高中数学笔记总结【高一至高三_很全】

高中数学第一章 -集合
①任何一个集合是它本身的子集，记为
A A
；
③空集是任何非空集合的真子集；
如果
A B
，同时
B
如果
A
A
，那么 A = B.
B，B C，那么 A C
.
Z ={全体整数 } （×）
s
A= {0}）
3. ①{（x
，
y）| xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集 .
②{（x
，
y）| xy＜0，x∈R， y∈R 二、四象限的点集 .
③{（x
，
y）| xy＞0，x∈R， y∈R} 一、三象限的点集 .

4. ①n 个元素的子集有
有 2
n
－2 个.
2
n
个
.
②

n
个元素的真子集有

2
n
③n 个元素的非空真子集
. 否命题逆命题.
. 原命题逆否命题.
②
x 1且 y 2，
x y 3
,故
C
U
A
：补
{ x U ,且x A}
（ 2） 等价关系：
A B
0)
的解可以根据各区间的符号确

“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简； 题命单
由简和逻题命单辑联结词“或” 、“且”、“非”构成的命题是复合命题。

（2）“p 且 q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时为
真，其他情况时为假；
（3）“p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为
假，其他情况时为真．
否 命 题
若 ┐p则┐q
( 原命题逆否命题)
高中数学第二章 -函数
§02. 函数 知识要点
函数三要素是定义域，对和值则法应域，而定义域和对是起决定作用的要素，因为 则法应
这二者确定后，域也就相应值得到确定，因此只有定义域和对二者完全相同的函数才 则法应
是同一函数 .

y=f(x)的单.此时间区调也说函数是这一区间上的单调函数
（ 2）
f ( x)
f ( x) f (| x |)
，反之亦成立。
4．如果
f ( x)
是偶函数， 则
时有意义，则
⑴偶函数：
f ( x) f ( x)
a,b
）也是图象上一点 .
②满足
f ( x) f (x)
，或
f ( x)
⑵奇函数：
f ( x)
f ( x) 0
，若
f ( x) 0
时，
a, b ）也是图象上一点 .

在
[1, 1)
上不是奇函数 .
②满足
f ( x)
例如：已知函数 f（x）= 1+
解：
f ( x)
的值域是
f ( f (x))
的定义域
B
，
f ( x)
的值域
2x 1|
→

| y |
关于

x
轴称对

.
定义域

{ x | x 3, x R}
域值
{ y | y 2, y R}
→值域
x
前的系数之比 .
R
，故
B
，而 A
x | x 1
故
B A
.
R
，

指数函数
y a (a 0 a 1)
的图象和性质
log (M N)

M
log M
0, N
log
a
N
0, a
）过定点（
3
0,a 1,b
， ），
0, b

1,c 0, c 0且
）
（即

（以上
1,a , a ...a 1

在（ 0，+∞）上是减函数
且
M 0
时，
M 0
，故取
“— ” .
（
a 0,a 1
）
与
y
互为反函数 .
当
a 1
时，
y l o
a
gx
的
a
值越大，越
靠近
x
轴；当

log (M N) log M log N
注⑴：当 a,b 0时，
log( a b) log( a) log( b)
.
⑵：当
0
，时取“ +”，当
n
是偶数时且
M 0
时，
M

（
a 0,a 1
）与
y log
a
x
互为反函数
大于 0，底数大于零且不等于 1；④零指数幂的底数不等于零；
系：① f(-x)=f(x)
⑤实际问题要考实虑际意义等
f(-x) 与 f(x) 之间的关
为偶； f(x)+f(-x)=0

§03. 数 列 知识要点
a
n
a
n 1
d
；
a
等比数列的定义
等比数列的通项
等比数列的性质
等比数列的前 n项和
a
p
a
q
(m, n, p,q N
*
,m n p q)

①
a
n
③
a
n
a
=
a
+（ n-1）d=
a
+（n-k）d=
dn
+
a
-d
a
a (1
1
若 m+n=p+q则
a
m
a
n

{a }
若
{ k
n
}
a
n 1
d(n 2,d为常数 )
b
( n, k
ac ，是 a
、
b
、
c 成等比的双非条件，即
ac （ac＞ 0）→为a
、
b
、
c 等比数列的充分不必要 .
q ) a a q
a
、
b
、
c 等比数列
kn
.

ac →为a
、
b
、
c 等比数列的必要不充分 .
ac 且 ac 0→为a
、
b
、
c 等比数列的充要 .
注意：任意两数 a
、
c 不一定有等比中项，除非有
③ a
n
cq
n
( c, q
).
log a
（
⑷数列 { }
a
的前项和
S
与通项
a
的关系：
[注]： ①
a
n
a
1
n 1 d nd a
1
d
（
d
可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列
和项
S
n
An
2
Bn
2. ①等差数列依次每 k项的和仍成等差数列， 其公差为原公差的 k 倍
S ,S
③若等差数列的项数为2n 1n N
代入 n到2n 1得到所求项数
.
a
n
10
n
1； 5，55，555，?
4. 等比数列的前
n
项和公式的常见：题用应
⑴生产部门中有增长率的总题问量产 . 例如，第一年产量为
a
，年增长率为
r
，则每年的产量
成等比数列，公比为
1 r
.
其中第

n
年产量为
a(1 r )
n 1
，且过
n
年后总：为量产
a
元，利息为
r
，每月利息按复
利计算，则每月的
a
元过
n
个月后便成为a(1 r)

⑶分期付款应用题：
a
为分期付款方式贷款为a 元； m为m 个月将款全部付清；
r
为年利率 .
5. 数列常见的几种形式：
（p
、
q为二阶常数）
x
2
对应
a
，对应
a
），并二设根
x , x
②若
x x
；③由初始值
a ,a
确定
c ,c
1 2 1 2
a
n
；④
a ,a
a c c P
（公式法） ，
c ,c
由
1 2 1 2
n 1 2
⑴等差数列的前
n
项和为
S
，在
d 0
时，有最大值如何确定使
S
取最大值 的时
n
值，有两
a
n 1
0
，成立的

n
值；二是由

求此数列前
n
项和可依照
等比数列前
n
项和的推倒导方法：错位相减求和
. 例如： 1 ,3 ,...(2n 1)
)
为同

一

常

数

。

(2) 通项公 式 法 。 (3) 中项公 式 法 :验证

a a )n N
都成立。
n n 2
在等差数列｛
a
｝中 ,有关 S 的最值问题： (1)当 >0,d<0时，满足
. (2)
a
<0,d>0
的项数 m 使得
s
m

取最小值。在解含绝 值对
3.错位相减法 :适用于
a
n
b
n

b
n

是各项不为0 的等比数列。
4.倒序相加法 :类似于等差数列前 n项和公式的推导方法 .
4）
1 2 3
n(n 2) 2 n n 2
高中数学第四章 -三角函数
3.

arcsinxarc-cosxarctanx 表示．
§04. 三角函数 知识要点
0°≤ ＜ 360°）边终相 同 的 角 的 集 合 （ 角
°≈ 57.30°=57°18ˊ．
SIN COS
三角函数值大小关系图
1、2、3、4表示第一、二、三、
四象限一半所在区域
（

tan
tan
16. 几个重要结论
:

3
,
tan 75
k Z ）
注意：①
y
sin x
与
y sin x
的单调性正好相反； y
一般地，若
y f ( x)
在
[a, b]
上递增（减） ，则
y
f (x)
在
[ a, b]
上递减（增） .
③
y sin( x
④
y sin( x
)
的对称轴方程是 x k
（
k Z
），称对中心（ k ,0 ）；
称轴方程是
x k
（
k Z
），称对中心（
）；
y an(t )
的对称中心（
⑤当 tan ·tan
( k Z)
.
⑥ y cosx 与
是同一函数 ,而 y ( x

⑦函数
y tan x
在
R
上为增函数 .（×） [只能在某个单单间区调调 增递
y tan x
为增函数，同样也是错 的误].
f (x)
具有奇偶性的必要不充分条件
. 例如：
y tan x
是奇函数，
为周期函数（
T
y sin x
为周期函数（
T
f (x) 5 f (x k), k R.
２）、描点法及其特例 — — 五点作图法 （正、余弦曲线） ，三点二线作图法 （正、 余切曲线） .
| |
，相位
x
初相 （即
2
由 y＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当
|A| ＞1）或缩短（当 0＜|A|
＜1）到原来的 |A| 倍，得到 y＝ Asinx 的图象，叫做 振幅变换或叫沿 y轴的伸缩变换． （用 yA
替换y）
由 y＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变， 横坐标伸长（0＜| ω| ＜1）或缩短（| ω| ＞1）
到原来的
|
1
|
倍，得到 y＝ sinω x 的图象，叫做 周期变换或叫做沿 x轴的伸缩变换． (用ωx 替

高中数学第五章 -平面向量
. (2) 向量的表示：几何表示法
坐标表示法 a＝
ｘｉ
＋
ｙj
＝（
ｘ
，
ｙ
）.
向量的长度：即向量的大小，记作｜ a｜ .
特殊的向量：零向量 a＝O
｜a｜＝ O.
｜a
O
｜＝ 1.
(
ｘ
，
ｙ
) ＝（
ｘ
，
ｙ
）
1 1 2 2
平行向量 ( 共线向量 ) ：方向相同或相反的向量， 称为平行向量 .记作 a∥
b
. 平行向量也称为
向量 .
(a b) c a (b c)
(3)
(4)
(7)
共线

a b (x x ,y y )
1 2 1 2
是 一 个 向 量 , 满
足:
| a | | || a|
2. >0时,
a与a
同向
<0时,
a与a
异向
，使 a＝λ e ＋λ e .
(2) 两个向量平行的充要条件
a∥b a＝λb(b
≠
0) x y －x y ＝O.
(3) 两个向量垂直的充要条件
a⊥b a· b＝O x x ＋y y ＝O.
(4)线段的定比分点公式
点设
P
分有向线段
OP
2
(线段的定比分点的向量公式
a b a ( b)
AB BA
,
OB OA AB
( a) b a ( b) (a b)
(a b) c a c b c
a | a | 即|a|= x y
λ

(线段定比分点的坐标公式 )
OP
＝
（

OP
＋
OP
）或
点设
P
( x，y) 按向量 a＝（
ｈ
，
ｋ
）平移后得到点
P
′（ x′， y′），
O
则
P
＝
OP
+a 或
曲线y＝f（x）按向量 a＝（
ｈ
，
ｋ
）平移后所得的曲线的函数解析式为：
余弦定理： a ＝b ＋c －2
bc
cos
A
，
△设ABC的三边为a
，
b
，
c
，
其高分别为h
，
h
，
h
，
半周长为P，外接圆、 内切圆的半径为R
，
④S
△
=12sinC
·
ab=12ac
·
sinB=12cb
·
sinA
⑤S
△
=
P P a P b P c
⑥S =12（b+c-a）r [
如下图
]=1 2 b+a-c r =12 a+c-b r
（ ） （ ）
a
4 个，一个是内心，其余
c b

图2 中的 I为S
ABC
的一个旁心，
△
S =12（
△
b+c

-a）r
a

特例：已知在 Rt△ABC
，
c为斜边，则内切圆半径
证明：因
A
为
B C,
所以
tan A B
证明：在△ ABCD中，由余弦定理，有
AD
BD
2
2 AB BD cos B
BD DC （斯德瓦定理）
①若 AD 是 BC上的中线，
m
a

bc p p a
，其中 p为半周
B
长；
C
，结 ！论

运算律：⑴加法交换律：
a b b a
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行
a b
的充要条件是存在实数
P 在直线
l
上的充要条件是存在实数 t满足等式
l
叫做直线的方向向量 .
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量
说明：空任间意的两向量都是共面的
6．共面向量定理：
， λ

x, y
，使
MP xMA y MB
或对空间任一点
①式叫做平面
MAB
的向量表达式
7．空间向量基本定理：
推论：设
O, A, B,C
是不共面的四点，则任间空对一点
P
，都存在唯一的三个
有序实数
x, y, z
，使
OP xOA yOB zOC
8 空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量
a,b
，在空间任取一点

O
，作
OA a OB, b
的夹角，记作
a,b
；且规定
0
，显然有
a,b
10．向量的数量积：
a b
| a| |b | cos a,b
．
A
在
l
上的射影
A
，作
点
B
在 上的射影
可以证明
A B
的长度
| A B | | AB | cos a, e |a e |
．
11．空间向量数量积的性质：
（1）
( a) b
（交换律）（ 3）
a (b c) a b a c
x轴是横轴（对应为横坐标） ，y轴是纵为应对（轴

a b ( a b ,a b ,a b ) R) a b a b a b a
3
b
3

②利用法向量求二面角的平面角定理：设
n
1
,n
③证直线和平面平行定理：已知直线
a
平面 ，
使
AB
A B a,C D
CD CE
.
AB


（常设

5）理解不等式│ a│-│b│≤ │ a+b│≤ │ a│ +│b│
§06. 不 等 式 知识要点
1）
a b
b a
（对称性）
（传递性）
3）
a b a c b c
（加法单调性）
a c b d （同向不等式相加）
a c b d （异向不等式相减）
ac bc
8）
a b 0,c d 0 ac bd
（同向不等式相乘）
12）
a
n
b (n Z, 且 n 1)
（开方法则）
一正、二定、三相等
（
（
（
（
（
.

(4) 若 a、 b、c R ,则
b a
a b c
(5) 若 ab 0,则
a
幂平均不等式：
注：例如：
(ac
b
2
a b
a a
bd) (a b )(c
a
d )
.
b
2
a b

②
y x(1 x
2
)
类似于
y sin x cos x sin x(1 sin x)
○
3
f ( x)
| | x | |
g (x)
与 同号，故取等
)

2

| (x

高中数学第七章 - 直线和圆的方程
§07. 直线和圆的方 程 知识要点
1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，
x
平轴行或重合时， 其倾斜角为0，故直线倾斜角的范是围
90
或
x
2
x
1
时，直线
l
垂直于
x
轴，它的斜率不存在
除与
x
轴垂直的直线不存在斜率外， 其余每一条直线都有
(a ,0), (0, b)
，即直线在
x
轴， y轴上的截距分别为
a, b(a 0,b 0)
时，
y kx b
，当 k,b 均为确定的数值时，它表示一条确定的
直线，如果 k,b变化时，对应的直也线会变化 .①当
b
为定植，
k
变化时，它们表示过定点（ 0，
k k
两条直线平行的条件是：①
l
和
l
是两条不重合的直线. ②在
l
和
l
的斜率都
存在的前提下得到的 . 因此，应特别注意， 抽掉或忽视
1
其中任一个
2
“前提 ”都会导致结误错的论.
1 2
l ,l
，它们在轴上的纵截距是
b ,b
，则
l
∥
l
l ,l
的倾斜角为
,
0
，且
l
2
的斜率不存在或
k
2
0
，且
l
1
的斜率不存
l
到
l
的角（方向角） ；直线
l
到
l
的角，是指直线
l
绕交点依逆时针方向旋到转与
l
与
l
的夹角：两条相交直线
l
与
l
的夹角，是指由
l
与
l
相交所成的四个
l
和
l
所成的角，它的取值范围是
90
，则有
) 0(
A x B y C
为

1. 两点 P (x ,y )、P (x ,y )的距离公式： | P P |
特例：点 P(x,y)到原点 O 的距离：
|OP |
定比分点坐标分式。 若点 P(x,y)分有向线段
PP 所成的比为即PP
k tan
＜180°）、斜率 :
4.过两点
P ( x ,y ), P ( x ,y )
的直线的斜率公式：
3.过定点（ x
1
,y
1
）的直线系方程是：
A(x- x
1
)+B(y-y
1
)=0 (A,B 不全为0)
⑵关于某直线对称的两条直性线质：若两条直线平行，则对称直也线平行，且两直线到对称
若两条直线不平行，则对称直必线过两条直线的交点，且对称直线为两直夹线角的角平分线
⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①） ，过两对称
点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点
注：①曲线、直线关于一直线（
x b
）对称的解法： y换x，x换y. 例：曲线f(x ,y)=0 关

①曲线上的点的坐标都是这个方程的解
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点
那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）
⑵曲线和方程的关系，实质上是曲上任一点 线
M ( x, y)
其坐标与方程
f (x, y) 0
的一种关系，
f (x, y) 0
的解所对应的点是曲
曲线上任一点
(x, y)
是方程
f (x, y) 0
的解；反过来，满足方程
线上的点 .
2.圆的标准方程：以点
特例：圆心在坐标原点，半径为
C( a, b)
为圆心，
r
为半径的圆的标准方程是
r
的圆的方程是： x y r .
a ,圆心 (a, b )或 (
表 示圆的 充 要 条 件 是 ：
M ( x ,y )
及圆C : (x a) ( y b) r .
0 0
(x a) ( y b) r
0 0
(x a) ( y b) r
0 0
a ,b)]

(x a) (y b) r (r 0)
心圆
C (a, b)
到直线
l
的距离
① d r时， l 与 C 相切；
C :x y D x E y F
有两个交点，则其公共弦方程为
(
注：若两圆为同心则圆x y D x E y F 0
上一点
( , )
P x y
的切线方程为：
①一般方程若点 (x ,y )
0
不在圆上，圆心为
(x x )( x a) (y y )(x b) k
? ②
Ax By C 0( A
2
B
2
0)
直线
l
： ；
0
O O
的连线的中与方线程
用代入法， 得关于
x
（或 y ）的一元二次方程，
x y D x E y F 0
2
b)=R
2
.
特别地，过圆x y r
b y k(a x ) ，联立求出
k

2） 方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线C上（完备性）。则称方程 f(x,y)=0为曲线C的方程，
曲线C叫做方程 f(x,y)=0 的曲线。

F F 方程为椭圆,
1 2
i. 中心在原点，焦点在 . ii. 中心在原 点，焦点在
0)
Ax
2
By
2
1(A 0, B 0)
.
③
椭准标的圆参数方程：

1
的参数方程为
⑵①顶点：
( a,0)( 0, b)
或
(0, a)( b,0)
.②轴：对称轴： x轴， y轴；长轴长2a ，短轴长
2b
.③
焦点：
( c,0 )(c,0)
或
(0, c)( 0, c)
.④焦距： F
1
F
( 0 e 1)
.
⑦焦点半径：
i.设
P(x ,y )
为圆椭
1(a b 0)
上的一点，
F ,F
为左、右焦点
P
，
F
则
a ex , PF
2
ii.设
P(x ,y )
为 圆椭
b
2
)
，方程
t(t
是大于 0 的参数，
a b 0)
的离心率也是
e
1
上的点 .
F ,F
为焦点，若
F PF
，则
PF F
的面积为

⑵① i. 焦点在 x轴上：
顶点：
(a,0), ( a,0)
焦点：
(c ,0), ( c,0)
ii. 焦点在 y轴上：顶点：
(0, a), (0, a)
. 焦点：
(0, c), (0, c)
. 准线方程：
0
，参数方程：
⑤参数关系
c
2
a
2
b
2
, e
1
（
F ,F
分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲的线上下焦点）
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实，轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭
N的轨迹是椭圆
y

，则常用结论1：
0)
的渐近线方程为
x

到焦点的距离为m = n，则
0
如果双曲线的渐
P 到两准线的距离
1
P

F 和定直线
l
的距离之比为常数
e
的点的轨迹
. 例如：椭准标的圆方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关
．到两定点
离之差的绝对值为定值
2a(2a>|F
1
F
2
|) 的点的轨2a(0<2a<|F
1
F
2
|) 的点的
(a,0), ( ─a,0), (0,b) ,
(0, ─ b)
.

③若直线a
、
b 异面， a 平行于平面
④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点
⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）
2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面
直线.（不在任何一个平面内的两条直线）
0 ,90
）
0 ,90
）
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）
5. 两异面直线的距离：公垂线的长度
空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直
l ,l
是异面直线，则过
l ,l
外一点 P，过点 P 且与
l ,l
都平行平面有一个或没有，但与
离相等的点在同一平面内 . （
L
与
L
平行的平面）
2
[注]：①直线
a
与平面 内一条直线平行，则
a
∥ . （×）（平面外一条直线）
②直线
a
与平面 内一条直线相交，则
a
与平面 相交 . （×）（平面外一条直线）
平行，则内必存在无数条直线与
a
平行 . （√）（不是任意一条直线，
⑦直线l 与平面
所成角相等，则∥
.
（×）（ 、 可能相交）
3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平
面相交，那么这条直线和交线平行 .（“面线平行，线线平行” ）
若
PA
⊥ ，
a
⊥ AO ，得
a
⊥ PO （三垂线定理） ，
得不出 ⊥ PO . 因为
a
⊥ PO ，但 PO 不垂直 OA.

等的两条斜线段相等，射影较长的斜段线较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜段 线
射影较长；③垂段线比任何一条斜线段短
[注]：垂线在平面的射影为一个点 . [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×） ]
两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于
2mn cos
（为锐角取加，

⑴①直棱柱侧面积：
矩形得出的 .
②斜棱住侧面积：
S Ch （ C为底面周长， h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为
S C l
（
C
1
是斜棱柱直截面周长，

以知
c
⊥
l
， cos a b
BC⊥AD. 令
AB a, AD c, AC b
得
BC AC AB b a, AD BC AD bc ac
，已知
a c b 0, b a c
iii. 空间四边形 OABC且四边长相等，的边各结连次顺则中点的四边形一定是矩形
iv. 若是四边角对与长线分别相等，则的边各结连次顺中点的四边是一定是正方形
AC 平面
OO B

①纬度：地球上一点
P
的纬度是指经过
P
点的球半径与赤道面所成的角的度数
②经度：地球上
A,B
两点的经度差，是指分别经过这两点的线经与地所轴确定的二个半平面
A
的经线是本初子午个这，时线二面角的度数就是
附：①圆柱体积：
V
（

r
为半径，

h
高为）

②圆：积体锥
V
r
2
h
（

r
为半径，

h
为高）

③锥形体积：
V
（为底面积，
h
为高）
S R 3 S R S h
②向量
a,b,c
共面即它们所在直线共面 . （×） [ 可能异面 ]
b . （×） [ 与 b 0 不成立 ]
④若 a为非零向量，则0 a 0 . （√） [这里用到
b(b 0)
之积仍为向量 ]
（3）共面向量：若向量 a 使之平行于平面
（4）①共面向量定理：如果两个向量
a,b
不共线，则向量
P
与向量
a,b
共面的充要条件是存
在实数对x、y 使
P xa yb
.
②空间任一点
．．．
O

和不共线
． ．．．．．．
三点 A、

B
．
、
．
C
．
，则
．
O
．
P

xOA yOB zOC ( x y z 1)
是 PABC四点共

面的充要条件 .（简 ：证
OP (1 y z)OA yOB zO C AP yAB zAC
2. 空间向量基本定理： 如果三个向量
a,b,c
不共面 ，那么对空间任一向量
P
，存在一个唯一的
推论：设O、A、B、C 是不共面的四点，则任一点 间空对
P, 都存在唯一的有序实数组x
、
y
、
z
使
OP xOA yOB zOC
(这里隐含 x+y+z≠1).
注：设四面体 ABCD的三条棱，
AB b, AC c, AD d,
其
x轴是横轴（对应为横坐标） ，y轴是纵应对（轴
a b ( a b ,a b ,a b ) R) a b a b a b a
3
b
3

②利用法向量求二面角的平面角定理：设
n
1
,n
方向相同，则为补角，
n
1
, n
2

平面
使
AB
，
A B a, C D
CD CE
.（常设
AB

与 BF 所成的角为，则
，设∠ ABC= ,
, , ,
则有
cos cos =cos
；
3
S cos
侧
=S
底

，则
；

V
=Sh. 其中 S 是柱体的底面积， h
柱体
=
Sh
，其中 S 是棱锥的底面积， h 是棱锥的高。
高中数学第十章 -排列组合二项定理
1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简用应的单问 ．题
2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简用应的单问 ．题
3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应
．题
4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和明证一些简 ．题问的单
10. 排列组合二项定理 知识要点
（
（
（
用问
（
§

注意：
n n! (n 1)! n!
2. 含有可重元素 的排列问题
2
?
S有 k 个不同元素 a
1
，a , ...
n
a其中限重复数为
，且
n = n
1
+n
2
+? ? n
k
,则S的排列个数等于
n
n 个元素中再取 m-1 个元素，所
n 个元素中取出 m 个元素，所以共有 C 种，依

考虑它们“局部 ”的排列 .它主要用于解决 “元素相邻问题”，例如，一般地，
列，要求其中某
m(m n)
个元素必相邻的排列有
的 2 个，有不确定性 .
n 个不同元素排成一
n m 1
n m 1
A 个.其中 A
n m 1
m n m 1

⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊 元素应优先排列，然后再排其他一般元素；
m(m n)
个元素的全排列有
n 个元素排成一列，其中 m 个元素次序一定，共
例如： n 个元素全排列，其中 m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？
解法一：（逐步插空法） （m+1）（m+2）? n = n！ m！；解法二：（比例分配法）
A A
.
m, m
n 1
有时意义.
的正整数解的组数就可建立组合模型将
12
个完全相同的球排成一列，
在它们之间形成 11 个空隙中任选三个插入 3块摸板， 把球分成 4 个组.每一种方法所得球的数
目依次为
x ,x ,x ,x
然显
x x x x 12
，故（
任何一组解
( , , , )
y y y y
，对应着惟一的一种在
x
4
所示）故方程的解和插板的方法一一对应 . 即方程的解的组数等于插隔板的
注 意 ： 若为非负数 解 的 x 个 数 ， 即 用
a
i
等 于
x
i
1
， 有
，进而转化为求 a 的正整数解的个数为
C

A n
r 个元素都包含在内， 并
.
且都排在某 r 个指定位置则有

固定在某一位置上：
A
先 C后 A 策略，排列 C C A ；组合 C C .
①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问后选先题排的
⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法理处策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨
是否分尽， 其分法种数为A A
例： 10 人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为
C C C A 1575
.
②非均匀编号分组: n 个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组序顺的间，其分
例：10 人分成三组， 各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳，动 其安排方法为：
C C
③均匀编号分组： n 个不同元素分成 m组，其中 r组元素个数相同且考虑各组序顺的间，
C A

①项数：共有 n 1项；
a b)
n
展开式中的第
r
⑶二项式系数的性质.
附：一般来说(ax by)
n
(a, b
1
项 ：为
C a
n
展 开 式 中 含
a b c
b (0 r
系 数 呢
n, r Z)
.
其 中
若从 10 人中选出
2520

的系数或系数的
T
（


为
的 ？

b
q
的项为
C
n

a b
，故在
C C a b c
.
中含
a b c
的项为
n n r
r! (n r )! q!(n r q)! r! q! p!
高中数学第十一章 -概率
§11. 概率 知识要点
. 如果事件 A、B 互斥，那么事件 A+B
P(A
n
)
.
②对立事件： 两个事件必有一个发生的互斥事件
叫对立事件 . 例如： 从 1～52张扑克牌中任取
一张抽到 “红桃 ”与抽到 “黑桃 ”互互为斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其
1：
P(A) P(A ) P(A A) 1
.
ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件
③相互独立事件： 事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响 .这样的两个事件叫
做相互独立事件 . 如果两个相互独立事件同时发生的概率，
等于每个事件发生的概率的积，
P(A·B)=P(A) P·(B). 由此，当两个事件同时发生的概率 P（A B）等于这两个事件发生概率之和，
这时我们也可称这两个事件为独立事件 .例如：从一副扑克牌（ 52张）中任抽一张设A：“抽到
老 K”；B：“抽到红牌 ”则A应与 B 互为独立事件 [看上去 A 与 B 有关系很有可能不是独立事件，
推广：若事件
A ,A , ,A
相互独立，则
P(A A
A ) P(A ) P(A ) P(A
n
)
.
n 1 2
注意： i. 一般地，如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与
B, A
与 B， A 与 B 也都相互独立 .
ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的

iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实的讲来验多个事件，且这多个事
④独立重复试验：若 n 次重复试验中，每次验试结果的概率都不依赖于其他各次试果结的验，
n这称则 次试验是独立的 . 如果在一次试验中某事件生发的概率为P，那么在 n 次独立重复试
4.对任何两个事件都有
P( A B) P( A) P(B) P(A B)
（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样．
（2）会用样本频率分布估计总体分布．
（3）会用样本估计总体期望和值方差．
①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能果结是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现果结些这中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现
哪一个结果 .
2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机
变量叫做离散型随机变量 .若 ξ是一个随机变量， a，b 是常数 .则
a b
也是一个随机变量
一般地，若 ξ是随机变量，
f ( x)
是连续函数或调单函数，
f
则
( )
也是随机变量 .也就是说，随
设离散型随机量变 ξ可能取的值：为
ξ取每一个值
x
1
(i 1,2, )
的概率
P(
布列 .
注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这量变的样叫做连续型随机量变 .例如：
其中
k 0 ,1, ,n, q 1 p
于是得到随机变量 ξ的概率分布如下： 我们称这样的随机量变 ξ服从二项分布，记作 ～B（ n·p），
其中 n，p为参数，并记
C p q
.

②当随机变量的总体很大且抽 取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有
4. 几何分布： “
k
”表示在第 k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把
P(ξ k) P(A )P(A ) P(A )P(A
k
)
q
1
p (k 1,2,3, )
于是得到随机
，其中
q 1 p. k 1,2,3
N 件，其中有 M（M ＜N）件次品，今抽取
n(1 n N )
件，
中取 n-k 件的取法数，如果规定
m
＜ r时C
r

，则的范围可以写为k=0，1，? ， 〕
a b
个产品编号，则抽取
个 可 能结果 ， 等 可 能 ：
(η k)
含 C a b
)
.[我们先为k 个次品选
定位置，共 C
k

n
种选法；然后每个次品位置有
P(ξ k) P(η k)
，因此二项分布可作为超几何分布的近
望反映了离散型随机变量取值的平均水平
2. ⑴随机变量
b
的数学期望：
E
①当 a 0时，
E (b) b
，即常数的数学期望就是这个常数本身
b
，即随机变量 ξ与常数之和的期望等于

③当
b 0
时，
E(a ) aE
，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘
.积
⑵单点分布：
E
⑶两点分布：
E
其分布列为～
q(k, p)
.（P为 生发的概率）
x ) p ( k 1, 2, )
时，则称
b
的方差 D( ) D (a b) a D . a b
（ 、 均为常数）
pq 其分布列为： （p + q = 1）
⑴如果 E 和 E 都存在，则
E(
⑵设ξ和 是互相独立的两个随机变量，则
E( ) E E ,D(
⑶ 期 望 与 方 差 的转化 ： E
E ) E( ) E(E )
（ 因为 一为常 数 ）
ξ，位于 x轴上方， ξ落在任一区间
[ a, b)
内的概
率等于它与 x轴.直线
x a
与直线x b 所围成的曲边梯形的面
y
积
图像的函数
f (x)
叫做 ξ的密度函数，由于 “
x (
0 ），称 ξ服从参数为, 的正态分布， 用 ～ N( ,
2
)
表示
f (x)
的表达式可简

④当
x
＜时，曲线上升；当
x
＞时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，
以 x轴为渐近线，向 x轴无限的靠近 .
ξ的概率函数为
(x)
)
，则称 ξ服从
标准正分态布 . 即 ～
N ( 0,1)
有
(x) P(
x)
，
( x) 1
( x)
求出，而 P（a＜
ξ
≤ b）的计算
是则
P(a
( a)
.
( x)
的 X 取 0时，有
(x) 0.5
当
( x)
的 X 取大于 0 的数时，有
) 0.0793 0.5
则
0.5
必然小于
0，如图.
～ N( ,
2
)
则ξ的分布函数通
常用
F ( x)
表示，且有
标准正分态布曲线
S
阴
=0.5 Sa=0.5+S
4.⑴“3 ”原.则
假设检验是就正态总体而言的，行进假设检验可归结为如下三步：①提出统，设假计统 假计
N
( ,
2
)
.
②
确定一次试验中的取
a
值

是否落入范围
(

做出判断：如果
a (
3 )
，接受统.设假计 如果
a (
3 )
，由于这是小概率
则ξ落在
( 3 )
内的概率为
99.7％ 亦即落在
( 3 )
之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，
ξ不服从正态分布） .

（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归明证法纳一些简单的数学命．题
（2）了解数列极限和函数极限的概念．
（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．
（4）了解函数连续的意，义了解闭区间上连续函数有最大和值最小值的性质．
高中数学第十四章
导数
1.导数（导函数的简称）的定义：设
x
0
是函数
y f ( x)
定义域的一点，如果自变量
有增量 x ，则函数值y 也引起相应的增量
f x
；比值
称为函 数
y f (x)
在 点
x
0
处可导，并把这个极限叫做
f (x)
在
x
0
处的导数，记作
y
'
|
x x
0
，即 f (x ) =
②以知函数
y f ( x)
定义域为
A
， y f
'
(x)
2. 函数
y f ( x)
在点
x
处连续与点
x
处可导的关系：
可以证明，如果
y f (x)
在点
x
0
处可导，那么
y f ( x)
点
x
处续连
事实上，令
x x
x) lim [ f (x x ) f (x ) f (x )]
⑵如果
y f (x)
点

例：
f (x) | x |
在点
处连续，但在点
x 0
处不可导，因为
函数
y f (x)
在点
x
0
处的导数的几何意义就是曲线
y f ( x)
在点
(x
0
, f ( x))
处的切线的斜率， 也
就 是说， 曲线
y f ( x)
在 点 P
( , ( ))
x f x
处的 切线的 斜 率 是
y f (x) f ( x) ... f (x) f ( x) f (x) ... f (x)
1 2 n
注：①
u,v
必须是可导函数 .
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、
，
g( x) cos x
f (x)
在某个区间内可导，如果
＞ ，则
y
增函数；如果 f (x)
＜
0
，则

y f ( x)
为减函数
⑵常数的判定方法；
如果函数
y f ( x)
在区间
I
内恒有 f
'
(x) =0
，则
y

f ( x)
为常数
有
f (x) 0
，有一个点例外即 x=0时f（ x） = 0，同样
f (x) 0
是 f（x）递减的充分非必要条
件.
②一般地，如果 f
（
x
）
在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负）
f ( x)
为

当函数
f ( x)
在点
x
0
处连续，时
＞ ，右侧＜ ，那么
f (x )
是极大值；
x
0
是极值点的充分条件是
x
0
点两侧导数异号，而不是
f (x) =0 .
此外，函数不可
x
0
是可导函数
f ( x)
的极值点，则
f
'
(x) =0.
x
0
是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则 零为值数导
②例如：函数
y f ( x) | x |
，在点 x 0处不可导，但点 x 0 是函数的极小值点 .
8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比，较最值是在整体区间上对函数值 行进
0
（ C为常数）
(x a )(x a )...( x a )
(x b )(x b )...( x b )
y x
取自然对数之后可变形为
ln y x ln x
，对
y yln x y y x ln x x
.
两边求

z , z
为复数，则若
z z
2
0
，则
z
1

z
（×）
z , z
为复数，而不是实数
z
，则
z z
2
0
.（√）
2 1
是
a b c
的必要不充分条件 （当
z ，z
是复平面内的两点
z 和z
所对应的复数，
表示 和
间的距离 .
表示线段
z
1
z
2
的垂直平分线的方程
为焦点，半长轴长为a 的椭圆的方程 （若
2
z z ），
表示以
Z
1
，Z
2
为焦点，实半轴长为的双曲线方程 （若
z ，z
是不等于零的复数，则
]

z z 2a
，
z z 2bi
（
z
a + bi）
z z z , (z ) z ,(z z ) z z
②在实数集成立的 | x| x
2
.
5. ⑴复数
z
是实数及纯虚数的充要条件：
①
z R z z
.
②若 z 0 ，
z
是纯虚数
⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同

③设
a R ,
i sin )
，
r
b
2
，
cos
在复数集内解关于
x
的一元二次方程 ax
2
bx c 0( a0)
（
x
1,2
为共轭复数）


.