高中数学选修要求-高中数学试卷评讲课探究鉴定意见
高中数学集合总结+题型分类+完美解析
集合
【知识清单】
1.性质:确定性、互易性、无序性.
2.元素和集合的关系:属于“
?
”、不属于“
?
”.
3
.集合和集合的关系:子集(包含于“
?
”)、真子集(真包含于“
?
”).
?
4.集合子集个数=
2
;真子集个数=
2?1
.
5.交集:
A?B?
?
x|x?A且x?B
?
并集:
A?B?
?
x|x?A或x?B
?
补集:
C
U
A?
?
x|x?U且x?A
?
6.空集是任何非空集合的真子集;是任何集合的子集.
nn
题型一、集合概念
解决此类型题要注意以下两点:
①要时刻不忘运用集合的性质,用的最多的就是互易性;
②元素与集合的对应,如数对应数集,点对应点集.
【No.1 定义&性质】
1.下列命题中正确的个数是( )
①方程
x?2?y?2?0
的解集为
?
2,?2
?
2
②集合
y|y?x?1,x?R
与
?
y|y?x?1,x
?R
?
的公共元素所组成的集合是
?
0,1
?
?
?
③集合
?
x|x?1?0
?
与集合
?
x|x?a
,a?R
?
没有公共元素
A.0 B.1
C.2 D.3
分析:①中的式子是方程但不是一个函数,所以我们要求的解集
不是
x
的值所构
1 28
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成的集合,而是
x
和
y
的值的集合,也就是一个点.
答案
:A
?
x?2
?
x?2?0
详解
:
在①中方程
x?2?y?2?0
等价于
?
,即
?
。因此解集
应为
y??2
y?2?0
?
?
??
2,?2
??<
br>,错误;
2
2
在②中,由于集合
y|y?x?1,x?R
的
元素是
y
,所以当
x?R
时,
y?x?1??1
.同
??
理,
?
y|y?x?1,x?R
?
中
y?R
,错误;
在③中,集合
?
x|x?1?0
?
即
x?1,而
?
x|x?a,a?R
?
,画出数轴便可知这两个集合可能
有公共的元素,错误.故选A.
2.下列命题中,
(1)如果集合
A<
br>是集合
B
的真子集,则集合
B
中至少有一个元素;
(2)
如果集合
A
是集合
B
的子集,则集合
A
的元素少于集合B
的元素;
(3)如果集合
A
是集合
B
的子集,则集
合
A
的元素不多于集合
B
的元素;
(4)如果集合
A是集合
B
的子集,则集合
A
和
B
不可能相等.
错误的命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2
D.3
分析:首先大家要理解子集和真子集的概念,如果集合
M
是集合
N<
br>的子集,那
么
M
中的元素个数要小于或等于
N
中元素的个数;
如果集合
M
是集合
N
的真子
集,那么
M
中的元素个
数要小于
N
中元素的个数.
答案
:
C
详解
:(1)如果集合
A
是集合
B
的真子集,则集合
B<
br>中至少有一个元素,故(1)正确;
(2)如果集合
A
是集合
B的子集,则集合
A
的元素少于或等于集合的
B
元素,故(2)不
正确;
(3)如果集合
A
是集合
B
的子集,则集合
A
的元素不多于集合
B
的元素,故(3)正确;
(4)如果集合
A
是集合
B
的子集,则集合
A
和
B
可能相等,故(
4)不正确.故选
C
.
3.设
P
、
Q
为两个非空实数集,P中含有0,2,5三个元素,
Q
中含有1,2,6三个元素,
2
28
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定义集合
P?Q中的元素是
a?b
,其中
a?P
,
b?Q
,则
P?Q
中元素的个数是( )
A.9
B.8 C.7 D.6
分析:因为
a?P
,
b?Q
,所以
P?Q
中的元素
a?b
是<
br>P
中的元素和
Q
中元素两
两相加而得出的,最后得出的集合还要考虑集
合的互易性.
答案
:B
详解
:当
a?0
时,
b
依次取1,2,6,得
a?b
的值分别为1,2,6;
当
a?2
时,
b
依次取1,2,6,得
a?b
的值分别3,4,8;
当
a?5
时,
b
依次取1,2,6,得
a?b
的值
分别6,7,11;
由集合的互异性得
P?Q
中的元素为1,2,3,4,6,7,
8,11,共8个,故选B.
4.设数集
M
同时满足条件
①<
br>M
中不含元素
?1,0,1
,②若
a?M
,则
则下列
结论正确的是 ( )
A.集合
M
中至多有2个元素;
B.集合
M
中至多有3个元素;
C.集合
M
中有且仅有4个元素;
D.集合
M
中有无穷多个元素.
1?a
?M
.
1?a
分析:已知
a?M
时,
1?a
?
M
.那么我
们可以根据条件多求出几个
M
集合的元
1?a
素,找出规律并且判断元素之间
是否有可能相等,从而判断集合中元素的个数.
答案
:
C
1?a1
1?
1?a
1
a
?
a?1
?M
,
?
M
,则
1?a
???M
,
详解
:由
题意,若
a?M
,则
1?a1
a?1
1?a
a
1?
1?
a
1?a
a?1
1?
a?1
?
2a<
br>?a?M
,若
a?
1?a
,则
a
2
??1<
br>,无解,同理可证明这四个元素中,则
a?1
2
1?a
1?
a
?1
任意两个元素不相等,故集合
M
中有且仅有4个元素.
1?
----------------------------------------------
--------------------------------------------------
----------------------
3 28
高中数学集合总结+题型分类+完美解析
【No2. 表达方式】
5.下列集合表示空集的是( )
A.
?
x?R|x?5?5
?
B.
?
x?R|x?5?5
?
2
C.
x?R|x?0
??
2
D.
x?R|x?x?1?0
??
分析:本题考查空集的概念,空集是指没有任何元素的集合.
答案
:D
详解
:
x
2
?x?
1
?
0
,
???1?4?1?1??3?0
?
方程无实数解,故选D.
6.用描述法表示下列集合:
(1)
?
0,2,4,6,8
?
;
(2)
?
3,9,27,81,?
?
;
(3)
?
,
?
1357
?
,,,?
?
;
?
2468
?
(4)被5除余2的所有整数的全体构成的集合.
分析:描述法就是将文字或数字用式子表示出来.但是要注意题中给出的元素的
范围
详解
:(1)
?
x?N|0?x?10,且x是偶数
?
;
(2)
?
x|x?3n,n?N
?
?
;
4
28
高中数学集合总结+题型分类+完美解析
(3)
?
x
|x?
?
?
2n?1
?
,n?N
?
?
;
2n
?
(4)
?
x|x?5n?2,n?Z
?
.
=========================================
=============================
题型二、不含参数
⑴
⑴中的参数是指方程的非最高次项系数
解决此类型题应注意:
①区分
?
,
?
,
?
的区别;
?
②会用公式求子集、真子集、非空真子集的个数;
③
A?B?A?A?B
A?B?A?B?A
A?B???从A??和B??两方面讨论
.
【No.1
判断元素集合与集合之间的关系】
1.给出下列各种关系
①0
?
?
0
?
;②0
?
?
0
?
;③
??
?
?
?
;④
a?
?
a
?
;⑤
??
?
0
?
;⑥
?
0
?
??
;⑦??
?
0
?
;
?
⑧
?
?
?<
br>0
?
?
其中正确的是( )
A.②③④⑧
B.①②④⑤ C.②③④⑥ D.②③④⑦
分析:本题需要大家分清
?,
?
,
?
?
三个符号的意义和区别:
?
--“
属于”,用
于表示元素和集合的关系;
?
,
?
?
--“包含
于和真包含于”,用于表示集合和集
合之间的关系.
答案
:A
5 28
高中数学集合总结+题型分类+完美解析
详解
:①错误,应为
0?
?
0
?
;②③④⑧正确;⑤⑥⑦应为
?
?
?
?
0
?
;
2.若
U
为全集,下面三个命题中真命题的个数是( )
(1)若<
br>A?B??,则
?
C
U
A
?
?
?
C
U
B
?
?U
(2)若
A?B?U,则?
C
U
A
?
?
?
C
U
B?
??
(3)若
A?B??,则A?B??
A.
0
个 B.
1
个 C.
2
个
D.
3
个
分析:本题应先简化后面的式子,然后再和前面的条件对比.
答案
:D
详解
:(1)
?
C
U
A<
br>?
?
?
C
U
B
?
?
C
U<
br>?
A
?
B
?
?
C
U
??
U
;
(2)
?
C
U
A
?
?<
br>?
C
U
B
?
?C
U
?
A?B
?
?C
U
U??
;
(3)证明:∵
A?<
br>?
A?B
?
,即
A??
,而
??A
,∴A??
;
同理
B??
,
∴
A?B??
;
-------------------------
--------------------------------------------------
-------------------------------------------
【No.2 子集、真子集】
3.从集合
U?
?
a,b,
c,d
?
的子集中选出4个不同的子集,须同时满足以下两个条件:
①
?
,
U
都要选出;
②对选出的任意两个子集
A
和
B
,必有
A?B
或
B?A
.
那么共有
种不同的选法.
分析:由①可以知道选出的子集中一定有
?
和
U
,
我们要求得只剩两个集合。
根据②(以
A?B
为例)可以从讨论
A
中
有1个或2个元素有几种选法来确定
B
的选法.注意
A
中不可能有3种元素,
因为这样
B
中会出现
U
和
A
中的元素,与
题意和性
质不符.
6 28
高中数学集合总结+题型分类+完美解析
答案
:36
详解
:由题意知,集合必有子集
?
和
U
,只需考虑另外两个集合
如果
A
中含有一个元素,有4种选法,相应的,
B
集合中有6中选法,共24种;
如果
A
中含有两个元素,有6种
选法,相应的,
B
集合中有2中选法,共12种;
即总共有36种选择。
4.已知集合
A?x|x?2x?3?0
,那么满足
B?A
的集合
B
有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
?
2
?
分析:本题求的是
A
集合的子集个数
答案
:
D
详解
:根据题意,
x
2
?
2
x?
3
?
0
,则
x??1
或
3
,
则集合
A?
?
?1,3
?
,其中有
2
个元素,
则其子集有
2?4
个,
满足
B?A
的集合
B
有4个,
故选
D
.
5.若集合
A?B
,
A?C
,且
B?C?
?
0,2,4
?
.则满足条件的集合
A
的个数为( )
A.3个 B.4个 C.7个 D.8个 2
分析:集合
A?B
,
A?C
,说明
A
同时是
两个集合的子集.
答案
:
D
详解
:根据题意
,集合
A?B
,
A?C
,且
B?C?
?
0,2,4
?
.即
A
为
?
0,2,4
?
的子集, <
br>而
?
0,2,4
?
中有3个元素,共有
2?8
个子集
;
3
即满足条件的
A
的个数为8;
故选
D
.
-----------------------------------------
--------------------------------------------------
---------------------------
7 28
高中数学集合总结+题型分类+完美解析
【No.3 集合间的运算】 <
br>6.设全集
U?
??
x,y
?
|x,y?R
?
,集合
M?
?
?
x,y
?
|
那么
?C
U
M
?
?
?
C
U
N
?等于________________.
?
?
y?2
?
?1
?
,
N?
??
x,y
?
|y?x?4
?<
br>,
x?2
?
分析:首先要注意本题要求的是点集,
M
集合的
含义是不含有
?
2,?2
?
的直线上的点集,
C
U
M
表示的就是
?
2,?2
?
;
C
U
N表示
y?x?4
.
答案
:
??
2,?2
??
详解
:
M:y?x?4
?
x?2
?
,
M
代表直线
y?x?4
上,但是
挖掉点
?
2,?
2
?
,
C
U
M
代表直线
y?x?4
外,但
是包含点
?
2,?2
?
;
N
代表直线
y?x?4
外,
C
U
N
代表直线
y?x?4
上,
∴
?
C
U
M
?
?
?
C
U
N
?
?
??
2,?2
??
.
2
2
7.已知
M?x|x?px?6?0
,
N?x|x?6x?q?0
,则
M?N?
?
2
?
,则
p?q?
??
?
?
( )
A.21 B.8 C.6
D.7
分析:从
M?N?
?
2
?
入手得,
2既是
M
的元素又是
N
的元素,那么代入便可以
求出
p<
br>和
q
的值.
答案
:A
详解
:由已知得,
2?M,2?N
22
所以
2<
br>是方程
x?px?6?0
和
x?6x?q?0
的根,故将
2<
br>代入得,
p?5
;
q?0,q?16
.
所以
p?q?21
.
8 28
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1,3,5,7,9
?
,8. 已知方程
x?bx?c?0
有两个不
相等的实根
x
1
,
x
2
.
设
C?
?
x
1
,x
2
?
,
A?
?
<
br>2
B?
?
1,4,7,10
?
,若
A?C??,C?
B?C
,试求
b
,
c
的值。
分析
:
对<
br>A?C??,C?B?C
的含义的理解是本题的关键,
C?B?C?C?B
;<
br>
详解
:由
C?B?C?C?B
,
那么集合C中必定含有1,4,7,10中的2个。
又因为
A?C??
,则A中的1
,3,5,7,9都不在C中,从而只能是
C?
?
4,10
?
因此,
b??
?
x
1
?x
2
?
??1
4
,
c?x
1
x
2
?40
.
==================================================
====================
题型三、集合含参
解决此类型题应注意:
①遇到子集需从
?
和不是
?
两方面讨论,如
A?B?A??或B??
.
②会解各种类型的不等式.
③如果方程中的最高次项系数含有参数,要记得对参数是否为0进行讨论.
【No.1 集合vs.集合】
2
1.设
U?
?
2,4,
1?a
?
,
A?2,a?a?2
,若
C
U
A??
?1
?
,则
a
的值为( )
??
A.1 B.2 C.3
D.4
分析:因为
C
U
A?
?
?1
?<
br>,所以
U
中必含元素
?1
,
A
中必不含元素
?1
.
答案
:B
详解
:因为
C
U<
br>A?
?
?1
?
,所以
?1?1?a
,解得
a
?2
.
a?2
时,
a
2
?a?2?4
,满足C
U
A?
?
?1
?
.
所以实数
a
的值为2.
4?a
2
?a?2
?
a
2
?a?2?0
?
a?2
或
a??1
a?2
代入
C
S
A?
?
?1
?
成立
同理
a??1
代入无解,故舍去.综上
a?2
2.已知集合
A?
?
x|log
2
?
x?1
?
?1
?
,集合
B?x|x?ax?b?0,a,b?R
2
??
(1)若
A?B
,求
a,b
的值;
9 28
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(2)若b?3
,且
A?B?A
,求
a
的取值范围.
分析:(
1)中
A?B
得出
A
和
B
中不等式的解相同,那我们算出集
合
A
的解集,
再由韦达定理求出
a,b
即可;
(2)由
A?B?A
可得
B?A
. 题目中只要看到类似
B
?A
这种子集问题,必然
要先讨论B是否为
?
,因为
?
是任
何集合的子集,所以
?
也是一种情况必须要
讨论.
详解
:(1)由
log
2
?
x?
1
?
?
1得
0?x?1?2
,所以集合
A?
?
x|1?x?3
?
.
由
A?B
知,
x?ax
?b?0
的解集为
?
x|1?x?3
?
,所以方程
x?ax
?b?0
的两根分别
22
为1和3.
由韦达定理可知,
?
?
a?1?3
,解得
a?4
,
b?3
,即为所求.
?
b?1?3
(3)由
A?B?A
知,
B?A
.
2
①当
B??
时,有
??a?12?0
,解得;
?
23?a?23
?
??a
2
?12?0
?a
?
f
?
1
?
?4?a?0
2
②当
B??
时,设函数
f
?
x
?
?x?ax?3
,其图象的对称轴为
x?
,
?
f
?
3
?
?12?3a?0
2
?
a
?
1??3
2
?
解得
23?a?4
综上①②可知,实数
a
的取值范围是
[?23,4]
<
br>-----------------------------------------------
--------------------------------------------------
---------------------
【No.2 集合vs.不等式】
3.设集合
A?x|x?a?1,x?R
,B=
x|x?b?2,x?R
.
若
A?B
,则实数
a
,
b
必满
足( )
????
分析:做这种题首先要先会解绝对值不等式,然后再比较端点即可.
10
28
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答案
:D
详解
:
A?
?
x|?1?a?x?1?a
?
B?
?
x|x?2?b或x??2?b
?
因为
A?B
,
且
A??
则有
1?a??2?b
或
?1?a?2?b
即
b?a?3
或
b?a??3
即
b?a?3
,选D.
4.集合
A?
?
x|?2?x?5
?
,
B?
?
x|m?1?x?2m?1
?
,
(1)若
B?A
,求实数
m
的取值范围;
(2)当
x?Z
时,求
A
的非空真子集个数;
(3)当<
br>x?R
时,没有元素
x
使
x?A
与
x?B
同
时成立,求实数
m
的取值范围.
分析
:
此问题解决要注意:(1)
B?A
中的分类讨论;(2)集合的非空真子集的个
数=
2
n
?1
;(3)当
x?R
时,没有元素
x
使
x?A
与
x?B
同时成立能得出
A
与
B
没有
交集,当中还
要考虑
B
是否为
?
.
详解
:(1)当
m?1?2m?1
即
m?2
时,
B??
满足
B?A
.
当
m?1?2m?1
即
m?2
时,要使
B?A
成立,
需
?
?
m?1?2m?1,
可得
2?m?3
.综上所得实数
m
的取值范围
m?3
.
m?1?5
?<
br>(2)当
x?Z
时,
A?
?
?2,?1,0,1,2,3,4
,5
?
,
所以,
A
的非空真子集个数为
2
8?2
?254
.
(3)∵
x?R
,且
A?
?
x|?2?x?5
?<
br>,
B?
?
x|m?1?x?2m?1
?
,又没有元素
x
使
x?A
与
x?B
同时成立
则①若
B??即
m?1?2m?1
,得
m?2
时满足条件;
②若
B
??
,则要满足条件有:
?
综上有
m?2
或
m?4
.
11 28
?
m?1?2m?1,
?
m?1?2m?1,<
br>或
?
解之,得
m?4
.
m?1?52m?1??2
??
高中数学集合总结+题型分类+完美解析
---------
--------------------------------------------------
--------------------------------------------------
---------
【No.3 集合vs.方程】
2
5.已知集合<
br>P?x|x?x?6?0
,
Q?
?
x|ax?1?0
?
满足
Q
?
P
,求
a
所取的一切值.
??
?
分析:这类题目给的条件中方程的最高次项系数含有字母,一般需分类讨论.要从
a?0<
br>和
a?0
两个方面进行解题.
详解
:因
P??
x
|
x
2
?x?
6
?
0
?
?
?
2,
?
3
?
,
当
a?0<
br>时,
Q?
?
x|ax?1?0
?
??
,
Q<
br>?
P
成立.
?
又当
a?0
时,
Q?
?
x|ax?1?0
?
?
?
?
1
1
?<
br>1
?
成立,则有
??2
或
???3
,
P<
br>?
,要
Q
?
?
a
a
?
a
?
1
1
a??
或
a?
.
3
2
综上所述,
a?0
或
a??
6.已知集合
A?x|ax?3x?4?0,x?R
.
(1)若
A
中有两个元素,求实数
a
的取值范围;
(2)若
A
中至多有一个元素,求实数
a
的取值范围.
1
1
或
a?
.
3
2
?
2
?
分析:
A
中元素的个数代表方程
ax
2
?
3<
br>x?
4
?
0
的根的个数,不过首先要讨论
a
是
否为0.
详解
:
(1)∵
A
中有两个元素,
∴方程
ax?3x?4?0
有两个不等的实数根,
∴
?
2
?
a?0
9
,即
a??
16
?
??9?16a
12 28
高中数学集合总结+题型分类+完美解析
∴
a??
9
,且
a?0
.
16
?
4
?
?
3
?
(2)当
a?0
时,
A?<
br>?
?
?
;
当
a?0
时,若关于
x
的方程
ax?3x?4?0
有两个相等的实数根,
??9?16a
,即
2
9
;
16
若关于
x
的方程无实数根,则
??9?16a?0
,
9
即
a??
;
16
9
故所求的a的取值范围是
a??
或
a?0
.
16
a??
7.已知集合
A?x|2x?3x?1?0
,
B?x|mx?
?
m?2
?
x?1?0
,若
A?B
?A
,求
222
??
??
实数
m
的取值范围. <
br>分析:与第7题类似,第7题是先讨论
a
是否为0,而本题的答案中先讨论的是
B
是否为
?
,在这种类型题中,两种方法兼可.
1
??
详解
:
A?
?
x|2x
2
?3x?1?0
?
?
?
?1,?
?
,
2
??
∵
A?B?A
,∴
B?A
,
①当
B??
,
若
m?0
,不成立;
若
m?0
,则
??0
,
m??
②当
B?
?
?
1
?
或
?
?
?
,
若
m?0
,
x??
2
或
m?2
;
3
?
1
?
?
2
?
1
,成立;
2
2
或
m?2
,
3
若
m?0
,
则
??0
,
m??
经检验,
m?2
成立;
③当
B?
?
?1,?
?
,
?
?
1
?
2
?
13 28
高中数学集合总结+题型分类+完美解析
?
m?2
?
1
?
??
???1?
?
?
?
?
?
m
2
?
2
?
,无解,不成立. 则
?
1
?
?
1
?
?
?1
?
?
?
?
??
2
?
m2
??
?
综上:
m??
2<
br>或
m?2
或
m?0
.
3
======
==================================================
==============
题型四、韦恩图像
解决此类型题应注意:会用韦恩图表示集合关系与运算
1.某班有36名同学参加
数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组.已
知参加数学、物理、化学小组的人数分
别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,
同时参加物理和化学小组的有4人,则同时
参加数学和化学小组的有多少人?
分析:解此类题型最简便的方法就是用韦恩图像法.
解析
:
设单独加数学的同学为x人,参加数学化学的为y人,单独参加化学的为z人.
?
x?y?z
?26
?
x?12
??
依题意
?
y?4?z?13
,解得
?
y?8
?
z?1
?
x?y?z?21<
br>?
?
∴同时参加数学化学的同学有8人,
14 28
高中数学集合总结+题型分类+完美解析
答:同时参加数学和化学小组的有8人.
2.设全集
U
是实数集
R
,函数
y?
1
x?4
2
的定义域为
M<
br>,
N?
?
x|log
2
?
x?1
?
?1
?
,则如
图所示阴影部分所表示的集合是( )
A.
?
x|?2?x?1
?
B.
?
x|?2?x?2
?
C.
?
x|1?x?2
?
D.
?
x|x?2
?
?
x
2
?4?0
分析:本题要注意y的定义域:
?
2
?x
2
?
4
?
0
?
x?4?0
答案
:C
详解
:由题意易得
M?
?
x|x??2
或x?2
?
,
N?
?
x|1?x?3
?
,而阴影部
分表示
?
C
U
M
?
?
N?
?
x|1?x?2
?
,选C.
3.设全集U=R,<
br>A?x|2
?
x
?
x?2
?
?1
,
B?
?
x|y?ln
?
1?x
??
,则右图中阴影部分表示
的集合
15 28
?
高中数学集合总结+题型分类+完美解析
为 ( )
A.
?
x|x?1
?
B.
?
x|1?x?2
?
C.
?
x|0?x?1
?
D.
?
x|x?1
?
分析:由图可知所求为
C<
br>U
B
?
A
,还要注意解
A
,
B
集合
时应遵循指对运算的规则.
答案
:B
详解
:
2
x
?
x?2
?
?1?2
0
,因为
y?2
x
是增函数,
所以
x
?
x?2
?
?0
,
故
0?x?2
,
A?
?
0,2
?
,
B?
?
??,1
?
.
阴影部分表示的集合为
C
U
B?A?
?
x|1?x?2
?
.
=====
==================================================
===============
题型五、创新题型
解决此类型题应注意:要充分理解题目中给出的新定义.
16 28
高中数学集合总结+题型分类+完美解析
1.对于集合
M
、
N
,定义:
M?N?
?
x|x?M且x?N
?
,<
br>M?N?
?
M?N
?
?
?
N?M
?
,
设
A?y|y?x?3x,x?R
,
B?
?
x|y?l
og
2
?
?x
??
,则
A?B
= ( )
2
??
A.
?
?
?
9
?
,0?
4
??
B.
?
?
?
9
?
,0
?
?
4
?
9
?
?
?
?
0,??
?
4
?
9
?
?<
br>?
?
0,??
?
4
?
C.
???,?
?
?
D.
?
??,?
?
?
分析:创新题型一般都是根据题中所给的出的式子算出结果。那么由题意得,
A?B?
?
A?B
?
?
?
B?A
?
,
A?B??
x|x?A且x?B
?
,
B?A?
?
x|x?B且x
?A
?
.A
集合所求的是
y
?
x
2
?3x
的值域,B集合所求的是
y?log
2
?
?x
?<
br>的定义域.
答案
:C
详解
:本题考查集合的运算 9
?
3
?
9
?
?
由
y?x?3x?<
br>?
x?
?
?
得
A?
?
y|y??
?
;
4
?
2
?
4
?
?
2
2
由
y?log
2
?
?x
?
得
x?0,则
B?
?
x|x?0
?
;
由
M?N??
x|x?M且x?N
?
得
A?B?
?
x|x?0?
?
?
0,??
?
,
9
??
9??
B?A?
?
x|x??
?
?
?
??,?<
br>?
,
4
??
4
??
由
M?N?
?
M?N
?
?
?
N?M
?
得
A?B?
?
0,??
?
?
?
??,?
故正确答案为C.
17 28
?
?
9
?
?
.
4
?
高中数学集合总结+题型分类+完美解析
2.定义集合
A
与
B
的运算“*”为:
A?B?
?
x|x?A或
x?B,但x?A?B
?
.设
X
是偶数
1,2,3,4,5
?
,则
?
X?Y
?
?Y
=( )
集,
Y?
?
A.
X
B.
Y
C.
X?Y
D.
X?Y
分析:
?X?Y
?
?Y
整体算上去比较复杂,所以要分开先计算
X?Y
.
答案
:
A
详解
:首先求出
X?Y?<
br>?
2,4
?
,
X,Y
的并集再去掉交集即得
X?Y
?
?
1,3,5,6,8,10,?
?
.同理可得
?
X?Y
?
?Y?
?
2,4,6,8,10,?
?
?X
3.定义一个集合
A
的所有子集组成的集合叫做集合
A
的
幂集,记为
P
?
A
?
,用
n
?
A
?
表示有限
集
A
的元素个数,给出下列命题:
①对于任意集合
A
,都有
A?P
?
A
?
;
②存在集合
A
,使得
n
?
P
?
A
?
?
?3
;
③用
?
表示空集,若
A?B??,则
P
?
A
?
?P
?
B
?
?
?
;
④若
A?B
,则
P
?
A
?
?P
?
B
?
;
⑤若
n
?
A
?<
br>?n
?
B
?
?1
,则
n
?
P
?
A
?
?
?2?
?
P
?
B
?<
br>?
其中正确的命题个数为( )
A.4 B.3
C.2 D.1
分析:已知幂集
P
?
A
?
为子集所组成的集合,
n
?
A
?
表示有限集
A
的
元素个数,那
么需要根据集合的概念和运算对命题进行分析.
答案
:B
详解
:
18 28
高中数学集合总结+题型分类+完美解析
对于命题①,
A?A
,因此
A?P
?
A
?
,命题①正确;
对于命题②,若集
合
A
的元素个数为
m
,则集合
A
的子集共
2
个,若
n
?
P
?
A
?
?
?3
,
则
m
2?3
,解得
m?log
2
3?N
,命题②错误;
对于命题③,若
A?B??
,由于
??A
,
??B
,因此
??P
?
A
?
,
??P
?
B
?<
br>,所以
??
?
P
?
A?
?P
?
B
?
?
,则
P
?
A
?
?P
?
B
?
??
,命题③错误;
对于
命题④,若
A?B
,对集合
A
的任意子集
E?A
,即对任意
E?P
?
A
?
,则
E?B
,
则
E?P
?
B
?
,因此
P
?
A
?
?P
?
B
?
,命题④正确;
对于命题⑤,设
n<
br>?
B
?
?n
,则
n
?
A
?
?n?1
,则集合
A
的子集个数为
2
n
?
P
?
A
?
?
?2
n?1
m
n?1
,即
?2?2
n
,集合
B
的子集个数为
2
n
,即
n
?
P
?
B
?
?
?2
n
,因此
n
?
P
?
A
?
?
?2?
?
P
?
B?
?
,命题⑤正确,
故正确的命题个数为
3
,选B.
=========================================
=============================
PS:课后练习
一、选择题
1.下列命题中正确的是( )
A.数0不能构成集合
B.数0构成的集合是0
C.数0构成的集合是
?
D.数0构成的集合的元素是0
22
2..
a,a,b,b,a
,b
构成集合
M
,则
M
中元素的个数最多是( )
A.6 B.5 C.4 D.3
3.下列表示方法正确的是( )
2
A.
3?y|y?n?1,n?N
??
B.
0?(x,y)|x?y?0,x?N,y?N
2
C.
?3?x|x?9?0,x?N
?
22
?
??
19 28
高中数学集合总结+题型分类+完美解析
D.
2?x|x?n,n?N
4.集合
A?
?
t|t?
??
?
?
?
p
,其中p?q?5,且p,
q?N
*
?
的所有真子集的个数为( )
q
?
A.3 B.7 C.15
D.31
22
5.已知方程
x?px?15?0
与
x?
5x?q?0
的解集分别为A与B,且
A?B?
?
3
?
,则
p?q?
( )
A.14 B.11
C.7 D.2
1,2,3,a
?
?3,a
6.
若
?
??
?
?
1,2,3,a
?
,则
a<
br>的取值集合为( )
2
A.
?
0,?1
?
B.
0,?1,?2
C.
?1,?2
D.
0,?1,?2,2
7.设全集
U?R
,
A?x|2
( )
????
??
?
x
?
x?2
?
?1
,
B?
?
x|y?ln
?
1?x
??
,则图中阴影部
分表示的集合为
?
A.
?
x|x?1
?
B.
?
x|1?x?2
?
C.
?
x|0?x?1
?
D.
?
x|x?1
?
20 28
高中数学集合总结+题型分类+完美解析
8.设全集
U?
R
,
A?
?
x|x
?
x?2
?
?0
?
,
B?
?
x|y?ln
?
1?x
?
?
0
?
,则图中阴影部分表示
的集合为( )
A.
?
x|0?x?1
?
B.
?
x|1?x?2
?
C.
?
x|x?1
?
D.
?
x|x?1
?
9.给定集合
A
,
B
,定义一种新运算:
A*B?
?
x|x?A或x?B,
但x?
?
A?B
?
?
,又已知
A?
?
0,
1,2
?
,
B?
?
1,2,3
?
,则
A*
B
等于( )
A.
?
0
?
B.
?
3
?
C.
?
0,3
?
D.
?
0,1,2,3
?
10.设P和Q是两个集合,
定义集合
P?Q?
?
x|x?P且x?Q
?
,如果
P??
x|log
2
x?1
?
,
Q?
?
x
|x?2?1
?
,那么
P?Q
等于( )
A.
?
x|0?x?1
?
B.
?
x|0?x?1
?
C.
?
x|1?x?2
?
21 28
高中数学集合总结+题型分类+完美解析
D.
?
x|2?x?3
?
11.定义
A?B?<
br>?
z|z?xy?
?
?
?
x
1
?
,
1,2
?
,
C?
?
,x?A,y?B
?
,
设集合
A?
?
0,2
?
,
B?
?
y
?
则集合
?
A?B
?
?C
的所有元素之和为(
)
A.3 B.9 C.18 D.27
二、填空题
1.下列命题正确的是 .
(1)空集没有子集.
(2)空集是任何一个集合的真子集.
(3)任一集合必有两个或两个以上子集.
(4)若
B?A
,那么凡不属于集合
A
的元素,则必不属于
B
.
2.用适当的方法表示下列集合,并指出是有限集还是无限集?
①由所有非负奇数组成的集合;
②平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合;
③所有周长等于
10cm
的三角形组成的集合;
④方程
x?x?1?0
的实数根组成的集合.
3.用列举法表示集合
A?
?
n?N|
4.5
0名学生参加甲、乙两项体育活动,每人至少参加了一项,参加甲项的学生有30名,
参加乙项的学生有
25名,则仅参加了一项活动的学生人数为________.
5.集合
A??
x|2x?1?0
?
,
B?x|x?1?2
,则
A?
B
= .
2
?
?
n?2
?
?N,n?5
?
为
n?1
?
??
三、解答题
1.已知集合
A?x
?R|x?3x?4?0
,
B?x?R|
?
x?1
?
x?3
x?4?0
,要使
22
??????
22 28
高中数学集合总结+题型分类+完美解析
A
?
?
P?B
,求满足条件的集合P.
2.设
集合
A?
?
x|?7?2x?1?7
?
,
B?
?<
br>x|m?1?x?3m?2
?
,
(1)当
m?3
时,求A?B
与
A?
?
C
R
B
?
;
(2)若
A?B?B
,求实数
m
的取值范围.
3.若关于x的不等式
tx?6x?t?0
的解集
?
??,a
??
?
1,??
?
,求a的值.
22
4.已知不等式:
3?x
?1
的解集为
A
.
x
2
?1
2
(1)求解集
A
;
(2)若
a?R
,解关于
x
的不等式:
ax?1?
?
a?1
?
x
;
ax?1?
?
a?1
?
x
的解集
C
满足
C?A??
.(3)求实数
a
的取值范围,
使关于
x
的不等式:
2
课后练习答案
23 28
高中数学集合总结+题型分类+完美解析
一、选择题
1.答案
:D
提示
:数0只能构成一个只含有元素0的集合,这
个集合不是
?
,因为
?
中没有任何元素.
2.答案
:C
提示
:当
a,b,a
2
,b
2
不等式
M
中含有的元素个数最多.
3.答案
:D
提示
:判断元素是否在集合内.
4.答案
:C
提示
:集合的真子集个数为
2
n
?1
.
5.答案:
A
提示
:
x?3
为两方程的公共根.
6.答案
:D
1,2,3,a
?
?
?
3,a
2
?
?
?
1,2,3,a
?
验证.
提示
:计算出
a
的值后要带回
?
7.答案
:B
提示
:因为图中阴影部分表示的集合为
A
?
(C
U
B)
.
8.答案
:B
提示<
br>:图中阴影部分表示的集合为
A
?
?
C
U
B
?
.
24 28
高中数学集合总结+题型分类+完美解析
9.答案
:C
提示
:依题意
x?A?B
,但<
br>x?A?B
,而
A?B?
?
0,1,2,3
?
, <
br>A?B?
?
1,2
?
故
A?B?
?
0,3<
br>?
.
10.答案:
B
提示
:
P?
?
x|0?x?2
?
,
Q?
?
x|1?x?3
?
.由
P?Q
定义可知
P?Q?
?
x|0?x?1
?
.
11.答案
:C
提示
:
A?B
?
?
0,4,5
?
,
?
A?B
?
?C?<
br>?
0,8,10
?
,故
?
A?B
?
?C的所有元素和为18.
二、填空题
1.答案
:(4)
提示
:空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集.
答案
:①
?
x|x?2n?1,n?N
?
?
,是无限集.
②
??
x,y
?
|x?0,y?0
?
,是无限集.
③
x|x是周长等于10cm的三角形
,是无限集
④方程
x?x?1?0
没有实数根,即其组成的集合
?
,是有限集.
2
??
2.答案
:
?
2
?
提示
:
3.答案
: 45
25 28
n?
23
?1?
,分别令
n?0,1,2,3,4,5
代入即得结果.
n?1n?1
高中数学集合总结+题型分类+完美解析
提示
:
?
1
?
4.答案:
?
?,3
?
?
2
?
提示
:先化简,再取交集
三、解答题
1.答案:
由
A?
?
x?R|x<
br>2
?3x?4?0
?
??
,
B?x?R|
?
x?1
?
x
2
?3x?4?0?
?
?1,1,?4
?
,
由
A
?
P?B
知集合P非空,且其元素全属于B,
即有满足条件的集合P为
????
?
?
1
?
或
?
?1
?
或
?
?4
?
或
?
?1,1
?
或
?
?1,?4
?
或
?
1,?4
?
或
{?1,1,?4}
.
提示
:要解决该题,必须确定满足条
件的集合P的元素,而做到这点,必须明确A、B,充分把握
子集、真子集的概念,准确化简集合是解决
问题的首要条件.
2.答案:
(1)当
m?3
时,
B?
?
2,7
?
,
C
R
B?
?
??,
2
?
?
?
7,??
?
,
∴
A?B?
?
2,4
?
,
26 28
高中数学集合总结+题型分类+完美解析
A?
?
C
R
B
?
?
?
??,4
?
?
?
7,
??
?
.
(2)∵
A?B?B?B?A
,
当
B??
时,
m?
1
;
2
?
m
?1??3
1
1
当
B??
时,即
m?
时,
?
??m?2
.
2
3m?2?4
2
?
综上
m?2
.
提示:
B?A
,要对
B
进行分类讨论
3.答案
:
∵
tx
2
?6x?t
2
?0
的解集是
?
??,a
?
?
?
1,??
?
∴
t?0
x?1
代入得
t?6?t
2
?0
解得:
t??3
或
t?2
(舍去)
a?1?t??3
?a??3
提示:
因为不等式的解集为
?
??,a
?
?
?
1,??
?
,所以
t?
0
.
4.答案:
(1)去分母化简得
x?x?2?0
,
∴
?2?x?1
,∴
A?
?
?2,1
?
(2)
ax?1?
?
a?1
?
x
等价于
a
x?
?
a?1
?
x?1?0
,即
?
ax?1
??
x?1
?
?0
22
2
1)当
a?0
时,
ax?
?
a?1
?
x?1?0
等价于
a
?
x?
2
?
?
1
?
1<
br>??
?
?
x?1
?
?0
,即
?
x?
?
?
x?1
?
?1
,
a
?
a<
br>??
所以:①当
a?1
时,
11
?x?1
;
②当
a?1
时,
x??
;
③当
0?a?1
时,
1?x?
;
aa
1
a
2)当
a?0
时,
x?1
3)当
a?
0
时,
x?1
或
x?
(3)若
C?A??
,则:
①当
a?1
时,
C?
?
?
?
1
?
,1
?
,不可能成立;
?
a
?
27 28
高中数学集合总结+题型分类+完美解析
②当
a?1
时,
x??
,成立;
③当
0?a?1
时,
1?x?
1
,成立;
a1
?
1
1
?
?
?
1,??
?
,须有
??2
,则
??a?0
.
2)当
a?0
时,
x?1
,成立;
3)当
a?0
时,
C?
?
??,
?
?
a
?
综上
:
a?
?
?
?
?
1
2
,1
??
?
.
a
2
28 28
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