高中数学教案指数

指数
教学目标
1．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质．
(1) 理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行
相应的根式计算．
(2) 能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，
了解它是根式的一种新 的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互
化．
(3) 能利用有理指数运算性质简化根式运算．
2．通过指数范围的扩大，使学生能理解运算的本质，认 识到知
识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或
字母的运算中提高运 算能力．
3．通过对根式与分数指数幂的关系的认识，使学生能学会透过
表面去认清事物的本质．

教学建议
教材分析
（1）本节的教学重点是分数指数幂的概念及其运算性质．教学
难点是根式的概念和分数指数幂的概念．

（2）由于分数指数幂的概念是借助 次方根给出的，而 次根
式， 次方根又是学生刚刚接触到的概念，也是比较陌生的．以此为
基础去学习认识新知识自然是比较困难的． 且 次方根，分数指数幂
的定义都是用抽象字母和符号的形式给出的，学生在接受理解上也是
比较困难的．基于以上原因，根式和分数指数幂的概念成为本节应突
破的难点．
（3）学 习本节主要目的是将指数从整数指数推广到有理数指数，
为指数函数的研究作好准备．且有理指数幂具备 的运算性质还可以推
广到无理指数幂，也就是说在运算上已将指数范围推广到了实数范
围，为对 数运算的出现作好了准备，而使这些成为可能的就是分数指
数幂的引入．
教法建议
（1）根式概念的引入是本节教学的关键．为了让学生感到根式
的学习是很自然也很必要的，不妨在设计 时可以考虑以下几点：
①先以具体数字为例，复习正整数幂，介绍各部分的名称及运
算的 本质是乘方，让它与学生熟悉的运算联系起来，树立起转化的观
点．
②当复习负指数幂时 ，由于与乘除共同有关，所以出现了分式，
这样为分数指数幂的运算与根式相关作好准备．

③在引入根式时可先由学生知道的平方根和立方根入手，再大胆写
出

即谁的四次方根等于16．指出2和-2是它的四次方根后再

次方等于

把指数换成

，写成

即谁的

，在语言描述的同时，
也把数学的符号语言自然的给出．
（2）在

次方根的定义中并没有将

次方根符号化原因是结论
的多样性，不能乱表示 ，所以需要先研究规律，再把它符号化．按这
样的研究思路学生对

次方根的认识逐层递进，直至找出运算上的规
律．

教学设计示例
课题 根式
教学目标：
1．理解

次方根和

次根式的概念及其性质，能根据性质进

行简单的根式计算．
2．通过对根式的学习，使学生能进一步认清各种运算间的联系，
提高归纳，概括的能力．
3．通过对根式的化简，使学生了解由特殊到一般的解决问题的
方法，渗透分类讨论的思想．

教学重点难点：
重点是

次方根的概念及其取值规律．
难点是

次方根的概念及其运算根据的研究．
教学用具：投影仪
教学方法：启发探索式．
教学过程：
一. 复习引入
今天我们将学习新的一节指数．指数与其说 它是一个概念，不如
说它是一种重要的运算，且这种运算在初中曾经学习过，今天只不过
把它进 一步向前发展．
下面从我们熟悉的指数的复习开始．能举一个具体的指数运算的
例子吗?
以

为例，是指数运算要求学生指明各部分的名称，其中2
称为底数，4为指数，

称为幂．
教师还可引导学生回顾指数运算的由来，是从乘方而来，因此最
初指数 只能是正整数，同时引出正整数指数幂的定
义．

．然后继续引导学生回忆零指数幂和负整

数指数幂的定义，分别写出

时追问这里

指数幂的概念
2．5指数(板书)

及

，同

的由来．最后将三条放在一起，用投影仪打出整数
1. 关于整数指数幂的复习
(1) 概念
既然是一种运算，除了定义之外，自然 要给出它的运算规律，再
来回顾一下关于整数指数幂的运算性质．可以找一个学生说出相应的
运 算性质，教师用投影仪依次打出：
(2) 运算性
质：

;

;

．
复习后直接提出新课题，今天在此基 础上把指数从整数范围推广
到分数范围．在刚才的复习我们已经看到当指数在整数范围内时，运
算最多也就是与分式有关，如果指数推广到分指数会与什么有关呢?
应与根式有关．初中时虽然也学过一 点根式，但不够用，因此有必要
先从根式说起．
2. 根式(板书)

我们知道根式来源于开方，开方是乘方的逆运算，所以谈根式还
是先从大家熟悉的乘方说起．
如


如果给出了4和2进行运算，那就是乘方运算．如果是知道了
16和2，求4即

，求?
问题也就是： 谁的平方是16 ，大家都能回答是4和-4，这就是
开方运算，且4和-4 有个名字叫16的平方根．
再如


知3和8，问题就是谁的立方是8?这就是开方运算，大家也知道
结果为2，同时指出2叫做8的立方根．
(根据情况教师可再适当举几个例子，如

生用语言描述式子的含义，I再说出结果分别为

出它们分别称为9的四次方根和-8的立方根)
在以上几个式子会解释的基础上，提出

即一个数的

次方


，要求学
和-2，同时指
等于

，求这个数，即开

次方，那么这个数叫做

的

次方根．
(1)
于


次方根的定义：如果一个数的



次方等

(

，那么这个数叫做

的

次方根．
(板书)

对定义理解的第一步就是能把上述语言用数学符号表示，请同学
们试试看．
由学生翻译为：若

根．(把它补在定义的后面)
翻译后教师在此基础上再次提出翻译的不够彻底，如结论中
的

的
次方根就没有用符号表示，原因是什么?(如果学生不知从何
入手，可引导学生回到刚才的几个例子 ，在符号表示上存在的问题，
并一起研究解决的办法)最终把问题引向对

的

次方根的取值规律
的研究．
(2) 的

次方根的取值规律： (板书)

(

，则

叫做

的

次方

先让学生看到

的

次方根的个数是由

的奇偶性决定的，所以
应对

分奇偶情况讨论
当

为奇数时，再问学生

的

次方根是个什么样的数，与谁有
关，再提出对

的正负的讨论，从而明确分类讨论的标准，按

的正
负分为三种情况．
Ⅰ当

为奇数时
，

，

的

的

次方根为一个正数;
次方根为一个负数;

，

的

次方根为零． (板书)
当奇数情况讨论完之后，再用几个具体例子辅助说明

为偶数时
的结论，再由学生总结归纳
Ⅱ当

为偶数时
，

，

，

的

的

的

次方根为两个互为相反数的数;
次方根不存在;
次方根为零．



对于这个规律的总结，还可以先看

的正负，再分

的奇偶，换
个角度加深理解．
有了这个规律之后，就可以用准确的数学符号去描述

次方根
了．
(3) 的

次方根的符号表示 (板书)

可由学生试说一说，若学生说不好，教师可与学生一起总结，
当

为奇数时，由于无论

为何值，

次方根都只有一个值，可用统
一的符号

则


表示，此时要求学生解释符号的含义：

为正数，
则

为一个确定的正数，

为负数，

为零．

为一个确定的负数，

为
零，则

当

为偶数时，

为正数时，有两个值，而

只能表示其中一
个且应表示是正的，另一个应与它互为相反数，故只需在前面放一个
负号，写成

别为
和

．

一定表示

，其含义为

为偶数时，正数的

次方根有两个分

为了加深对符号的认识，还可以提出这样的问题：
一个正数吗?

中的

一定是正数或非负数吗?让学生来回答，在回
答中进一步认清符号的 含义，再从另一个角度进行总
结


;当


．对于符号

，当

为
偶数是，它有意义的条件是

时

把


．

为奇数时，它有意义的条件

称为根式，其中

为根指数，

叫做被开方数．(板书)
(4) 根式运算的依据 (板书)
由于

是个数值，数 值自然要进行运算，运算就要有根据，因
此下面有必要进一步研究根式运算的依据．但我们并不过分展开 ，只
研究一些最基本的最简单的依据．
如

得Ⅰ

=

根据

应该得什么?有学生讲出理由，
．(板书)
可

次方根的定义，

再问：

应该得什么?也得

吗?
若学生想不清楚，可用具体例子提示学生，
如

吗?

吗?让学生能发现结果与

从而得

有关，
到Ⅱ

=

．(板书)
为进一步熟悉这个运算依据，下面通过练习来体会一下．
三．巩固练习
例1. 求值

(1)

． (2)

．

(3)

． (4)

(5)

．(


要求学生口答，并说出简要步骤．
四．小结
1．

次方根与

次根式的概念
2．二者的区别



．

3．运算依据
五．作业 略
六．板书设计
2．5指数 (2)
取值规律 (4)运算依据
1. 复习
2. 根
式 (3)符号表
示 例1
(1)定义