全国高中数学联赛 代数部分

全国高中数学联赛
（代数部分）

1. (1988年全国高中数学联赛加试第三题)
在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线
l
,
l
12
,?,
l
n
,?
的直线族，它满足条件：
⑴ 点(1，1)∈
l
，
(n?1,2,3,?)
；
⑵
k ?a?b
，其中
k
是
l
的斜率，
a
n
和< br>b
n
分别是
l
在
x
轴和
y
轴
n
n?1nn
n?1n?1
n
上的截距，
(n?1,2,3,?)
；
⑶
kk?
0
，
(n?1,2,3,?)
．
nn?1
并证明你的结论．






2. (1989年全国高中数学联赛加试第二题)
已知
x?R(i?1,2,?,n;n?2)
，
i
nn
满足
?
x
i
?1,
?
x
i
?0,

i?1i?1
求证：
?
i?1
n
x
i
i< br>?
1
2
?
1
2n
.




3. (1998年全国高中数学联赛加试第二题)

2
设
a
1
,a
2
,?,a
n
，
b
1< br>,b
2
,?,b
n
?
?
1,2
?
且
?
a
i
?
?
b
i

2
i?1i?1
nn
求证：
?
i?1
n
a
i
3
b
i
?
17
10
?
i?1
n
a
i
并问 等号成立的充要条件.
2


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4. (1997年全国高中数学联赛加试第二题)

试问：当且仅当实数
x
0
,
x
1
,
?
,
x
n
(
n?
2)
满足什么条件时.
存在实数
y
0
,y
1
,?,y
n
使得
z
0
2
?z
1
2
?z
2
2
???z
n
2
成立.
其中
z
k
?x
k
?iy
k< br>，
i
为虚数单位，
(k?1,2,?,n).

证明你的结论.






5. (1999年全国高中数学联赛加试第二题)
给定实数
a、b、c
.已知复数
z、z、z
满足：
z
1
?z
2
?z
3
?1

123
z
1
z
2
?
z
2
z
3
?
z
3
z
1
?1

求
az
1
?bz
2
?cz
3
的值








6. (2002年全国高中数学联赛加试第二题)
设
x
i
?
0(i?
1,2,
?
,n)
，且
?
x
i
?2
2
k?1
n
?
1?k?j?n
k
j
xk
x
j
?1
，求
?
x
i
的最大值与< br>k?1
n
最小值







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7. (2002年全国高中数学联赛加试第二题)
实数a、b、c 和正数
?
，使得f ( x) =
f
(
x
)
?x
3
?ax
2
?bx?c
有三个实数
根
x
1
、x
2
、x
3
,且满足
(1)
x
2
-x
1
?
?
;
(2)
x
3
?
3
1
2
(x
1
?x
2
)
.
求
2a?27c?9ab





8. (2004年全国高中数学联赛加试第二题)
在平面直角坐标系
xOy

中,
y
轴正半轴上的点列{
A
n

}与曲线
y?2x(x?0)
上
n
?
3
的最大值.
的点列{
B
n
}满足
OA
的横坐标
为
b
n

,
证明:
(1)
a
>
n
?OB
n
?
1
n
,直 线
A
n
B
n

在
x
轴上的截距为
a
n

,点
B
n
n?N
?
.
a
n?1
> 4 ,
n?N
?
.
n
0
都有
(2) 存在
n
0
?N
?
,使得对任意的
n?









b
2
b
1
?
b
3
b
2
???
b
n
b
n-1
?
b
n?1
b
n
?
n - 2004.

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9. (2005年全国高中数学联赛加试第二题)
设正数a、b、c、x、y、z
满足
cy?bz?a
，
az?cx?b
，
bx?ay?c

求函数
f(x,y,z)?
x
2
1?x
?
y
2
1?y
?
z
2
1?z的最小值.




10. (2006年全国高中数学联赛加试第二题)
已知无穷数列{
a
}满足:
n

a
0
?x
，
a
1
?y


a
n?1
?
a
n
a
n?1
?1
a
n
?a
n?1
(
n?
1,2,
?
)

(1) 对于怎样的实数
x、y

,总存在
n
0
?N
?

使得当
n?
n
n
0
时，
a
n
恒为常数？
(2) 求数列{
a
}的通项公式.







11. (2006年全国高中数学联赛加试第三题)
解方程组:
x?y?z?w?2

x?y?z?w?6

x?y?z?w?20

x?y?z?w?66

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4444
3333
2222

12. (2008年全国高中数学联赛加试第三题)
设
a?0(k?1,2,?,2008).

证明：当且仅当
?< br>a
k
?
1
时，存在数列{
x
}满足以下条件
n
2008
k?1
（1）
0
?x
0
?x
n
?x
n?1
(
n?
1,2,
?
)

x
n
存在
（2）
lim
n??
（3）
x
n
?x
n?1
?
?
a
k
x
n?k
?
?
a
k?1
x
n?k

(n?1,2,?)

k?1k?0
20082007



13. (2009年全国高中数学联赛加试第二题)
求证：
- 1?(
?
k?1
n
k
k?1
2
)?lnn?
1
2
，
n?1,2,?







14. (2010年全国高中数学联赛加试第三题)
给定整 数
n(n?2)
，设正实数
a
1
,a
2
,?,a< br>n
满足
a
记
A
k
?
n
k
?1(k?1,2,?,n).
< br>a
1
?a
2
???a
k
k
n
k?1
(
k?
1,2,
?
,
n
).

求 证：
?
a
k
?
?
A
k
?
n?1< br>.

k?1
2




全国高中数学联赛代数部分
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