单调区间和极值;
(2) 若对于任意
x
∈[e,e
2
],都有
f
(
x
)
<
4ln
x
成立,求
k
的取值范围;
(3) 若
x
1≠
x
2
,且
f
(
x
1
)
=f
(
x
2
),求证:
x
1
x
2
<<
br>e
2
k
.
江苏省苏北四市2017届高三第一次模拟考试
数 学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
已知
集合
A=
{
-
2,0},
B=
{
-
2,3
},则
A
∪
B= .
2
.
已知复数<
br>z
满足(1
-
i)
z=
2i,其中i为虚数单位,则
z
的模为
.
3
.
某次比赛甲得分的茎叶图如
图所示
.
去掉一个最高分,去掉一个最低分,则剩下4个分数的
方差为
.
(第3题)
(第4题)
4
.
根据如图所示的伪代码,则输出的
S
的值为
.
5
.
从1,2,3,4,5,6这6个数中一次随机地取2个数,则
所取2个数的和能被3整除的概率
为
.
6
.
若抛物线
y
2
=
8
x
的焦点恰好是双曲线
-=
1(
a>
0)的右焦点,则
a
的值为
.
7
.
已知圆锥的底面直径与高都是2,则该圆锥的侧面积为
.
8
.
若函数
f
(
x
)
=
sin
-
(
ω>
0)的最小正周期为
,则
f
的值为
.
9
.
已
知等比数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
.
若
S
2
=
2
a
2
+
3,
S
3
=
2
a
3
+
3,则公比
q
的
值
为
.
10
.
设
f
(
x<
br>)是定义在R上的奇函数,当
x>
0时,
f
(
x
)<
br>=
2
x
-
3,则不等式
f
(
x
)≤
-
5的解集
为
.
11
.
若
实数
x
,
y
满足
xy+
3
x=
3
,则
+
-
的最小值是
.
12
.
已知非零向量
a
,
b
满足
|a|=|b|=|a+b|
,则
a
与
2
a-b
的夹角的余弦值为
.
13
.
已知
A
,
B
是圆
C
1
:
x
2+y
2
=
1上的动点,
AB=
,
P
是圆
C
2
:(
x-
3)
2
+
(
y-
4)
2
=
1上的动点,
+
|
的取值范围为
.
则
|
若函数
f
(
x
)的图象与直线
y=x
有三个不同的14
.
已知函数
f
(
x
)
=
-
+ +
公共点,则实数
a
的取值集合为
.
二、 解答题:本大题共6小题,共90分
.
解答时应写出必要的文字说明
、证明过程或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14分)
在△
ABC
中,角
A
,
B
,
C
的对边分别
为
a
,
b
,
c.
已知2cos
A
(
b
cos
C+c
cos
B
)
=a.
(1) 求角
A
的大小;
(2) 若cos
B=
,求sin(
B-C
)的值
.
16
.
(本小题满分14分)如图,在四棱锥
E-
ABCD
中,平面
EAB
⊥平面
ABCD
,四边形<
br>ABCD
为矩形,
EA
⊥
EB
,
M
,
N
分别为
AE
,
CD
的中点
.
(第16题)
(1)
求证:直线
MN
∥平面
EBC
;
(2)
求证:直线
EA
⊥平面
EBC.
17
.
(本小题满分14分
)如图,已知
A
,
B
两镇分别位于东西湖岸
MN
的
A
处和湖中小岛的
B
处,点
C
在
A
的正西方向1
km处,tan∠
BAN=
,∠
BCN=.
现计划铺设一条电缆联通
A
,
B
两
镇
.
有两种铺设方案:
①
沿线段
AB
在水下铺设;
②
在湖岸
MN
上选一点
P
,先沿线段
AP
在地
下铺设,再沿线段
PB
在水下铺设
.
预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元
km、4万
元
km
.
(第17题)
(1) 求
A
,
B
两镇间的距离;
(2) 应该如何铺设,才能使总铺设费用最低?
18
.
(本
小题满分16分)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,已知椭圆
心率为,且右焦点F
到左准线的距离为6
.
C
:
+
=
1(
a>b>
0)的离
(1)
求椭圆
C
的标准方程
.
(2) 设
A
为椭圆C
的左顶点,
P
为椭圆
C
上位于
x
轴上方的点
,直线
PA
交
y
轴于点
M
,过点
F
作MF
的垂线,交
y
轴于点
N.
①
当直线
PA
的斜率为
时,求△
FMN
的外接圆的方程;
②
设直线
AN
交椭圆
C
于另一点
Q
,求△
APQ
的面积的最大值
.
(第18题)
19
.
(本小题满分16分)已知函数
f
(
x
)
=
-ax
,
g
(
x
)
=
ln
x-ax
,
a
∈R
.
(1) 解关于
x
(
x
∈R)的不等式
f
(
x
)≤0
.
(2) 求证:
f
(
x
)≥
g
(
x
)
.
(3) 是否存在常数
a
,
b
,使
得
f
(
x
)≥
ax+b
≥
g
(
x
)对任意的
x>
0恒成立?若存在,求出
a
,
b
的
值;若
不存在,请说明理由
.
20
.
(本小题满分16分)已知各项均为正数的数列{
a
n}的前
n
项和为
S
n
,且
a
1
=a<
br>,(
a
n
+
1)·(
a
n+
1
+<
br>1)
=
6(
S
n
+n
),
n
∈N<
br>*
.
(1) 求数列{
a
n
}的通项公式;
(2) 若对任意的
n
∈N
*
,都有
S
n
≤
n
(3
n+
1),求实数
a
的取值范围;
(3) 当
a=
2时,将数列{
a
n
}中的部分项按原来的
顺序构成数列{
b
n
},且
b
1
=a
2
,
求证:存在无数个
满足条件的无穷等比数列{
b
n
}
.
江苏省常州市2017届高三第一次模拟考试
数
学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
已知
集合
U=
{1,2,3,4,5},
A=
{3,4},
B=
{1,4,5},则
A
∪(?
U
B
)
= .
2
.
已知
x>
0,若(
x-
i)2
是纯虚数(其中i为虚数单位),则
x= .
3
.
某单位有老年人20人,中年人120人,青年人100人,现采用分层抽样的
方法从所有人中
抽取一个容量为
n
的样本,已知从青年人中抽取的人数为10人,则<
br>n= .
4
.
双曲线
-
=
1的右焦点与左准线之间的距离是
.
5
.
函数
y=
-
+
lg(
x+
2)的定义域为
.
(第6题)
6
.
执行如图所示的流程图,若输入
a=
27,则输出的
b
的值为
.
7
.
满足等式cos
2
x-
1
=
3cos
x
(
x
∈[0,π])的
x
的值为
.
8
.
设
S
n
为等差数列{
a
n
}的前
n
项和,若
a
3
=
4,
S
9
-S
6
=
27,则
S
10
= .
9
.
已知男队有号码为1,2,3的三名乒乓球运动员,女队有号码为1
,2,3,4的四名乒乓球运动员,
现两队各出一名运动员比赛一场,则出场的两名运动员号码不同的概
率是
.
10
.
以一个圆柱的下底面为
底面,并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥,若所得的圆锥底面半
径等于圆锥的高,则圆锥的侧面积与圆
柱的侧面积之比为
.
=m
(
m
,
n
∈R),则
m+n
的取值范11
.
在△
ABC
中,∠
C=
45°,
O
是△
ABC
的外心,若
+n
围是
.
12
.
已知抛物线
x
2
=
2
py
(
p>
0)的焦点
F
是椭圆
+
=
1(
a>b>
0)的一个焦点,若
P
,
Q
是椭圆
与抛物线的公共点,且直线
P
Q
经过焦点
F
,则该椭圆的离心率为
.
13
.
在△
ABC
中,角
A
,
B
,
C
所对的边分别为
a
,
b
,
c
,若<
br>a
2
=
3
b
2
+
3
c
2<
br>-
2
bc
sin
A
,则角
C
= .
14
.
若函数
f
(
x
)
=
-
(
a
∈R)在区间[1,2]上单调递增,则实数
a
的取值范围是
.
二、 解答题:本大题共6小题,共90分
.
解答时应写出必要的文字
说明、证明过程或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14
分)在△
ABC
中,角
A
,
B
,
C
的对边
分别为
a
,
b
,
c
,已知
a+c=
8,c
os
B=
.
·
=
4,求
b
的值; (1) 若
(2)
若sin
A=
,求sin
C
的值
.
16
.
(本小题满分14分)如图,在三棱柱
ABC
-
A
1
B
1<
br>C
1
中,所有棱长都相等,且∠
ABB
1
=
60°,
D
为
AC
的中点
.
(1)
求证:
B
1
C
∥平面
A
1
BD
;
(2) 求证:
AB
⊥
B
1
C.
(第16题)
17
.
(本小题满分14分)已知圆
C
:(
x-t
)
2
+y
2
=
20(
t<
0)与椭圆
E
:
+
=
1(
a>b>
0)的一个公
共点为
B
(0,
-
2),
F
(
c
,0)为椭圆
E
的
右焦点,直线
BF
与圆
C
相切于点
B.
(1)
求
t
的值以及椭圆
E
的方程;
(2) 过点
F
任
作与坐标轴都不垂直的直线
l
与椭圆
E
交于
M
,
N
两点,在
x
轴上是否存在一定
点
P
,使得
PF恰为∠
MPN
的角平分线?
18
.
(本小题满分16分)某辆汽车以
x
kmh的速度在高速
公路上匀速行驶(考虑到高速公路
行车安全,要求60≤
x
≤120)时,每小时的油
耗(所需要的汽油量)为
- +
常数,且60≤
k
≤100
.
(1) 若汽车以120
kmh的速度行驶时,每小时的油耗为11
.
5 L,欲使每小时的油耗不超过9
L,
求
x
的取值范围;
(2) 求该汽车行驶100
km的油耗的最小值
.
L,其中
k
为
19
.
(本小题满分16分)已知函数
f
(
x
)
=ax
2
ln
x+bx+
1
.
(1) 若曲线
y=f
(
x
)在点(1,
f
(1)
)处的切线方程为
x-
2
y+
1
=
0,求
f
(
x
)的单调区间;
(2) 若
a=
2,且关于
x的方程
f
(
x
)
=
1在
上恰有两个不相等的实根,求实数
b
的取值范围;
(3) 若
a=
2,
b=-
1,当
x
≥1时,关于
x
的不等式
f<
br>(
x
)≥
t
(
x-
1)
2
恒成立,
求实数
t
的取值范围
.
(其
中e是自然对数的底数,e
=<
br>2
.
718 28…)
20
.
(本小题满分16分
)已知数列{
a
n
}满足
a
1
=
10,
a
n
-
10≤
a
n+
1
≤
a
n+
10(
n
∈N
*
)
.
(1) 若
{
a
n
}是等差数列,
S
n
=a
1
+a<
br>2
+
…
+a
n
,且
S
n
-
10≤
S
n+
1
≤
S
n
+
10(
n
∈N
*
),求公差
d
的取值
集合;
(2) 若
a
1
,
a
2
,…,
a
k
成等比数
列,公比
q
是大于1的整数,且
a
1
+a
2
+…
+a
k
>
2 017,求正整数
k
的最小值;
(3) 若
a
1
,
a
2
,…,
a
k
成等差数列,且
a
1
+a
2
+
…
+a<
br>k
=
100,求正整数
k
的最小值以及
k
取最小值时公差
d
的值
.
江苏省镇江市2017届高三第一次模拟考试
数
学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
已知
集合
A=
{1,2,3},
B=
{2,4,5},则集合
A
∪
B
中元素的个数为
.
2
.
已知复
数
z=
(1
-
2i)(3
+
i),其中i为虚数单位,则<
br>|z|= .
3
.
若圆锥底面半径为2,高为
,则其侧面积为
.
4
.
袋中有形状、大小
都相同的5只球,其中3只白球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则
这2只球颜色不同的概率为<
br> .
5
.
将函数
y=
5sin
+
的图象向左平移
φ
个单位长度后,所得函数图象关于
y
轴对称,则
φ= .
6
.
已知数列{
a
n
}为等比数列,且
a
1
+
1,
a
3
+
4,
a
5<
br>+
7成等差数列,那么公差
d= .
7
.
已知
f
(
x
)是定义在R上的奇函数,当
x>
0时,
f
(
x
)
=x
2
-
4
x
,那么
不等式
f
(
x
)
>x
的解集
为
.
8
.
已知双曲线
-
=
1的焦点到相应准线的距离等于实轴长,那么双曲线的离心率
为
.
9
.
圆心在直线
y=-
4
x
上,且与直线
x+y-
1
=
0相切于点
P
(3,
-
2)的圆的
标准方程
为
.
10
.
已知椭圆
+
=
1(
m
,
n
为常数,
m>
n>
0)的左、右焦点分别为
F
1
,
F
2
,
P
是以椭圆短轴为
直径的圆上任意一点,则
·
= .
11
.
定义在
上的函数
f
(<
br>x
)
=
8sin
x-
tan
x
的最大值为<
br> .
12
.
若不等式log
a
x-
ln
2
x<
4(
a>
0且
a
≠1)
对任意
x
∈(1,100)恒成立,则实数
a
的取值范围
为
.
13
.
已知函数
y=
+
+
与函数
y=
+
的图象共有
k
(
k
∈N
*
)个公共
点:
A
1
(
x
1
,
y
1
),
A
2
(
x
2
,
y
2
),…,A
k
(
x
k
,
y
k
),则
(
x
i
+y
i
)
= .
=
14
.
已知不等式(
m-n
)
2
+
(<
br>m-
ln
n+λ
)
2
≥2对任意
m
∈R,<
br>n
∈(0,
+∞
)恒成立,那么实数
λ
的取值
范围为
.
二、 解答题:本大题共6小题,共90分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14分)已知向量
m=
(cos
α<
br>,
-
1),
n=
(2,sin
α
),其中
α
∈
,且
m
⊥
n.
(1) 求cos2
α
的值;
(2)
若sin(
α-β
)
=
16
.
(本小题满分14分)如图,在长方体
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
中,
AB=BC=EC=AA
1
.
(1) 求证:
AC
1
∥平面
BDE
;
(2) 求证:
A
1
E
⊥平面
BDE.
,且
β
∈
,求角
β
的大小
.
(第16题)
17
.
(本小题满分14分)如图,某公园有三条观光大道
AB
,
BC
,
AC
围成直角三角形,其中直角边
BC=
200
m,斜边
AB=
400 m
.
现有甲、乙、丙三位小朋友分别在
AB
,
BC
,
AC
三条大道上嬉
戏,所在位置分别记为点
D
,
E
,
F.
(1) 若甲、乙两人都以每分钟100
m的速度从点
B
出发在各自的大道上奔走,到大道的另一
端时即停,乙比甲迟2
min出发,当乙出发1 min后,求此时甲、乙两人之间的距离;
(2)
设∠
CEF=θ
,乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍,且∠
DEF=
,请将甲、乙之间的
距离
y
表示为
θ
的函数,并求甲、乙之
间的最小距离
.
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)已知椭圆
上
.
(1)
求椭圆
C
的方程;
(2) 若直线
l
与椭圆
C
交
于点
P
,
Q
,线段
PQ
的中点为
H
,O
为坐标原点且
OH=
1,求△
POQ
面
积的最大值<
br>.
19
.
(本小题满分16分)已知
n
∈N
*
,数列{
a
n
}的各项均为正数,前
n
项的和为
S
n
,且
a
1<
br>=
1,
a
2
=
2,
设
b
n
=a
2
n-
1
+a
2
n
.
(1) 如果数列{
b
n
}是公比为3的等比数列,求
S
2
n
;
(2) 如果对任意的
20
.
(本小题满分16分)已知函数
f
(
x
)
=x
ln
x
,
g
(
x
)
=λ(
x
2
-
1)(
λ
为常数)
.
+
C
:
+
=
1(
a>b>
0)的离心率为
,且点
-
在椭圆
C
n∈N
*
,
S
n
=
恒成立,求数列{
a
n
}的通项公式;
(3) 如果
S
2
n
=
3(2
n
-
1),数列{
a
n
a
n+
1
}也为等比数列,求数列{
a
n
}的通项公式
.
(1) 已知函数
y=f
(
x
)与
y=g<
br>(
x
)在
x=
1处有相同的切线,求实数
λ
的值;
(2) 如果
λ=
,且
x
≥1,求证:
f
(
x
)≤
g
(
x
);
(3) 若对任意
x
∈[1,
+∞
),不等式
f
(
x
)≤
g
(
x
)恒成立,求实数
λ
的取值范围
.
江苏省扬州市2017届高三第一次模拟考试
数 学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
已知
集合
A=
{
x|x
≤0},
B=
{
-
1,
0,1,2},则
A
∩
B= .
2
.
设
+
-
=a+b
i(i为虚数单位,
a
,
b
∈R),则
ab= .
3
.
某学校共有师生3 200人,现采用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为160的
样本,已
知从学生中抽取的人数为150,那么该学校的教师人数是
.
(第4题)
4
.
如图是一个求函数值的算法流程图,若输入的<
br>x
的值为5,则输出的
y
的值为
.
5
.
已知直线
l
:
x+
y
-
2
=
0与圆
C
:
x
2
+y
2<
br>=
4交于
A
,
B
两点,则弦
AB
的长度为<
br> .
6
.
已知
A
,
B
∈{
-
3,
-
1,1,2}且
A
≠
B
,则
直线
Ax+By+
1
=
0的斜率小于0的概率为
.
+ -
z=
2
x+
3
y
的最大值为
.
7
.
若实数
x
,
y
满足则
- -
8
.
若正四棱锥的底面边长为2 cm,侧面积为8
cm
2
,则它的体积为
cm
3
.
9
.
已知抛物线
y
2
=
16
x
的焦点恰好是双曲线
-
=
1的右焦点,则双曲线的渐近线方程
为
.
10
.
已知cos
+
=
,那么sin(π
+α
)
= .
11
.
已知
x=
1,
x=
5是函数
f<
br>(
x
)
=
cos(
ωx+φ
)(
ω>
0)两个相邻的极值点,且
f
(
x
)在
x=
2处的导数
f'
(2)
<
0,则
f
(0)
= .
12
.
在正项等比数列{
a
n
}中,若
a
4
+a
3
-
2
a
2
-
2a
1
=
6,则
a
5
+a
6
的最小值为
.
13
.
已知△
ABC
是边长为3
的等边三角形,点
P
是以
A
为圆心的单位圆上一动点,点
Q
满足
=
+
,则
|
|
的最小值是
.
14
.
已知一个长方体的表面积为48
cm
2
,12条棱的长度之和为36
cm,则这个长方体的体积
的取值范围是
cm
3
.
二、 解答题:本大题共6小题,共90分
.
解答时应写出必要的文字说明
、证明过程或演算步
骤
.
·
=-
18
.
15
.
(本小题满分14分)在△
ABC
中,
AB=
6,
AC=
3
,
(1) 求
BC
的长;
(2)
求tan2
B
的值
.
16
.
(本小题满分14分)如图,在四棱锥
P
-
ABCD
中,底面
ABCD
是矩形,点
E
,F
分别是棱
PC
和
PD
的中点
.
(1) 求证:
EF
∥平面
PAB
;
(2) 若
AP=AD
,且平面
PAD
⊥平面
ABCD
,求证:
AF<
br>⊥平面
PCD.
(第16题)
17
.
(本小题满分14分)如图,矩形
ABCD
是一个历史文物展览厅的俯视图,点
E
在
AB
上,在
梯形
BCDE
区域内部展示文物,
DE
是玻璃幕墙,游客只能在△
ADE
区域内参观
.
在
AE
上点
P
处安装一可旋转
的监控摄像头,∠
MPN
为监控角,其中
M
,
N
在线段DE
(含端点)上,且点
M
在
点
N
的右下方
.
经测量得知:
AD=
6 m,
AE=
6
m,
AP=
2 m,∠
MPN=
.
记∠
EPM=
θ
(rad),监控
摄像头的可视区域△
PMN
的面积为
S
m
2
.
(1)
求
S
关于
θ
的函数关系式,并写出
θ
的取值范围;
参考数据
(2)
求
S
的最小值
.
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)如图,已知椭圆
C
:
+
=
1(
a>b>
0),圆
O
:
x
2
+y
2
=b
2
,过椭圆
C
的上
=λ
.
顶点
A
的直线
l
:
y=kx+b
分别交圆
O
、椭圆
C
于不同的两
点
P
,
Q
,设
(1) 若点
P
(
-<
br>3,0),点
Q
(
-
4,
-
1),求椭圆
C
的方程;
(2) 若
λ=
3,求椭圆
C
的离心率
e
的取值范围
.
(第18题)
19
.
(本小题
满分16分)已知数列{
a
n
}与{
b
n
}的前
n
项和分别为
A
n
和
B
n
,且对任意的
n<
br>∈N
*
,
a
n+
1
-a
n
=
2(
b
n+
1
-b
n
)恒成立
.
(1) 若
A
n
=n
2
,
b
1
=
2,求
B
n
.
(2)
若对任意的
n
∈N
*
,都有
+
a
n
=B
n
及
+
+
+
…
+
+
<
成立,求正实数
b
1
的取
值范围
.
(3) 若
a
1
=
2,
b
n
=
2
n
,是否存在两个互不相等的整数
s
,
t
(1),使得
,
,
成等差数列?若存
在,求出
s
,
t
的值;若不存在,请说明理由
.
20
.
(本小题满分16分)已知函数
f
(
x
)
=g
(
x
)·
h
(
x
),其中
函数
g
(
x
)
=
e
x
,
h
(
x
)
=x
2
+ax+a.
(1)
求函数
g
(
x
)在(1,
g
(1))处的切线方程;
(2) 当0
2时,求函数
f
(
x
)在x
∈[
-
2
a
,
a
]上的最大值;
(3) 当
a=
0时,对于给定的正整数
k
,问:函数
F<
br>(
x
)
=
e·
f
(
x
)
-
2
k
(ln
x+
1)是否有零点?请说明理
由
.<
br>(参考数据:e≈2
.
718,
≈1
.
649,e
≈4
.
482,ln2≈0
.
693)
江苏省南京市、盐城市、连云港市2017届高三第二次模拟
考试
数
学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
函数
f
(
x
)
=
ln
-
的定义域为
.
2
.
若复数
z
满足
z
(1
-
i)
=
2i(i是虚数单位),
是
z
的共轭复数,则
z
·
= .
3
.
某校有三个兴趣小组,甲、乙两名学生每人选择其中一个参加,且每人参加每个
兴趣小组的
可能性相同,则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为
.
4
.
下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据,人数如下表所示:
男性青年观众
女性青年观众
不喜欢戏剧
40
40
喜欢戏剧
10
60
现要在所有参与调查的人中采用分层抽样的方法抽取
n个人做进一步的调研,若在“不喜欢戏
剧的男性青年观众”的人中抽取了8人,则
n
的值为
.
(第5题)
5
.
执行如图所示的伪代码,输出的
S
的值为
.
6
.
记公比为正数的等比数列{
a
n
}的前<
br>n
项和为
S
n
,若
a
1
=
1,S
4
-
5
S
2
=
0,则
S
5
的值
为
.
7
.
将函数
f<
br>(
x
)
=
sin
x
的图象向右平移个单位长度后得到
函数
y=g
(
x
)的图象,则函数
y=f
(
x)
+g
(
x
)的最大值为
.
8
.
在平面直角坐标系
xOy
中,抛物线
y<
br>2
=
6
x
的焦点为
F
,准线为
l
,
P
为抛物线上一点,
PA
⊥
l
,
A
为垂足
.
若直线
AF
的斜率
k=-
,则线段
PF
的长为
.
9
.
若sin
-
=
,
α
∈
,则cos
α
的值为
.
10
.
已知
α
,
β
是两个互不重合的平面,m
,
n
为两条不同的直线,下列命题中正确的
是
.
(填序号)
①
若
α
∥
β
,<
br>m
?
α
,则
m
∥
β
;
②
若
m
∥
α
,
n
?
α
,则
m
∥
n
;
③
若
α
⊥
β
,
α
∩
β=n
,
m
⊥
n
,则
m
⊥
β
;
④
若
n
⊥
α
,
n
⊥
β
,
m
⊥
α
,则
m
⊥
β.
11
.
在平面直角坐标系
xOy
中,若直线
l1
:
kx-y+
2
=
0与直线
l
2
:
x+ky-
2
=
0相交于点
P
,则
当实数
k
变化时,点
P
到直线
l
:
x-y-
4
=
0的距离的最大值为
.
12
.
若函数
f
(
x
)
=x
2
-m
cos
x+m2
+
3
m-
8有唯一零点,则满足条件的实数
m
组成的
集合
为
.
=
(1,2),
·
的最小值为
.
=
(
-
2,2),则 13
.
若平面向量
14
.
已知函数
f
(
x
)
=
ln
x+
(e-a
)
x-b
,其中e为自然对数的底数,若不等式
f
(
x
)≤0恒成立,则
的最小值为
.
二、 解答题:本大题共6小题,共90分
.
解答时应写出必要的文字
说明、证明过程或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14
分)在△
ABC
中,
D
为边
BC
上一点,
AD=<
br>6,
BD=
3,
DC=
2
.
(1)
如图(1),若
AD
⊥
BC
,求∠
BAC
的大小;
(2) 如图(2),若∠
ABC=
,求△
ADC
的面积
.
图(1)
图(2)
16
.
(本小题满分14分)如
图,在四棱锥
P
-
ABCD
中,
AD
⊥平面
PAB
,
AP
⊥
AB.
(1)
求证:
CD
⊥
AP
;
(2) 若
CD
⊥
PD
,求证:
CD
∥平面
PAB.
(第16题)
(第15题)
17
.
(本小题满分14分)在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600 cm
2
的矩形纸板<
br>ABCD
,然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一
个无盖的长方体纸盒(如图)
.
设小正方形边长为
x
cm,矩形纸板的两边
AB
,
BC
的长分别为
a
cm和
b
cm,其中
a
≥
b.
(1)
当
a=
90时,求纸盒侧面积的最大值;
(2) 试确定
a
,b
,
x
的值,使得纸盒的体积最大,并求出最大值
.
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,
焦点在
x
轴上的椭圆
C
:
+
=
1
经过点(
b,2
e
)(其中
e
为椭圆
C
的离心率),过点
T
(1,0)作斜率为
k
(
k>
0)的直线
l
交椭
圆
C
于
A
,
B
两点(
A
在
x轴下方)
.
(1) 求椭圆
C
的标准方程;
(2)
设过点
O
且平行于
l
的直线交椭圆
C
于点
M
,
N
,求
的值;
=
,求直线
l
的斜率
k.
(3)
记直线
l
与
y
轴的交点为
P
,若
(第18题)
19
.
(本小题满分16分)已知函数
f
(
x
)
=
e
x
-ax-
1,其中e为自然对数的底数,
a
∈R
.
(1) 若
a=
e,函数
g
(
x
)
=
(2
-
e)
x.
①求函数
h
(
x
)
=f
(
x
)
-g
(
x
)的单调区间;
②
若函数
F
(
x
)
=
的值域为R,求实数
m
的取值范围
.
(2) 若存在实数
x
1
,
x
2
∈[0,2],使
得
f
(
x
1
)
=f
(
x
2
),且
|x
1
-x
2
|
≥1,求证:e
-
1≤
a
≤e
2
-
e
.
20
.
(本小题满分16分)已知数列
{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,数列{b
n
},{
c
n
}满足(
n+
1)
b
n
=a
n+
1
-
+
+ +
,(
n+
2)
c-
,其中
n
=
n
∈N
*
.
(1) 若数列{
a
n}是公差为2的等差数列,求数列{
c
n
}的通项公式;
(2) 若存
在实数
λ
,使得对一切
n
∈N
*
,有
b
n
≤
λ
≤
c
n
,求证:数列{
a
n
}是等差数列
.
江苏省苏锡常镇2017届高三第二次模拟考试
数 学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
已知集合
U=
{1,2,3,4,5,6,7
},
M=
{
x|x
2
-
6
x+
5≤0,<
br>x
∈Z},则?
U
M= .
2
.
若复数
z
满足
z+
i
=
3
.
函数
f
(
x
)
=
-
+
,其中i为虚数单位,则
|z|= .
的定义域为
.
4
.
根据如图所示的伪代码,可知该算法输出的结果是
.
5
.
某高级中学共有900名学生,现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量
为45的样
本,其中高一年级抽20人,高三年级抽10人,则该校高二年级的学生人数为
.
6
.
已知某正四棱锥的底面边长是2,侧棱长是
,则该正四棱锥的体积为
.
7
.
从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数,则这两个数的和为3的倍数的概率为
.
8
.
在平面直角坐标系
xOy
中,若抛物线
y
2
=
8
x
的焦点恰好是双曲线
-
=
1的右焦点,则
该双曲线的离心率为
.
9
.
设等比数列{
a
n
}的前
n项和为
S
n
,若
S
3
,
S
9
,
S
6
成等差数列,且
a
2
+a
5
=4,则
a
8
的值
为
.
10
.
在平面直角坐标系
xOy
中,过点
M
(1
,0)的直线
l
与圆
x
2
+y
2
=
5交于
A
,
B
两点,其中点
A
,则直线
l
的方程为
.
=
2 在第一象限,且
=
+λ
,且
=
1,则实
· 11
.
在△
AB
C
中,已知
AB=
1,
AC=
2,∠
A=
60°,
若点
P
满足
数
λ
的值为
.
12
.
若sin
α=
3sin
+
,则tan
+
= .
13
.
若函数
-
f
(
x
)
=
则函数
y=|f
(
x
)
|-
的零点个数为
.
14
.
若正数<
br>x
,
y
满足15
x-y=
22,则
x
3+y
3
-x
2
-y
2
的最小值为
.
二、 解答题:本大题共6小题,共90分
.
解答时应写出必要
的文字说明、证明过程或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14分)在△
ABC
中,已知
a
,
b
,
c
分别为角
A
,
B,
C
的对边,
a
cos
B=
3,
b
cos
A=
1,
且
A-B=
.
(1)
求边
c
的长;
(2) 求角
B
的大小
.
16
.
(本小题满分14分)如图,在斜三棱柱<
br>ABC
-
A
1
B
1
C
1
中,侧面<
br>AA
1
C
1
C
是菱形,
AC
1
与<
br>A
1
C
交于点
O
,
E
是棱
AB上一点,且
OE
∥平面
BCC
1
B
1
.
(1) 求证:
E
是
AB
中点;
(2) 若
AC
1
⊥
A
1
B
,求证:
AC
1
⊥
BC.
(第16题)
17
.
(本小题满分14分)某单位将举办庆典活
动,要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门
BADC
(如图)
.
设计要求彩
门的面积为
S
(单位:m
2
),高为
h
(单位:m)(S
,
h
为常数)
.
彩门的下底
BC
固定在广场
地面上,上底和两腰由不锈钢支架构成,设腰和下底的夹角为
α
,不锈钢支架的
长度和
记为
l.
(1) 请将
l
表示成关于
α
的函数<
br>l=f
(
α
)
.
(2)
问:当
α
为何值时
l
最小?并求此最小值
.
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,已知椭圆
+
=
1(
a>b>
0)的焦距
为2,离心率为
,椭圆的右顶点为
A.
(1) 求该椭圆的方程;
(2)
过点
D
(
,
-
)作直线
PQ交椭圆于两个不同点
P
,
Q
,求证:直线
AP
,
AQ
的斜率之和为
定值
.
(第18题)
19
.
(本小题满分16分)已知函数
f
(
x
)
=
(
x+
1)ln
x-ax+a
(
a
为正实数,且为常数)
.
(1) 若
f
(
x
)在(0,
+∞
)上单调递增,
求
a
的取值范围;
(2) 若不等式(
x-
1)
f
(
x
)≥0恒成立,求
a
的取值范围
.
20
.
(本小题满分16分)已知
n
为正整数,数列{
a
n
}满足
a
n
>
0,4(
n+
1)
-n
+
=
0,设数列
{
b
n
}满足
b
n
=
.
(1)
求证:数列
为等比数列;
(2)
若数列{
b
n
}是等差数列,求实数
t
的值;
2
(3) 若数列{
b
n
}是等差数列,且前
n
项
和为
S
n
,对任意的
n
∈N
*
,均存在
m
∈N
*
,使得8
S
n
-
n
=
16
b
m
成立,求满足条件的所有整数
a1
的值
.
江苏省通、泰、扬、徐、淮、宿2017届高三第二次模拟考
试
数
学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
已知
集合
A=
{0,3,4},
B=
{
-
1,0,2,3},则
A
∩
B= .
2
.
已知复数
z=
-
+
,其中i为虚数单位,则复数
z
的模是
.
3
.
根据如图所示的伪代码,可知输出的结果
S
是
.
i
←1
While
i<
6
i
←
i+
2
S
←2
i+
3
End
While
Print
S
(第3题)
纤维长度
[22
.
5,25
.
5)
[25
.
5,28
.
5)
[28
.
5,31
.
5)
[31
.
5,34
.
5)
[34
.
5,37
.
5)
[37
.
5,40
.
5)
频数
3
8
9
11
10
5
[40
.
5,43
.
5]
(第4题)
4
4
.
现有1 000根某品种
的棉花纤维,从中随机抽取50根,纤维长度(单位:mm)的数据分组及
各组的频数如表所示,据此估
计这1 000根纤维中长度不小于37
.
5 mm的根数是
.
5
.
100张卡片上分别写有1,2,3,…,100
.
从中任取
1张,则这张卡片上的数是6的倍数的概率
是
.
6
.
在平面直角坐标系
xOy
中,已知抛物线
y
2
=
4
x
上一点
P
到焦点的距离为3,则点
P的横坐
标是
.
7
.
现有一个底面半径为3 cm,母线长为5
cm的圆锥状实心铁器,将其高温融化后铸成一个
实心铁球(不计损耗),则该铁球的半径是
cm
.
8
.
函数
f
(
x
)
=
-
的定义域是
.
9
.
已知{
an
}是公差不为0的等差数列,
S
n
是其前
n
项和.
若
a
2
a
3
=a
4
a
5<
br>,
S
9
=
27,则
a
1
的值
是 .
10
.
在平面直角坐标系
xOy
中,
已知圆
C
1
:(
x-
4)
2
+
(
y-
8)
2
=
1,圆
C
2
:(
x-
6)
2
+
(
y+
6)
2
=
9
.
若
圆心在
x
轴上的圆
C
同时平分圆
C
1<
br>和圆
C
2
的圆周,则圆
C
的方程是
.
(第11题)
·
=-
7,则11
.
如图,在平面四边形
ABCD
中,O
为
BD
的中点,且
OA=
3,
OC=
5.
若
·
的值是
.
12
.
在△
ABC
中,已知
AB=
2,
AC
2
-BC
2
=
6,则tan
C
的最大值是
.
- +
其中m>
0
.
若函数
y=f
(
f
(
x))
-
1有3个不同的零点,则实13
.
已知函数
f
(
x
)
=
-
数
m
的取值范围是
.
14
.
已知对任意的
x
∈R,3
a
(sin
x+
cos
x
)
+
2
b
sin 2
x
≤3(
a
,
b
∈R)恒成立,则当
a+b
取得最小值
时,
a
的值是
.
二、 解答题:本大题共6小题,共90分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14分)已知sin
+
=
,
α
∈
.
(1) 求cos
α
的值;
(2) 求sin
-
的值
.
16
.
(本小题满分14分)如图,在直三棱柱
ABC
-
A
1
B
1
C
1
中,
AC
⊥
BC<
br>,
A
1
B
与
AB
1
交于点
D
,
A
1
C
与
AC
1
交于点
E.
(第16题)
(1)
求证:
DE
∥平面
B
1
BCC
1
;
(2) 求证:平面
A
1
BC
⊥平面
A
1
ACC
1
.
17
.
(本小题满分14分)如图,在平面直角坐
标系
xOy
率为,
C
为椭圆上位于第一象限内的一点
.
(1) 若点
C
的坐标为
,求
a
,
b
的值;
=
,求直线
AB
的斜率
.
(2)
设
A
为椭圆的左顶点,
B
为椭圆上一点,且
中,已知椭圆
+
=
1(
a>b>
0)的离心
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)一缉私艇
巡航至距领海边界线
l
(一条南北方向的直线)3
.
8nmile的
A
处,发现在其北偏东30°方向相距4nmile的
B
处有一走私船正欲逃跑,缉私
艇立即追击
.
已知
缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍
.
假设
缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速
航行
.
(1)
若走私船沿正东方向逃离,试确定缉私艇的追击方向,使得用最短时间在领海内拦截成
功;
参考数据
(2)
问:无论走私船沿何方向逃跑,缉私艇是否总能在领海内成功拦截?并说明理由
.
(第18题)
19
.
(本小题满分16分)已知函数
f
(
x
)
=
,
g
(
x
)
=
ln
x
,其中e为自然对数的底数
.
(1) 求函数
y=f<
br>(
x
)
g
(
x
)在
x=
1处的切线
方程;
(2) 若存在
x
1
,
x
2
(
x
1
≠
x
2
),使得
g
(
x
1)
-g
(
x
2
)
=λ
[
f
(
x
2
)
-f
(
x
1
)]成立,其中
λ
为常数,求证:
λ>
e;
(3) 若对任意的
x
∈(
0,1],不等式
f
(
x
)
g
(
x
)≤<
br>a
(
x-
1)恒成立,求实数
a
的取值范围
.
20
.
(本小题满分16分)设数列{
a
n
}的前
n
项和为
Sn
(
n
∈N
*
),且满足:
①|a
1
|
≠
|a
2
|
;
②r
(
n-p
)
S
n+
1
=
(
n
2
+n
)
a
n
+
(
n
2
-n-
2)
a
1
,其中
r
,
p
∈R,且
r
≠0
.
(1) 求
p
的值;
(2)
数列{
a
n
}能否是等比数列?请说明理由;
(3)
求证:当
r=
2时,数列{
a
n
}是等差数列
.
南师附中、天一、淮中、海门中学四校联考
数 学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
已知
全集
I=
{1,2,3,4,5,6},集合
A=
{1,3,5},
B=
{2,3,6},则(?
I
A
)∩
B= .
2
.
复数1
+
+
的实部为
.
3
.
执行如图所示的算法流程图,则输出的
n
的值是
.
(第3题)
(第4题)
4
.
某校在市统测后,从高三年级的1 000名学生中随机抽出1
00名学生的数学成绩作为样本
进行分析,得到样本频率分布直方图如图所示,则估计该校高三年级学生
中数学成绩在
[110,140)之间的人数为
.
5
.
若双曲线
-
=
1
的一条渐近线过点(2,1),则该双曲线的离心率为
.
6
.
现有5张分别标有数字1,2,3,4,5的卡片,它们大小和
颜色完全相同
.
从中随机抽取2张组
成两位数,则两位数为偶数的概率为
.
+
z=
的最大值为
.
7
.
已知变量
x
,
y
满足约束条件
则
8
.
设正项等比数列{
a
n
}满足2
a
5
=a
3
-a
4
.
若存在两项
a
n
,
a
m
,使得
a
1
=
4
,则
m+n
的
值为
.
9
.
在正方体
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
中,
P
为
AA
1<
br>的中点,
Q
为
CC
1
的中点,
AB=
2,则
三棱锥
B
-
PQD
的体积为
.
10
.
已知
f
(
x
)是定义在R上的奇函数.
当
x<
0时,
f
(
x
)
=x
2
-
2
x+
1,则不等式
f
(
x
2-
3)
>f
(2
x
)的解
集用区间表示为
.
11
.
在平面直角坐标系
xOy
中,设直线
x-y+m=
0(
m>
0)与圆
x
2
+y
2=
8交于不同的两点
A
,
B
,若圆上存在点
C
,使得△
ABC
为等边三角形,则正数
m
的值为
.
12
.
已知
P
是曲线
y=
x
2
-
ln
x
上的动点,
Q
是直线
y=
x-
1上的动点,则
PQ
的最小值
为
.
13
.
在矩形
ABCD
中,
P
为矩形
A
BCD
所在平面内一点,且满足
PA=
3,
PC=
4,矩形对角线<
br>
·
= .
AC=
6,则
14
.
在△
ABC
中,若
+=
3,则
sin
A
的最大值为
.
二、
解答题:本大题共6小题,共90分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14分)已知函数
f
(
x
)
=
2
sin
x
cos
x+
2cos
2
x-
1
.
(1) 求
f
(
x
)的最大值,以及该函数取
得最大值时
x
的取值集合;
(2) 在△
ABC
中,已知
a
,
b
,
c
分别是角
A
,
B
,<
br>C
的对边,且
a=
1,
b=
,
f
(
A
)
=
2,求角
C
的大小
.
16
.
(本小题满分14分)如图,在正三棱柱
AB
C
-
A
1
B
1
C
1
中,每条棱长均相等,
D
为棱
AB
的中
点,
E
为侧棱
CC
1
的中点
.
(1)
求证:
CD
∥平面
A
1
BE
;
(2)
求证:
AB
1
⊥平面
A
1
BE.
(第16题)
17
.
(本小题满分14分)如图,已知椭圆
C
:
+
=
1(
a>b>
0)过点(0,1)和
,圆
O
:
x
2
+y
2
=
b
2
.
(1) 求椭圆
C
的标准方程;
(2) 若直线
l
与
圆
O
相切,切点在第一象限内,且直线
l
与椭圆
C
交于A
,
B
两点,△
OAB
的面积
为
时,求直线
l
的方程
.
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)如图,在某商业区周边有两条公路
l
1
和
l
2
,在点
O
处交汇
.
该
商业区是
圆心角为
,半径为3 km的扇形
.
现规划在该商业区外
修建一条公路
AB
,与
l
1
,
l
2
分别交
于
A
,
B
两点, 要求
AB
与扇形弧相切,切点
T
不在
l
1
,
l
2
上
.
(1) 设
OA=a
km,
OB=b
km,试用
a,
b
表示新建公路
AB
的长度,求出
a
,
b<
br>满足的关系式,并
写出
a
,
b
的取值范围;
(2)
设∠
AOT=α
,试用
α
表示新建公路
AB
的长度,并且确
定
A
,
B
的位置,使得新建公路
AB
的
长度最短<
br>.
(第18题)
19
.
(本小题满分16分)设
a>0且
a
≠1,函数
f
(
x
)
=a
x<
br>+x
2
-x
ln
a-a.
(1)
当
a=
e时,求函数
f
(
x
)的单调区间;
(2) 求函数
f
(
x
)的最小值;
(3)
求函数
f
(
x
)的零点个数,并说明理由
.
20
.
(本
小题满分16分)如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差都大于3,则称这个
数列为“
S
型数列”
.
(1) 已知数列{
a
n
}满
足
a
1
=
4,
a
2
=
8,
an
+a
n-
1
=
8
n-
4(
n
≥2,
n
∈N
*
),求证:数列{
a
n
}是“<
br>S
型数列”
.
(2) 已知等比数列{
a
n
}的首项与公比
q
均为正整数,且{
a
n
}为“
S
型数列”,记
b
n
=
a
n
,当数列{
b
n
}
不是“
S
型数列”时,求数列{
a
n
}的通项公式
.
(3) 是否存在一个正项数列{
c
n
}是“
S
型数列”,当
c
2
=
9,且对任意大于等于2的自然数
n
都满
足
-
+
+
≤
-
+
≤
-
+
+
-
?如果存在,
给出数列{
c
n
}的一个通项
公式(不必证明);如果不存在,请说明理由<
br>.
江苏省南京市、淮安市2017届高三第三次模拟考试
数 学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
已知
全集
U=
{1,2,3,4},集合
A=
{1,4},
B=
{3,4},则?
U
(
A
∪
B
)
= .
2
.
甲盒子中有编号分别为1,2的2个乒乓球,乙盒子中有编号分别为
3,4,5,6的4个乒乓球
.
现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球,则取出的乒乓球
的编号之和大于6的概率
为
.
3
.
若复数
z
满足
z+
2
=
3
+
2i,其中i为虚数单位,
为复数
z
的共轭复数,则复数
z
的模
为
.
4
.
执行如图所示的伪代码,若输出
y
的值为1,则输入的
x
的值为
.
(第4题)
(第5题)
5
.
如图是甲、乙两名篮球运动员在五场
比赛中所得分数的茎叶图,则在这五场比赛中得分较
为稳定(方差较小)的那名运动员的得分的方差为<
br> .
6
.
在同一平面直角坐标系中,函数
y=
sin
+
(
x
∈[0,2π))的图象和直线
y=
的图象的交点
的个数是
.
7
.
在平面直角坐标系
xOy
中,双曲线
成的集合是
.
8
.
已知函数
f
(
x
)是定义在R上且周期为4
的偶函数
.
当
x
∈[2,4]时,
f
(
x
)
=
-
,则
f
的值为
.
-=
1
的焦距为6,则所有满足条件的实数
m
构
(第10题)
9
.
若等比数列{
a
n
}的各项均为正数,且
a
3
-a
1
=
2,则
a5
的最小值为
.
10
.
如图,在直三棱
柱
ABC
-
A
1
B
1
C
1
中,<
br>AB=
1,
BC=
2,
BB
1
=
3,∠ABC=
90°,
D
为侧棱
BB
1
上
的动点<
br>.
当
AD+DC
1
最小时,三棱锥
D
-
AB
C
1
的体积为
.
11
.
若函数f
(
x
)
=
e
x
(
-x
2<
br>+
2
x+a
)在区间[
a
,
a+
1]上单调
递增,则实数
a
的最大值
为
.
·
+
)·(
+
=
0,( 12
.
在凸四边形
ABCD
中,
BD=
2,
)
=
5,则四边形
ABCD
的面
积为
.
13
.
在平面直角坐标系
xOy
中,圆
O
:x
2
+y
2
=
1,圆
M
:(
x+a+
3)
2
+
(
y-
2
a
)
2
=
1(
a
为实数)
.
若
圆
O
与圆
M
上分别存在点
P
,
Q
,使得∠
OQP=
30°
,则
a
的取值范围为
.
14
.
已知
a
,
b
,
c
为正实数,且
a+
2
b
≤8
c
,
+
≤
,则
骤
.
15
.
(本小题满分14分)如图,
在三棱锥
A
-
BCD
中,
E
,
F
分别为棱
BC
,
CD
上的点,且
BD
∥平面
+
的取值范围为
.
二、 解答题:本大题共6小
题,共90分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
AEF.
(1) 求证:
EF
∥平面
ABD
;
(2) 若
AE
⊥平面
BCD
,
BD
⊥
CD
,求证:平面AEF
⊥平面
ACD.
(第15题)
16
.
(本小题满分14分)已知向量
a=
(2cos
α
,sin
2
α
),
b=
(2sin
α
,
t
),
α
∈
,
t
为实数
.
(1)
若
a-b=
,求
t
的值;
(2)
若
t=
1,且
a
·
b=
1,求tan
+
的值
.
17
.
(本小题满分14分)在一水域上建一个演艺广场
.
如图,演艺广场由看台
Ⅰ
,看台
Ⅱ
,三角形水
域
A
BC
及矩形表演台
BCDE
四个部分构成
.
看台
Ⅰ
,看台
Ⅱ
是分别以
AB
,
AC
为直径的两个半
圆形
区域,且看台
Ⅰ
的面积是看台
Ⅱ
的面积的3倍
.
在矩形表演
台
BCDE
中,
CD=
10
m,三角形
水域
ABC
的面积为400
m
2
.
设∠
BAC=θ.
(1)
求
BC
的长(用含
θ
的式子表示);
(2) 若表演台的造价为0
.
3万元
m
2
,求表演台的最低造价
.
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,椭圆
+
=
1(
a>b>
0)的右顶点和
·
=-
b
2
.
上顶点分别为
A
,
B
,
M
为线段
AB
的中点,且
(1)
求椭圆的离心率
.
(2) 若
a=
2,四边形
ABCD<
br>内接于椭圆,
AB
∥
DC.
记直线
AD
,
B
C
的斜率分别为
k
1
,
k
2
.
求证:
k
1
·
k
2
为定值
.
(第18题)
19
.
(本
小题满分16分)已知常数
p>
0,数列{
a
n
}满足
a<
br>n+
1
=|p-a
n
|+
2
a
n
+
p
,
n
∈N
*
.
(1)
若
a
1
=-
1,
p=
1
.
①
求
a
4
的值;
②
求数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
.
(2) 若数列
{
a
n
}中存在三项
a
r
,
a
s
,
a
t
(
r
,
s
,
t
∈N
*
,
r)依次成等差数列,求
的取值范围
.
20
.
(本小题满分16分)已知
λ
∈R,函数
f
(
x
)
=
e
x
-
e
x-λ
(
x
ln
x-x+
1)的导函数为
g
(
x
)
.
(1)
求曲线
y=f
(
x
)在
x=
1处的切线方程;
(2)
若函数
g
(
x
)存在极值,求
λ
的取值范围;
(3) 若
x
≥1时,
f
(
x
)≥0恒成立,求<
br>λ
的最大值
.
江苏省南通市、泰州市、扬州市2017届高三第三次模拟考
试
数
学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
设复
数
z=a+b
i(
a
,
b
∈R,i为虚数单位)
.
若
z=
(4
+
3i)i,则
ab
的值是
.
2
.
已知全集
U=
{
x|x>
0
},集合
A=
{
x|x
≥2},则?
U
A= .
3
.
某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首,则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的
概率是
.
(第4题)
4
.
如图是一个算法流程图,则输出的
k
的值是
.
5
.
为了调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况,现采用分
层抽样的方法抽取一个容量
为500的样本
.
其中大一年级抽取200人,大二年级抽
取100人
.
若其他年级共有学生3 000
人,则该校学生总人数是
.
6
.
设等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
.
若公差
d=
2,
a
5
=
10,则
S
10
的值是
.
7
.
在锐角三角形
ABC
中,已知
AB=
3,<
br>AC=
4,若△
ABC
的面积为3
,则
BC
的长
是
.
8
.
在平面直角坐标系
xOy
线的离心率是
.
9
.
已知圆锥的侧面展开图是半径为3,圆心角为的扇形,则这个圆锥的高为
.
10
.
若直线
y=
2
x+b
为曲线
y=
e
x
+x
的一条切线,则实数
b
的值是
.
11
.
若正实数
x
,
y
满足
x+y=
1,则
+
的最小值是
.
中,若双曲线
-y
2
=
1(
a>
0)经过抛物线
y
2
=
8
x
的焦点,则该双曲
(第12题)
12
.
如图
,在直角梯形
ABCD
中,
AB
∥
DC
,∠
ABC
=
90°,
AB=
3,
BC=DC=
2
.
若
E
,
F
分别是线段
·
的取值范围是
.
DC
和
BC
上的动点,则
13
.
在平面
直角坐标系
xOy
中,已知点
A
(0,
-
2),点
B
(1,
-
1),
P
为圆
x
2
+y
2
=
2上一动点,则
的最大值是
.
若函数
g
(
x
)
=
2
f
(
x
)
-ax
恰有2个不同的零点,则实数
a
的14
. 已知函数
f
(
x
)
=
-
取值范围是
.
二、 解答题:本大题
共6小题,共90分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14分)
已知函数
f
(
x
)
=A
sin
+
(
a>
0,
ω>
0)图象的相邻两
条对称轴之间
的距离为π,且经过点
.
(1)
求函数
f
(
x
)的解析式;
(2)
若角
α
满足
f
(
α
)
+
f
-
=
1,
α
∈(0,π),求角
α
的值
.
16
.
(本小题满分14分)如图,在
四棱锥
P
-
ABCD
中,底面
ABCD
是矩形,平面
PAD
⊥平面
ABCD
,
AP=AD
,
M,
N
分别为棱
PD
,
PC
的中点
.
(第16题)
(1)
求证:
MN
∥平面
PAB
;
(2)
求证:
AM
⊥平面
PCD.
17
.
(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,已知椭圆
+
=
1(
a>b>
0)的左焦
点为
F
(
-
1,0),且经过点
.
(1) 求椭圆的标准方程;
(2) 已知椭圆的弦
AB
过点
F
,且与
x
轴不垂直,若
D
为
x
轴上的一点,
DA=DB
,求的值
.
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)如图,半圆
AOB
是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图,半径
OA
的长为1百米
.
为了保护景点,基地管理部门从道路
l
上选取一点
C
,修建参观线路
C
-
D
-
E
-
F
,且
CD
,
DE
,
EF
均与半圆相切,四边形
CDEF
是等腰梯形
.
设
DE=t
(单位:百米),记修建
<
br>每1百米参观线路的费用为
f
(
t
)(单位:万元),经测算
f
(
t
)
=
-
(1) 用
t
表示线段
EF
的长;
(2)
求修建该参观线路的最低费用
.
(第18题)
19
.
(本小题满分16分)已知{
a
n
}是公差为d
的等差数列,{
b
n
}是公比为
q
的等比数列,q
≠
±
1, 正
整数组
E=
(
m
,<
br>p
,
r
)(
m
)
.
(1) 若
a
1
+b
2
=a
2
+b
3
=a
3
+b
1
,求
q
的值;
(2)
若数组
E
中的三个数构成公差大于1的等差数列,且
a
m
+b
p
=a
p
+b
r
=a
r
+b
m
,求
q
的最
大值;
(3) 若
b
n
=
-
-
,
a
m
+b
m
=a
p
+b
p
=a
r
+b
r
=
0,试写出满足条件的一个数组
E
和对应的通项公式
a
n
.
(注:本小问不必写出解答过程)
20
.
(本小题满分16分)已知函数
f
(
x
)
=ax
2
+
cos
x
(
a
∈
R),记
f
(
x
)的导函数为
g
(
x
)<
br>.
(1) 求证:当
a=
时,
g
(
x
)在R上单调递增
.
(2)
若
f
(
x
)在
x=
0处取得极小值,求
a
的取值范围
.
(3) 设函数
h
(
x
)的定义域
为
D
,区间(
m
,
+∞
)?
D.
若
h
(
x
)在(
m
,
+∞
)上是单调函数,则称<
br>h
(
x
)在
D
上广义单调
.
求证:函数y=f
(
x
)
-x
ln
x
在(0,
+∞
)上广义单调
.
江苏省连云港市、宿迁市、徐州市2017届高三第三次模拟
考试
数
学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
已知
集合
A=
{
-
1,1,2},
B=
{0,1,2,7},则
集合
A
∪
B
中元素的个数为
.
2
.
设
a
,
b
∈R,
+
-
=a+b
i(i为虚数单位),则
b
的值为
.
3
.
在平面直角坐标系
xOy
中,双曲线
-=
1的离心率是
.
4
.
现有三张识字卡片,分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字,将
这三张卡片随机排序,则能组成
“中国梦”的概率是
.
(第5题)
5
.
执行如图所示的算法流程图,则输出的
k
的值为
.
6
.
已知一组数据3,6,9,8,4,则该组数据的方差是
.
-
的取值范围是
.
7
.
已知实数
x
,
y
满足约束条件
则
+
8
.
若函数
f
(x
)
=
2sin(2
x+φ
)
的图象过点(0,
),则函数
f
(
x
)在[0,π]上的单调减区
间是
.
9
.
在公比为
q
且
各项均为正数的等比数列{
a
n
}中,
S
n
为{
a
n
}的前
n
项和
.
若
a
1
=
,且
S
5
=S
2
+
2,则
q
的值为
.
10
.
如图,在正三棱柱
ABC
-
A
1
B
1
C
1
中,已知
AB=AA
1
=
3,点
P
在棱
CC
1
上,则三棱锥
P
-
ABA<
br>1
的体积为
.
(第10题)
(第11题)
11
.
如图
,已知正方形
ABCD
的边长为2,
BC
平行于
x
轴,顶点
A
,
B
和
C
分别在函数
y
1
=<
br>3log
a
x
,
y
2
=
2log
a
x
和
y
3
=
log
a
x
(
a>
1)的图象上,则实数
a
的值为
.
12
.
已知对于任意的
x
∈(
-∞
,1)∪(5
,
+∞
),都有
x
2
-
2(
a-
2)x+a>
0,则实数
a
的取值范围
是
.
13
.
在平面直角坐标系
xOy
中,圆
C
:(<
br>x+
2)
2
+
(
y-m
)
2
=3
.
若圆
C
上存在以
G
为中点的弦
AB
,且
AB=
2
GO
,则实数
m
的取值范围是
.
·
取得最大值14
.
已知△
ABC
三个内角
A
,<
br>B
,
C
所对的边分别为
a
,
b
,
c
,且
C=
,
c=
2
.
当
时,
的值为
.
二、 解答题:本大题共6小
题,共90分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14分)如图,在△
ABC
中,已知点<
br>D
在边
AB
上,
AD=
3
DB
,cosA=
,cos∠
ACB
=
,
BC=
13
.
(1)
求cos
B
的值;
(2) 求
CD
的长
.
(第15题)
16
.
(本小题满分14分)如图,在四棱锥
P
-
ABCD
中,底面
ABCD
是矩形,点
E在棱
PC
上(异
于点
P
,
C
),平面
ABE
与棱
PD
交于点
F.
(1)
求证:
AB
∥
EF
;
(2) 若平面
PAD
⊥平
面
ABCD
,求证:
AF
⊥
EF.
(第16题)
17
.
(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系
xOy<
br>中,已知椭圆
C
:
+=
1的左、右顶
点分别为
A,
B
,过右焦点
F
的直线
l
与椭圆
C
交于
P
,
Q
两点(点
P
在
x
轴上方).
(1)
若
QF=
2
FP
,求直线
l
的方程
.
(2) 设直线
AP
,
BQ
的斜率分别为
k
1,
k
2
,是否存在常数
λ
,使得
k
1
=λk
2
?若存在,求出
λ
的值;若
不存在,请说明理由
.
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计
如图所示,圆
O
的圆心与矩形
ABCD
对角线的交点重合,且圆与矩形上下两
边相切(
E
为上切点),与左右两边相交(
F
,
G
为其中两个交点),图中阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域
.
已知圆的半径为1
m,且
≥
,
设∠
EOF=θ
,透光区域的面积为
S.
(1) 求
S
关于
θ
的函数关系式,并求出定义域;
(2) 根据设计要求,透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好,当该比值最大时,求边
AB
的长
.
(第18题)
19
.
(本小题满分16分
)已知两个无穷数列{
a
n
}和{
b
n
}的前
n<
br>项和分别为
S
n
,
T
n
,
a
1=
1,
S
2
=
4,对
任意的
n
∈N<
br>*
,都有3
S
n+
1
=
2
S
n+S
n+
2
+a
n
.
(1)
求数列{
a
n
}的通项公式;
(2) 若{
b
n
}为等差数列,对任意的
n
∈N
*
,都有
S
n
>T
n
,求证:
a
n
>b
n
;
(3) 若{
b
n
}为等比数列,
b
1
=a
1
,
b
2
=a
2
,求满足
20
.
(本小题满分16分)已知函数
f
(
x
)
=
+x
ln
x
(
m>
0),
g
(
x
)<
br>=
ln
x-
2
.
(1)
当
m=
1时,求函数
f
(
x
)的单调增区间;
+
+
=a
k
(
k
∈N
*
)的
n
值
.
(2) 设函数
h
(
x
)
=f
(
x
)
-xg
(
x
)
-
,<
br>x>
0,若函数
y=h
(
h
(
x
))的最小
值是
,求
m
的值;
(3) 若
函数
f
(
x
),
g
(
x
)的定义域都是[
1,e],对于函数
f
(
x
)的图象上的任意一点
A
,在函
数
g
(
x
)的图
象上都存在一点
B
,使得
OA
⊥
OB
,其中e是自然对数的底数,
O
为坐标原点,求
m
的取值范围
.
江苏省苏锡常镇2017届高三第三次模拟考试
数 学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
已知
集合
A=
{
x|-
1
B=
{
x|x<
2},则
A
∩
B= .
2
.
已知i为虚数单位,复数
z
1
=
3
+y
i(
y
∈R),
z
2
=
2
-
i,且
=
1
+
i,则
y= .
3
.
下表是一个容量为10的样本数据分组后的频数分布表
.
若利
用组中值近似计算本组数据
的平均数 ,则 的值为
.
数据
频数
[12
.
5,15
.
5)
2
[15
.
5,18
.
5)
1
[18
.
5,21
.
5)
3
[21
.
5,24
.
5)
4
4
.
已知直线2
x-
y=
0为双曲线
-
=
1(
a>
0,
b>
0)的一条渐近线,则该双曲线的离心率
的值为
.
(第5题)
5
.
据记载,在公元前3世纪,阿基米德已经得出了
前
n
个自然数平方和的一般公式
.
如图所示
是一个求前
n<
br>个自然数平方和的算法流程图,若输入
x
的值为1,则输出
S
的值为<
br> .
6
.
已知
Ω
1
是集合{(
x
,
y
)
|x
2
+y
2
≤1}所
表示的区域,
Ω
2
是集合{(
x
,
y
)
|
y
≤
|x|
}所表示的区域,向区域
Ω
1
内随机地投一个点
,则该点落在区域
Ω
2
内的概率为
.
7
.
已知等比数列{
a
n
}的前
n
项和
为
S
n
,公比
q=
3,
S
3
+S
4
=
,则
a
3
= .
8
.
已知直四棱柱的底面是边长为2的菱形,侧面对角线的长为2
,则该直四棱柱的侧面积
为
.
9
.
已知
α
是第二象限角,且sin
α=
,tan(
α+β
)
=-
2,则
tan
β= .
10
.
已知直线<
br>l
:
mx+y-
2
m-
1
=
0,圆
C
:
x
2
+y
2
-
2
x-
4y=
0,当直线
l
被圆
C
所截得的弦长
最短时,实数<
br>m= .
11
.
在△
ABC
中,角A
,
B
,
C
的对边分别是
a
,
b,
c
,若2
b
cos
A=
2
c-
a
,则角
B
的大小
为
.
=
+
12
.
在△
ABC
中,
AB
⊥
AC
,
AB=
,
AC=t
,
P
是△
ABC
所在平面内一点,若
,则
△
PBC
面积的最小值为
.
-
13
.
已知函数
f
(
x
)
=
若函数
g
(
x
)
=|f
(
x
)
|-
3<
br>x+b
有三个零点,则实数
b
的取值
范围为
.
14
.
已知
a
,
b
均为正数,且
ab-a-
2
b=
0,则
-+b<
br>2
-
的最小值为
.
二、 解答题:本大题共6小
题,共90分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14分)已知向量
m=
(
cos
x
,
-
1),
n=
(sin
x<
br>,cos
2
x
)
.
(1)
当
x=
时,求
m
·
n
的值;
(2)
若
x
∈
,且
m
·
n=
16
.
(本小题满分14分)如图,在四面体
ABCD
中,平面<
br>ABC
⊥平面
ACD
,
E
,
F
,
G
分别为
-
,求cos2
x
的值
.
AB
,
AD
,
AC
的中点,
AC=BC
,∠
ACD=
9
0°
.
(1) 求证:
AB
⊥平面
EDC
;
(2) 若
P
为
FG
上任一点,求证:
EP
∥平面
BCD.
(第16题)
17
.
(本小题满分14分
)某科研小组研究发现:一棵水蜜桃树的产量
w
(单位:百千克)与肥料费
用
x
(单位:百元)满足如下关系:
w=
4
-
+
,且投入的肥料费用不超过5百元
.
此外,还需要投
入其他成本(如施肥的人工费等
)2
x
百元
.
已知这种水蜜桃的市场售价为16元
千克(即
16百
元
百千克),且市场需求始终供不应求
.
记该棵水蜜桃树获得
的利润为
L
(
x
)(单位:百元)
.
(1)
求利润函数
L
(
x
)的函数关系式,并写出定义域;
(2)
当投入的肥料费用为多少时,该水蜜桃树获得的利润最大?最大利润是多少?
18
.
(本小题满分16分)已知函数
f
(
x
)
=a
ln
x-bx
3
,
a
,
b
为实数,
b
≠0,e为自然对数的底数
.
(1) 当a<
0,
b=-
1时,设函数
f
(
x
)的最小
值为
g
(
a
),求
g
(
a
)的最大值;
(2) 若关于
x
的方程
f
(
x
)
=0在区间(1,e]上有两个不同的实数解,求的取值范围
.
19
.
(本小题满分16分)如图,已知椭圆
C
:
+
=
1(
a>b>
0)的左焦点为
F
(
-
1,0)
,左准线方程
为
x=-
2
.
(1)
求椭圆
C
的标准方程
.
(2) 已知直线
l
交椭
圆
C
于
A
,
B
两点
.
=λ
,
=μ
,求证:
λ+μ
为定
①
若直线
l
经过椭圆
C
的左焦点
F
,交
y
轴于点
P
,且满足
值;
②
若
OA
⊥
OB
(
O
为坐标原点),求△
AOB
的面积的取值范围
.
(第19题)
20
.
(本小题满分16分)已知数列{
a
n
}满足a
1
=
1,
a
n+
1
=
+
+
+
,其中
n
∈N
*
,
λ
,
μ
为非零常数
.
(1) 若
λ=
3,
μ=
8,证明:{
a
n
+
1}为等比数列,并求数列{
a
n
}的通项公式
.
(2) 若数列{
a
n
}是公差不为零的等差数列
.
①
求实数
λ
,
μ
的值
.
②数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
构成数
列{
S
n
},从{
S
n
}中取不同的四项按从小到大排列组
成四项子
数列
.
试问:是否存在首项为
S
1
的四项子数列,
使得该子数列中的所有项之和恰好为2
017?若
存在,求出所有满足条件的四项子数列;若不存在,请说明理由
.
江苏省盐城市2017届高三第三次模拟考试
数 学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
已知全集
U=
{
-
1,0,
2},集合
A=
{
-
1,0},则?
U
A= .
2
.
设复数
z
满足
z
i
=
-
i(i为虚数单位),则
|z|= .
3
.
某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为600人、700人、70
0人,为了了解
不同年级学生的眼睛近视情况,现采用分层抽样的方法抽取了容量为100的样本,则高
三年
级应抽取的学生人数为
.
4
.
若命题“
?
t
∈R,
t
2
-
2
t-a<
0”是假命
题,则实数
a
的取值范围是
.
5
.
甲、乙两组各有三名同学,他们在一次测试中的成绩分别为:甲组:88,89,90;乙组:87,88,92
.
如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的<
br>概率是
.
(第6题)
6
.
执行如图所示的伪代码,输出
i
的值为
.
7
.
设抛物线
y
2
=
8
x<
br>的焦点与双曲线
x
2
-
=
1(
b>
0)的右焦点重合,则
b= .
z=x+y
的最大值为
.
8
.
设实数
x
,
y
满足约束条件
则
+
9
.
将函数
y=
sin
+
的图象向左平移<
br>φ
(
φ>
0)个单位长度后,恰好得到函数
y=
sin2x
的
图象,则
φ
的最小值为
.
10
.
已知直三棱柱
ABC
-
A
1
B<
br>1
C
1
的所有棱长都为2,点
P
,
Q
分别为
棱
CC
1
,
BC
的中点,则四
面体
A
1<
br>-
B
1
PQ
的体积为
.
11
.
设数列{
a
n
}的首项
a
1=
1,且满足
a
2
n+
1
=
2
a2
n-
1
与
a
2
n
=a
2
n
-
1
+
1,则
S
20
= .
12
.
若
a
,
b
均为非负实数,且
a+b=
1,则
+
+
+
的最小值为
.
=
3
,则
|
|
的最大值为
.
13
.
已知
A
,
B
,
C
,
D<
br>四点共面,
BC=
2,
AB
2
+AC
2
=<
br>20,
14
.
若实数
x
,
y
满足2
x-
3≤ln(
x+y+
1)
+
ln(<
br>x-y-
2),则
xy= .
二、 解答题:本大题共6小
题,共90分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14分)如图,在四棱柱
ABCD
-A
1
B
1
C
1
D
1
中,平面
A
1
ABB
1
⊥底面
ABCD
,且
∠
AB
C=
.
(1)
求证:
B
1
C
1
∥平面
BCD
1
;
(2) 求证:平面
A
1
ABB
1
⊥平面
BCD<
br>1
.
(第15题)
·
=
2
S.
16
.
(本小题满分14分)设△
ABC
的面积为
S
,且3
(1)
求sin
A
的值;
·
=
16,求
AC
的长
.
(2)
若
C=
,
17
.
(本小题满分14分)一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设
施,其轴截面如图中实线所
示,其中四边形
ABCD
是等腰梯形,
AB=20 m,∠
CBF=α
(
F
在
AB
的延长线上,α
为锐角)
.
圆
E
与AD
,
BC
都相切,且其半径长为(100
-
80sin
α
)m,
EO
是垂直于
AB
的一个立柱,则当sin
α<
br>的
值设计为多少时,立柱
EO
最矮?
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)已知
A
,
F
分别是椭圆
C
:
+
=
1(
a>b>
0)的左顶点、右焦点,点
P
为
椭圆
C
上一动点,当
PF
⊥
x
轴时,
AF=
2
PF.
(1)
求椭圆
C
的离心率;
(2) 若椭圆
C
上存在点
Q
,使得四边形
AOPQ
是平行四边形(点
P
在第一象限),求直线
AP
与
OQ
的斜率之积;
(3)
记圆
O
:
x
2
+y
2
=
+
为椭圆
C
的“关联圆”,若
b=
,过点
P
作椭圆
C
的“关联圆”的两条
切线
,切点分别为
M
,
N
,直线
MN
的横、纵截距分别为
m
,
n
,求证:
+
为定值
.
19
.
(本小题满分16分)设函数
f
(<
br>x
)
=x
e
x
-ax
2
(
a
∈R)
.
(1)
若函数
g
(
x
)
=
是奇函数,求实数
a
的值;
(2)
若对任意的实数
a
,函数
h
(
x
)
=kx+b(
k
,
b
为实常数)的图象与函数
f
(
x)的图象总相切于一
个定点
.
①
求
k
与
b
的值;
②
对(0,
+∞
)上的任意实数
x
1
,
x
2
,都有[
f
(
x
1
)
-h
(
x
1
)][<
br>f
(
x
2
)
-h
(
x
2
)
]
>
0,求实数
a
的取值范围
.
20
.
(本小题满分16分)已知数列
{
a
n
},{
b
n
}都是单调递增数列,若将这两个数列的
项按由小到大
的顺序排成一列(相同的项视为一项),则得到一个新数列{
c
n
}
.
(1) 设数列{
a
n
},{
b
n
}分别为等差、等比数列,若
a
1
=b
1
=
1,
a
2
=b
3
,
a
6
=b
5
,求
c
20
;
(2) 设{
a
n
}的首项为1
,各项为正整数,
b
n
=
3
n
,若新数列{
cn
}是等差数列,求数列{
c
n
}的前
n
项和
S
n
;
(3) 设
b
n
=q
n-
1(
q
是不小于2的正整数),
c
1
=b
1
,是
否存在等差数列{
a
n
},使得对任意的
n
∈N
*
,
在
b
n
与
b
n+
1
之间数列{
a
n
}的项数总是
b
n
?若存在,请给出一个满足题意的等差数列{
a
n
};若不
存在,请说明理由
.
2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数 学
注意事项:
1
.
本试卷共160分,考试时间120分钟
.
2
.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内
.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
已知
集合
A=
{
-
1,2,3,6},
B=
{
x|-<
br>2
A
∩
B= .
2
.
若复数
z=
(1
+
2i)(3
-<
br>i),其中i为虚数单位,则
z
的实部是
.
(第6题)
3
.
在平面直角坐标系
xOy
中,双曲线
-
=
1的焦距是
.
4
.
已知一组数据4
.
7,4
.
8,5
.
1,5
.
4,5
.
5,那么该组数据的方差是
.
5
.
函数
y=
- -
的定义域是
.
6
.
执行如图所示的算法流程图,输出的
a
的值是
.
7
.
将一枚质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的
正方体玩具)先后抛掷
2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是
.
8
.
已知{
a
n
}是等差数列,
S<
br>n
是其前
n
项和
.
若
a
1
+
=-
3,
S
5
=
10,则
a
9
的值是
.
9
.
定义在区间[0,3π]上的函数
y=
sin
2
x
的图象与
y=
cos
x
的图象的交点个数是
.
(第10题)
是椭圆
+
=
1(
a>b>
0)的右焦点,若直线
10
.
如图,在平面直角坐标系
xOy
中,
Fy=
与椭
圆交于<
br>B
,
C
两点,且∠
BFC=
90°,则该椭圆的离心率是 .
+ -
其中11
.
设
f
(
x
)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[
-
1,1)上
,
f
(
x
)
=
-
a
∈R
.
若
f
-
=f
,则
f
(5
a
)的值是
.
(第13题)
- +
12
.
已知实数
x
,
y
满足
+ -
那么
x
2
+y
2
的取值范围是
.
- -
·
=
4,
=
· 13
.
如图,在△
ABC
中,
D
是
BC
的中点,
E
,
F
是
AD
上的两个三等分点,
若
的值是
.
·
-
1,则
14
.
在锐角三角形
ABC
中,若sin
A=
2sin
B
sin
C
,则tan
A
tan
B
tan
C
的最小值是
.
二、 解
答题:本大题共6小题,共90分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14分)在△
ABC
中,已知
AC=
6,cos
B=
,
C=
.
(1)
求边
AB
的长;
(2) 求cos
-
的值
.
16
.
(本小题满分14分)如图,在直三棱柱
ABC
-
A
1
B
1
C
1
中,D
,
E
分别为
AB
,
BC
的中点,点
F
在侧棱
B
1
B
上,且
B
1
D
⊥
A
1
F
,
A
1
C
1
⊥
A
1
B
1
.
(1)
求证:直线
DE
∥平面
A
1
C
1
F
;
(2) 求证:平面
B
1
DE
⊥平面
A
1
C
1
F.
(第16题)
17
.
(本小题满分14分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成
,如图,上部分的形状是正
四棱锥
P
-
A
1
B
1<
br>C
1
D
1
,下部分的形状是正四棱柱
ABCD
-A
1
B
1
C
1
D
1
,并要求正四棱柱
的高
O
1
O
是正四棱锥的高
PO
1
的4倍
.
(1) 若
AB=
6
m,
PO
1
=
2 m,则仓库的容积是多少?
(2)
若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当
PO
1
为多少时,仓库的容积最大?
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,
已知以
M
为圆心的圆
M
:
x
2
+y
2-
12
x-
14
y+
60
=
0及其上一点A
(2,4)
.
(1) 设圆
N
与
x
轴相切,与圆
M
外切,且圆心
N
在直线
x=
6上,求圆<
br>N
的标准方程;
(2) 设平行于
OA
的直线
l
与
圆
M
相交于
B
,
C
两点,且
BC=OA
,
求直线
l
的方程;
+
,求实数
t
的取值范围
.
=
(3) 设点
T
(
t
,0)满足:存在圆
M
上的两
点
P
和
Q
,使得
(第18题)
19
.
(本小题满分16分)已知函数
f
(
x
)
=a
x
+b
x
(
a>
0,<
br>b>
0,
a
≠1,
b
≠1)
.
(1) 设
a=
2,
b=.
①
求方程
f
(
x
)
=
2的根;
②
若对于任意
x
∈R,不等式
f
(2
x
)≥
mf
(
x
)
-
6恒成立,求实数
m
的最大值.
(2) 若0
1,
b>
1,函数
g
(
x
)
=f
(
x
)
-
2有且只有
1个零点,求
ab
的值
.
20
.
(
本小题满分16分)记
U=
{1,2,…,100}
.
对数列{
a<
br>n
}(
n
∈N
*
)和
U
的子集
T<
br>,若
T=
?,定义
S
T
=
0;若
T=
{
t
1
,
t
2
,…,
t
k
},
定义
S
T
=
+
+
…
+
.
例如:
T=
{1,3,66}时,
S
T
=a
1
+a
3<
br>+a
66
.
现
设{
a
n
}(
n∈N
*
)是公比为3的等比数列,且当
T=
{2,4}时,
S<
br>T
=
30
.
(1)
求数列{
a
n
}的通项公式;
(2) 对任意正整数
k
(
1≤
k
≤100),若
T
?{1,2,…,
k
},求证:<
br>S
T
k+
1
;
(3) 设C
?
U
,
D
?
U
,
S
C≥
S
D
,求证:
S
C
+S
C
∩
D
≥2
S
D
.
2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数 学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
已知
集合
A=
{1,2,3},
B=
{2,4,5},那么集合
A
∪
B
中元素的个数为
.
2
.
已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为
.
3
.
若复数
z
满足
z
2
=
3<
br>+
4i,则
z
的模为
.
S
←1
I
←1
While
I<
8
S
←
S+
2
I
←
I+
3
End While
Print
S
(第4题)
4
.
根据如图所示的伪代码,可知输出的结果
S
为
.
5
.
袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中
一次随机摸出
2只球,则这2只球颜色不同的概率为
.
6
.
已知向量
a=
(2,1),
b=
(1,-
2),若
ma+nb=
(9,
-
8)(
m
,
n
∈R),则
m-n
的值为
.
7
.
不等式
-
<
4的解集为
.
8
.
已知tan
α=-
2,tan(
α+β
)
=
,那么tan
β
的值为
.
9
.
现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱
各一个
.
若将
它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆
柱各一个,则新的底
面半径为
.
10
.
在平
面直角坐标系
xOy
中,以点(1,0)为圆心且与直线
mx-y-
2
m-
1
=
0(
m
∈R)相切的所
有圆中,半径最大的圆的
标准方程为
.
11
.
已知数列{
a
n
}满足
a
1
=
1,且
a
n+
1
-a
n
=n+
1(
n
∈N
*
)
,那么数列
的前10项和
为
.
12
.
在平面直角坐标系
xOy
中,
P
为双曲线
x
2
-y
2
=
1右支上的一个动点
.
若点
P
到直线
x-y
+
1
=<
br>0的距离大于
c
恒成立,则实数
c
的最大值为
.
那么方程
|f
(
x
)
+g
(
x
)
|=
1实数根的个数13
.
已知函数
f
(
x
)
=|
ln
x|
,
g
(
x
)
=
- -
为
.
14
.
若向量
a
k
=
+
(
k=
0,1,2,…,12),则
(
a
k
·
a
k+
1
)的值为
.
=
二、 解答题:本大题共6小题,共90分
.
解答时应
写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤
.
15
.
(
本小题满分14分)在△
ABC
中,已知
AB=
2,
AC=
3,
A=
60°
.
(1) 求
BC
的长;
(2) 求sin 2
C
的值
.
16
.
(本小题满分14分)如图,在直三棱柱
ABC
-
A
1
B
1
C
1
中,已知
AC
⊥
BC
,
BC=CC<
br>1
.
若
AB
1
的
中点为
D
,
B
1
C
∩
BC
1
=E.
(1)
求证:
DE
∥平面
AA
1
C
1
C
;
(2) 求证:
BC
1
⊥
AB
1
.
(第16题)
17
.
(本小题
满分14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通
现状,计划修建一条连
接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为
l
1
,
l2
,山
区边界曲线为
C
,计划修建的公路为
l.
如图所
示,
M
,
N
为
C
的两个端点,测得点
M
到
l
1
,
l
2
的距
离分别为5
km和40 km,点
N
到
l
1
,
l
2
的
距离分别为20 km和 2
.
5 km,以
l
1
,
l2
所在的直线分别
为
x
,
y
轴,建立平面直角坐标系<
br>xOy
,假设曲线
C
符合函数
y=
(1)
求
a
,
b
的值
.
(2) 设公路
l与曲线
C
相切于点
P
,点
P
的横坐标为
t.<
br>
+
(其中
a
,
b
为常数)模型
.
①
请写出公路
l
长度的函数解析式
f
(
t
),并写出其定义
域;
②
当
t
为何值时,公路
l
的长度最短?求出最短长度
.
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,已知椭圆
+
=
1(
a>b>
0)的离心
率为
,且右焦点
F
到左准线
l
的距离为3
.
(1) 求椭圆的标准方程;
(2) 过
F
的直线与椭圆交于
A<
br>,
B
两点,线段
AB
的垂直平分线分别交直线
l
和<
br>AB
于点
P
,
C
,若
PC=
2
AB
,求直线
AB
的方程
.
(第18题)
19
.
(本小题
满分16分)已知函数
f
(
x
)
=x
3
+ax2
+b
(
a
,
b
∈R)
.
(1) 试讨论
f
(
x
)的单调性;
(2) 若
b=c-a
(实数
c
是与
a
无关的常数),当函数
f
(
x
)有三个不同的零点时,
a
的取值范围恰
好是(
-∞
,
-
3)∪
∪
+
,求
c
的值
.
20
.
(本小题满分16分)设
a<
br>1
,
a
2
,
a
3
,
a
4<
br>是各项为正数且公差为
d
(
d
≠0)的等差数列
.
(1) 求证:
,
,
,
依次成等比数列;
(2)
是否存在
a
1
,
d
,使得
a
1
,
,
,
依次成等比数列,并说明理由;
(3) 是否存在
a
1
,
d
及正整数
n
,
k
,使得
,
+ + +
,
,
依次成等比数列,并说明理由
.
2014年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数 学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
已知
集合
A=
{
-
2,
-
1,3,4},
B=
{
-
1,2,3},那么
A
∩
B= .
2
.
已知复数
z=
(5
-
2i)
2,那么
z
的实部为
.
3
.
如图是一个算法流程图,则输出的
n
的值是
.
(第3题)
(第6题)
4
.
从1,2,3,6这四个数中一次随机地取两个数,则所取两个数的乘积为6的概率是
.
5
.
已知函数
y=
cos
x
与
y=
sin(2
x+φ
)(0≤
φ
≤π),它们
的图象有一个横坐标为
的交点,那么
φ
的值是
.
6
.
为了了解一片经济林的生长状况,随机抽测了其中60株树木的底部
周长(单位:cm),所得数
据均在[80,130]内,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60
株树木中,有
株树木
的底部周长小于100 cm
.
7
.
在各项均为正数的等比数列{
a
n
}中,若
a
2
=
1,
a
8
=a
6
+
2a
4
,则
a
6
的值是
.
8
.
已知甲、乙两个圆柱的底面积分别为
S
1
,
S
2
,体积分别为
V
1
,
V
2
,若它们的
侧面积相等,且
=
,则
=
.
9
.
在平面直角坐标系
xOy
中,直线
x+
2
y-
3
=
0被圆(
x-
2)
2
+
(
y+
1)
2
=
4截得的弦长
为
.
10
.
已知函数
f
(
x
)
=x
2
+mx-
1,若对于任意的
x
∈[
m
,
m+1],都有
f
(
x
)
<
0成立,则实数
m的取
值范围是
.
11
.
在平面直角坐标
系
xOy
中,若曲线
y=ax
2
+
(
a
,
b
为常数)过点
P
(2,
-
5),且该曲线在点
P
处的切线与直线7
x+
2
y+
3
=
0平行,则a+b
的值是
.
=
3
·
·
,
=
2,那么 12
.
如图,在平行
四边形
ABCD
中,已知
AB=
8,
AD=
5,
的值
是
.
(第12题)
13
.
已知
f
(x
)是定义在R上且周期为3的函数,当
x
∈[0,3)时,
f
(
x
)
=
- +
,若函数
y=f
(
x
)
-a
在区间[
-
3,4]上有10个零点(互不相同),则实数
a
的取值范围是
.
14
.
若△
ABC
的内角满足sin
A+
sin
B=
2sin
C
,则cos
C
的最小值是
.
二、 解答题:本大题共6小题,共9
0分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14分)已知
α
∈
,sin
α=
.
(1)
求sin
+ 的值;
(2) 求cos
-
的值
.
16
.
(本小题满分14分)如图
,在三棱锥
P
-
ABC
中,
D
,
E
,F
分别为棱
PC
,
AC
,
AB
的中点,已知<
br>
PA
⊥
AC
,
PA=
6,
BC=
8,
DF=
5
.
(1) 求证:直线
PA
∥平面
DEF
;
(2)
求证:平面
BDE
⊥平面
ABC.
(第16题)
17
.
(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,
F
1
,
F
2
分别是椭圆
+
=
1(
a>b>
0)
的左、右焦点
,顶点
B
的坐标为(0,
b
),连接
BF
2
并延长
交椭圆于点
A
,过点
A
作
x
轴的垂线交
椭圆于另一
点
C
,连接
F
1
C.
(1)
若点
C
的坐标为
,且
BF
2
=
,求椭圆的方程;
(2) 若
F
1
C
⊥
AB
,求椭圆离心率
e
的值
.
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)如图,为保护河上古
桥
OA
,规划建一座新桥
BC
,同时设立一个圆形保
护区
.
规划要求:新桥
BC
与河岸
AB
垂直;保护区的边界为圆心
M
在线段
OA
上并与
BC
相
切的圆,且古桥两端
O
和
A
到该圆上任意一点的距离均不少于80
m
.
经测量,点
A
位于点
O
正北方向60
m处,点
C
位于点
O
正东方向170
m处(
OC
为河岸),tan∠
BCO=
.
(1) 求新桥
BC
的长;
(2)
当
OM
多长时,圆形保护区的面积最大?
(第18题)
19
.
(本小题满分16分)已知函数
f
(
x
)
=
e
x
+
e
-
x
.
(1) 求证:
f
(
x
)是R上的偶函数;
(2) 若关于
x
的不等式
mf
(
x
)≤e
-x
+m-
1在(0,
+∞
)上恒成立,求实数
m
的取值
范围;
(3) 已知正数
a
满足:存在
x
0
∈
[1,
+∞
),使得
f
(
x
0
)
(
-
+
3
x
0
)成立,试比较e
a-
1
与
a
e
-
1
的大
小,并证
明你的结论
.
20
.
(本小题满分16分)设数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
.
若对
任意的正整数
n
,总存在正整数
m
,使
得
S
n=a
m
,则称{
a
n
}是“
H
数列”
.
(1) 若数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
=
2
n
(
n
∈N
*
),求
证:数列{
a
n
}是“
H
数列”;
(2)
设{
a
n
}是等差数列,其首项
a
1
=
1,公差<
br>d<
0,若{
a
n
}是“
H
数列”,求
d<
br>的值;
(3) 求证:对任意的等差数列{
a
n
},总存在两个“<
br>H
数列”{
b
n
}和{
c
n
},使得
a
n
=b
n
+c
n
(
n
∈N
*
)成立
.
高考全真模拟卷汇编
十三大市篇
数学智能化答案小手册
使用建议:本答
案(小手册)为偶数页活页装订。学生训练完成或老师讲评完以后,可把每卷答案发给学生,
供其自我验
证、自我反思。
江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟考试
1
.
{
-
1}
【解析】
A
∩
B=
{
x|x
∈
A
且
x
∈
B}
=
{
-
1}
.
2
.
-
1
【解析】由
z=
+
=
1-i,知
z
的虚部是
-
1
.
3
.
12
【解析】根据“若
x
1
,<
br>x
2
,…,
x
n
的均值为 ,方差为
s
2<
br>,则
kx
1
+b
,
kx
2
+b
,…
,
kx
n
+b
的均值为
k
+b
,方差<
br>为
k
2
s
2
”,知所求方差为4
×
3
=
12
.
4
.
9
【解析】根据流
程图,在循环过程中,
x
,
y
的值依次是
x=
5,
y=
7;
x=
9,
y=
5
.
最后输出的
x
的值是9
.
5
.
【解析】从4个数
中任取2个数,基本事件有6种,其中满足条件的事件有5种,故所求概率
P=.
(可
根据对立事件求得)
6
.
【解析】作出可行域如图中阴影部分
所示,将看作点(
x
,
y
)与原点连线的斜率,当直线过点(4,3)时,斜
率
取得最小值
.
(第6题)
7
.
【解析】由
=
,知
a=
,所以双曲线的离心率
e=
+
=
+
.
8
.
63
【解析】由题意知
a
5
=
7,所以
s
9
=
×
9
=
9
a
5
=
63
.
9
.
【解析】将原函数图象向右平移φ
个单位长度后所得图象对应的函数记为
f
(
x
)
=<
br>3sin - +
,
由题意知
f
(0)
=±
3,所以
-
2
φ+=k
π
+
,
k
∈Z,
即
φ=-
-
,
k
∈Z
.
又
0
<φ<
,所以
k=-
1,
φ=.
10
.
4
【解析】依题意知当且仅当底面三角形
EFG
面积最大时,所求锥体体积最大,而半径为2的圆
的内
接直角三角形
EFG
的面积的最大值为4,所以所求三棱锥
A
-
EFG
的体积的最大值为
×
4
×
3
=
4<
br>.
11
.
【解析】在△
ABC
中,设角
A
,
B
,
C
对应的边分别为
a
,
b
,
c
,依题意知
c
2
=a
2
+b
2
-ab=
3
.
因为
a
2
+
·
b
2
≥2
ab
,所以
ab
≤3,所以
=ab
≤
.
12
.
512
【解析】如图,因为直线
y=
(
x+
1)的倾斜角
θ
满足tan
θ=
,所以
θ=<
br>30°,记直线
y=
(
x+
1)
与
x
轴的交点为
A
0
(
-
1,0),因为△
A
k
B
k
A
k+
1
是等边三角形,所以∠
B
k
A
k
A
k+
1
=
60°,所以A
0
A
k
=A
k
B
k
,所以
A
0
A
k
-
1
=A
k-
1
Bk-
1
=A
k-
1
A
k
,所以
Ak
B
k
=A
0
A
k-
1
+A
k-
1
A
k
=
2
A
k-
1
Bk-
1
,所以△
A
k
B
k
A
k+1
的边长是公比为2的等
比数列,又
A
0
A
1
=
1,所以
A
1
B
1
=
1,所以△
Ak
B
k
A
k+
1
的边长是以1为首项,2为公比的等比
数列,所以
△
A
10
B
10
A
11
的边长
为1
×
2
9
=
512
.
(第12题)
13
.
【解析】设
点
P
的坐标为(
x
0
,
y
0
),则曲线<
br>y=
2ln
x
在点
P
处的切线斜率
k
1=
,点
P
与点
M
(3,0)连线
的斜率
k2
=
-
,由圆的性质知
k
1
·
k
2
=-
1,所以·
=-1,即
y
0
=
(3
-x
0
)
x
0
,所以点
-
P
的坐标满足二次
函数
y=
(3
-x
)
x
,而点
O
与点
M
也在该二次函数图象上,所以
f
(
x
)
=
(3
-x
)
x
,又因为
f
(
x
)
=-
-
+
≤
,所以
y=f
(
x
)的最大值为
.
+
+
=
得8
+
4
ab
cos
C=
3(
a
2
+b
2
)≥6
ab
,所以
+
-
=
14
.
【解析】方法一:联立方程组
ab
≤
-
=
-
.
又
S
△
ABC
=
ab
sin
C
≤
===
-
+
+
+
≤
=
,当且仅
当
a=b
且tan
=
时取等号
.
方法二:
S
△
ABC
=ab
sin
C
=
ab
-
+
-
=
-
-
=
-,
又
2
ab
≤
a
2
+b
2
=
8
-2
c
2
,所以
ab
≤4
-c
2
,所以
-
+ -
-
≤
×S
△
ABC
≤
-
-
==
,当且仅当
a=b
,
c
2
=
时取等号
.
(2分)
(4分)
(6分)
15
.
(1) 因为
D
,
E
分别是
AB
,
AC
的
中点,所以
DE
∥
BC.
又因为在三棱柱
ABC
-
A
1
B
1
C
1
中,
B
1
C
1
∥
BC
,所以
B
1
C
1
∥
DE.
又
B
1
C
1
?平面
A<
br>1
DE
,
DE
?平面
A
1
DE
,所
以
B
1
C
1
∥平面
A
1
DE.
(2) 在直三棱柱
ABC
-
A
1
B
1
C
1
中,
CC
1
⊥底面
ABC.
又因为
DE
?底面
ABC
,
所以
CC
1
⊥
DE.
又因为
BC
⊥
AC
,
DE
∥
BC
,
所以
DE
⊥
AC.
因为
CC
1
?平面
ACC
1
A
1
,
AC
?平面
ACC
1
A
1
,且
CC
1
∩
AC=C
,
所以
DE
⊥平面
ACC
1
A
1
.
又因为
DE
?平面
A
1
DE
,
所以平面
A
1
DE
⊥平面
ACC
1
A
1
.
(注:第(2)小题也可以用面面垂直的性质定理证明
DE
⊥平面
ACC
1
A
1
,类似给分)
16
.
(1)
由
b
sin 2
C=c
sin
B
,根据正弦定理,
得2sin
B
sin
C
cos
C=
sin
C
sin
B.
因为sin
B>
0,sin
C>
0,
所以cos
C=.
又
C
∈(0,π),所以
C=.
(2)
因为
C=
,所以
B
∈
所以
B-
∈
-
,
又因为sin -
=
,
所以cos
-
=
-
-
=
-
=.
(8分)
,
(8分)
(10分)
(12分)
(14分)
(2分)
(4分)
(6分)
又
A+B=
,即
A=-B
,
所以sin
A=
sin
-
=
sin
- -
=
sin
cos -
-
cos
sin
=
×
-
×
=
B-
(14分)
-
.
17
.
(1) 因为0
2,所以椭圆
E
的焦点在
x
轴上
.
又圆
O
:
x
2
+y
2
=b
2
经
过椭圆
E
的焦点,所以椭圆的半焦距
c=b
,
所以2
b<
br>2
=
4,即
b
2
=
2,故椭圆
E
的
方程为
+
=
1
.
(3分)
(6分)
(2)
方法一:设
P
(
x
1
,
y
1
),
Q
(
x
2
,
y
2
),
T
(
x
0
,
y
0
),联立
+=
消去
y
,得(1
+2
k
2
)
x
2
+
4
kmx+
2
m
2
-
4
=
0,所以
x
1
=
+
+x
2
=-
+
.
又2
m
2
-
2
k
2
=
1,所以
x
1
+x
2
=-
,
所以
x0
=-
,
y
0
=m-k
·
=
所以
k
1
·
k
2
=
·
-
+ -
-
,
-
(10分)
==
-
-
=-
.
(14分)
方法二:设
+
=
两式作差,得
P
(
x
1
,
y
1
),
Q
(
x
2
,
y
2
),
T(
x
0
,
y
0
), 则
+=
+
-
+
+
-
=
0,
又
x
1
+x
2=
2
x
0
,
y
1
+y
2
=<
br>2
y
0
,
所以
-
+y
0
(
y
1
-y
2
)
=
0,
=
0, 所以
+
-
-
又
P
(x
1
,
y
1
),
Q
(
x
2<
br>,
y
2
)在直线
y=kx+m
上,所以
-
=k
,所以
x
0
+
2
ky
0
=
0
①
,又
T
(
x
0
,
y
0
)在直线
y=kx+m
-
上,所以
y
0
=kx
0
+m ②
,
由
①②
可得
x
0
=-
+
,
y
0
=
+
.
以下同方法一
.
18
.
如图所示
,以点
A
为坐标原点,
AB
所在直线为
x
轴,建立平面直角
坐标系
.
(1) 因为
AB=
18,
AD=
6,
所以半圆的圆心为
H
(9,6),半径
r=
9
.
设太阳光线所在直线方程为
y=-
x+b
,即3
x+
4
y-
4
b=
0,
则由
+ -
=
9,解得
b=
24或
b=
+
(舍去)
.
故太阳光线所在直线方程为
y=-
x+
24,
令
x=
30,得
EG=
1
.
5
m
<
2
.
5 m
.
所以此时能保证上述采光要求
.
(第18题)
(2)设
AD=h
m,
AB=
2
r
m,则半圆的圆心为
H
(
r
,
h
),半径为
r.<
br>
方法一:设太阳光线所在直线方程为
y=-
x+b
,即3
x+
4
y-
4
b=
0,
由
+ -
,
+
=r
解得
b=h+
2
r
或
b=h-
(舍去)
.
故太阳光线所在直线方程为
y=-
x+h+
2
r
,
令
x=
30,得
EG=
2
r+h-
,
由
EG
≤
,得
h
≤25
-
2
r
,
所以
S=
2
rh+
π
r
2
=
2
rh+
×r
2≤2
r
(25
-
2
r
)
+
×r
2
=-
r
2
+
50
r=-
(
r-
10)
2
+
250≤250
.
(10分)
(2分)
(5分)
(7分)
(9分)
(11分)
当且仅当
r=
10时取等号
.
所以当
AB=
20 m且
AD=
5
m时,可使得活动中心的截面面积最大
.
方法二:欲使活动中心内部空间尽可能大,则影长
EG
恰为2
.
5
m,则此时点
G
为(30,2
.
5)
.
设过点<
br>G
的太阳光线为
l
1
,则
l
1
所在直线方程
为
y-=-
(
x-
30),即3
x+
4
y-
100
=
0
.
+ -
(16分)
(10分)
由直线
l
1
与半圆
H
相切,得
r=.
+ -
而点
H
(
r
,
h<
br>)在直线
l
1
的下方,则3
r+
4
h-
10
0
<
0,即
r=-
从而
h=
25
-
2r.
,
(13分)
又
S=
2
rh+π
r
2
=
2
r
(25
-
2
r
)
+×r
2
=-r
2
+
50
r=-
(
r-
10)
2
+
250≤250
.
当且仅当
r=
10时取等号
.
所以当
AB=
20 m且
AD=
5
m时,可使得活动中心的截面面积最大
.
(16分)
19
.
(1) 当
a=
2时,方程
g
(e
x
)
=
0,即2e
x
+
-
3
=
0,去分母,得2(e
x
)
2
-
3e
x
+
1
=
0,解得e
x
=
1或e
x
=
, (2分)
故所求方程的根为
x=
0或
x=-
ln
2
.
(2) 因为
φ
(
x
)
=f
(
x
)
+g
(
x
)
=
ln
x+ax+
所以
-
(4分)
-
3(
x>
0),
(6分)
-
+ - -
- - +
φ'
(
x
)
=
+a-
==
(
x>
0)
.
①
当
a=
0时,由
φ'
(
x
)
>
0,解得
x>
0;
②
当
a>
1时,由
φ'
(
x
)
>
0,解得
x>
-
;
③
当0
1时,由
φ'
(x
)
>
0,解得
x>
0;
④
当
a=
1时,由
φ'
(
x
)
>
0,解得
x>0;
⑤
当
a<
0时,由
φ'
(
x
)
>
0,解得0
.
-
综上所述,当
a<
0时,
φ
(
x
)的增区间为
当0≤
a
≤1时,
φ
(
x
)的增区间为(0,+∞
);
当
a>
1时,
φ
(
x
)的增区间为
-
+
.
(10分)
(3) 方法一:当
a=
1时,
g
(
x
)
=x-
3,
h
(
x
)<
br>=
(
x-
3)·ln
x
,所以
h'
(
x
)
=
ln
x
+
1
-.
又
h″
(
x
)
=+
<
br>,
x>
0,所以
h″
(
x
)
>
0,
所以
h'
(
x
)单调递增,
h'
=
ln
+
1
-
2
<
0,
h'
(2)
=
ln 2
+
1
-
>
0,所以存在唯一
x
0
∈
,使得
h'
(
x
0
)
=
0,
即ln
x
0
+
1
-=
0
.
(12分)
当
x
∈(0,x
0
)时,
h'
(
x
)
<
0,当x
∈(
x
0
,
+∞
)时,
h'
(x
)
>
0,所以
h
(
x
)
min=h
(
x
0
)
=
(
x
0
-<
br>3)ln
x
0
=
(
x
0
-
3)·
-
=-
-
=
6
-
+
.
记函数
r
(
x
)
=
6
-
+
,则
r
(
x
)在 上单调递增,
所以
r
x
0
)
即
h
(
x
0
)∈ -
- ,
由2λ
≥
-
,且
λ
为整数,得
λ
≥0,
所以存在整数
λ
满足题意,且
λ
的最小值为0
.
方法二:当
a=
1时,
g
(
x
)
=x-<
br>3,
所以
h
(
x
)
=
(
x-
3)ln
x
,
由
h
(1)
=
0,知当
λ=
0时,不等式2
λ
≥
h
(
x
)有解
.
下面证明:当
λ
≤
-
1时,
h
(
x
)
>
2
λ
恒成立,即证(
x-
3)ln
x>-
2恒成立
.
显然当
x
∈(0,1]∪[3
,
+∞
)时,不等式恒成立,只需证明当
x
∈(1,3)时,(
x-
3)ln
x>-
2恒成立
.
即证明ln
x+
-
(14分)
(16分)
(12分)
<
0
.
,
- +
-
令
m
(
x
)
=
ln
x+
-
所以
m'
(
x
)
=-
-
=
,由
m'
(
x
)
=
0,得<
br>x=
4
-
, (14分)
当
x
∈(1,4
-
)时,
m'
(
x
)
>
0;
当
x
∈(4
-
,3)时,
m'
(
x
)
<
0;
+
所以
m
(
x
)
max
=m
(4
-
)
=
ln(4
-
)
-
<
ln(4
-
2)
-
+
=
ln 2
-
1
<
0
.
所以当
λ
≤
-
1时,
h
(
x
)
>
2
λ
恒成立
.
综上所述,存在整数
λ
满足题意
,且
λ
的最小值为0
.
(16分)
20
.
(1)
①
方法一:因为{
b
n
}的首项、段长、段比、段差分别为
1,3,0,3,
所以
b
2 014
=
0
×b
2
013
=
0,
b
2 015
=b
2
014
+
3
=
3,
b
2 016
=b
2
015
+
3
=
6
.
(3分)
方法二:因为{<
br>b
n
}的首项、段长、段比、段差分别为1,3,0,3,所以
b
1<
br>=
1,
b
2
=
4,
b
3
=
7,
b
4
=
0
×b
3
=
0,
b<
br>5
=b
4
+
3
=
3,
b
6
=b
5
+
3
=
6,
b
7
=
0×b
6
=
0,…
所以当
n
≥4时,{
bn
}是周期为3的周期数列,所以
b
2
016
=b
6
=
6
.
(3分)
②
方法
一:因为{
b
n
}的首项、段长、段比、段差分别为1,3,1,3,
所以
b
3
n+
2
-b
3
n-
1
=(
b
3
n+
1
+d
)
-b
3
n-
1
=
(
qb
3
n
+d
)
-b
3
n-
1
=
[
q
(
b
3
n-
1
+d
)
+d
]
-b
3
n-
1
=
2
d=
6,
所以{
b
3
n-
1
}是以
b
2
=
4为首项、6为公差的等差数列
.
又因为
b
3
n-
2
+b
3
n-
1
+b
3
n
=
(
b
3
n-
1<
br>-d
)
+b
3
n-
1
+
(
b
3
n-
1
+d
)
=
3
b
3
n-
1
,
所以
S
3
n
=
(
b
1
+b
2
+b
3
)
+
(
b
4<
br>+b
5
+b
6
)
+
…
+
(
b
3
n-
2
+b
3
n-
1
+b
3
n
)
=
3(
b
2
+b
5
+…
+b
3
n-
1
)
=
3
+
-
=
9
n
2
+
3
n
,
-
(6分)
因为
S
3
n
≤
λ
·3
n-
1
,所以
设
c
n
=
-
≤
λ
,
,则
λ
≥(
c
n
)
max
,
+
+ +
+
-
又
c
n+
1
-c
n
=-=
-
- -
-
,
当
n=
1时
,3
n
2
-
2
n-
2
<
0,
c<
br>1
;
当
n
≥2时,3
n
2
-
2
n-
2
>
0,
c
n+
1
,
所以
c
1
>c3
>
…,所以(
c
n
)
max
=c
2
=
14, (9分)
所以
λ
≥14,得
λ
∈[1
4,
+∞
)
.
(10分)
方法二:因为{
b
n
}的首项、段长、段比、段差分别为1,3,1,3,
所以
b
3
n+
1
=b
3
n
,所以
b
3
n+
3
-b
3
n
=b
3n+
3
-b
3
n+
1
=
2
d=
6,所以{
b
3
n
}是首项为
b
3
=
7
,公差为6的等差数列,
所以
b
3
+b
6
+
…<
br>+b
3
n
=
7
n+
-
×
6
=
3
n
2
+
4
n
,易知{<
br>b
n
}中删掉{
b
3
n
}的项后按原来的顺序构成一
个首项为
-
1、公差为3的等差数列,所以
b
1<
br>+b
2
+b
4
+b
5
+
…
+b3
n-
2
+b
3
n-
1
=
2
n×
1
+
所以
S
3
n
=
(3
n<
br>2
+
4
n
)
+
(6
n
2
-
n
)
=
9
n
2
+
3
n
,
以下同方法一
.
(2) 方法一:设{
b
n
}的
段长、段比、段差分别为
k
,
q
,
d
,
×
3
=
6
n
2
-n
,
(6分)
则等比数列{
b
n
}的公比为
+
=q
,由等比数列的通项公式有
b
n
=bq
n-
1
,
当
m
∈N
*
时,
b
km+
2
-b
km+
1
=d
,
即
bq
km+
1<
br>-bq
km
=bq
km
(
q-
1)
=d恒成立
.
(12分)
①
若
q=
1,则
d=<
br>0,
b
n
=b
;
②
若
q
≠1,则
q
km
=
-
,则
q
km
为常数,则
q=-
1,
k为偶数,
d=-
2
b
,
b
n
=
(-
1)
n-
1
b
;
(16分) 经检验,满足条件的
{
b
n
}的通项公式为
b
n
=b
或
bn
=
(
-
1)
n-
1
b.
方法二:设{
b
n
}的段长、段比、段差分别为
k
,
q,
d.
①
若
k=
2,则
b
1
=b
,
b
2
=b+d
,
b
3
=
(
b+d
)
q
,
b
4
=
(
b+d
)
q+d
,
由
b
1
b
3
=
,得
b+d=bq
;
由
b
2
b
4
=
,得(
b+d
)
q
2
=
(
b+d
)
q+d,
= =-
则
b
n
=b
或
b<
br>n
=
(
-
1)
n-
1
b
,经检验均
合题意
.
(13分) 联立两式,得 或
= =-
②<
br>若
k
≥3,则
b
1
=b
,
b
2=b+d
,
b
3
=b+
2
d
,由
b<
br>1
b
3
=
,得(
b+d
)2
=b
(
b+
2
d
),解得
d=
0,
则
b
n
=b
,经检验符合
题意
.
综上<
br>①②
可知,满足条件的{
b
n
}的通项公式为
b
n<
br>=b
或
b
n
=
(
-
1)
n-
1
b.
(16分)
江苏省南通市、泰州市2017届高三第一次模拟考试
1
.
【解析】最小正周期
T=
=.
2
.
{1,3,5}
【解析】依题意知
B=
{3,5},所以
A
∪
B=
{1,3,5}
.
3
.
-
3
【解析】由题知
z=-
3
+
4i,
所以
z
的实部是
-
3
.
4
.
0
.
17
【解析】根据对立事件,知所求概率
P=
1-
0
.
48
-
0
.
35
=
0
.
17
.
5
.
5
【解析】
根据流程图,循环过程中,
a
与
n
的值依次是
a=
5,n=
3;
a=
17,
n=
5
.
所以最后输出的
n
的值
为5
.
6
.
7
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,由
z=
3
x+
2
y<
br>得
y=-x+
,作直线
y=-x
,平移直线
y=
-
x
过点(1,2)时,
z
取得最大值7
.
(第6题)
7
.
20
【解析】两组数据的均值都是75,方差
=
50,
=
20,所以所求方差是20
.
甲乙
8
.
【解析】
=
=×
×=.
9
.
【解析】依题意知
=
2,离心率
e=
+
=
.
10
.
【解析】设自上而下各节容积成等差数列{
a
n
},且公差为
d
,则
a
1
+a
2
+a
3
+a
4
=4
a
1
+
6
d=
3,
a
7
+
a
8
+a
9
=
3
a
1<
br>+
21
d=
4,解得
a
1
=
(L)
.
11
.
【解析】由已知,设△
ABC
中角
A
,
B
,
C
对应的边分别为
a
,
b
,
c
,则
accos
B+
2
bc
cos
A=ba
cos
C.
由余
弦定理,整理得
a=
c
,所以
12
.
=
=
.
【解析】设点
P
的横坐标为
x
0,则
f
(
x
0
)
=g
(
x
0
),
f'
(
x
0
)·
g'
(
x<
br>0
)
=-
1,即2sin
x
0
=a
cos<
br>x
0
,2cos
x
0
·(
-
.
a
sin
x
0
)
=-
1,所以sin
2
x
0
=
.
因为
x
∈
,所以sin
x
0
=
,
x
0
=
,所以
a=
=
(第13题)
13
.
(
-∞
,
-
2)∪(
,
+∞
)
【解析】作出函数
f
(
x
)的
图象如图所示,由
f
(
x
)的图象及
x
2
+
2
>x
,知原不等式等价
或
+
解得
x>
或
x<-
2,
所以原不等式的解集是(
-∞
,
-
2)∪(
,
+∞
)
.
于
+
+
14
.
[
-
,
+
]
【解析】如图,取
BC
的中点
M
,设
M
(
x
,
y
),由
AM=BC=
-
,知
AM
2
+
<
br>OM
2
=
4,所以(
x-
1)
2
+
(
y-
1)
2
+x
2
+y
2
=
4
,整理得 -
+
-
=
,所以点
M
在以
为圆心,
为
半径的圆上,所以
AM
∈
-
+
,所以
BC=
2
AM
∈[
-
,
+
]
.
(第14题)
15
.
(1) 在△
AOB<
br>中,由余弦定理得
AB
2
=OA
2
+OB
2
-
2
OA
·
OB
cos∠
AOB
,所以
cos∠
AOB=
+
-
(2分)
=
+
-
=
,
(6分)
即cos
β=.
(2) 因为cos
β=
,
β
∈
,
所以sin
β=
-
=
.
因为点
A
的横坐标为,
(8分)
由三角函数定义可得cos
α=
,
因为
α
为锐角,
所以sin
α=
-
=
,
所以cos(
α+β
)
=
cos
α
cos
β-
sin
α
sin
β=
×
-
×
=-
,
sin(
α+β
)
=
sin
α
cos
β+
cos
α
sin
β=
×
+
×
=
.
所以点
B
-
.
16
.
(1) 连接
OE
,因为
O
为平行四边形
ABCD
对角线的
交点,所以
O
为
AC
的中点
.
因为
E
为<
br>PC
的中点,
所以
OE
∥
PA.
又OE
?平面
BDE
,
PA
?平面
BDE
,所以
直线
PA
∥平面
BDE.
(2)
因为
OE
∥
PA
,
PA
⊥
PD
,
所以
OE
⊥
PD.
因为
OP=OC
,
E
为
PC
的中点,
所以
OE
⊥
PC.
(10分)
又因为
PD
?平面
PCD
,
PC
?平面
PCD
,
PC
∩
PD=P
,
所以
OE
⊥平面
PCD.
又因为
OE
?平面
BDE
,
所以平面
BDE
⊥平面
PCD.
17
.
(1) 由题意得
=
,
-c=
1,
解得
a=
,
c=
1,
b=
1,
所以椭圆的方程为
+y
2
=
1
.
(2)
由题意知
OP
的斜率存在,
当
OP
的斜率为0时,
OP=
,
OQ=
,所以
+
=
1
.
当
OP
的斜率不为0时,设直
线
OP
的方程为
y=kx
(
k
≠0)
.
联立
+
=
消去
y
,得(2
k
2
+
1)
x
2
=
2
,解得
x
2
=
=
=
+
,所以
y
2
+
,
所以
OP
2
=
+
+
.
因为
OP
⊥
OQ
,所
以直线
OQ
的方程为
y=-
x.
(10分)
(12分)
(14分)
(4分)
(6分)
(8分)
(12分)
(14分)
(2分)
(4分)
(6分)
(9分)
联立
=
=-
消去
y
,得
x=-
k
,所以
OQ
2
=
2
k
2
+
2,
所以
+
=
+
+
+
+
=
1
.
综上可知
+
=
1
.
18
.
(1) 当∠
EFP=
由条件得∠
EFP=
∠
EFD=
∠
FEP=
时,
,
所以∠
FPE=
,所以
FN
⊥
BC
,
四边形
MNPE
为矩形,
所以四边形
MNPE
的面积
S=PN
·
MN=
2(m
2
)
.
(2) 方法一:设∠
EFD=θ
,由条件知∠
EFP=
∠
EFD=
∠
FEP=θ.
所以
PF=
-
=
,
NP=NF-PF=
3
-
,
ME=
3
-
.
-
由
得
-
(
*
)
所以四边形
MNPE
的面积为
S=
(
NP+ME
)
MN
=
-
+ -
·2
=
6
-
-
=
6
-
+
-
=
6
-
+
≤6
-
2
=
6
-
2
,
当且仅当tan
θ=
,即tan
θ=
,
θ=
时取“
=
”,
(12分)
(14分)
(3分)
(5分)
(8分)
(12分)
(14分)
此时(
*
)成立
.
答:当∠
EFD=
时,沿直线
PE
裁剪,四边形
MNPE
的
面积最大,最大值为(6
-
2
) m
2
.
方法二:设
BE=t
m,3
ME=
(6
-t
) m,
因
为∠
EFP=
∠
EFD=
∠
FEP
,所以
PE=P
F
,即
-
+
=t-BP.
所以
BP=
-
-
(16分)
,
NP=
3
-PF=
3
-PE=
3
-
(
t-BP
)
=
3
-t+
-
-
.
(8分)
由
-
-
-
- +
-
得
(
*
)
- +
所以四边形
MNPE
的面积为
S=
(
NP+ME
)
MN
-
=
- +
+ -
×
2
-
=
- +
-
-
-
(12分)
≤6
-
2
,
,即
t=
3
+
=
3
+
时取“
=
”,
=
6
-
- +
当且仅当(
t-
3)
=
此时(
*
)成立
.
(14分)
答:当点
E
与点
B
相距 +
分)
m
时,沿直线
PE
裁剪,四边形
MNPE
的面积最大,最大值为(6
-
2
) m
2
.
(16
19
.
(1) 当
a=
时,
f
(
x
)
=x
2
-x-
ln
x
,所以
f'
(
x
)
=x-
1<
br>-=
令
f'
(
x
)
=
0,得
x=<
br>2,
当
x
∈(0,2)时,
f'
(
x
)<
br><
0;
当
x
∈(2,
+∞
)时,
f'(
x
)
>
0,
所以函数
f
(
x)在(0,2)上单调递减,在(2,
+∞
)上单调递增,
所以当
x=
2时,
f
(
x
)有最小值
f
(2)
=--
ln 2
.
+ -
(
x>
0)
.
(2分)
(4分)
(2)
由
f
(
x
)
=ax
2
-x-
ln
x
,得
- -
f'
(
x
)
=
2
ax-
1
-
=
,
x>
0,
所以当
a
≤0时,
f'
(
x
)
=
- -
<
0,函数
f
(
x
)在(0,
+∞
)上单调递减,
(6分) 所以当
a
≤0时,函数
f
(
x
)在(0,
+∞
)上最多有一个零点
.
因为当
-
1≤
a
≤0
- +
时,
f
(1)
=a-
1
<
0,
f
=
>
0,
所以当
-
1
≤
a
≤0时,函数
f
(
x
)在(0,
+∞
)上有零点
.
综上,当
-
1≤
a
≤0时,函数<
br>f
(
x
)有且只有一个零点
.
(3) 方法一:由
(2)知,当
a
≤0时,函数
f
(
x
)在(0,
+
∞
)上最多有一个零点
.
因为函数
f
(
x
)有两个零点,所以
a>
0
.
由
(9分)
(
x>
0),令
g
(
x
)
=
2
ax
2
-x-
1,因为
g
(0)
=-
1
<0,2
a>
0,
(8分)
f
(
x
)
=ax
2
-x-
ln
x
,得
f'
(
x
)
=
- -
所以函数
g
(
x
)在(0,
+
∞
)上只有一个零点,设为
x
0
.
当
x
∈(0,
x
0
)时,
g
(
x
)
<
0,
f'
(
x
)
<
0;当
x
∈(
x
0
,
+∞
)时,
g
(
x
)
><
br>0,
f'
(
x
)
>
0,所以函数
f
(
x
)在(0,
x
0
)上单调递减,在(
x
0,
+∞
)上单
调递增
.
如果要使函数f
(
x
)在(0,
+∞
)上有两个零点,只需要函数
f
(
x
)的极小值
f
(
x
0
)
<<
br>0,即
a
-x
0
-
ln
x
0
<
0
.
又因为
g
(
x
0
)
=
2
a
-x
0
-
1
=
0,
所以2ln
x
0
+x
0
-
1
>
0,
又因为函数
h
(
x
)
=
2ln
x+x-
1在(0,
+∞
)上是增函数,且
h
(1)
=
0,
所以
x
0
>
1,得0
<<
1
.
又由2
a
-x
0
-
1
=
0,得2
a=
+=
+
2
-
,所以
0
1
.
(13分)
以下验证当0
1时,函数
f
(
x
)有两个零点
.
当0
1时,
g
=
因为
-
--
1
=>
0,所以
1
<.
- +
f
=
-
+
1
=
>
0,且
f
(
x
0
)
<
0,所以函数
f
(
x
)在
上有一个零点
.
ln
x
≤
x-
1)
,且
f
(
x
0
)
<
0,所以函数
f
(
x
)在
上有一个零
又因为
f
=
点
.
-
-
ln
≥
-
-
=
1
>
0(因为
所以当0
1时,函数
f
(
x
)在
内有两个零点
.
综上,实数
a
的取值范围为(0,1)
.
下面证明:ln
x
≤
x-
1
.
设
t
(
x
)
=x-
1
-
ln
x
,
所以
t'
(
x
)
=
1
-
=
-
(
x>
0),
令
t'(
x
)
=
0,得
x=
1
.
当
x
∈(0,1)时,
t'
(
x
)
<
0;
当
x
∈(1,
+∞
)时,
t'
(
x
)
>
0,
所以函数
t
(
x
)在(0,1)上单
调递减,在(1,
+∞
)上单调递增,
所以当
x=
1时,
t
(
x
)有最小值
t
(1)
=
0,
所以
t
(
x
)
=x-
1
-
ln
x
≥0,得ln
x
≤
x-
1成立
.
<
br>方法二:由(2)知,当
a
≤0时,函数
f
(
x
)在
(0,
+∞
)上最多有一个零点
.
因为函数
f
(
x
)有两个零点,所以
a>
0
.
由
f
(
x
)
=ax
2
-x-
ln
x=
0,得关于
x
的方程
a=
+
(
x>
0)有两个不相等的实数解
.
又因为ln
x
≤
x-
1,所以
a=
+ -
≤
=-
-
+
1(
x>
0)
.
因为
x>
0时,
-
-
+
1≤1,所以
a
≤1
.
又当
a=1时,
x=
1,即关于
x
的方程
a=
+
有且只有一个实数解,
所以0
1
.
(以下解法同方法一)
20
.
(1) 由已知可得
a
1
,
a
3
,
a
8
成等比数列,
所以(
a
1
+2
d
)
2
=a
1
(
a
1
+<
br>7
d
),
整理可得4
d
2
=
3
a
1
d.
因为
d
≠0,所以
=
.
(2) 设数列{
k
n
}为等比数列,则
=k
1
k
3
,
又因为
,
,
成等比数列,
所以[
a
1
+
(
k
1
-
1)
d
][
a
1
+
(
k
3
-
1)
d]
=
[
a
1
+
(
k
2
-1)
d
]
2
,
整理,得
a
1
(2<
br>k
2
-k
1
-k
3
)
=d
(
k
1
k
3
-
-k
1
-k
3
+
2
k
2
),
因为
=k
1
k
3
,所以
a
1
(2
k
2
-k
1
-k
3
)=d
(2
k
2
-k
1
-k
3
)
.
因为2
k
2
≠
k
1
+k
3
,
(16分)
(9分)
(13分)
(2分)
(4分)
所以
a
1
=d
,即
=
1
.
当
=
1时,
a
n
=a
1
+
(
n-
1)
d=nd
,所以
=k
n
d.
又因为
=
q
n-<
br>1
,所以
k
n
=k
1
q
n-
1,
所以
+
=
k
n
}为等比数列
.
-
=q
,数列{
综上,当
=
1时,数列{
k
n
}为等比数列
.
(3) 因为数列{
k
n
}为等比数列,
由(2)知
a<
br>1
=d
,
k
n
=k
1
q
n-
1
(
q>
1),
=
q
n-
1
=k
1
dq
n-
1<
br>=k
1
a
1
q
n-
1
,
a
n
=a
1
+
(
n-
1)
d=na
1.
因为对于任意
n
∈N
*
,不等式
a
n
+
>
2
k
n
恒成立,
所以
na
1
+k
1
a
1
q
n-<
br>1
>
2
k
1
q
n-
1
,
即
a>
+
-
1
-
,0
<
<=
+
-
-
+
×
恒成立
.
下面证明:对于任意的正实数
ε
(0
<
ε<
1),总存在正整数
n
1
,使得
<ε.
要证
<ε
,即证ln
n
1
ln
q+
ln
ε.
因为ln
x
≤
x<
x
,
则ln
n
1
=
2ln
<
,
解不等式
ln
q+
ln
ε
,
即(
)
2
ln
q-
+
ln
ε>
0,
可得
>
+
-
(舍去负值),
所以
n
+
-
1
>
.
不妨取
n
0
=
+
-
+
1,则当
n
1
>n
0
时,原式得证,
(6分)
(8分)
(10分)
所以0
<
≤,
所以
a
1
≥2,
故
a
1
的取值范围是[2,
+∞
)
.
(16分)
江苏省无锡市2017届高三第一次模拟考试
1
.
(0,2]
【解析】
A
∩
B=
{
x|x
∈
A
且
x
∈
B
}
=
(0,2]
.
2
.
1
-
i
【解析】因为
z=
3
.
?
x
≥2
4
.
【解析】从5人中选2人,基本事件有10个,恰好一男一
女的事件有6个
.
根据古典概型知所求概率
P
-
=
1
+
i,所以
=
1
-
i
.
=
=
.
5
.
70
【解析】根据伪代码,在循环过
程中,
i
与
S
的值依次是3,7;5,22;7,43;9,70
.
所以最后输出
S
的值是
70
.
6
.
【解析】由(
a-b
)(
ma+
b
)
=
0,得
ma
2
+
(1
-m
)
a
·
b-b
2
=
0,即5
m+
(1-m
)
-
2
=
0,解得
m=.
7
.
[2,5]
【解析】作出平面区域
M
如图
中阴影部分所示
.
因为直线
y=kx-
2过定点(0,
-
2
),当直线过角点
(2,2)与(1,3)时,斜率
k
分别取得最小值2和最大值5,
从而得
k
的取值范围是[2,5]
.
(第7题)
8
.
1
【解析】因为
f
(
x
)为奇函数,且
x>0时,
f
(
x
)
=
2
x
-
3
,所以
x<
0时,
f
(
x
)
=g
(
x
)
=-
(2
-x
-
3),所以
g
(<
br>-
2)
=
-
1,所以
f
(
g
(-
2))
=f
(
-
1)
=-f
(1)
=
1
.
(本题可由
f
(
g
(
-
2
))
=f
(
f
(
-
2))
=-f
(
f
(2))
=-f
(1)
=
1求得)
9
.
【解析】设数列{
a
n
}的公比
为
q
(
q
≠1),则
a
1
q=-.
又因为
a
2
,
a
4
,
a
3
成等差数列,
所以2
a
4
=a
2
+a
3
,即1
+q=
2
q
2
,解得
q=-
,
a
1
=
1,所以数列{
a
n
}的前4项和为
-
-
-
-
=
.
10
.
【解析】化简,
f
(
x
)
=
sin
2
x+
sin
x
cos
x=
sin2
x+
≤2
k
π
+
,
k
∈Z,即
-
=
sin -
+
,当2
k
π
-
≤2
x-
k
π
-
≤
x
≤
k
π
+
,
k
∈
Z时,
f
(
x
)单调递增,所以
f
(
x
)
在
上的单调增区间是
.
11
.
<
br>【解析】如图,设圆锥的母线长为
l
,高为
h
,则由题意知
×
×l
2
=
3π,得
l=
3,且圆锥底面周长
c=
·
l=
2π,所以该圆锥的底面半径
r=
1,高
h=
2
,所以该圆锥的体积
V=
π
r
2
·
h=
.
(第11题)
12
.
【解析】作有公共焦点的椭圆和双曲线如图
所示,设点
P
在第一象限,记
F
1
F
2
=
2
c
,则
P
+P
=
4
c
2
,且
-
=
3·
+
,解得
PF
2
=
,
PF
1
=
,所以
e
1
=
+
=
.
(第12题)
13
.
2
【解析】其中
②③
符合题意
.①
中的区间不唯一,如[
-
1,0], -
+
②③
在其定义域上都是增函数,
且函数图象与直线
y
=x
都恰有两个交点,取其横坐标,依次记为
m
,
n
即可;
④
中函数在(
-∞
,1)和(1,
+∞
)上都
是减函数,令
f
(
m
)
=n
,
f
(
n
)
=m
,解出
m
,
n
的值是
14
.
+
,但这两个值不同在一个单调区间内,故所求区间不存在
.
+
【解析】
+-+=
+
·
c-
+=
+
- -
·
c-
+=
++
·
c-
+
≥2
c+=
(
c-
2)
++
≥2
+
=
+
(当且仅当
- - - -
b
=
a
,
c=
2
+
时取等号)
.
15
.
(1)
因为sin
A+
cos
2
所以sin
A+
+
+
+
=
1,
=
1,
即2sin
A-
cos
A=
1,
所以(2
sin
A-
1)
2
=
cos
2
A
,
即5sin
2
A-
4sin
A=
0
.
因为
A
∈(0,π),所以sin
A>
0,
所以sin
A=
.
(2)
由(1)易知cos
A=
,在△
ABC
中,
a
2
=b
2
+c
2
-
2
bc
cos
A
,
所以32
=
25
+c
2
-
2
×
5
c×
,即
c
2
-6
c-
7
=
0,解得
c=
7
.
因为
=
+
,
所以
=
c
2
+
b
2
+
bc
cos
A=
+
×
25
+
×
7
×
5
×
=
25,
所以
AD=
5
.
16
.
(1) 因为
AP
⊥平面
PCD
,
CD
?平面
PCD
,所以
AP
⊥
CD.
因为四边形
ABCD
为矩形,
所以
AD
⊥
CD.
又因为
AP
∩
AD=A
,
AP
?平面
PAD
,
AD
?平面PAD
,所以
CD
⊥平面
PAD.
因为
CD
?
平面
ABCD
,
所以平面
PAD
⊥平面
ABCD.
(2) 连接
AC
,
BD
交于点
O
,连接
OE
,
OF.
因为四边形
ABCD
为矩形,
所以
O
为
AC
的中点
.
因为
E
为
PC
的中点,所以
OE
∥
PA.
因为
OE
?平面
PAD
,
PA
?平面
PAD
,
所以
OE
∥平面
PAD.
同理
OF
∥平面
PAD.
因为
OE
∩<
br>OF=O
,
OE
?平面
OEF
,
OF
?平面
OEF
,
所以平面
OEF
∥平面
PAD.
因为
EF
?平面
OEF
,
所以
EF
∥平面
PAD.
17
.
(1) 因为
EM=BM
,∠
B=
∠
MEN
,
所以△
BMN
≌△
EMN
,
所以∠
BNM=
∠
MNE.
因为∠
AME=
2
θ
,
所以∠
BNM=
∠
MNE=θ.
设
MN=x.
(2分)
(4分)
(6分)
(10分)
(12分)
(14分)
(2分)
(4分)
(6分)
(8分)
(10分)
(12分)
(14分)
(2分)
因为在△
BMN
中,
BM=x
sin
θ
,
所以
EM=BM=x
sin
θ
,
所以在△
EAM
中,
AM=EM
cos2
θ=x
sin
θ
cos2
θ.
因为
AM+BM=a
,
所以
x
s
in
θ
cos2
θ+x
sin
θ=a
,
x=
+
,
所以
l=EM+MN
=
+ +
+
=
=
+
-
=
-
,其中
θ
∈
.
(2) 令
f
(
θ
)
=
sin
θ
(1
-
sin
θ
),sin
θ
∈
,
所以
f
(
θ
)≤
,当且仅当sin
θ=
,即
θ=
时取得最大值
,
此时
l
min
=
2
a.
18
.
(1) 由题知直线
OB
的方程为
y=
x
,即3
x-
2
y=
0
.
<
br>设过点
C
且平行于
OB
的直线
l'
的方程为
y=
x+b
,(2分)
则当
l'
与椭圆只有一个公共点时,
△
OBC
的面积最大
.
联立
+
=
=
+
消去
y
,整理得3
x
2
+3
bx+b
2
-
3
=
0,
此时
Δ=
9
b
2
-
12(
b
2
-
3),令
Δ=
0,解得
b=±
2
.
当
b=
2
时,
C
-
当
b=-
2
时,
C
-
.
所以△
OBC
面积的最大值为
×
+
+
×
=
.
(2) 显
然,直线
l
与
y
轴不垂直,设直线
l
的方程为
x=
my+n
,
联立
+
=
= +
消去
x
,整理得(3<
br>m
2
+
4)
y
2
+
6
mny+3
n
2
-
12
=
0,
(4分)
(6分)
(8分)
(12分)
(14分)
(4分)
(6分)
(8分)
+
=-
+
所以
-
=
+
因为3
y
=
+
1
+y
2
=
0,所以
-
=
+
从而
-
+
=
+
,
即
n
2
=
+
+
,
所以
S
△
OBC
=
|n|
·
|y
1
-y
2
|=
2
|n|
·
|y
1
|=
+
=
+
.
因为
B
在第一象限,所以
x
1
=my
1
+n=
+ +n>
0,所以
n>
0
.
因为
y
1
>
0,所以
m>
0,
所以
S
△
OBC
=
+
=
+
≤
=
,
当且仅当3
m=
,即
m=
时取等号,
此时
n=
,
所以直线
l
的方程为
x=
y+
,
即
y=
x-
.
19
.
(1) 当
n=
1时,
S
1
=a
1
+ ,
所以
r=
,
所以
S
n
=a
n
+
.
当
n
≥2时,
S
n-
1
=a
n-
1
+
,
两式相减,得
a
+
a
+
n
=
n
-
a
n-
1
,
所以
+
=
-
-
(
n
≥2),
(10分)
(12分)
(14分)
(16分)
(2分)
(4分)
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