高中数学必修1-5综合测试-泉州市2020届普通高中数学
初高中数学衔接教材
1.二次根式
6
1.将下列式子化为最简二次根式:(1)
12b
;
(2)
a
2
b(a?0)
;
(3)
4xy(x?0)
.
解:(1)
12b?23b
;
(2)
ab?a
2.计算:
3?(3?3)
.
解:原式 =
2
b?ab(a?0)
;(3)
4x
6
y?2x
3
y??2x
3
y(x?0)
.
3?1
33?3
3?(3?3)
==.
2
9?3
(3?3)(3?3)
3.化简:
(3?2)
2004
?(3?2)
2005
.
解:
(3?2)
2004
?(3?2)
200
5
=
(3?2)
2004
?(3?2)
2004
?(3?2
)
=
?
(3?2)?(3?2)
?
??
2004
?(3?2)
=
1
2004
?(3?2)
=
3?2
.
1
?2(0?x?1)
.
2
x
2
4.化简:(1)
9?45
;
(2)
x?
解:(1)原式
?5?45?4
?
(2)原式=
(x?)
?x?
(5)
2
?2?2?5?2
2
?(2?5)
2
?2?5
?5?2
.
1
x
2
1
1
1
,∵
0?x?1
,∴
?1?x
,
所以,原式=
?x
.
x
x
x
2.因式分解
1.
十字相乘分解因式:(1)
x
-3
x
+2;
(2)
x
+4
x
-12;
(3)
x?(a?b)xy?aby
;
(4)
xy?1?x?y
.
解:(1)x-3x+2=(x-1)(x-2);
(2)x+4x-12=(x-2)(x+6);
(3)
x?(a?b)xy?aby
=
(x?ay)(x?by)
;
(4)
xy?1?x?y
=
xy
+(
x
-
y
)-1=(
x
-1) (
y+
1).
22
2.
求根公式分解因式:(1)
x?2x?1
;
(2)
x?4xy?4y
.
2
22
22
22
22
解:(1)令
x?2x?1
=0,则解得
x
1
??1?2<
br>,
x
2
??1?2
∴
x?2x?1
=
?x?(?1?2)
??
x?(?1?2)
?
22
????
=
(x?1?2)(x?1?2)
.
(2)
令
x?4xy?4y
=0,则
x
1
?(?2?22)y
,<
br>x
1
?(?2?22)y
,
地址:莲湖区西稍门十字向北200米路西,丽苑山水1-606
电话:李老师
22
∴
x
2
?4xy?4
y
2
=
[x?2(1?2)y][x?2(1?2)y]
.
3.
判断根个数
1.判定下列关于
x
的方程的根的情况,如果方程有实数根,写出方程的实数根.
(1)
x
-3
x
+3=0;
(2)
x
-
ax
-1=0;
(3)
x
-
ax
+(
a
-1)=0;
(4)
x
-2
x
+
a
=0.
解:(1)∵Δ=3-4×1×3=-3<0,∴方程没有实数根.
(2)该方程的根的判别
式Δ=
a
-4×1×(-1)=
a
+4>0,所以方程一定有两个不等的实数
根
22
2
22
22
a?a
2
?4a?a
2
?4
,
x
2
?
.
x
1
?
22
(3)由于该方程的根的判别式为:Δ=
a
-4×1×(
a-1)=
a
-4
a
+4=(
a-
2),
所以
,①当
a
=2时,Δ=0,所以方程有两个相等的实数根
x
1
=x
2
=1;
②当
a
≠2时,Δ>0, 所以方程有两
个不相等的实数根
x
1
=1,
x
2
=
a-
1.
(4)由于该方程的根的判别式为Δ=2-4×1×
a
=4-4
a=4(1
-a
),
所以①当Δ>0,即4(1
-a
) >0,
即
a
<1时,方程有两个不相等的实数根
x
1
?1?1?a
,
x
2
?1?1?a
;
②当Δ=0,即
a
=1时,方程有两个相等的实数根
x
1
=
x
2
=1;
③当Δ<0,即
a
>1时,方程没有实数根.
2
222
4.根与系数的关系(韦达定理)
1. 已知方程
5x<
br>2
?kx?6?0
的一个根是2,求它的另一个根及
k
的值.
2
解:∵2是方程的一个根,∴5×2+
k
×2-6=0,∴
k
=
-7.
所以,方程就为5
x
-7
x
-6=0,解得
x1
=2,
x
2
=-
22
2
33
.所以
,方程的另一个根为-,
k
的值为-7.
55
2.已知关于
x的方程
x
+2(
m-
2)
x
+
m
+4
=0有两个实数根,且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求
m
的值.
解:
设
x
1
,
x
2
是方程的两根,由韦达定理,得
x<
br>1
+
x
2
=-2(
m-
2),
x
1
·
x
2
=
m
+4.∵
x
1
+x
2
-
x
1
·
x
2
=21,
∴(
x
1
+
x
2
)-3
x
1
·
x
2
=21,即
[-2(
m-
2)]-3(
m
+4)=21,化简,得
m
-16
m
-17=0,解得
m
=-1,或
m
=17.
当
m
=-1时,方程为
x
+6
x
+5=0,Δ>0,满足题意;
当
m
=
17时,方程为
x
+30
x
+293=0,Δ=30-4×1×293<0,
不合题意,舍去.综上,
m
=17.
3.若
x
1
和
x
2
分别是一元二次方程2
x
+5
x
-3=0的两根.
(1)求|
x
1
-
x
2
|的值; (2)求
2
22
2
2222
222
11
33
?的值; (3)
x
1
+
x
2
.
x
1
2
x
2
2
地址:莲湖区西稍门十字向北200米路西,丽苑山水1-606
电话:李老师
解:∵
x
1
和
x
2
分别
是一元二次方程2
x
+5
x
-3=0的两根,∴
x
1
?x
2
??
2
2222
53
,
x
1x
2
??
.
22
25497
+6=,
∴|
x
1
-
x
2
|=.
42
4
(1)∵|
x
1
-
x
2
|=
x
1
+
x
2
-2
x
1
x
2
=(
x
1<
br>+
x
2
)-4
x
1
x
2
=
(?)?4?(?)
=
5
2
2
3
2
(2)
x?x
2
11
??
x
1
2
x
2
2
x?x
2
2
33
2
1
2
1
2<
br>5325
(?)
2
?2?(?)?3
(x
1
?x2
)?2x
1
x
2
37
22
?
4.
???
2
39
(x
1
x
2
)9<
br>(?)
2
24
2
2 2
(3)
x
1
+
x
2
=(
x
1
+
x
2
)( x
1
-
x
1
x
2
+
x
2<
br>)=(
x
1
+
x
2
)[ (
x
1
+
x
2
)-3
x
1
x
2
]
=(-
5.解一元二次不等式
1.解不等式:(1)
x
+2
x
-3≤0;
(2)
x-x
+6<0;
(3)4
x
+4
x
+1≥0;
(4)
x
-6
x
+9≤0;
(5)-4+
x
-
x
<0.
2
22
22
2
55
2
3215
)×[(-)-3×(
?
)]=-. <
br>2228
解:(1)∵Δ>0,方程
x
+2
x
-3=0的解是
x
1
=-3,x
2
=1.∴不等式的解为:-3≤
x
≤1.
(2)整理,得
x
-
x-
6>0. ∵Δ>0,方程
x<
br>-
x-
6=0的解为:
x
1
=-2,
x
2<
br>=3.∴所以,解为
x
<-2,或
x
<3.
(3)(2<
br>x
+1)≥0.由于上式对任意实数
x
都成立,∴原不等式的解为一切实数.
(4)(
x
-3)≤0.由于当
x
=3时,(
x
-
3)=0成立;对实数
x
,(
x
-3)<0都不成立,∴原不等式的解为
x
=3.
(5)整理,得
x
-
x
+4>0.Δ<
0,所以,原不等式的解为一切实数.
2
222
2
22
2
6.
二元二次方程组解法 ?
x
2
?4y
2
?4?0,
?
x?y?7,<
br>1.解方程组(1)
?
; (2)
?
;
xy?12.
?
?
x?2y?2?0.
?<
br>x
1
?2,
?
x
2
?0,
?
x1
?4,
?
x
2
?3,
解:(1)原方程组的解是
?
?
; (2)原方程的解是:
?
?
;
y?0,y??1.y?3,y?4.
?
1
?
2
?
1
?
2
7.函数
1.求二次函数
y
=
-
3
x
-6
x
+1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标
、最大值(或最小值),并指出当
x
取何值时,
2
y
随
x<
br>的增大而增大(或减小)?并画出该函数的图象.
解:∵
y
=
-3
x
-6
x
+1=-3(
x
+1)+4,∴函数图象的
开口向下;对称轴是直线
x
=-1;顶点坐标为(-1,4);
当
x
=-1时,函数
y
取最大值
y
=4;
当
x
<-1时,
y
随着
x
的增大而增大;当
x<
br>>-1时,
y
随着
x
的增大而减小;
2.已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.
解:设该二次函数为
y
=
ax
+
bx
+
c
(
a
≠0).由函数图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),可得
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2
22
?
?22?a?b?c,
?
2
解得
a
=-
2,
b
=12,
c
=-8.所以,所求的二次函数为
y
=-
2
x
+12
x
-8.
?
?8?c,
?
8
?4a?2b?c,
?
3.已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线
y
=
x
+1上,并且图象经过点(3,-1),求二次函数的解析
式.
解:∵二次函数的最大值为2,而最大值一定是其顶点的纵坐标,∴顶点的纵坐标为2.
又顶
点在直线
y
=
x
+1上,所以,2=
x
+1,∴
x
=1.∴顶点坐标是(1,2).
设该二次函数的解析式为
y?a(x?2)
2
?1(a?0)
,∵二次函数的图像经过点(3,-1),∴
?1?a(3?2)
2
?1
,解得
a
=-2.∴二次函数的解析式为
y??2(
x?2)
2
?1
,即
y
=-2
x
2
+8<
br>x
-7.
4.已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到
x
轴的距离等于2,求此二次函数的表达式.
解:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1
,0),∴对称轴为直线
x
=-1.又顶点到
x
轴的距离为2,
∴
顶点的纵坐标为2,或-2.于是可设二次函数为
y
=
a
(
x
+1)+2,或
y
=
a
(
x
+1)-2,
由于
函数图象过点(1,0),∴0=
a
(1+1)+2,或0=
a
(1+1)-
2.∴
a
=-
22
22
11
,或
a
=.
22
所以,所求的二次函数为
y
=
-
11
22(
x
+1)+2,或
y
=(
x
+1)-2.
22
5.某种产品的成本是120元件,试销阶段每件产品的售价
x
(元)与产品的日
销售量
y
(件)之间关系如下表所示:
x
元
y
件
130
70
150
50
165
35
若
日销售量
y
是销售价
x
的一次函数,那么,要使每天所获得最大的利润,每件
产品的销售价应定为多少元?此时
每天的销售利润是多少?
解:由于
y
是<
br>x
的一次函数,于是,设
y
=
kx
+
(B)
,将
x
=130,
y
=70;
x
=150,
y=50代入方程,
有
?
?
70?130k?b,
解得
k
=-1,
b
=200.∴
y
=-
x
+200.
?
50?150k?b,
2
2
设每天的利润为
z
(元),则
z
=(-
x
+20
0)(
x
-120)=-
x
+320
x
-24000
=-(
x
-160)+1600,
∴当
x
=160时,
z
取最大值1600.
答:当售价为160元件时,每天的利润最大,为1600元.
8.变换
1.求把
二次函数
y
=
x
-4
x
+3的图象经过下列平移变换后得到
的图象所对应的函数解析式:
(1)向右平移2个单位,向下平移1个单位;(2)向上平移3个单位,向左平移2个单位.
解:二次函数
y
=2
x
-4
x
-3的解析式可变
为
y
=2(
x
-1)-1,其顶点坐标为(1,-1).
(1)
把函数
y
=2(
x
-1)-1的图象向右平移2个单位,向下平移1个单位后
,其函数图象的顶点坐标是(3,-2),
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06
电话:李老师
2
22
2
所以,平移后所得到的函数图象对应的函数表达式:
y
=2(
x
-3)-
2.
(2)把函数
y
=2(
x
-1)-1的图象向上平移3个单
位,向左平移2个单位后,其函数图象的顶点坐标是(-1,
2),
所以,平移后所得到的函数图象对应的函数表达式:
y
=2(
x
+1)+2.
9.对称变换
1. 求把二次
函数
y
=2
x
-4
x
+1的图象关于下列直线对称后所得到
图象对应的函数解析式:
(1)直线
x
=-1;
(2)直线
y
=1.
解:(1)二次函数
y
=2
x-4
x
+1的图象关于直线
x
=-1作对称变换后,只改变图象的顶点位
置,不改变其形状.
由于
y
=2
x
-4
x
+1
=2(
x
-1)-1,可知,函数
y
=2
x
-4
x
+1图象的顶点为
A
(1,-1),所以,对称后所得到
2
222<
br>2
2
2
2
2
图象的顶点为
A
1<
br>(-3,1),所以,二次函数
y
=2
x
-4
x
+1
的图象关于直线
x
=-1对称后所得到图象的函数解析式
为
y
=2(
x
+3)-1,即
y
=2
x
+12
x
+1
7.
(2)把二次函数
y
=2
x
-4
x
+1的图
象关于直线
x
=-1作对称变换后,只改变图象的顶点位置和开口方向,
不改变其形状
.由于
y
=2
x
-4
x
+1=2(
x
-1
)-1,可知,函数
y
=2
x
-4
x
+1图象的顶点为A
(1,-1),所以,对
称后所得到图象的顶点为
B
(1,3),且开
口向下,所以,二次函数
y
=2
x
-4
x
+1的图象关于直
线
y
=1对称后所得
到图象的函数解析式为
y
=-2(
x<
br>-1)+3,即
y
=-2
x
+4
x
+1.
22
2
222
2
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