高中数学必修一函数难题

高中函数大题专练
２、对定义在
[0,1]
上，并且同时 满足以下两个条件的函数
f(x)
称为
G
函数。
① 对任意的
x?[0,1]
，总有
f(x)?0
；
② 当
x
1
?0,x
2
?0,x
1
?x
2
?1时，总有
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f (x
2
)
成立。
已知函数
g(x)?x
2
与h(x)?a?2
x
?1
是定义在
[0,1]
上的函数。
（1）试问函数
g(x)
是否为
G
函数？并说明理由；
（2）若函数
h(x)
是
G
函数，求实数
a
的值；
（3）在（2）的条件下，讨论方程
g(2
x
?1)?h(x)?m
(m?R)
解的个数情况。

1
.
2
|x|
（1）若
f(x)?2
，求
x
的值；
3.已知函数
f(x )?2
x
?
（2）若
2
t
f(2t)?mf(t)?0对于
t?[2,3]
恒成立，求实数
m
的取值范围.

?1
?
1?,
x?0;
4.设函数
f(x)
是定义在R
上的偶函数.若当
x?0
时，
f(x)?
?

x
?
0,
x?0.
?
（1）求
f(x)
在
(??,0)
上的解析式.
（2）请你作出函数
f(x)
的大致图像.
（3）当
0?a?b
时，若
f(a)?f(b)
，求
ab< br>的取值范围.
（4）若关于
x
的方程
f(x)?bf(x)?c?0
有7个不同实数解，求
b,c
满足的条件.

5．已知函数
f(x)?a?
2
b
(x?0)
。
|x|
（1）若函数
f(x)
是
(0,??)
上的增 函数，求实数
b
的取值范围；
（2）当
b?2
时，若不等式
f(x)?x
在区间
(1,??)
上恒成立，求实数
a
的取 值范围；
（3）对于函数
g(x)
若存在区间
[m,n](m?n)
，使
x?[m,n]
时，函数
g(x)
的值域也是
[m,n ]
，则称
g(x)
是
[m,n]
上的闭函数。若函数
f(x )
是某区间上的闭函数，试探
求
a,b
应满足的条件。

6、设
f(x)?

7．对于函数
f(x)
，若存在
x
0
?R
，使< br>f(x
0
)?x
0
成立，则称点
(x
0
,x
0
)
为函数的不动点。
求满足下列条件的实数
a
的值：至 少有一个正实数
b
，使函数
f(x)
ax
2
?bx
，
的定义域和值域相同。

（1）已知函数
f(x)?ax
2
?bx?b(a?0)
有不动点（1，1）和（-3，-3）求
a
与
b
的值；
（2）若对于任意实数
b
，函数
f(x)?a x
2
?bx?b(a?0)
总有两个相异的不动点，求
a
的
取值范围；
（3）若定义在实数集R上的奇函数
g(x)
存在（有限的）
n
个不动点，求证：
n
必为奇数。

8．设函数
f(x)?x?1
，(x?0)
的图象为
C
1
、
C
1
关于点A（2，1）的对称的图象为
C
2
，
x
C
2
对应的函数为
g(x)
.
（1）求函数
y?g(x)
的解析式；
（2）若直线
y?b
与
C
2
只有一个交点，求
b
的值并求出交点的坐标.

9．设定义在
(0,??)
上的函数
f(x)
满足下面三个条件：
①对于任意正实数
a
、
b
，都有
f(a?b)?f(a)? f(b)?1
；
②
f(2)?0
；
③当
x?1
时，总有
f(x)?1
.
（1）求
f(1)及f()
的值；
（2）求证：
f(x)在(0,??)
上是减函数.

10． 已知函数< br>f(x)
是定义在
?
?2,2
?
上的奇函数，当
x? [?2,0)
时，
f(x)?tx?
常数）。
（1）求函数
f(x)
的解析式；
（2）当
t?[2,6]
时，求
f(x)
在
?
?2,0
?
上的最小值，及取得最小 值时的
x
，并猜想
f(x)
在
?
0,2
?
上的单调递增区间（不必证明）；
（3）当
t?9
时，证明：函数
y?f( x)
的图象上至少有一个点落在直线
y?14
上。

11.记函数
f
?
x
?
?
1
2
1
3
x
（
t
为
2
2?
x?7
的定义域为
A
，
g
?
x
?
?lg
?
?
2x?b
??
ax?1
?
?
?
b?0,a?R
?
的定x?2
义域为
B
，
（1）求
A
：
（2）若
A?B
，求
a
、
b
的取值范围

a
x
?1
?
a?0,a?1
?
。 12、设
f
?
x
?
?
x
1?a
（1）求
f
?
x
?
的反函数
f
?1
?
x
?
：
（2）讨论
f
?1
?
x
?
在
?
1.??
?
上的单调性，并加以证明：
（3）令
g
?x
?
?1?log
a
x
，当
?
m,n
?
?
?
1,??
??
m?n
?
时，
f?1
?
x
?
在
?
m,n
?
上的值域是
?
g
?
n
?
,g
?
m
?
?
，求
a
的取值范围。

13．集合A是由具备下列性质的函数
f(x)
组成的：
(1) 函数
f(x)
的定义域是
[0,??)
；
(2) 函数
f(x)
的值域是
[?2,4)
；
(3) 函数
f(x)
在
[0,??)
上是增函数．试分别探究下列两小题：
1
（Ⅰ）判断函数
f
1
(x)?x?2(x?0)
，及
f
2
(x)?4?6?()
x
(x?0)
是否属于集合A？并简
2
要说明理由．
（Ⅱ）对于（I）中你认为属于集合A的函数
f(x)
， 不等式
f(x)?f(x?2)?2f(x?1)
，
是否对于任意的
x?0< br>总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．

?
f(x)(x? 0)
14、设函数f(x)=ax+bx+1（a,b为实数）,F(x)=
?
?f(x)(x?0)
?
（1）若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)
? 0
成立，求F(x)表达式。
（2）在（1）的条件下,当x
?
?
?2,2
?
时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围。
2< br>（3）（理）设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)> 0。

15．函数f(x)=
x
(a，b是非零实常数)，满足f(2)= 1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。
ax?b
(1)求a、b的值；
(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？
(3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。