高一数学理科知识点总结

高一数学知识总结
一、集合
集合有关概念
集合的含义
集合的中元素的三个特性：
元素的确定性如：世界上最高的山
元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
集合的表示：{ ? } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
列举法：{a,b,c??}
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4、集合的分类：
有限集 含有有限个元素的集合
无限集 含有无限个元素的集合
2
空集 不含任何元素的集合 例：{x|x=－5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：
A?B
有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
?
B或B
?
?
A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
?
2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
2
实例：设 A={x|x-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作A
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
nn-1
有n个元素的集合，含有2个子集，2个真子集
二、函数
1、函数定义域、值域求法综合
2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略
3、恒成立问题的求解策略
4、反函数的几种题型及方法
5、二次函数根的问题——一题多解
&指数函数y=a^x
a^a*a^b=a^（a+b） (a>0,a、b属于Q)
(a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于Q)
(ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b属于Q)
指数函数对称规律：
1、函数y=a^x与y=a^-x关于y轴对称
B(或BA)

2、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称
3、函数y=a^x与y=-a^-x关于坐标原点对称
幂函数y=x^a(a属于R) < br>1、幂函数定义：一般地，形如
y?x
?
(a?R)
的函数称为幂函数 ，其中
?
为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；
（2）
?
?0
时，幂函数的图象通过原点，并且在区间
[0,??)
上是增函数．特别 地，当
?
?1
时，幂函数的
图象下凸；当
0?
?
? 1
时，幂函数的图象上凸；
（3）
?
?0
时，幂函数的图象在区间
(0,??)
上是减函数．在第一象限内，当
x
从右边趋向原点时，图象在
y
轴右方无限地逼近
y
轴正半轴，当
x
趋于
??
时，图象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴正半轴．

方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数
y?f(x)(x?D)，把使
f(x)?0
成立的实数
x
叫做函数
y?f(x)(x? D)
的零点。
2、函数零点的意义：函数
y?f(x)
的零点就是方程f(x)?0
实数根，亦即函数
y?f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标。
即：方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?
函数
y?f(x)< br>有零点．
3、函数零点的求法：（代数法）求方程
f(x)?0
的实数根；（ 几何法）对于不能用求根公式的方程，可以
将它与函数
y?f(x)
的图象联系起来， 并利用函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数
y?ax?bx?c(a?0)
．
（1）△＞０，方程
a x?bx?c?0
有两不等实根，二次函数的图象与
x
轴有两个交点，二次函数有两个
零点．
（2）△＝０，方程
ax?bx?c?0
有两相等实根，二次函数的 图象与
x
轴有一个交点，二次函数有一个
二重零点或二阶零点．
（3）△＜ ０，方程
ax?bx?c?0
无实根，二次函数的图象与
x
轴无交点，二次函 数无零点．
三、平面向量
已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为 邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角
线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向 量加法的平行四边形法则。
对于零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。
|a＋b|≤|a|＋|b|。
向量的加法满足所有的加法运算定律。
数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|＝|λ||a|，当λ > 0时，
λa的方向和a的方向相同，当λ < 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa = 0。
设λ、μ是实数，那么：（1）(λμ)a = λ(μa)（2）(λ μ)a = λa μa（3）λ(a ± b) = λa ± λ
2
2
2
2

b（4）(－λ)a =－(λa) = λ(－a)。

向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

向量的数量积
已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积，记作a?b，θ是a与b的夹角，
|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为
0。
a?b的几何意义：数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
四、三角函数
1、善于用“1“巧解题
2、三角问题的非三角化解题策略
3、三角函数有界性求最值解题方法
4、三角函数向量综合题例析
5、三角函数中的数学思想方法

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

函
y?cosx

y?tanx

数
y?sinx

性
质
图象


定义域

R

R

?
?
?
xx?k
?
?,k??
??

2
??
R

值域
?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
?
?1,1
?

?
k??
?
时，
?
2
当
x?2k
?
?
k??
?
时，
最值
y
max
?1
；当
x?2k
?
?
?
2

y< br>max
?1
；当
x?2k
?
?
?

既无最大值也无最小值
?
k??
?
时，
y
min
??1
．
周期性
奇偶性
?
k??
?
时，
y
min
??1
．
2
?

偶函数
2
?

奇函数
在
?
2k
?
?
?

奇函数
?< br>?
?
2
,2k
?
?
?
?

?
2
?
在
?
2k
?
?
?
,2k< br>?
?
?
k??
?
上是
增函数；在
?
2k
?
,2k
?
?
?
?

单调性
?
k??
?
上是增函数；在
?
3
?
??

2k
?
?,2k
?
?
??
22
??
在
?
k
?
??
?
?
2
,k
?
?
?
?
?< br>
2
?
?
k??
?
上是减函数．
?
k??
?
上是增函数．

?
k??
?
上是减函数．
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

对称性
对称轴
x ?k
?
?
?
2
对称中心
?
k
?
?
?
k??
?

?
?
?
?
,0?
?
k??
?

2
?
对称中心
?
无对称轴
?
k
?
?
,0
?
?
k??
?

2
??
对称轴
x?k
?
?
k??
?


必修四
角
?
的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在 第几象限，则称
?
为第几象限角．
??
第二象限角的集合为
??
k?360?90?k?360?180,k??
?

第三象限角的集 合为
?
?
k?360?180?
?
?k?360?270,k??< br>?

第四象限角的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?360,k??
?

终边在
x
轴上的角的 集合为
?
??
?k?180,k??
?

终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?180?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?< br>?
,k??
?

第一象限角的集合为
?
k?360?
?
?k?360?90,k??

????
???
????
????
?
??
?
?
4、已知
?
是第几象 限角，确定
?
?
n??
?
所在象限的方法：先把各象限均分
n
等份，再从
x
轴的正半轴
n
*
的上方起，依次将各区域标 上一、二、三、四，则
?
原来是第几象限对应的标号即为
域．
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度．
口诀：奇变偶不变，符号看象限．
(以上k∈Z)其他三角函数知识：
同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式商的关系：
sinαcosα＝tanα＝secαcscα
cosαsinα＝cotα＝cscαsecα
平方关系：
sin^2(α)＋cos^2(α)＝1
1＋tan^2(α)＝sec^2(α)
1＋cot^2(α)＝csc^2(α)
两角和差公式
⒉两角和与差的三角函数公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
?
终边所落在的区
n

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ
tan（α＋β）＝——————
1－tanα ?tanβ

tanα－tanβ
tan（α－β）＝——————
1＋tanα ?tanβ


倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）
sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

2tanα
tan2α＝—————
1－tan^2(α)


半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

1－cosα
sin^2(α2)＝—————
2

1＋cosα
cos^2(α2)＝—————
2

1－cosα
tan^2(α2)＝—————
1＋cosα


万能公式

⒌万能公式
2tan(α2)
sinα＝——————
1＋tan^2(α2)

1－tan^2(α2)
cosα＝——————

1＋tan^2(α2)

2tan(α2)
tanα＝——————
1－tan^2(α2)


和差化积公式

⒎三角函数的和差化积公式

α＋β α－β
sinα＋sinβ＝2sin—----?cos—---
2 2

α＋β α－β
sinα－sinβ＝2cos—----?sin—----
2 2

α＋β α－β
cosα＋cosβ＝2cos—-----?cos—-----
2 2

α＋β α－β
cosα－cosβ＝－2sin—-----?sin—-----
2 2