2020年高中数学教学论文 含有函数记号“f(x) ”有关问题解法

含有函数记号“
f(x)
”有关问题解法
由于函数概念比较抽象，学 生对解有关函数记号
f(x)
的问题感到困难，学好这部分知识，
能加深学生对函数概 念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化
学生数学思维素质。现将常见解法 及意义总结如下：
一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量
x
的代 数式，从而求出
f(x)
，
这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵 活性及变形能力。
x
)?2x?1
,求
f(x)
.
x?1
xu
解：设
?u
,则
x?
x?11?u< br>u2?u
∴
f(u)?2

?1?
1?u1?u
2?x
∴
f(x)?

1?x
例1：已知
f(
2.凑合法：在已知
f(g(x))?h( x)
的条件下，把
h(x)
并凑成以
g(u)
表示的代数式，再利< br>用代换即可求
f(x)
.此解法简洁，还能进一步复习代换法。
1
，求
f(x)

3
x
11
2
1 11
2
解：∵
f(x?)?(x?)(x?1?
2
)?(x?)(( x?)?3)

xxxxx
例2：已知
f(x?)?x?
3
1
x
又∵
|x?
11
|?|x|??1

x|x|
23
∴
f(x)?x(x?3)?x?3x
，(|
x
|≥1 )
3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未
知 系数。[

例3． 已知
f(x)
二次实函数，且
f(x?1)? f(x?1)?x
+2
x
+4,求
f(x)
.
解:设
f(x)
=
ax?bx?c
，则
2
2f(x?1)?f(x?1)?a(x?1)
2
?b(x?1)?c?a(x?1)
2
?b(x?1)?c

=
2ax?2bx?2(a?c)?x?2x?4

22

?
2(a?c)?4
13
?
?a?,b?1,c?
比较系数得
?
2a?1
22
?
2b?2
?
∴
f(x) ?
1
2
3
x?x?

22
4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.
例4.已知
y
=
f(x)
为奇函数,当
x
>0时,
f(x)?lg(x?1)
,求
f(x)
解:∵
f(x)
为奇函数，∴
f(x)
的定义域关于原点对称，故先求< br>x
<0时的表达式。∵-
x
>0,
∴
f(?x)?lg(?x?1)?lg(1?x)
,
∵
f(x)
为奇函数，
∴
lg(1?x)?f(?x)??f(x)

∴当
x
<0时
f(x)??lg(1?x)

?
lg(1?x),x?0
∴
f(x)?
?

?l g(1?x),x?0
?
例5．一已知
f(x)
为偶函数，
g(x)
为奇函数，且有
f(x)
+
g(x)?
解：∵
f(x)为偶函数，
g(x)
为奇函数，
∴
f(?x)?f(x)
,
g(?x)??g(x)
,
1
， 求
f(x)
,
g(x)
.
x?1
1
………①中的
x
,
x?1
11∴
f(?x)?g(?x)?
即
f(x)
－
g(x)??
……②
?x?1x?1
1x
显见①+②即可消去
g(x)
,求出 函数
f(x)?
2
再代入①求出
g(x)?
2

x ?1x?1
不妨用-
x
代换
f(x)
+
g(x)
=
5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出
f(x)
的表达式
例 6：设
f(x)
的定义域为自然数集，且满足条件
f(x?1)?f(x)?f(y) ?xy
,及
f(1)
=1,
求
f(x)


解：∵
f(x)
的定义域为N，取
y
=1,则有
f(x?1)?f (x)?x?1

∵
f(1)
=1,
∴
f(2)
=
f(1)
+2,

f(3)?f(2)?3

f(n)?f(n?1)?n
< br>以上各式相加，有
f(n)
=1+2+3+……+
n
=
∴f(x)?
n(n?1)

2
1
x(x?1),x?N

2
二、利用函数性质，解
f(x)
的有关问题
1.判断函数的奇偶性：
例7 已知
f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f( y)
,对一切实数
x
、
y
都成立，且
f(0)?0
,
求证
f(x)
为偶函数。、
证明：令
x
=0, 则已知等式变为
f(y)?f(?y)?2f(0)f(y)
……①
在①中令
y
=0则2
f(0)
=2
f(0)

∵
f(0)
≠0
∴
f(0)
=1
∴
f(y)?f(?y)?2f(y)

∴
f(?y)?f(y)

∴
f(x)
为偶函数。
2.确定参数的取值范围
例8：奇函数
f(x)
在定义域（-1，1）内递 减，求满足
f(1?m)?f(1?m)?0
的实数
m
的取值范围。
解：由
f(1?m)?f(1?m)?0
得
f(1?m)??f(1?m)
，
∵
f(x)
为函数，
∴
f(1?m)?f(m?1)

又∵
f(x)
在（-1，1）内递减，
2
22
2
?
?1?1?m?1
?
2
∴
?
?1?m?1?1?0?m? 1

?
1?m?m
2
?1
?

3.解不定式的有关题目
例9：如果
f(x)
=
ax?bx?c
对任意的
t
有
f(2?t)?f2?t)
,比较f(1)、f(2)、f(4)
的大小
解：对任意
t
有
f(2?t)?f2?t)

∴
x
=2为抛物线
y
=
ax?bx?c
的对称轴
又∵其开口向上
∴
f
(2)最小，
f
(1)=
f
(3)
∵在［2，＋∞)上，
f(x)
为增函数
∴
f
(3)<
f
(4),
∴
f
(2)<
f
(1)<
f
(4)

2
2