45度弯头计算公式人教版八年级数学上《完全平方公式》拓展练习

《完全平方公式》拓展练习

一、选择题（ 本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）已知x＝3y+5，且x﹣7xy+9y＝24，则xy﹣3xy的值为（ ）
A．0 B．1
222
2222
C．5
2
D．12 < br>22
2．（5分）已知实数x、y、z满足x+y+z＝4，则（2x﹣y）+（2y﹣z）+（ 2z﹣x）的最
大值是（ ）
A．12 B．20
2
C．28
2
D．36
3．（5分）若a+b＝10，ab＝11，则代数式a﹣ab+b的值是（ ）
A．89 B．﹣89
2
C．67 D．﹣67
4．（5分）若a＝4+，则a+
A．14 B．16
的值为（ ）
C．18
22
D．20
5．（5分）已知a+b＝﹣5，ab＝﹣4，则a﹣ab+b的值是（ ）
A．37 B．33 C．29 D．21
二、填空题（ 本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）已知（a﹣2017）+（2018﹣a）＝5，则（a﹣2017）（a﹣2018）＝
7．（5分）在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各
项 系数排成下表，如图：
（a+b）＝1
（a+b）＝a+b
（a+b）＝a+2ab+b
（a+b）＝a+3ab+3ab+b
这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）＝ ，并说
出第7排的第三个数是 ．
5
33223
222
1
0
22

8．（5 分）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），
第1页（共14 页）


n
此图揭示了（a+b）（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：
（a+b）＝1，它只有一项，系数为1；
（a+b）＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
（a+b）＝a+2ab+b，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
（a+b）＝a+3ab+3ab+b，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；
…
根据以上规律，解答下列问题：
（1）（a+b）展开式共有 项，系数分别为 ；
（2）（a+b）展开式共有 项，系数和为 ．
n
4
33223
222
1
0

9．（5分）已知a+b＝4，则（a﹣b）的最大值为 ．
10．（5分）已知a+＝﹣2，则＝ ，＝ ．
222
三、解答题（ 本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）已知：
计算：
猜想：
＝；
＝ ；
＝ ．
＝；
12．（10分）完全平方公式是同学们熟悉的公式，小玲同 学在学习过完全平方公式后，通过
类比学习得到（a+b）（n为非负整数）的计算结果，如果将（a+ b）（n为非负整数）
的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：
（a+b）＝1，它只有一项，系数为1；
（a+b）＝a+b，它有两项，系数分别为1、1；
（a+b）＝a+2ab+b，它有三项，系数分别为1、2、1；
（a+b）＝a+3ab+3ab+b它有四项，系数分别为1、3、3、1；
如果将上述每 个式子的各项系数排成如图的表格，我们可以发现一些规律，聪明的你一
第2页（共14页）

33223
222
1
0
nn

定也发现了，请你根据规律解答下列问题：
（1）尝试写出（a+b）的结果，并验证；
（2）请直接写出（a+b）共有 项，各项系数的和等于 ；
（3）（a+b）（n为非负整数）共有 项，各项系数的和等于 ；
（a﹣b）（n为非负整数）各项系数的和等于 ．
n
n
5
4

13．（10分）我们在解题时，经常会遇到“ 数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们
以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答 问题：
27＝（27+7）×20+7＝729
32＝（32+2）×30+2＝1024
56＝（56+6）×50+6＝3136
…
（1）请根据上述规律填空：38＝ ＝ ；
（2）我们知道，任何一个两位数（个数上数字n十位上的数字为m）都可以表示为1 0m+n，
根据上述规律写出：（10m+n）＝ ，并用所学知识说明你的结论的正确性．
14．（10分）观察下列算式，尝试问题解决：
杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数 表，一般形式如图所示，其中每一横行都表
示（a+b）（此处n＝0，1，2，3，4，5..）的计 算结果中的各项系数：
n
2
2
22
22
22
< br>（1）请根据上题中的杨辉三角系数集”，仔细观察下列各式中系数的规律，并填空：（a+b）
1
3
＝a+b各项系数之和1+1＝2＝2（a+b）＝a+2ab+b各项系数之和1+2+ 1＝4＝2（a+b）
＝a+3ab+3ab+b各项系数之和1+3+3+1＝8＝2
66 5423324
32233
12222
①请补全下面展开式的系数：（a﹣b）
＝a+ ab+15ab+ ab+15ab﹣
第3页（共14页）


56
6ab+b
②请写出（a+b）
各项系数之和：
（2）设（x+1）＝a
17
x+a
16
x+…+a
1x+a
0
，求a
1
+a
2
+a
3
+… +a
16
+a
17
的值．
（3）你能在（2）的基础上求出a2
+a
4
+a
6
+…+a
14
+a
1 6
的值吗？若能，请写出过程．
15．（10分）已知x+y＝5，xy＝1．
171716
10
（1）求x
2
+y
2
的值．
（2）求（x﹣y）
2
的值．

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《完全平方公式》拓展练习

参考答案与试题解析

一、选择题（ 本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）已知x＝3y+5，且x﹣7xy+9y＝24，则xy﹣3xy的值为（ ）
A．0 B．1
2
2222
C．5
2
D．12
22
【分析】依据x﹣3y＝5两边平方，可得x﹣6xy+9y＝25，再根据x﹣7xy+9y＝ 24，即
可得到xy的值，进而得出xy﹣3xy的值．
【解答】解：∵x＝3y+5，
∴x﹣3y＝5，
两边平方，可得x﹣6xy+9y＝25，
又∵x﹣7xy+9y＝24，
两式相减，可得xy＝1，
∴xy﹣3xy＝xy（x﹣3y）＝1×5＝5，
故选：C．
【点评】本题主要 考查了完全平方公式的运用，应用完全平方公式时，要注意：公式中
的a，b可是单项式，也可以是多项 式；对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用
这个公式．
2．（5分）已知实数x、y 、z满足x+y+z＝4，则（2x﹣y）+（2y﹣z）+（2z﹣x）的最
大值是（ ）
A．12 B．20
222
222222
22
22
22
22
C．28
2
D．36
2
【分析】由题意实数x、y、z满足x+y+z＝4，可以将 （2x﹣y）+（2y﹣z）+（2z﹣x）
2
，用x+y+z和（xy+yz+xz）表示出 来，然后根据完全平方式的基本性质进行求解．
222
222
【解答】解：∵实数x、y、z满足x+y+z＝4，
∴（2 x﹣y）+（2y﹣z）+（2z﹣x）＝5（x+y+z）﹣4（xy+yz+xz）＝20﹣2[（x+y+ z）
2
222222
﹣（x+y+z）]＝28﹣2（x+y+z）≤28
222
2222
∴当x+y+z＝0时（2x﹣y）+（2y﹣z）+（2z﹣x）的最大值是 28．
故选：C．
【点评】此题主要考查完全平方式的性质及代数式的求值，要学会拼凑多项式．
第5页（共14页）


22
3．（5分）若a+b＝10，ab＝11，则代数式a﹣ab+b的值是（ ）
A．89 B．﹣89 C．67 D．﹣67
22
【分析】把a+b＝10两边平 方，利用完全平方公式化简，将ab＝11代入求出a+b的值，
代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：把a+b＝10两边平方得：
（a+b）＝a+b+2ab＝100，
把ab＝11代入得：
a+b＝78，
∴原式＝78﹣11＝67，
故选：C．
【点评】此题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题
的关键．
4．（5分）若a＝4+，则a+
A．14 B．16
2
22
222
的值为（ ）
C．18 D．20
【分析】先将a＝4+，整理成a﹣＝4，再两边平方，展开整理即可得出结论．
【解答】解：∵a＝4+，
∴a﹣＝4，
两边平方得，（a﹣）＝16，
∴a2+
即：a+
故选：C．
【点评】此题主要考查了完全平方公式，给a﹣＝4两边平方是解本题的关键．
5．（5分）已知a+b＝﹣5，ab＝﹣4，则a﹣ab+b的值是（ ）
A．37 B．33 C．29 D．21
22
2
2
﹣2＝16，
＝18，
【分析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．
【解答】解：∵a+b＝﹣5，ab＝﹣4，
∴a﹣ab+b＝（a+b）﹣3ab＝（﹣5）﹣3×（﹣4）＝37，
第6页（共14页）

2222

故选：A．
【点评】本题考查了完全平方公式，能灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键．
二、填空题（ 本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）已知（a﹣2017）+（2018﹣a）＝5，则（a﹣2017）（a﹣2018）＝ 2
【分析】直接利用完全平方公式将原式变形，进而求出即可．
【解答】解：（a﹣2017）（
＝﹣
故答案是：2．
【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练应用完全平方公式是解题关键．
7．（5 分）在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各
项系数排成下表，如 图：
（a+b）＝1
（a+b）＝a+b
（a+b）＝a+2ab+b
（a+b）＝a+3ab+3ab+b
这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）＝
a+5ab+10ab+10ab+5ab+b ，并说出第7排的第三个数是 15 ．
5 4322345
5
33223
222
1
0
22
a﹣ 2018）＝﹣
＝2．

【分析】观察图表寻找规律：三角形是一个由数字排列成的 三角形数表，它的两条斜边
都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．
【解答】解：（a+b）＝a+5ab+10ab+10ab+5ab+b；
第7排的第三个数是15，
故答案为：a+5ab+10ab+10ab+5ab+b；15；
【点评】考查了完全平方 公式问题，利用学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找
出本题的数字规律是正确解题的关键． < br>8．（5分）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），
第7页（共14页）

54322345
554322345

n
此图揭示了（a+b）（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：
（a+b）＝1，它只有一项，系数为1；
（a+b）＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
（a+b）＝a+2ab+b，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
（a+b）＝a+3ab+3ab+b，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；
…
根据以上规律，解答下列问题：
（1）（a+b）展开式共有 5 项，系数分别为 1，4，6，4，1 ；
（2）（a+b）展开式共有 n+1 项，系数和为 2 ．
nn
4
33223
222
1
0

【分 析】经过观察发现，这些数字组成的三角形是等腰三角形，两腰上的数都是1，从第
3行开始，中间的每 一个数都等于它肩上两个数字之和，展开式的项数比它的指数多1．根
据上面观察的规律很容易解答问题 ．
【解答】解：（1）展开式共有5项，展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1，
（2）展开式共有n+1项，系数和为2．
故答案为：（1）5；1，4，6，4，1；（2）n+1，2．
【点评】本题考查完全平方 式．本题主要是根据已知与图形，让学生探究，观察规律，
锻炼学生的思维，属于一种开放性题目．
9．（5分）已知a+b＝4，则（a﹣b）的最大值为 8 ．
【分析】应用基本不等式a +b≥2ab，先求出2ab的取值范围，再利用完全平方公式把
（a﹣b）展开代入即可得到取值范围 ，从而得到最大值．
【解答】解：∵a+b≥2|ab|，
∴2|ab|≤4，
∴﹣4≤﹣2ab≤4，
∵（a﹣b）＝a﹣2ab+b＝4﹣2ab，
第8页（共14页）

222
22
2
22
222
n
n

∴0≤4﹣2ab≤8，
∴（a﹣b）的最大值8．
故答案为：8．
【 点评】本题考查了完全平方公式，利用基本不等式求出﹣2ab的取值范围是解题的关键，
此题较难，不 容易想到思路，希望同学们思路开阔灵活求解．
10．（5分）已知a+＝﹣2，则＝ 2 ，＝ 0 ．
，再进行求解即可得出答案．
＝2，
2
【分析】已知a+＝﹣2，两 边分别平方可求得
【解答】解：∵a+＝﹣2，两边平方得：
∴对其两边进行平方得；
∵＝（）（
＝2，
）＝（a+）（a﹣）×2，
∵＝﹣2＝2﹣2＝0，
∴a﹣＝0，
故（a+）（a﹣）×2＝0．
故答案为：2，0．
【点评】本题考查了完全平方公式，难度适中，关键是熟练灵活运用完全平方公式进行
解题．
三、解答题（ 本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）已知：
计算：< br>猜想：
【分析】先计算出结果，然后根据三个式子的结果规律，得猜想．
【解答】解：原式＝
故答案为：
由已知和计算的三个式子知：
＝；
＝；
＝ ；
＝ ．
＝；
第9页（共14页）


当n＝0时，
当n＝1时，
当n＝2时，原式＝
所以猜想
．
故答案为：
＝…
＝＝，
＝＝，
＝＝
【点评】本题考查了计算和规律型问题．解决本题的关键是找到计算结果的规律．
12．（10分）完全平方公式是同学们熟悉的公式，小玲同学在学习过完全平方公式后，通过
类比学 习得到（a+b）（n为非负整数）的计算结果，如果将（a+b）（n为非负整数）
的每一项按字母a 的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：
（a+b）＝1，它只有一项，系数为1；
（a+b）＝a+b，它有两项，系数分别为1、1；
（a+b）＝a+2ab+b，它有三项，系数分别为1、2、1；
（a+b）＝a+3ab+3ab+b它有四项，系数分别为1、3、3、1；
如果将上述每 个式子的各项系数排成如图的表格，我们可以发现一些规律，聪明的你一
定也发现了，请你根据规律解答 下列问题：
（1）尝试写出（a+b）的结果，并验证；
（2）请直接写出（a+b）共有 6 项，各项系数的和等于 32 ；
（3）（a+b）（n为非负整数）共有 （n+1） 项，各项系数的和等于 2 ；
（a﹣b）（n为非负整数）各项系数的和等于 0 ．
n
nn
5
4
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222
1
0
nn
【分析】（1）根据规律写出（a+b）的结果，并用整式乘法的法则进行计算即可；
（2）根据各项系数以及字母指数的变化规律写出各项，得出项数以及各项系数的和即可；
（ 3）根据项数以及各项系数的和的变化规律，得出（a+b）的项数以及各项系数的和，
（a﹣b）的各 项系数的和即可．
第10页（共14页）

n
n
4

4432234
【解答】解：（1）（a+b）＝a+4ab+6ab+4ab+b．
验证：（a+b）
＝（a+b）（a+b）
＝（a+2ab+b）（a+2ab+b）
＝a+4ab+6ab+4ab+b．

（2）根据规律可得，（a+b）共有6项，
各项系数分别为：1，5，10，10，5，1，
它们的和等于32；

（3）根据规律可得，（a+b）共有（n+1）项，
∵1＝2，
1+1＝2，
1+2+1＝2，
1+3+3+1＝2，
∴（a+b）各项系数的和等于2；
∵1﹣1＝0，
1﹣2+1＝0，
1﹣3+3﹣1＝0，
∴（a﹣b）各项系数的和等于0．
故答案为：6，32；（n+1），2；0．
【点评】本题主要考查了完全平方式的应用，能根据杨辉三角得出规律是解此题的关
键．在应用完全平方 公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；
②对形如两数和（或差）的平方的计 算，都可以用这个公式．
13．（10分）我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方 法吗？这里，我们
以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答问题：
27＝（27+7）×20+7＝729
32＝（32+2）×30+2＝1024
56＝（56+6）×50+6＝3136
…
第11页（共14页）

22
22
22
n
n
nn
3
2
1< br>0
n
5
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2222
22
4

22
（1）请根据上述规律填空：38＝ （38+8）×30+8 ＝ 1444 ； （2）我们知道，任何一个两位数（个数上数字n十位上的数字为m）都可以表示为10m+n，
根 据上述规律写出：（10m+n）＝ （10m+n+n）×10m+n ，并用所学知识说明你的结
论的正确性．
【分析】（1）根据已知算式得出规律，再得出即可；
（2）根据已知算式得出规律，再求出即可．
【解答】解：（1）38＝（38+8）×30+8＝1444，
故答案为：（38+8）×30+8，1444；

（2）（10m+n）＝（10m+n+n）×10m+n，
证明：∵（10m+n）＝（10m）+2×10m×n+n＝100m+20mn+n，
（10m+n+n）×10m+n
＝100m+20mn+n，
∴（10m+n）＝（10m+n+n）×10m+n，
故答案为：（10m+n+n）×10m+n．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
14．（10分）观察下列算式，尝试问题解决：
杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数 表，一般形式如图所示，其中每一横行都表
示（a+b）（此处n＝0，1，2，3，4，5..）的计 算结果中的各项系数：
n
2
22
22
2
22222
22
2
22
22

（1）请根据上题中的杨辉三角系数集”，仔细 观察下列各式中系数的规律，并填空：（a+b）
1
3
＝a+b各项系数之和1+1＝ 2＝2（a+b）＝a+2ab+b各项系数之和1+2+1＝4＝2（a+b）
＝a+3ab+3ab +b各项系数之和1+3+3+1＝8＝2
66542
32233
12222
①请补全下面展开式的系数：（a﹣b）
＝a+ （﹣6） ab+15ab+ （﹣20）
ab+15ab﹣6ab+b
第12页（共14页）

332456

1010
②请写出（a+b）
各项系数之和： 2
（2）设（x+1）＝a
17
x+a
16
x+…+a
1x+a
0
，求a
1
+a
2
+a
3
+… +a
16
+a
17
的值．
（3）你能在（2）的基础上求出a2
+a
4
+a
6
+…+a
14
+a
1 6
的值吗？若能，请写出过程．
【分析】（1）①根据“杨辉三角形”中系数规律确定出所求展开式即可；
②根据规律确定（a+b）
各项系数之和；
（2）根据“杨辉三角形”中系数规律确定出所求系数，并求出系数之和即可．
（3）“杨辉 三角系数集”的规律可知：a
0
＝1，分别将x＝1和x＝﹣1代入（2）式后相
加即 可求得．
【解答】解：（1）①：（a﹣b）＝a+（﹣6）ab+15ab+（﹣20）ab+15 ab﹣6ab+b；
故答案：﹣6，﹣20；
②∵（a+b）
＝a+b各项系数之和1+1＝2＝2，
（a+b）＝a+2ab+b各项系数之和1+2+1＝4＝2，
（a+b）＝a+3ab+3ab+b各项系数之和1+3+3+1＝8＝2，
…
（a+b）各项系数之和：2；
故答案为：2；
（2）由（1）得：（x+1）各项系数之和：2，
即a
0
+a
1
+a
2
+a
3
+…+a
16
+a
17＝2，
∴a
1
+a
2
+a
3
+…+a
16
+a
17
＝2﹣1；
（3）当x＝1时，（1+1）＝2＝a
17
×1+a
16
×1+…+a
1
×1+a
0
＝ a
17
+a
16
+…+a
1
+a
0
①，
当x＝﹣1时，（﹣1+1）＝0＝﹣a
17
+a
16
﹣…+a2
﹣a
1
+a
0
②，
①+②得：2（a
0< br>+a
2
+a
4
+a
6
+…+a
14
+a
16
）＝2，
∵a
0
＝1，
∴a
2
+a
4
+a
6
+…+a
14
+a
16
＝ 2﹣1．
【点评】此题考查了整式的混合运算，弄清“杨辉三角形”中系数规律是解本题的关键．
15．（10分）已知x+y＝5，xy＝1．
（1）求x+y的值．
（2）求（x﹣y）的值．
【分析】（1）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．
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【解答】解：（1）∵x+y＝5，xy＝1，
∴原式＝（x+y）﹣2xy＝25﹣2＝23；
（2）∵x+y＝5，xy＝1，
∴原式＝（x+y）﹣4xy＝25﹣4＝21．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
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