极坐标小论文

极坐标小论文
极坐标系定义：在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面 上取定一
点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通
常规 定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP
的长度ρ以及从Ox到OP的 角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐
标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P点的极径，θ称 为P点的极角。当限制ρ≥0，0≤θ<2π
时，平面上除极点Ο以外，其他每一点都有唯一的一个极坐 标。极点的极径为
零 ，极角任意。若除去上述限制，平面上每一点都有无数多组极坐标，一般地 ，
如果（ρ，θ）是一个点的极坐标 ，那么（ρ，θ+2nπ），（－ρ，θ+（2n+1）π），都
可作为它的极坐标，这里n 是任意整 数。平面上有些曲线，采用极坐标时，方
程比较简单。例如以原点为中心，r为半径的圆的极坐标方程为 ρ=r 等速螺线的
极坐标方程为ρ=aθ 。此外，椭圆 、双曲线和抛物线这3种不同的圆锥曲线。
可以用一个统一的极坐标方程表示
极坐标定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，
记为?； 以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为?。
有序数对 ,??叫做点M的 极坐标，记为,M。相对于平面直角坐标系，极坐标系
有它与生俱来的优势。由于其特殊性，部分曲线在 极坐标系下的方程极为简单，
进而在运算中会方便很多。
极坐标的方程
用极坐标 系描述的曲线方程称作极坐标
方程
，通常表示为
r
为自变量θ的函数。
极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果
r
(?θ) =
r
(θ)，则曲线关于
极点（0°180°）对称，如果r(π?θ) = r(θ)，则曲线关于极点（90°270°）
对称，如果r(θ-α) = r(θ)，则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。
圆
方程为
r
(θ) = 1的圆。
在极坐标系中，圆心在(
r
0, φ) 半径为
a
的圆的方程为
r^2-2rr0cos(θ-φ)+r0^2=a^2
该方程可简化为不同的 方法，以符合不同的特定情况，比如方程r(θ)=a表示一
个以极点为中心半径为
a
的圆。
直线
经过极点的射线由如下方程表示θ=φ
,其中φ为射线的倾斜角度，若 m为直角坐标系的射线的斜率，则有φ = arctan
m
。 任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。 这些在点（
r
0, φ）处的直
线与射线θ = φ 垂直，其方程为
r(θ)=r0sec(θ-φ)
玫瑰线

一条方程为
r
(θ) = 2 sin 4θ的玫瑰线。
极坐标的玫瑰线（polar rose）是数学曲线中非常著名的曲线，看上去像花瓣，
它只能用极坐标方程来描述，方程如下：
r(θ)=a cos kθ
r(θ)=a sin kθ
OR如果
k< br>是整数，当
k
是奇数时那么曲线将会是k个花瓣，当
k
是偶数时曲线< br>将是2k个花瓣。如果
k
为非整数，将产生圆盘（disc）状图形，且花瓣数也为非整数。注意：该方程不可能产生4的倍数加2（如2，6，10……）个花瓣。变
量
a< br>代表玫瑰线花瓣的长度。
阿基米德螺线
方程
r
(θ) = θ for 0 < θ < 6π的一条阿基米德螺线。
阿基米德螺线在极坐标里使用以下方程表示：r(θ)=a+bθ
.改变参数a将改变螺线形 状，b控制螺线间距离，通常其为常量。阿基米德螺
线有两条螺线，一条θ > 0，另一条θ < 0。两条螺线在极点处平滑地连接。
把其中一条翻转 90°270°得到其镜像，就是另一条螺线。
圆锥曲线
椭圆，展示了半正焦弦
圆锥曲线方程如下：r=L(1-e cosθ)
其中l表示半正焦弦，e表示离心率。 如果e < 1，曲线为椭圆，如果e = 1，
曲线为抛物线，如果e > 1，则表示双曲线。
其中e表示离心率，p表示焦点到准线的距离。




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周舒雯
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