广东省学业水平普通高中数学-江苏教育出版社高中数学免费看
【讲义课题】: 三角函数图像和性质
【考点及考试要求】
1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
y=sinx-4
?
-7
?
-3
?
2
-5
?
2
-2
?
-3
?
-
?
2
-
?<
br>2
y
1
-1
y
-
?
-2
?
-3
?
2
-
?
2
o
3
?
2
?
2
?
2
?
5
?
2
3
?
7
?
2
4
?
x
y=cosx
-4?
-7
?
2
-5
?
-3
?
2
1
-1
o
?
2
?
3
?
2
2
?5
?
2
3
?
7
?
2
4
?x
y
y
y=tanx
y=cotx
-
3?
2
-
?
-
?
2
o
?
2?
3
?
2
x
-
?
-
?
2o
?
2
?
3
?
2
2
?
x
2.三角函数的单调区间:
??
??
y?sinx
的递增区
间是
?
2k
?
?,2k
?
?
?
(k?Z)
,
22
??
递减区间是
?
2k
?
??
?
?
2
,2k
?
?
3
?
?
(k?Z)
;
?
2
?
y?cosx
的递增区间是
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
(k?
Z)
,
递减区间是
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
(k?Z)
,
??
??
y?tanx
的递增区间是
?
k
?
?,k
?
?
?
(k
?Z)
,
22
??
(其中A?0,
?
?0)
3.
函数
y?Asin(
?
x?
?
)?B
最大值是<
br>A?B
,最小值是
B?A
,周期是
T?
2
?
?
,频率是
f?
?
,相位是
?
x?
?
,<
br>2
?
1
初相是
?
;其图象的对称轴是直线
?
x?
?
?k
?
?
?
2
(k?Z)
,凡是该图象
与直线
y?B
的
交点都是该图象的对称中心。
4.由
y
=
sin
x
的图象变换出
y
=sin(ω
x
+
?)的图象一般有两个途径,只有区别开这
两个途径,才能灵活进行图象变换。
利用图象的
变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变
形,请切记每一个变换总是对
字母
x
而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角
变化”多少。
途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将
y
=sin
x<
br>的图象向左(
?
>0)或向右(
?
<0=平移|
?
|
个单位,再将图象上各点
的横坐标变为原来的
1
?
倍(ω>0),便得
y
=sin(ω
x
+
?
)的图象。
途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将
y
=sin
x
的图象上各点的横坐标变为原来的
或向右(
?
<0=平移
1
?
倍(ω>0),再沿
x
轴向左(
?
>0)
|
?<
br>|
?
个单位,便得
y
=sin(ω
x
+
?<
br>)的图象。
5.由
y
=
A
sin(ω
x
+
?
)的图象求其函数式:
给出图象确定解析式
y
=
Asin(ω
x
+
?
)的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(-0)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。
..
6.对称轴与对称中心:
y?sinx
的对称轴为
x?k?
?
?
,对称中心为
(k
?
,0)
k?Z
;
2
?
,
?
y?cosx
的对称轴为x?k
?
,对称中心为
(k
?
?
?
;
2
,0)
对于
y?Asin(
?
x?
?
)
和
y?Acos(
?
x?
?
)
来说,对称中心与零点相联
系,对称轴与最
值点联系。
7.求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的
标准式,要特别注意
A
、
?
的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函
数,并且在同一单调区间;
8.求三角函数的周期的常用方法:
经过恒等变形化成“
y?Asin(
?
x?
?
)
、
y?Acos(
?
x?
?
)
”的形式,在利用周期公
式,另外还有图像法和定义法。
9.五点法作
y
=
A
sin(ω
x
+
?<
br>)的简图:
五点取法是设
x
=ω
x
+
?
,
由
x
取0、
再描点作图。
题型1:三角函数的图象
2
π3π
、π、、2π来求相应的
x
值及对应的
y
值,
22
例1.(2000全国,5)函数
y
=
-
xc
os
x
的部分图象是( )
解析:因为函
数
y
=-
xc
os
x
是奇函数,它的图象关于原点对称,所
以排除
A
、
C
,当
x
∈(0,
?
)时,<
br>y
=-
xc
os
x
<0。答案为D。
2
例
2.(2002上海,15)函数
y
=
x
+sin|
x
|,
x
∈[-π,π]的大致图象是( )
解析:由奇偶性定义可知函
数
y
=
x
+sin|
x
|,
x
∈[-π,
π]为非奇非偶函数。选
项
A
、D为奇函数,
B
为偶函数,
C
为非奇非偶函数。
点评:利用函数的性质来描绘函数的图象,这样既有利于掌握函数的图象
与性质,又能
熟练地运用数形结合的思想方法。
题型2:三角函数图象的变换
π<
br>1
例3.试述如何由
y
=sin(2
x
+)的图象得到
y
=sin
x
的图象。
3
3
π
1
解析
:
y
=sin(2
x
+)
3
3
1
π
2倍
?
横坐标扩大为原来的<
br>??????????y?sin(x?)
纵坐标不变
33
π
图象向右
平移个单位
1
??????
3
????y?sinx
纵坐
标不变
3
3倍
?
纵坐标扩大到原来的
??????????y?si
nx
横坐标不变
另法答案:
ππ
11
(1)先将
y
=sin(2
x
+)的图象向右平移个单位,得
y
=sin2<
br>x
的图象;
36
33
11
(2)再将
y
=
sin2
x
上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),得
y
=sin
x
33
的图象;
1
(3)再将
y
=sin
x
图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变),即可得到
3
y
=
sin
x
的图象。
3
例4.把曲线
yc
os
x
+
2
y
-1=0先沿
x
轴向右平移
位,得到的曲线方程是( )
A
.(1-
y
)sin
x
+2
y
-3=0
C
.(
y
+1)sin
x
+2
y
+1=0
解析:将原方程整理为:
y
=
?
2
个单位,再沿
y
轴向下平移1个单
B
.(
y
-1)sin
x
+2
y
-3=0
D.-(
y
+1)sin
x
+2
y
+1=0 1
?
,因为要将原曲线向右、向下分别移动个单
2
2?cosx
1
位和1个单位,因此可得
y
=
2?cos(x?)
2
点评
:本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理
解,可直接化为:(<
br>y
+1)
c
os(
x
-
?
-1为所求方程.
整理得(
y
+1)sin
x
+2
y
+1=0.
?
2
)+2(
y
+1)-1=0,即得
C
选项。
题型3:三角函数图象的应用
例5.
(1)已知函数
f
(
x
)=
A
sin(ω
x
+
?
)(
A
>0,ω>0,
x
∈R)在一个周期内的图象如图所示,求直线
y
=
3
与
函数
f
(
x
)图象的所有交点的坐标。
解析:根据图象得
A
=2,
T
=
图
7
?
π-(-)=4π,
2
2
∴ω=
1x
,∴
y
=2sin(+
?
),
22
又由图象可得相位移
为-
?
2
,∴-
?
?
=-
1
2
2
,∴
?
=
?
1
?
.即
y
=2si
n(
x
+)。
2
44
根据条件
(
k
∈Z),
∴
x=4
k
π+
1
?
1
?
1
?
2
?
,∴
x?
=2
k
π+(
k
∈Z)或x?
=2
k
π+π
3
=2sin(
x?
)3
3
242424
?
6
(
k
∈Z)或
x
=4
k
π+
5
π(
k
∈Z)。
6
5
?
,3
)(
k
∈Z)。
6
4
∴所有交点坐标为(4
k
π+
?
6
,3
)或(4
k
π+
点评:本题主要考查三角函数的基本知识,考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。
<
br>(2)(2002全国文5)在(0,2π)内,使sin
x
>
c
os
x
成立的
x
取值范围为( )
?
?
A.(,
4
2
C
.(
5
?
?
)∪(π,
)
B
.(,π)
4
4
)
D.(
?
5
?
,
4
4
?
5
?,π)∪(
4
4
,
3
?
)
2
解析:
C
;
解法一:作出在(0,2π)区间上正弦和余弦函数
的图象,解出两交点的横坐标
由图1可得
C
答案。
?
4
和
5
?
,
4
图1
图2
解法二:在单位圆上作出一、三象限的对角线,由正弦线、余弦线知应选
C
。(
如图2)
题型4:三角函数的定义域、值域
例7.(1)已知
f
(
x
)的定义域为[0,1],求
f
(
c
os
x
)
的定义域;
(2)求函数
y
=lgsin(
c
os
x)的定义域;
分析:求函数的定义域:(1)要使0≤
c
os
x
≤1,(2)要使sin(
c
os
x
)>0,这里的
c
o
s
x
以它的值充当角。
解析:(1)0≤
c
os
x
<1
?
2
k
π-
ππ
≤
x
≤2
k
π+,且
x
≠2
k
π(
k
∈Z)。
2
2
∴所求函数的定义域为{
x
|
x
∈[2
k
π-<
br>ππ
,2
k
π+]且
x
≠2
k
π,
k
∈Z}。
22
(2)由sin(
c
os
x
)>
0
?
2
k
π<
c
os
x
<2
k<
br>π+π(
k
∈Z)。
又∵-1≤
c
os
x
≤1,∴0<
c
os
x
≤1。
ππ
,2
k
π+),
k
∈Z}。
22
点
评:求三角函数的定义域,要解三角不等式,常用的方法有二:一是图象,二是三角
函数线。
故所求定义域为{
x
|
x
∈(2
k
π-
6cos<
br>4
x?5cos
2
x?1
例8.已知函数
f
(
x
)=,求
f
(
x
)的定义域,判断它的奇偶
cos2x
性,并求其值域。
5
解析:由
c
os2
x
≠0得
2
x
≠
k
π+
?
2
,解得
x
≠<
br>k
?
?
,
k
∈Z,所以
f
(
x)的定义域为
24
{
x
|
x
∈R且
x
≠
k
?
?
?
,
k
∈Z},
24
因为
f
(
x
)的定义域关于原点对称,
6c
os
4
(?x)?5cos
2
(?x)?16cos
4
x?
5cos
2
x?1
且
f
(-
x
)==
f<
br>(
x
)。
?
cos(?2x)cos2x
所以
f<
br>(
x
)是偶函数。
又当
x
≠
k
??
?
(
k
∈Z)时,
24
6cos
4
x?5co
s
2
x?1(2cos
2
x?1)(3cos
2
x?1)<
br>f
(
x
)=
??3cos
2
x?1
。 cos2xcos2x
所以
f
(
x
)的值域为{
y|-1≤
y
<
11
或<
y
≤2}。
22
点评:本题主要考查三角函数的基本知识,考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。
题型5:三角函数的单调性
例9.求下列函数的单调区间:
(1)
y=
1
π
2x
π
sin(-);(2)
y
=-|
sin(
x
+)|。
244
3
12
π
sin(
x
-)再求之。
234
π
)|的图象。
4
分析:(1)要将原函数化为
y
=-
(2)可画出
y
=-|sin(
x
+
解:(1
)
y
=
故由2
k
π-
1
π
2x
1
2x
π
sin(-)=-sin(-)。
2424
33
π
2x
ππ
≤-≤2
k
π+。
242
3
?
3
k
π-
由2
k
π+
3π
9π
≤
x
≤3
k
π+(
k
∈Z),为单调减区间;
8
8
π
2x
π3π
≤-≤2
k
π+。 <
br>242
3
?
3
k
π+
9π21π
≤
x
≤3
k
π+(
k
∈Z),为单调增区间。
88
3π
9π
,3
k
π+],
8
8∴递减区间为[3
k
π-
递增区间为[3
k
π+
9π2
1π
,3
k
π+](
k
∈Z)。
88
6
(2)
y
=-|sin(
x
+
π
π3ππ
)|的图象的增区间为[
k
π+,
k
π+],减区间为[<
br>k
π-,
4444
k
π+
π
]。
4
-
5
?
4
3
?
4
-
?
4
-
y
?
o
4
3
?
4
5
?
4
7
?
4
x
例10.(2002京皖春文,9)函数
y<
br>=2
sin
x
的单调增区间是( )
A
.
[2
k
π-
?
2
?
2
,2
k
π+
?
2
](
k
∈Z)
B
.[2
k
π+,2
k
π+
3
?
](
k
∈Z)
2<
br>C
.[2
k
π-π,2
k
π](
k
∈Z)
D.[2
k
π,2
k
π+π](
k
∈Z)
解析:
A
;函数
y
=2为增函数,因此求函数
y
=2调增区间。
题型6:三角函数的奇偶性
x
sin
x
的单调增
区间即求函数
y
=sin
x
的单
例11.判断下面函数的奇偶性:<
br>f
(
x
)=lg(sin
x
+
1?sin
2
x
)。
分析:判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称,然后再看
f<
br>(
x
)与
f
(-
x
)的关系。
解析:定义
域为R,又
f
(
x
)+
f
(-
x
)=lg
1=0,
即
f
(-
x
)=-
f
(
x),∴
f
(
x
)为奇函数。
点评:定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要(但不充分)条件。
例12.关于
x
的函数
f
(
x
)=sin(
x
+
?<
br>)有以下命题:
①对任意的
?
,
f
(
x
)都是非奇非偶函数; <
br>②不存在
?
,使
f
(
x
)既是奇函数,又是偶函数;
③存在
?
,使
f
(
x
)是奇函数;
④对任意的
?
,
f
(
x
)都不是偶函数。
其中一个假命题的序号是_____.因为当
?
=_____时,该命题的结论不成立。 <
br>答案:①,
k
π(
k
∈Z);或者①,
?
?
+
k
π(
k
∈Z);或者④,+
k
π(
k
∈Z)
22
?
2
解析:当
?
=2
k
π,
k
∈Z时,
f
(
x
)=sin
x
是奇函数
。当
?
=2(
k
+1)π,
k
∈Z时
f
(
x
)
=-sin
x
仍是奇函数。当
?
=2
k
π+
?
,
k
∈Z
2
时,
f
(<
br>x
)=
c
os
x
,或当
?
=2
k<
br>π-,
k
∈Z
时,
f
(
x
)=-
c
os
x
,
f
(
x
)都是偶函数.所以②和③都是正
确的。无论
?
为何值都不能使
f
(
x
)恒等于零。所以f
(
x
)不能既是奇函数又是偶函数。①和④都是假命题。
点评:本题
考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力,注意
k
∈Z不能不
写,否则不
给分,本题的答案不惟一,两个空全答对才能得分。
7
题型7:三角函数的周期性
66
例13.求
函数
y
=sin
x
+
c
os
x
的最小正周
期,并求
x
为何值时,
y
有最大值。
分析:将原函数化成
y
=
A
sin(ω
x
+
?
)+
B
的形式,即可求解。
解析:
y
=sin
x
+
c
o
s
x
=(sin
x
+
c
os
x
)(sin
x
-sin
xc
os
x
+
c
os
x
)
=1-3sin
xc
os
x
=1-
∴
T
=
22
66224224
35
3
2
sin2<
br>x
=
c
os4
x
+。
48
8
π
。
2
kπ
(
k
∈Z)
时,
y
m
ax
=1。
2
题型8:三角函数的最值
当
c
os4
x
=1,即
x
=
例14.设
M
和
m
分别表示函数
y
=
1
c
os
x
-1的最大值和最小值,则
M
+
m
等于( )
3
A
.
4
22
B
.-
C
.-
D.-2
33
3
1
c
os
x
-1
3解析:D;因为函数
g
(
x
)=
c
os
x的最大值、最小值分别为1和-1。所以
y
=
的最大值、最小值为-
4
2
和-。因此
M
+
m
=-2。
3
3
8
东营高中数学奥数辅导-高中数学导数存在性问题的方法
高中数学向量讲义-高中数学苏教版新
人教版高中数学教材 微盘-高中数学智能组题软件下载
高中数学选修2目录北师大版-历年高中数学教师资格证面试真题及答案
人教版高中数学选修4-4教案-2017朝阳一模高中数学
2018高中数学竞赛陕西省三-行测与高中数学
苏教版高中数学必修4试题-高中数学教案任意角
高中数学必修2第二章-高中数学 必修4学案
-
上一篇:高一数学函数试题(卷)与答案解析
下一篇:职业高中高一数学函数习题