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第三节二重积分的计算(2>
有些二重积分,其积分区域的边界曲线用极坐标方程 来表示比较简单,如圆形或扇
形区域的边界等.
此时,如果该积分的被积函数在极坐标系下也 有比较简单的形式,则应考虑用极坐标来计
算这个二重积分.
分布图示
★ 利用极坐标系计算二重积分
★ 二重积分化为二次积分
例1
★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 例5 ★ 例6 ★ 例7
★ 例8 ★ 例9 ★ 例10
★ 平面薄片的重心 ★ 例11
★ 平面薄片的转动惯量 ★ 例12 ★ 例13
★ 平面薄片对质点的引力 ★ 例14
★ 一般曲线坐标系中二重积分的计算
★ 例15 ★ 例16 ★ 例17
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题9-3 ★ 返回
★
内容要点
一、在极坐标系下二重积分的计算
极坐标系下的面积微元
,直角坐标与极坐标之间的转换关系为
从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式
(3.1>
二、二重积分的应用
平面薄片的重心 平面薄片的转动惯量
三、在一般曲线坐标系中二重积分的计算
二重积分的一般换元分式.
例题选讲
在极坐标系下二重积分的计算
例1 (E01> 计算其中是由圆
的积分限为
所围成的区域.
于是解 如图,在极坐标系下,积分区域
1 8
例2 计算二重积分
解如图(见系统演示>,区域
故
例3 (E02> 计算
确定的圆环域.
解由对称性,可只考虑第一象限部分,
注意到被积函数也有对称性,则有
例4 (E03> 计算
解
积分区域
, 其中D是由曲线所围成的平面区域.
, 其中积分区域是由所
其中是由所确定的圆域.
在极坐标下可表示为
是以点(1,0>为圆心 ,以1为半径的圆域,如图.其边界曲线的极坐标方程为
于是区域的积分限为
所以
例5 (E04> 写出在极坐标系下二重积分的二次积分,其中区域
解利用极坐标变换
故积分区域
所以
的积分限为
易见直线方程的极坐标形式为
2 8
例
其中
域.
解
所以
例7 将二重积分化为极坐标形式的二次积分,
为由圆
6 计算
及直线
,
所围成的平面闭区
其中是曲线及直线所围成上半平面的区域.
解如图,令
及
则
的边界的极坐标方程分别变为
例8 (E05> 求曲线
解根据对称性有
在极坐标系下
和所围成区域的面积.
3 8
由得交点
故所求面积
例9 (E06> 求球体被圆柱面
柱面内的部分>立体的体积.
解如图,由对称性,有
其中为半圆周及轴所围成的闭区域.
在极坐标中,积分区域
例10 (E07> 计算概率积分
解记其平方
于是
根据例1的结果,即有
令并利用夹逼定理,得
4 8
所截得的(含在圆
故所求概率积分
二重积分的应用
例11 (E08> 求位于两圆和
解如图,因为闭区域对称于轴,故重心
易见积分区域的面积等于这两个圆的面积之差,即再利用极坐标计算积分:
之间的均匀薄片的重心<图9-3-13).
必位于轴上,于是,
因此所求重心是
例12
设一均匀的直角三角形薄板<面密度为常量),两直角边长分别为
其中任一直角边的转动惯量.
解设三角形的两直角边分别在轴和轴上,对轴的转动惯量
(E09>
,求这三角形对
同理,对轴的转动惯量
例13 已知均匀矩形板(面密度为常数>的长和宽分别为和,
计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.
解先求形心
区域面积 因为矩形板均匀,由对称性知形心坐标
将坐标系平移如图,对轴的转动惯量
同理,对轴的转动惯量
5 8
例
求面密度为常量、半径为的均匀圆形薄片:
处的单位质点的引力
解 由积分区域的对称性知
故所求引力为
在一般曲线坐标系中二重积分的计算
例15 (E10> 求椭球体的体积.
解由对称性知,所求体积为
其中积分区域:令
换,则区域的积分限为
又
于是
特别地,当时,则得到球体的体积为
例16 计算 其中由轴、轴和直线
解令则
6 8
14
对位于轴上的点
称其为广义极坐标变
所围成的闭区域.
区域且
所以
例17 (E11> 求曲线
所围平面图形的面积.
解
如果在直角坐标下计算,需要求曲线的交点,并画出平面图 形,还需将积分区域分割成几块
小区域来计算面积,很麻烦,现在可巧妙地作曲线坐标变换.
作变换则有
由于及由第8章第五节知从而有
于是,
注
题中利用函数组
与反函数组
:
之间偏导数的关系式
来求避免了从原函数组直接解出反函数组的困难.
但在简单情况下,也可以直接解出来直接计算之.
课堂练习
1.计算其中.
2.设半径为1的半圆形薄片上各点处的面密度等于该点到圆心的距离,
求此半圆的重心坐标及关于x轴(直径边>的转动惯量.
3. 计算重积分
7 8
其中
是由直线和所围成.
8 8
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