2010年全国高中数学联合竞赛一试试卷及答案

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2010年全国高中数学联合竞赛一试试卷（A卷）
（10月17日上午8：00—9：20）
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．
1．函数f(x)＝
x?5 ?24?3x
的值域是_______________________．
2．已知函数y ＝(acos
2
x－3)sinx的最小值为－3，则实数a的取值范围是_________ _____________．
3．双曲线x
2
－y
2
＝1的右半 支与直线x＝100围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整
数的点）的个数是______ __________________．
4．已知{a
n
}是公差不为0的等差数 列，{b
n
}是等比数列，其中a
1
＝3，b
1
＝1，a< br>2
＝b
2
，3a
5
＝b
3
，
且存在 常数α，β使得对每一个正整数n都有a
n
＝log
α
b
n
＋β，则α＋β＝_____________________．
5．函数f(x)＝a
2 x
＋3a
x
－2(a>0，a≠1)在区间x∈[－1，1]上的最大值为8，则它在 这个区间上的最
小值是____________________．
6．两人轮流投掷骰子 ，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另
一人投掷．先投掷人的获胜概 率是________________．
7．正三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的9条棱长都相等，P是CC
1
的中点，二面角B－A
1
P－B
1
＝α，则sinα
＝____________________ _．
8．方程x＋y＋z＝2010满足x≤y≤z的正整数解(x，y，z)的个数是______ ______________．

二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9． （本小题满分16分）已知函数f(x)＝ax
3
＋bx
2
＋cx＋d（a≠ 0），当0≤x≤1时，|f′(x)|≤1，试求
a的最大值．


10 ．（本小题满分20分）已知抛物线y
2
＝6x上的两个动点A(x
1
，y< br>1
)和B(x
2
，y
2
)，其中x
1
≠x< br>2
且
x
1
＋x
2
＝4．线段AB的垂直平分线与x轴 交于点C，求△ABC面积的最大值．





11．（本小题满分20分）证明：方程2x
3
＋5x－2＝0恰有一个实数根r，且存在 唯一的严格递增正
整数数列{a
n
}，使得
2
＝
r
a
1
?r
a
2
?r
a
3
?
……．
5
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（10月17日上午8：00—9：20）
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．
1．函数f(x)＝
x?5 ?24?3x
的值域是_______________________．
2．已知函数y ＝(acos
2
x－3)sinx的最小值为－3，则实数a的取值范围是_________ _____________．
3．双曲线x－y＝1的右半支与直线x＝100围成的区域内部（不 含边界）整点（纵横坐标均为整
数的点）的个数是________________________ ．
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4．已知{a
n
}是公差不为0的等差数列， {b
n
}是等比数列，其中a
1
＝3，b
1
＝1，a
2
＝b
2
，3a
5
＝b
3
，
且存在常数 α，β使得对每一个正整数n都有a
n
＝log
α
b
n
＋β ，则α＋β＝_____________________．

5．函数f(x)＝a2x
＋3a
x
－2(a>0，a≠1)在区间x∈[－1，1]上的最大值为8， 则它在这个区间上的最
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小值是____________________．

6．两人轮流投掷骰子，每 人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另
一人投掷．先投掷人的获胜概率是 ________________．

7．正三棱柱ABC－A
1
B1
C
1
的9条棱长都相等，P是CC
1
的中点，二面角B－A< br>1
P－B
1
＝α，则sinα
＝_________________ ____．

8．方程x＋y＋z＝2010满足x≤y≤z的正整数解(x，y，z)的个 数是____________________．


二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9． （本小题满分16分）已知函数f(x)＝ax
3
＋bx
2
＋cx＋d（a≠ 0），当0≤x≤1时，|f′(x)|≤1，试求
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a的最大值．


10．（本小题满分20分）已知抛物线y
2
＝6x上的两个动点A(x
1
， y
1
)和B(x
2
，y
2
)，其中x
1
≠ x
2
且
x
1
＋x
2
＝4．线段AB的垂直平分线与 x轴交于点C，求△ABC面积的最大值．


11．（本小题满分20分）证明： 方程2x
3
＋5x－2＝0恰有一个实数根r，且存在唯一的严格递增正
整数数列{a
n
}，使得
2
＝
r
a
1
?r
a< br>2
?r
a
3
?
……．
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