高中数学零点秒杀视频-苗金利高中数学计数原理
缺“1”就错
在不等式求最小值中，常数“1”的魅力非常的大，通过“1”的中介，
可以帮助避免误区，获得成功。
一 “1”在整体中的应用
例：已知
m?0
，
n?0
且
m?n?1
，求
解
常见误区：
?m?0,n?0
，
m?n?1
?m?n?2mn
19
?
的最小值。
mn
(m?n)
2
1
?mn??
44
199
??2?236?12
mnmn
?
?
误区分析：
取到等号时
19
?
的最小值是12 mn
1
19
当
m?n
时，取得等号；又因为
??24
时，
?mn?
mn
9
mn
19
?
既
n?9m
；出现
m?n
与
n?9m
的矛盾
mn
正确突击：
?m?0,n?0,m?n?1
?
1919
??1?(?)
mnmn
?(m?n)(19
?)
mn
9mn
?1???9
nm
9mn
?10??
nm
9mn
?10?2??16
nm
当
9mn
?
时，既
n
2
?9m
2
n?3m
时取到等号，
nm
?m?n?1
?m?3m?1
19
?m?
1
,n?
3
时，
?
的最小值是16
mn
44
二 把分子换成“1”
例：已知
m?0,n?0<
br>且
m?n?1
，求
(1?
11
)(1?)
的最小值。
mn
解 常见误区：
?m?0,n?0,m?n?1
?m?n?2mn
?mn?
1
4
?(1?
11111
m
)
(1?
n
)?2
m
?
m
?2
mn
?4 误区分析：
?mn?
1
时，当
m?n
既
m?
n?
1
42
取到等号，又因为
(1?
1
m
)(1?
1
n
)?4
时，当
1
m
?1,
1
n
?1
，既
m?1,n?1
时取到等号，与
m?0,n?0,m?n
?1
矛盾。
正确突击：
?m?0,n?0,m?n?1
?(
1?
1
m
)(1?
1
n
)
?(1?
m?n
m?n
m
)(1?
n
)
?(2?
n
m
)(
2?
m
n
)
?4?
2m2n
n
?
m
?5?
2m2n
n
?
m
?5?2
2m
n
?
2n
m
?5?4?9
当
2m
n
?
2n
m
，既
m?n?<
br>1
2
时，
(1?
1
m
)(1?
1
n
)
的最小值是9
三 在待求式中应用“1”
例：若
0?x
?2,mn?0
，求
m
2
n
2
2?x
?
x
的最小值。
解 常见误区：
?0?x?2,mn?0
m
2
n
2
m
2
n
2
???2?
2?
xxx(2?x)
2mn
x(2?x)
?
2mn
x(2?x)
?
2mn
?2mn
x?2?x
2
m
2
n
2
m
2
n
2
m
2
n
2
?
误区分析：要使取到等号，所以既
??2
2?xx
2?xxx(2
?x)
2n
2
x?2?x
x?
2
时；但由时取到等号，所以
x?2?x
既
x?1
x(2?x)?
2
m?n
2<
br>2n
2
时取到等号；所以
x?
22
与
x?1
不能同时取到等号。
m?n
正确突击：
?0?x?2,
mn?0
m
2
n
2
m
2
n
2
x?
2?x
???(?)()
2?xx2?xx2
2
1m
2<
br>xn(2?x)
?[?m
2
?n
2
?]
22?xx<
br>
?(m
2
?n
2
?2mn)?(m?n)
2
m
2
xn
2
(2?x)4m
2
m
2
n
2
n
2
2
?
?
当，既
x?
22<
br>，
x?2
22
时的最小值
2?xx
2?xx
m
?n
m?n
1
2
1
2
是
(m?n)
2
实战沙场：
1
已知
m?0,n?0
且
m?n
的最小值是9
）
14
求
m?n
的最小值。（
参考答案：
m?3,n?6
时；
??1
，
mn
1
2
2 已知
x?0,y?0
且
4x?9y?xy
，求
x?y
的最小值。（
参考答案：
x?10,y?15
时；
x?y
的最小值是25
）
1
2
3 已知
m,n(m?0,n?0)
的等差中项为且
x
?m?n,y?
最小值。（
参考答案：5
）
11
?
，求
x?y
的
mn
4 设<
br>m?0,n?0
，若
3
是
3
m
与
3
n
的等比中项，求
考答案：
31
的最小值。（
参
?
m3n
16
）
3
a
2
b
2
5
若
0?x?1,a?0,b?0
，求
?
的最小值。（
参考答案：(a?b)
2
）
x1?x