全国高中数学联赛试题及答案教程文件

2009年全国高中数
联赛试题及答案
学

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全国高中数学联赛
全国高中数学联赛一试命题 范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教
学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上 有所提高。主要考查
学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。
全 国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所
扩展，适当增加一些竞赛教学大 纲的内容。全卷包括4道大题，其中一道平面
几何题.
一 试

一、填空（每小题7分，共56分）
1．
若函数
f
?
x
?
?
f
(n)
?
x
?
?f
?且
?
f
?
f
?
2
1?x
x
?
99
?
f
?
x
?
?
?
?
?
，则
f
?
1
?
?
．
n
2．
已知直线
L:x?y?9?0
和圆
M:2x
2
?2y
2
?8x?8y?1?0
，点
A
在直线
L
上，
B
，
C
为圆
M
上两点，在
?ABC
中，
?BAC?45?
，
AB
过圆心
M
，则点A
横
坐标范围为 ．
?
y≥0
?
3．
在坐标平面上有两个区域
M
和< br>N
，
M
为
?
y≤x
，
N
是随
t
变化的区
?
y≤2?x
?
域，它由不等式
t≤x≤t? 1
所确定，
t
的取值范围是
0≤t≤1
，则
M
和< br>N
的公共
面积是函数
f
?
t
?
?
．
4．
使不等式
11
??
n?1n?2
?
1 1
?a?2007
对一切正整数
n
都成立的最小
2n?13
正整数
a
的值为 ．
x
2
y
2
5．
椭圆
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
上任意两点
P
，
Q
，若
OP?OQ
，则乘积
ab< br>OP?OQ
的最小值为 ．
6．
若方程
lgkx?2lg
?
x?1
?
仅有一个实根，那么
k
的取值范围是 ．
7．
一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩
上 的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前
100
个正整数按从小到大排
成的行 ，则最后一行的数是 （可以用指数表示）
8．
某车站每天
8∶00~9 ∶00
，
9∶00~10∶00
都恰有一辆客车到站，但到站的时
刻是随机的 ，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为
8∶10
到站时刻
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0

9∶10

8∶30

9∶30

8∶50

9∶50

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概率
1

6
1

2
1

3
一旅客
8∶20
到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）．
二、解答题
x
2
y
2
1．
（ 14分）设直线
l:y?kx?m
（其中
k
，
m
为整数）与 椭圆
??1
交于
1612
x
2
y
2
不同两 点
A
，
B
，与双曲线
??1
交于不同两点
C
，
D
，问是否存在直线
l
，
412
使得向量
AC ?BD?0
，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明
理由．


2．
（15分）已知
p
，
q
?
q?0
?
是实数，方程
x
2
?px?q?0
有两个实根
?
，
4，
?
，数列
?
a
n
?
满足< br>a
1
?p
，
a
2
?p
2
?q
，
a
n
?pa
n?1
?qa
n?2
?
n ?3，
?

(Ⅰ)求数列
?
a
n
?
的通项 公式（用
?
，
?
表示）；
(Ⅱ)若
p?1
，q?
，求
?
a
n
?
的前
n
项和．








3．
（15分）求函数
y?x?27?13?x?x
的最大和最小值．
1
4












加试

一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）
9．
如图，
M
，
N
分别为锐角三角形
?ABC
（
?A??B
）的外接圆
?
上弧
BC
、
AC
的中点．过点
C
作PC∥MN
交圆
?
于
P
点，
I
为
?A BC
的内心，连接
PI
并延长交圆
?
于
T
．
⑴求证：
MP?MT?NP?NT
；
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1

精品资料 ⑵在弧
AB
（不含点
C
）上任取一点
Q
（
Q≠ A
，
T
，
B
），记
?AQC
，
△QCB< br>的内心分别为
I
1
，
I
2
，
P
N
I
T
A
Q
C
M
B
求证：
Q
，
I
1
，
I
2
，
T
四点共圆．




10．

求证不等式：
1< br>?
n
k
?
?1?
?
?
2
?lnn≤
，
n?1
，2，…
?
k?12
?
k?1
?















设
k
，
l
是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数
m≥k
，
使得
C
k
m
与
l
互素．












11．
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2

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